FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS

Transkrypt

1 FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Stetin. 9, Oeconomica 68 54), 55 6 Anna LANDOWSKA ZASTOSOWANIE DYSKRETNEGO PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO DO ROZWIĄZANIA PROBLEMU OPTYMALNEGO PRZYDZIAŁU W GOSPODARSTWIE ROLNYM APPLICATION OF DISCREET DYNAMIC PROGRAMMING FOR SOLVING OPTIMAL ALLOTMENT PROBLEM IN AN AGRICULTURAL FARM Katedra Zastosowań Matematyi w Eonomii, Zachodniopomorsi Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie ul. Janiciego 1, 71-7 Szczecin Abstract. For the development of village it is essential that agricultural farm maes the largest profit. Very important is to plan sowing in a optimal way, to obtain the biggest crop, which is easy to sell for a sharp price. It is difficult to tae into consideration so many factors and constraints. The article presents discrete dynamic programming method which maes possible to find optimal solution of allotment problem with constraints using earlier captured experiences. Słowa luczowe: problem optymalnego przydziału, programowanie dynamiczne, równanie Bellmana. Key words: Bellman equation, dynamic programming, optimal allotment problem. WSTĘP Dla rozwoju wsi istotne jest, by gospodarstwo rolne przynosiło ja najwięsze zysi. Bardzo ważne jest optymalne zaplanowanie siewu aby, można było otrzymać więszy plon, tóry można łatwo sprzedać za dobrą cenę. Oczywiste jest to, że nie z ażdej ziemi możemy otrzymać oczeiwane zbiory. Uwzględnienie dużej liczby czynniów i ograniczeń może być bardzo trudne. W artyule poazano zastosowanie w rolnictwie metody dysretnego programowania dynamicznego, za pomocą tórej dla wielu zmiennych wejściowych szybo znajduje się optymalne rozwiązanie. Programowanie dynamiczne PD), jao metoda rozwiązywania pewnych zadań optymalizacji, zostało opracowane w latach 5. przez Bellmana 195). Metodę tę znacznie rozwinięto, przy czym zwięszyła się liczba problemów rozwiązywanych za jej pomocą. W artyule przedstawiono istotę dysretnego programowania dynamicznego Ignasia 1; Trzasali ), następnie opisano problem decyzyjny dotyczący optymalnego wyboru obszarów zasiewu w gospodarstwie rolnym, a taże metodę PD. Dla rozpatrywanego zadania podano rozwiązanie optymalne i wynii numeryczne.

2 56 A. Landowsa METODA PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO Istota programowania dynamicznego polega na tym, że w celu znalezienia optymalnego ciągu decyzji proces sterowalny rozdziela się na wiele olejnych etapów. Każdemu etapowi przypisuje się pewną wartość decyzyjną, a dla całego procesu tworzy się ryterium optymalności jao funcję wielu zmiennych wartości decyzyjnych) Kowali 4). Następnie orzysta się z zasady: Optymalna strategia sterowania ma tę własność, że jaiolwie by był stan początowy i decyzja początowa, to następne decyzje muszą tworzyć optymalną strategię sterowania względem stanu wyniającego z pierwszej Bellman 1967, s. 54). Zatem etap procesu sterowalnego to podstawowe pojęcie metody PD. Metodę PD można stosować w procesach eonomicznych, tóre zachodzą w czasie wówczas pojedynczym etapem może być pewien odcine czasu ro, miesiąc, godzina), ja również w procesach, tóre nie rozwijają się w czasie. W tym drugim przypadu przejście do następnego stadium może oznaczać na przyład uruchomienie olejnej maszyny bądź wyonanie olejnej inwestycji. Efetem zastosowania metody programowania dynamicznego jest ustalenie optymalnej strategii optymalnego planu działania). Zaletą tej metody jest sprowadzenie zadania poszuiwania estremum funcji n zmiennych do zadania poszuiwania estremum funcji jednej zmiennej. Zatem można rozwiązywać tą metodą zadania o dużej liczbie zmiennych decyzyjnych, z nieciągłymi lub nieróżniczowalnymi funcjami celu oraz zadania, tóre nie są zadaniami programowania wypułego. Programowanie dynamiczne jest metodą rozwiązywania zadań zarówno optymalizacji dynamicznej, ja i optymalizacji statycznej. Ważne jest, aby proces sterowalny charateryzował się tzw. własnością Marowa, co oznacza, że wartość uzysana na i-tym etapie optymalizacji zależy tylo od stanu na i-1 etapie oraz od decyzji podjętej na i-tym etapie. Problematya związana z programowaniem dynamicznym została szerzej opisana m.in. w pracach Bellmana 1967), Findeisena 197), Grabowsiego 19), Lwa i Maucha 7), Maucha 4), Robinetta i Wilsona 5). PROBLEM OPTYMALNEGO PRZYDZIAŁU W GOSPODARSTWIE ROLNYM Załóżmy, że gospodarz właściciel 7 ha gruntów ornych ziemi, położonej w trzech gminach A, B i C, ma problem optymalnego zasiewu pola czterema różnymi zbożami, przy czym oznacza ilość ziemi pod uprawę pszenicy ozimej, x ilość żyta, ilość owsa, a ilość jęczmienia ozimego w ha. Gospodarstwa nie można tratować jao jednolitej całości z powodu zróżnicowania jaości ziemi. Poniżej przedstawiono tabele, w tórych w ostatnich olumnach znajdują się ceny, jaie otrzyma rolni w supie za odpowiednią ilość ażdej z upraw. Cena uwzględnia wielość plonowania ażdej z upraw w poszczególnych gminach oraz ceny supu prognozy tych wielości). Dodatowym założeniem jest wielość powierzchni gruntów ornych w poszczególnych gminach: w gminie A wynosi ona ha, w gminie B ha, a w gminie C ha. Odgórnie została narzucona wielość zasiewów do masymalnie 1 ha na ażdą z upraw w ażdej gminie oraz optymalna strutura zasiewów pszenica

3 Zastosowanie dysretnego programowania dynamicznego 57 i żyto po ha, natomiast owies i jęczmień po ha. W tabeli 1 przedstawiono zys gospodarza po obsianiu poszczególnymi zbożami powierzchni,,, 1 ha pól A, B, C. Tabela 1. Zależność zysu od gatunu uprawianego zboża, rodzaju pola i powierzchni Pole A, ma ha Pole B, max ha Pole C, max ha gatune powierzchnia zys gatune powierzchnia zys gatune powierzchnia zboża uprawy [ha] [zł] zboża uprawy [ha] [zł] zboża uprawy [ha] zys [zł] x x x Dane przedstawione w tab. 1 zostaną przeształcone do postaci, tóra pozwoli wyorzystać metodę programowania dynamicznego do znalezienia optymalnego rozwiązania. Z danych umieszczonych w tab. 1 powstaną 4 funcje, tóre będą odpowiadały poszczególnym gatunom uprawianego zboża C, d ), C x, d ), C, d ), C, d ), gdzie C x, d ), to zys 1 4 wyniający z obsiania d = Ax, Bx, Cx ) ha zbożem x, {1,,,4 }, Ax = ha, Bx = ha, Cx = ha, ha, ha, x ha, x ha. 1 Zatem argumentami funcji C x, d ) będą zmienne oznaczające wielość powierzchni uprawianego pola w gminach A, B, C, obsianego zbożem x, natomiast wartością funcji będzie zys, jai otrzymamy po obsianiu danej powierzchni gmin zbożem 4 x. Budując funcje C x, d ), należy pamiętać, aby suma argumentów nie przeraczała dopuszczalnej wartości zasiewu zboża x, czyli muszą być spełnione waruni: ha, ha, x ha, x 4 ha. Ponieważ funcje C x, d ) są bardzo rozbudowane, nie podano ich wszystich w artyule. Dla zrozumienia problemu przedstawiono ila wartości funcji C x, d ) : C,,,) =, C,,,) = 116, C,,,1) = 18 6, C,,,) = 114, C,,,) = 19, C,,,1) = , C,,,) = 76, C,,,) = 614 itp. 1

4 58 A. Landowsa Wprowadźmy dalsze oznaczenia. Danych jest M = 7 ha hetarów gruntów ornych do obsiania czterema gatunami zbóż. Przypuśćmy, że podjęciu decyzji, w odpowiednich etapach, o przydziale d 1 hetarów odpowiada przydział hetarów dla pól A, B i C, na tórych zostanie zasiane zboże x 1, następnie ilość d hetarów zostanie obsianych zbożem x itd. Zdefiniujmy stan x, m) jao pozostałą liczbę m = max, mbx, mcx ) hetarów do zagospodarowania pól A, B, C w etapie. Zys wyniający z decyzji o obsianiu w etapie po obsianiu zbożem d hetarów x wynosi C x, d ); następny stan to x, m d ) Równanie funcyjne programowania dynamicznego równanie Bellmana) ma postać: f x, m) = max{ C x, d ) + f x + 1, m d + 1)} 1) d Optymalne rozwiązanie to wartość masymalna f,,,)). Przy ta postawionych warunach, orzystając z metody programowania dynamicznego, otrzymujemy optymalne rozwiązanie problemu. Pole A o powierzchni ha zostanie obsiane w następujący sposób: 1 ha zbożem x 1, ha zbożem x oraz ha zbożem x. Na polu B, o powierzchni ha, zasiejemy ha zbożami x 1, x i ha zbożem x 4. Natomiast pole C, o powierzchni ha, zostanie obsiane zbożem x 1, x ha) oraz zbożem x 4 1 ha). Zys przy ta zagospodarowanych gruntach w poszczególnych gminach będzie najwyższy f,,,)) = Na rysunu 1 przedstawiono optymalny wysiew zbóż w trzech gminach, orzystając z metody dysretnego programowania dynamicznego Obszar siewu [ha] 1 6 pszenica ozima żyto owies jęczmień ozimy A ha B 1 ha C ha Gmina Rys. 1. Optymalne rozwiązanie metodą programowania dynamicznego problemu optymalnego przydziału; siew w gminach A, B i C przy ograniczeniach: gmina A ha, gmina B 1 ha, gmina C ha

5 Zastosowanie dysretnego programowania dynamicznego 59 PODSUMOWANIE Otrzymanie przez gospodarstwo rolne ja najwięszego zysu z działalności jest bardzo ważnym zagadnieniem w rozwoju wsi. W artyule przedstawiono problem przydziału rodzaju i ilości siewu do poszczególnych gatunów ziemi w trzech gminach. W przedstawionym przyładzie występują ograniczenia powierzchni gruntów ornych, dana jest również wiedza z oresów poprzednich dotycząca plonu otrzymanego z 1 ha w poszczególnych gminach. Dla znalezienia optymalnego rozwiązania wyorzystano metodę dysretnego programowania dynamicznego. Zaletą metody PD jest szybie znalezienia optymalnego rozwiązania nawet przy bardzo dużej ilości zmiennych wejściowych i ograniczeń. PIŚMIENNICTWO Bellman R On the theory of dynamic programming. Proceedings of the National Academy of Sciences USA 8, Bellman R Programowanie dynamiczne. PWN, Warszawa. Findeisen W., Szymanowsi J., Wierzbici A Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji. Warszawa, PWN. Grabowsi W. 19. Programowanie matematyczne. Warszawa, PWE. Ignasia E. 1. Badania operacyjne. Warszawa, PWE. Kowali S. 4. Nowoczesne metody optymalizacyjne w zastosowaniach górniczych i eonomicznych. Gliwice, Wydaw. Politechnii Śląsiej. Lew A., Mauch H. 7. Dynamic programming. Berlin, Springer-Verlag. Mauch H. 4. A Petri Net representation for dynamic programming problems in management application. [in: Proceedings of the 7th Hawaii International Conference on System Sciences], Hawaii 4, Washington, Dc, USA, IEE Computer Society. Robinett R.D., Wilson D.G. Eisler G.R., Hurtado J.E. 5. Applied dynamic programming for optimizations of dynamical system. SIAM, Philadelphia. Trzasali T.. Wprowadzenie do badań operacyjnych z omputerem. Warszawa, PWE.