ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.

Transkrypt

1 VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia, przy których dla każdego warunku początkowego x(0) = p istnieje rozwiązanie ϕ(t) określone na całej prostej R. W celu zaznaczenia, że rozwiązanie ϕ(t) przechodzi przez punkt p, czyli jest orbitą punktu p, będziemy używać notacji ϕ(t; p). Definicja 1.1. Zbiorem granicznym w + (zbiorem ω-granicznym) punktu p (orbity punktu p) nazywamy zbiór ω(p) := {y R n : y = lim k ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k + }. Definicja 1.. Zbiorem granicznym w (zbiorem α-granicznym) punktu p (orbity punktu p) nazywamy zbiór α(p) := {y R n : y = lim k ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }. Stabilne punkty krytyczne układów liniowych x = Ax (węzły i ogniska stabilne) są przykładami zbiorów ω-granicznych dla wszystkich punktów p z ich dostatecznie małego otoczenia. Natomiast niestabilne punkty krytyczne układów liniowych x = Ax (węzły i ogniska niestabilne) są przykładami zbiorów α-granicznych dla wszystkich punktów p z ich dostatecznie małego otoczenia. Orbita zamknięta jest zbiorem granicznym dla punktów do niej należących. Zbiór ω(p) może być zbiorem pustym, jak np. w przypadku równania x = 1 rozważanego na prostej. 1

2 Definicja 1.3. Rozwiązanie ϕ(t; p) nazywamy okresowym (orbitą okresową, orbitą zamkniętą), jeżeli dla pewnego T > 0 zachodzi warunek ϕ(t + T ; p) = ϕ(t; p), t R. Jeżeli ϕ(t ; p) = ϕ(0; p) = p i ϕ(t; p) ϕ(0; p) dla t (0, T ), to punkt p nazywamy punktem okresowym o okresie T. Każdy punkt na orbicie okresowej ϕ(t; p) jest okresowy z okresem T. Definicja 1.4. Orbitę zamkniętą γ taką, że dla punktów y należących do pewnego otoczenia V zbioru γ mamy ω(y) = γ lub α(y) = γ, nazywamy cyklem granicznym. Cykl graniczny γ nazywamy atraktorem (stabilnym cyklem granicznym), jeżeli γ = ω(y) dla wszystkich punktów y z otoczenia V. Cykl graniczny γ nazywamy repelerem (niestabilnym cyklem granicznym), jeżeli γ = α(y) dla wszystkich punktów y z otoczenia V. Sprawdzimy, czy układ ma cykl graniczny. (a) x 1 = x + x 1 (1 x 1 + x x = x 1 + x (1 ) x 1 + x ) Fakt 1.5. (własności zbiorów granicznych.) (i) Zbiór graniczny jest domknięty. (ii) Zbiór graniczny zawiera całe trajektorie. (iii) y ω(p) ω(y) ω(p) (iv) Jeżeli zbiór wartości rozwiązania ϕ(t), tj. zbiór {ϕ(t) : t R} jest ograniczony (odpowiednio dla t + lub t ), to odpowiedni zbiór graniczny (ω lub α) jest niepusty i zwarty.

3 (v) Zbiór graniczny ω lub α składa się z izolowanego punktu wtedy i tylko wtedy, gdy punkt ten jest granicą rozwiązania dla t + lub t, odpowiednio.. Twierdzenie Poincarégo-Bendixona. Rozważamy równanie (.1) x = f(x) na otwartym podzbiorze Q R. Będziemy badać pajawianie się cykli granicznych w oparciu o teorię Poincarégo-Bendixona. Definicja.1. Niech g t (p) = ϕ(t; p) będzie potokiem generowanym przez układ (.1). Zbiór K Q R nazywamy dodatnio niezmienniczym (ujemnie niezmienniczym) dla tego układu, jeżeli dla każdego p K zachodzi warunek dla wszystkich t 0 (t 0). g t (p) K Twierdzenie.. (Poincarégo-Bendixona) Jeżeli w przestrzeni fazowej na płaszczyźnie orbita zawiera co najmniej jeden swój punkt graniczny, to jest punktem krytycznym albo orbitą okresową. Inne sformułowanie twierdzenia.: Jeżeli zbiór graniczny ω(p) R jest niepusty, zwarty i nie zawiera punktu krytycznego, to jest orbitą okresową. Z twierdzenia. wypływają następujące wnioski: 3

4 Wniosek.3. Jeżeli zbiór K Q R jest niepustym, zwartym i niezmienniczym (dla t + ) zbiorem dla układu (.1), to K zawiera punkt krytyczny albo orbitę okresową. Wniosek.4. Jeżeli niepusty, zwarty i niezmienniczy zbiór K Q R układu (.1) nie zawiera punktu krytycznego, to w zbiorze K istnieje orbita okresowa. Wniosek.5. Jeżeli γ jest orbitą okresową układu (.1), która wraz ze swym wnętrzem Γ zawiera się w Q R, to zbiór Γ zawiera punkt krytyczny. Pokażemy, że równanie (b) x x (1 3x (x ) ) + x = 0 zawiera cykl graniczny. Przedstawimy teraz kryteria, które pozwolą wykluczać istnienie cykli granicznych. Twierdzenie.6. (kryterium Bendixona-Dulaca) Zakładamy, że równanie (.1) x = f(x) jest określone na jednospójnym obszarze Q R. Jeżeli dla wszystkich x Q zachodzi jeden z warunków: div f(x) = f 1 x 1 (x) + f x (x) > 0 div f(x) = f 1 x 1 (x) + f x (x) < 0, tzn. jeśli div f(x) ma w Q stały znak, to równanie (.1) nie ma orbit okresowych leżących w Q. 4

5 Wniosek.7. Jeżeli istnieje dodatnia funkcja B określona na zbiorze Q taka, że pole wektorowe B(f(x)) ma dodatnią diwergencję w każdym punkcie zbioru Q, to równanie (.1) nie ma orbit okresowych w Q. Uwaga.8. Funkcję B będziemy nazywać funkcją Dulaca. Wniosek.7 wynika z twierdzenia.6 oraz faktu, że dla funkcji B > 0 równania mają te same orbity. x = f(x), x = B(f(x)) Twierdzenie.9. Jeżeli istnieje dodatnia funkcja B określona na zbiorze Q R taka, że dla każdego x Q zachodzi warunek div B(f(x)) = 0, to istnieje całka pierwsza równania (.1) x = f(x). Wykażemy, że jeśli układ { ( x (c) 1 = x + x 1 1 x ( 1 x) x = x 1 + x 1 x 1 x) + C, gdzie C jest pewną stałą, ma orbitę okresową, to (i) albo ta orbita okrąża punkt (0, 0); (ii) albo przecina okrąg x 1 + x = 1. { x = a (b + cy) x Sprawdzimy, czy układ (d) y = βx α+x + dy, gdzie a, b, c, d, α, β > 0, ma rozwiązania okresowe w zbiorze Q = {(x, y) R : x 0 y 0}. 5