12 Stereometria Podstawy geometrii przestrzennej Graniastosłupy Wielościany

Transkrypt

1 12 STEREOMETRI 1 12 Stereometria 12.1 Podstawy geometrii przestrzennej Prostopadłościan jest utworzony z dwóch sześcianów, tóre mają wspólną ścianę P QRT. (Rys. 8.9) Sorzystaj z rysunu w zadaniach 1, 2, 3 i Oceń, tóre stwierdzenia są prawdziwe. Punt należy do płaszczyzny: a) (P R); b) (QR) c) (QT ). 2. Oceń, tóre stwierdzenia są prawdziwe. Proste Q i R są: a) równoległe; b) sośne; c) prostopadłe; d) przecinające się. 3. Oblicz miarę ąta nachylenia: a) prostej do płaszczyzny (); b) płaszczyzny (P R) do płaszczyzny (). 4. Oblicz miarę ąta, jai tworzą: a) proste i ; b) płaszczyzny (QR) i ( ). T P Q Rys.8.9 R Rys.8.16 Rys Na rysunu 8.17 przedstawiono sześcian. Wsaż cztery wierzchołi sześcianu, tóre wyznaczają czworoąt będący przerojem sześcianu. Ile jest taich czworoątów? 5. Narysuj siatę wielościanu (Rys. 8.19), tórego rawędzie mają długości 4cm i 2cm oraz jedna jego ściana jest wadratem, dwie - trójątami równobocznymi, a pozostałe ściany - trapezami. F Rys.8.19 E 5. any jest sześcian o rawędzi, tórej długość wynosi a. (Rys. 8.10) Oblicz miarę ąta: a) nachylenia prostej do płaszczyzny (); b) między płaszczyznami ( ) i (); c) nachylenia prostej do płaszczyzny ( ) Graniastosłupy 1. Wysoość graniastosłupa trójątnego ma długość 1 dm. Oszacuj sumę długości wszystich jego rawędzi bocznych. 2. zy istnieje graniastosłup, w tórym można wsazać: a) trzy wysoości różnej długości? b) dwie wysoości różnej długości? Podaj przyłady Rys Oblicz pole powierzchni graniastosłupa sześcioątnego prawidłowego, w tórym rawędź podstawy ma długość 2 dm, a najdłuższa przeątna - 5 dm Wielościany 1. Który wielościan ma najmniejszą liczbę wierzchołów? 2. Ile rawędzi i ile wierzchołów może mieć pięciościan? 3. Ile ścian, wierzchołów i rawędzi ma wielościan, tórego siatę przedstawiono na rysunu 8.16? 4. Oblicz pole powierzchni sześcianu, w tórym przeątna jest o 1 cm dłuższa od rawędzi. 5. Oblicz pole powierzchni graniastosłupa trójątnego prawidłowego, w tórym odcine o długości d, łączący wierzchołe jednej podstawy ze środiem przeciwległej rawędzi drugiej podstawy, jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod ątem α. 6. Sprawdź, tóra bryła ma więszą objętość: prostopadłościan o wymiarach 3 cm, 4 cm i 5 cm czy sześcian o przeątnej długości 7 cm.

2 12 STEREOMETRI 2 7. Podstawą prostopadłościanu jest prostoąt o boach mających długości 6 cm i 8 cm. Przeątna prostopadłościanu tworzy z płaszczyzną podstawy ąt 45. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego prostopadłościanu. 8. Przeątna prostopadłościanu ma długość d i jest nachylona do sąsiednich ścian bocznych odpowiednio pod ątem α i β. Oblicz objętość tego prostopadłościanu. 9. Oblicz objętość prostopadłościanu, tórego podstawa jest prostoątem o boach długości a i b, a jego przeątna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem zworoąt o wierzchołach będących wierzchołami sześcianu, z tórych trzy nie należą do jednej ściany, ma pole równe 12dm 2. Oblicz objętość tego sześcianu. 11. Oblicz objętość prostopadłościanu, w tórym podstawą jest wadrat a przeątne sąsiednich ścian bocznych o długościach równych 2 cm tworzą ąt Oblicz cosinus ąta nachylenia przeątnej ściany bocznej do płaszczyzny sąsiedniej ściany bocznej w graniastosłupie trójątnym prawidłowym, w tórym pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól jego podstaw. 13. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójąt równoramienny o 2 dm i 4 dm, a wysoość graniastosłupa jest równa 3 3dm. Oblicz objętość tego graniastosłupa. 14. Z osiemnastu jednaowej długości awałów drutu zespawano szielet graniastosłupa sześcioątnego prawidłowego o objętości dm3. Jaą długość miały awałi drutu? 15. W graniastosłupie czworoątnym prawidłowym przeątna o długość 4 dm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem 30. Oblicz objętość tego graniastosłupa. 16. W graniastosłupie trójątnym prawidłowym rawędź podstawy ma długość a. Płaszczyzna wyznaczona przez trzy wierzchołi nie należące do jednej podstawy tworzy z płaszczyzną podstawy ąt 60. Oblicz objętość graniastosłupa. 17. Pole powierzchni graniastosłupa czworoątnego prawidłowego wynosi 112cm 2, a jego objętość 80cm 3. Oblicz długości rawędzi graniastosłupa. 18. Przerój poprzeczny anału ma ształt trapezu równoramiennego o podstawach 24 m i 10 m oraz wysoości 4 m. Kanał ten ma długość 100 m. Ile metrów sześciennych ziemi wydobyto przy wyopie tego anału? 19. Oblicz objętość i pole powierzchni graniastosłupa, tórego siatę, przedstawioną na rysunu 8.36, tworzą: dwa trójąty, dwa prostoąty i wadrat. 6dm 4dm Rys Oblicz objętość graniastosłupa, tórego podstawą jest trójąt równoboczny o polu 6 3dm 2, jeśli jedna z jego ścian bocznych jest rombem o polu 12dm 2 zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny podstawy. 21. W graniastosłupie czworoątnym prawidłowym przeątne sąsiednich ścian bocznych o długości d tworzą ąt 60. Oblicz objętość graniastosłupa. 22. Najrótsza przeątna graniastosłupa sześcioątnego prawidłowego o długości 16 2cm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem 45. Oblicz objętość tego graniastosłupa Ostrosłupy 1. W ostrosłupie trójątnym prawidłowym rawędź podstawy ma długość 6 cm, a ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem 30. Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa. 2. W ostrosłupie czworoątnym prawidłowym odległość środa podstawy od ściany bocznej wynosi d, a ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem α. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. 3. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa czworoątnego prawidłowego, tórego rawędź boczna o długości 4 dm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem Rozstrzygnij, czy na wadratowym aruszu artonu o bou 3 dm można wyreślić siatę ostrosłupa, o podstawie wadratu o bou 1 dm i wysoości 1 dm, a spode jest wierzchołiem podstawy. 5. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa trójątnego prawidłowego, tórego rawędź podstawy ma długość 6 cm, a rawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem Piramida heopsa (Rys.8.53) jeden z siedmiu cudów świata i najwięsza z piramid w Gizie - jest najcięższą budowlą wzniesioną przez człowiea. Podstawę piramidy stanowi wadrat o bou długości 230 m, a ąt nachylenia rawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy 42. Wiedząc, że średnia gęstość amienia użytego do jej budowy wynosi 2, 306 g cm, oblicz masę piramidy w 3 tonach. 7. Oblicz objętość ostrosłupa czworoątnego prawidłowego, w tórym rawędź podstawy ma długość 2 dm, rawędź boczna 4 dm. 8. Oblicz objętość czworościanu foremnego o rawędzi długości a. 230m Rys o 230m

3 12 STEREOMETRI 3 9. W ostrosłupie trójątnym ażde dwie rawędzie boczne są prostopadłe i ażda z nich ma długość. Oblicz objętość ostrosłupa. 10. Odległość środa podstawy ostrosłupa czworoątnego prawidłowego od rawędzi bocznej jest liczbą d. Krawędź boczna w tym ostrosłupie jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem α. Oblicz objętość ostrosłupa. 11. Oblicz objętość ostrosłupa sześcioątnego prawidłowego, w tórym rawędź podstawy ma długość a, rawędź boczna długość b. 12. Oblicz objętość ostrosłupa trójątnego prawidłowego, w tórym rawędź boczna o długości jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem α. 13. Siatę ostrosłupa tworzą dwa trójąty równoboczne, ażdy o bou długości a, i dwa trójąty prostoątne. Oblicz objętość i pole powierzchni tego ostrosłupa ryły obrotowe 1. Opisz bryłę obrotową, tórej przerojem osiowym jest: a) trójąt równoboczny o bou a; b) wadrat o bou a; c) oło o średnicy a; d) prostoąt o boach a i b. 2. zęść stoża zawartą między jego podstawą a przerojem poprzecznym nazywamy stożiem ściętym. Jaą figurą jest przerój osiowy stoża ściętego? Wyonaj rysune. 3. Opisz bryłę (Rys. 8.62), tóra powstaje w wyniu obrotu doooła prostej : a) trójąta ; b) trójąta ; c) trójąta. M 4. Oblicz pole przeroju osiowego bryły (Rys. 8.63), tóra powstaje w obrocie trapezu równoramiennego doooła prostej zawierającej jego podstawę. ane są: = 12cm, = 8cm, = Opisz bryłę obrotową tóra powstaje w wyniu obrotu figury przedstawionej na rysunu Oblicz długość tworzącej stoża, tórego pole przeroju osiowego jest równe Q, a tworząca stoża jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem α. 7. Oblicz pole przeroju stoża przedstawionego na rysunu 8.65 płaszczyzną tóra dzieli wysoość stoża w stosunu 1 : 2, licząc od wierzchoła; dane: l i ąt α Pola powierzchni brył obrotowych Rys Prostoąt o boach długości a i b obraca się doooła prostej zawierającej bo o długości a. Oblicz pole powierzchni powstałej bryły. 2. W trójącie prostoątnym przeciwprostoątna ma długość c, a ąt ostry jest równy α. Oblicz pole powierzchni bryły, tóra jest wyniiem obrotu danego trójąta doooła prostej, tóra zawiera jedną z jego przyprostoątnych. 3. Pole przeroju osiowego walca jest równe 8cm 2, a pole powierzchni walca 24πcm 2. Oblicz średnicę i wysoość tego walca. 4. Pole przeroju osiowego stoża jest równe 48 3cm 2, a ąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy wynosi 30. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stoża. l Α E 5. Oblicz pole powierzchni bryły powstałej w wyniu obrotu doooła prostej prostoąta przedstawionego na rysunu Oblicz pole powierzchni bryły powstałej w wyniu obrotu doooła prostej trójąta przedstawionego na rysunu H 7. Oblicz pole powierzchni bryły powstałej w wyniu obrotu doooła prostej trójąta prostoątnego przedstawionego na rysunu Rys.8.62 Rys.8.63 Rys Oblicz, jaie masymalne pole powierzchni bocznej ma walec wpisany w stoże, tórego tworząca ma długość 6 cm, wysoość 4 cm. 9. Trójąt prostoątny o przyprostoątnych równych 2 dm i 4 dm obraca się doooła prostej zawierającej przeciwprostoątną. Oblicz pole powierzchni powstałej bryły.

4 12 STEREOMETRI 4 45 o 2. Na rysunu 8.81 wyreślono dwa oła i prostoąt; ich wymiary są wyrażone w decymetrach. Jaą najwięszą objętość ma walec, tórego powierzchnię można wyonać z wyreślonych figur? 2 dm 2 dm d dm Rys o Α Rys.8.73 Rys 8.74 Rys Oblicz, ile razy zwięszy się pole powierzchni uli, a ile razy jej objętość, jeśli jej promień wzrośnie pięciorotnie. 11. Oblicz pole powierzchni uli, tórej powierzchnia zawiera wszystie wierzchołi sześcianu o długości rawędzi równej 6 dm. 12. Przerój osiowy bryły obrotowej jest trapezem równoramiennym o długości podstaw równych 6 dm i 10 dm, jego ramiona mają z olei po 4 dm. (a) Oblicz pole powierzchni tej bryły. (b) Oblicz pole powierzchni stoża, tórym można uzupełnić powstałą bryłę do stoża pełnego. 13. Pole przeroju osiowego stoża jest równe 3m 2, a długość tworzącej ma 10m. Oblicz pole powierzchni stoża. 14. Przerojem osiowym stoża jest trójąt równoboczny. Oblicz stosune pola powierzchni bocznej do pola podstawy tego stoża. 15. Na esponowanie ogłoszeń wyonano z blachy słup w ształcie walca zaończony opułą w ształcie półuli. Średnica słupa wynosiła 1, 2m wysoość 2, 6m. Ile metrów wadratowych blachy zużyto na wyonanie słupa, doliczając 5% blachy na spawy i odpady? 12.7 Objętości brył obrotowych 1. Pole przeroju osiowego walca jest równe 12dm 2, a jego średnica ma długość 8dm. Oblicz objętość tego walca. 3. Wysoość walca jest równa średnicy jego podstawy. Promień tego walca ma długość 1m. Oblicz pole powierzchni i objętość walca. 4. Ile ton ropy zawiera napełniony zbiorni w ształcie walca o średnicy 18 m i wysoości 7 m? (iężar właściwy ropy wynosi 0,85 g/cm 3 ). 5. Puszę do onserw w ształcie walca o średnicy i wysoości równej 8 cm wyonano w całości z pasa blachy o szeroości 8 cm. Jaą minimalną długość miał ten pase? 6. Pusza w ształcie walca ma objętość równą 0, 785dm 3 i średnicę 1dm. Wyznacz wymiary (z doładnością do 0, 1dm) artonu prostopadłościennego do zapaowania 12 pusze. 7. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o długości bou równej 4dm. Przeątne sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa są prostopadłe i ażda ma 5dm. (a) Jaą najwięszą objętość ma walec, tóry zawiera się w tym graniastosłupie? (b) Jaą najmniejszą objętość ma walec, tóry zawiera ten graniastosłup? 8. ługości przyprostoątnych trójąta prostoątnego są równe a i b, przy czym a > b. Sprawdź, tóry stoże ma więszą objętość: stoże powstały w wyniu obrotu tego trójąta doooła prostej zawierającej przyprostoątną o długości a czy b. 9. Krawędź boczna w ostrosłupie trójątnym prawidłowym ma długość b i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem α. (a) Oblicz objętość tego ostrosłupa. (b) Oblicz objętość stoża opisanego na tym ostrosłupie. (c) Oblicz objętość stoża wpisanego w ten ostrosłup. 10. Wycine oła o promieniu a i ącie środowym 216 zwinięto w powierzchnię boczną stoża. Oblicz objętość tego stoża.

5 12 STEREOMETRI Na wystawie mebli zbudowano namiot w ształcie stoża o średnicy 12m i wysoości 6m. Wewnątrz namiotu wyonano pomieszczenie w ształcie walca, w tórym stosune wysoości do średnicy wynosił 5 : 14. Oblicz ubaturę tego pomieszczenia. 12. Na ile ul o średnicy 3cm można przetopić ulę z ołowiu, tórej średnica jest równa 30cm? 12.8 Zadania różne 1. Słodycze są paowane do pudełe w ształcie graniastosłupa sześcioątnego prawidłowego, tórego ażda rawędź ma długość 1 2dm. Pudeła ze słodyczami są następnie paowane do artonów prostopadłościennych. Zaprojetuj arton o najmniejszej powierzchni do zapaowania: a) dwóch pudełe; b) trzech pudełe; c) sześciu pudełe; d) dwunastu pudełe. 2. Kios ma ształt graniastosłupa sześcioątnego prawidłowego, a ażda ściana tego iosu ma znowu ształt graniastosłupa, tym razem o podstawie trapezu, tórego rótsza podstawa ma długość 2m, a wysoość - długość 0, 2m. Kupiono pewną ilość paneli - ażdy o szeroości 16cm - do wyłożenia ścian wewnętrznych i taą samą ilość innego gatunu paneli - też ażdy o szeroości 16cm - do wyłożenia ścian zewnętrznych. Na wystrój wnętrza doładnie starczyło paneli, natomiast zabrało paneli zewnętrznych. Oblicz, ile zabrało paneli. 8. Oblicz objętość bryły obrotowej, tórej przerój osiowy, będący sumą półola, prostoąta i trójąta, przedstawiono na rysunu (Ćw.)Rysune 8.84 przedstawia Panteon wybudowany w Rzymie za panowania cesarza Hadriana. Kopuła Panteonu jest w ształcie półuli o promieniu równym wysoości walca stanowiącego podstawę budowli. Wyznacz objętość Panteonu. Oblicz pole powierzchni narażonej na działanie promieni słonecznych. 2 cm 4 cm 2 cm Rys.8.85 Rys m 2cm 3. W prostopadłościanie rawędzie podstawy mają długości 4cm i 3cm, a rawędź boczna ma długość 5cm. Oblicz: (a) długość przeątnej podstawy; (b) miarę ąta nachylenia przeątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy; (c) pole przeroju płaszczyzną zawierającą przeątną prostopadłościanu. 4. Przerój osiowy walca jest wadratem o bou 4cm. Oblicz pole powierzchni i objętość walca. 5. Przerój osiowy stoża jest trójątem równobocznym o bou długości 2 3. Oblicz pole powierzchni i objętość stoża. 10. Podstawa ostrosłupa prawidłowego czworoątnego o rawędzi bocznej równej 6cm jest wpisana w orąg o średnicy 6 2cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa. 11. Podstawą ostrosłupa jest trójąt. Krawędź jest wysoością ostrosłupa (rys.). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że = 12, = 6, = = Trójąt równoboczny o bou 12cm obraca się doooła jednego z boów. Oblicz objętość oraz pole powierzchni 6. Przerój graniastosłupa prawidłowego czworoątnego płaszczyzną zawierającą przeątną bryły jest wadratem o polu 36. Oblicz objętość i pole powierzchni bryły. 7. Przeątna prostopadłościanu o podstawie wadratu ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ątem 60. Oblicz objętość i pole powierzchni bryły. powstałej figury przestrzennej. Rys.84b