Wykorzystanie logiki rozmytej w badaniach petrofizycznych

Transkrypt

1 NAFTA-GAZ, ROK LXXII, Nr / DOI: 1.1/NG...1 Barbara Darła, Małgorzata Kowalsa-Włodarczy Instytut Nafty i Gazu Państwowy Instytut Badawczy Wyorzystanie logii rozmytej w badaniach petrofizycznych Praca ta stanowi próbę wprowadzenia logii rozmytej (ang. fuzzy logic) do zagadnień petrofizycznych. Logia rozmyta jest metodą zasadniczo różniącą się od innych metod obliczeniowych, taich ja np. sieci neuronowe. Przede wszystim operuje na zbiorach rozmytych, wyorzystując wyrażenia lingwistyczne oraz rozmyte zależności i rozmyte reguły postępowania. W pracy przedstawiono działanie schematu obliczeniowego zwanego sterowniiem rozmytym, zastosowanego do parametrów opisujących właściwości sał. Przeprowadzono obliczenia pozwalające przetestować metodę, wyliczając porowatość na bazie zestawu innych parametrów. Suteczność metody poazano poprzez zestawienie z wyniami rzeczywistymi. Korelacja była zadowalająca, wynosiła powyżej, nawet do, dla pełnego zbioru danych. Słowa luczowe: logia rozmyta, regulator rozmyty, funcje przynależności, stopnie przynależności. The use of fuzzy logic in petrophysical studies This wor is an attempt to introduce fuzzy logic to petrophysical problems. Fuzzy logic improved by Zadeh in 195, unlie other mathematical methods lie classical logic or neural networ, is based on fuzzy sets with the use of fuzzy rules, linguistic variables and fuzzy connections. Descriptions of this method are shown in the paper. The wor of the fuzzy controller was demonstrated. Experiments were carried out with the use of petrophysical parameters. The efficiency of this method was shown by a comparison between the real and obtained data. The correlation coefficient was over. even up to. for a full set of data. Key words: fuzzy logic, fuzzy controller, membership functions, membership degrees. Wstęp Praca jest próbą zastosowania logii rozmytej (ang. fuzzy logic) do zagadnień petrofizycznych przy definiowaniu taich zjawis ja przestrzeń porowa sał czy przepuszczalność. Do tego celu posłużono się właśnie metodą logii rozmytej, tórej podstawowe zasady zostały zaprezentowane we wcześniejszych publiacjach [1, ]. W zacytowanych pracach przedstawiono metodę i oreślono suteczność jej działania. W niniejszej publiacji zajęto się oreśleniem wielości wpływu poszczególnych parametrów petrofizycznych, otrzymanych w badaniach laboratoryjnych, na porowatość. W pracy posłużono się badaniami wyonanymi przez autori artyułu w INiG PIB, w Załadzie Geologii i Geochemii, w Pracowni Petrofizyi. Wyonano 95 analiz porozymetrycznych przy użyciu aparatu AutoPore firmy Micromeritics i pinometrii helowej na aparacie AccuPyc firmy Micromeritics, na próbach salnych dobranych ta, by reprezentowały szeroi zares parametrów petrofizycznych. Na podstawie otrzymanych danych próbowano oreślić wagę poszczególnych parametrów w analizie przestrzeni porowej sał. Podstawowe pojęcia i terminy stosowane w logice rozmytej Należy przypomnieć, o czym autori pisały już w swoich wcześniejszych pracach [1, ], że logia rozmyta jest, podobnie ja sieci neuronowe, technią obliczeniową, niemniej jedna opartą na odmiennych zasadach. O ile sieci neuronowe 37

2 NAFTA-GAZ są matematycznym odwzorowaniem biologicznych oddziaływań w systemie nerwowym, to logia rozmyta, wprowadzona przez Zadeha w 195 rou, opiera się wprawdzie na wzorcach matematycznych, a szczególnie logii lasycznej, ale dalej podobieństwo zmierza w inną stronę. Logia rozmyta wyorzystuje teorię zbiorów rozmytych i zasad rozmytego rozumowania [11]. Od logii lasycznej różni ją zastosowanie nieostrych granic zbiorów i nieostrych wartości. Oznacza to, że stopnie przynależności przyjmują nie tylo stany zero-jedynowe, ja w logice lasycznej, ale też stany pośrednie < x < 1. Wprowadzone też zostało pojęcie zmiennej lingwistycznej, co jest najbardziej nowatorsie w tej technice obliczeniowej [5, 7, 1, 11]. W porównaniu z innymi metodami obliczeniowymi, taimi ja sieci neuronowe czy analiza supień albo też logia lasyczna, z tórej wywodzi się omawiana metoda, logia rozmyta nie opiera się na utworzeniu algorytmów w ściśle matematycznym rozumieniu, stosujących ściśle oreślone (ta zwane ostre) pojęcia. Logia rozmyta opiera się na wyrażeniach lingwistycznych oraz rozmytych zależnościach i rozmytych regułach postępowania. Wychodząc ze świata liczb ostrych, przeształca się je w zbiory rozmyte, za pomocą rozmytych narzędzi przeształcających i reguł rozmytych (funcje i stopnie przynależności oraz normy), aby na oniec przez funcje wyostrzania powrócić do liczb ostrych [,, 9]. Taa jest zasada rozmytego systemu wniosującego. Powyższe zasady znajdują zastosowanie w rozmytych systemach wniosujących. Schemat taiego systemu (zwanego też sterowniiem rozmytym) został przedstawiony na rysunu 1. Blo rozmywania Baza reguł Blo wniosowania Poszczególne bloi to olejne roi w przeształcaniu danych na sposób rozmyty. Blo rozmywania Blo rozmywania pozwala onretną wartość ze zbioru rzeczywistego x = (x 1, x, x 3,. x n ) należącą do X przeształcić w procesie rozmywania (ang. fuzzification) w zbiór rozmyty A X = X 1 X... X i... X n, gdzie A jest zbiorem rozmytym, a X i stanowią przestrzenie zmiennych wejściowych. Przy czym stosuje się tu operację rozmywania typu singleton zdefiniowanego we wzorze (1): Rozmyty system wniosujący Blo wyostrzania Rys. 1. Schemat bloowy sterownia rozmytego (1) Blo wniosowania Rozmyte zbiory poddawane są regułom wniosowania. Baza reguł wniosowania zwana też bywa modelem lingwistycznym. Opiera się na wniosowaniu typu: JEŻELI TO Istnieje wiele reguł wniosowania dla modelu logicznego z wyorzystaniem impliacji rozmytej, można je znaleźć w literaturze [5,, 7, 1]. Konretna postać funcji przyporządowania μ zależy od przyjętej normy trójątnej, reguły wniosowania oraz typu operacji na zbiorach rozmytych, co zostało nareślone w poprzednich pracach [1, ]. Poniżej przedstawiono założenia funcji przynależności, tórą opisuje zależność: μ A B (x, y) = T(μ A (x), μ B (y)) () jednej z częściej stosowanych reguł wniosowania: regułę typu minimum. W modelu tym, gdzie rozmyta impliacja A B funcji przynależności μ A B jest równoważna relacji rozmytej: R X Y, a T jest zastosowaną T-normą. Wtedy reguła typu minimum ma postać: Wejście 1 Reguła 1: jeśli... to... Wyjście 1 Reguła : jeśli... to... Wejście Reguła 3: jeśli... to... Wyjście 3 Nafta-Gaz, nr / Rys.. Schemat bloowy doboru reguł w procesie wniosowania

3 artyuły μ A B (x, y) = μ R (x, y) = μ A (x) μ B (y) = min [ A (x), μ B (y)] (3) Rozmyty system wniosowania zapisuje się w postaci: R : JEŻELI x 1 jest A 1 i x jest A i... i x n jest A n TO y jest B () gdzie: x 1, x,..., x n, y są zmiennymi lingwistycznymi, natomiast A 1, A,..., A n, B są wartościami lingwistycznymi, tórym odpowiadają zbiory rozmyte,,,, B. 1 ý = ( ) ( ) y (5) Rys. 3. Graficzne przedstawienie sensu środa ciężości w logice rozmytej Blo wyostrzania Stosując powyższe reguły wniosowania, dochodzimy do momentu, gdy na wyjściu pojawia się rozwiązanie, czyli wniose, w zależności od zaprojetowanego zadania, w postaci jednego lub więcej zbiorów rozmytych B z funcjami przynależności μ B (y), = 1,,..., N. W blou wyostrzania przeprowadza się proces odwrotny do rozmywania, czyli wyostrzanie, zwane też defuzyfiacją (ang. defuzzification). Pozwala on na odwzorowanie zbiorów rozmytych w jedną ostrą wartość. Dla N zbiorów rozmytych B ostra wartość ý Y może zostać wyliczona różnymi metodami. Dwie z nich przedstawiono poniżej: Metoda środa ciężości (ang. center of gravity, COG) Jest to metoda, w tórej wyni otrzymujemy, wyznaczając środe ciężości ý funcji przynależności Metoda ostatniego masimum W tej metodzie liczbowa wartość po wyostrzeniu wybierana jest ze zbioru wartości argumentów funcji przynależności, dla tórych przyjmuje ona masymalne wartości. (y) 1 (ý) ( ) () y1y 1 y Rys.. Graficzne przedstawienie sensu ostatniego masimum w logice rozmytej W ten oto sposób na wyjściu ze sterownia rozmytego otrzymujemy oczeiwane rozwiązanie. Wyonanie przeształceń Przedstawiona powyżej srótowa teoria logii rozmytej została w pratyce użyta do oceny wielości wpływu parametrów petrofizycznych uzysanych w badaniach porozymetrycznych (tablica 1) na porowatość. Zgodnie z literaturą [1,, 3, ] pierwszą czynnością było zaprojetowanie postępowania i dobór danych. Pole symulacji stanowiły dane uzysane z oznaczeń porozymetrycznych i na ich podstawie zaproponowany został system walifiacji próbe salnych pod ątem ich właściwości zbiorniowych. Do obliczeń użyto danych, tóre w najwięszym stopniu wiążą się z jednym z istotnych dla charaterystyi sał parametrem, czyli z porowatością. Należą do nich: różnica gęstości szieletowej i objętościowej, średnica progowa, powierzchnia właściwa i histereza, rozumiana jao ilość rtęci, tóra nie została usunięta z próbi w procesie deompresji, przeliczona na całowitą ilość rtęci wtłoczonej i wyrażona w procentach. Kwalifiacja lingwistyczna Kolejny ro przed wyonaniem obliczeń to walifiacja lingwistyczna, czyli oreślenie granic podzbiorów lingwistycznych, tóre przyjęto arbitralnie. W tablicy 1 przedstawiono przypisane zaresy lingwistycznie scharateryzowanym wielościom. Tablica 1. Lingwistyczne zdefiniowanie wielości petrofizycznych Wielości Wyrażenia lingwistyczne Granice podzbiorów lingwistycznych gęstości [g/cm 3 ] mała średnia duża,,1;,,;,15, Średnica progowa [µm] mała średnia duża, 5,; 3, 15,; > 1, Powierzchnia właściwa [cm 3 /g] mała średnia duża, 1,;,,; > 1,5 Histereza [%] mała średnia duża.,; 1, 5,; > 35 mała średnia duża, 5,;, 1,; > Nafta-Gaz, nr / 39

4 NAFTA-GAZ Fuzyfiacja Przebieg procesów obliczeniowych zachodził zgodnie ze schematem przedstawionym na rysunu 1, w tórym pierwszym roiem jest proces rozmywania, czyli fuzyfiacji. Posługując się funcjami przynależności, na rysunu 5 przedstawiono przyładowo lingwistyczne rozmycie średnicy progowej, tórej wartość ostra wynosi μm. 1, 1,, Rys. 5. Rozmywanie średnicy progowej Zgodnie z t-normą uzysujemy stopień przynależności średnicy progowej: = min{μ A1 (x), μ A (x)} = x 1i /a 1, x i /a = =,/a 1,,/a =, (7) W wyniu rozmycia otrzymujemy stopnie przynależności do zbiorów rozmytych dla ostro zadanych średnic progowych. x Podobne postępowanie przeprowadzono dla różnicy gęstości ( gęstości). Rozmycie gęstości przedstawiono na rysunu. 1, 1,9, Rys.. Rozmywanie różnicy gęstości ( gęstości) Stopień przynależności zgodnie z t-normą to: = min{μ B1 (x), μ B (x)} = x 1 /b 1, x /b = =,/b 1,,5/b =,5 () Zgodnie z przedstawionymi powyżej regułami rozmywania doonano procesu rozmywania wprowadzanych wartości ostrych, stosując dobrane funcje przynależności i oreślając stopień przynależności za pomocą odpowiednich norm. Z pozostałymi zbiorami rozmytymi postępuje się w podobny sposób. x Wniosowanie Następny ro procesu (rysune 1) to wniosowanie typu: JEŻELI TO Wniosowanie przeprowadzono na zbiorach rozmytych stworzonych na bazie schematu podanego w tablicy. Poniżej przedstawiono przyład wyniania dla średnicy progowej x A i gęstości x B w odniesieniu do porowatości y: JEŻELI średnica progowa (x A ) mała i gęstości (x B ) mała, TO porowatość (y) mała i podobnie: JEŻELI x A mała i x B średnia, TO y mała JEŻELI x A średnia i x B mała, TO y mała JEŻELI x A duża i x B duża, TO y duża Wyorzystując wszystie możliwe permutacje tych wyrażeń i stosując na nich przedstawione wyżej reguły wniosowania, uzysujemy zbiór zwycięsich przesłane w postaci stopni przynależności µ(x A ) i µ(x B ). Stosując wybraną normę, w tym przypadu s-normę, otrzymujemy zwycięsi stopień przynależności: = max [μ A (x), μ B (x)] = max {,/a,,5/b} =,5 (9) Przedstawiono tu przyładowo bardzo uproszczony model postępowania na przyładzie trzech zbiorów ostrych: średnicy progowej, gęstości i porowatości. Wyostrzanie Proces defuzyfiacji zaprezentowano na rysunu 7. Polega on na onwertowaniu zbioru rozmytego, złożonego ze stopni przyporządowania, do dziedziny danych wyostrzonych. W przedstawionym przypadu µ(x) =,5 lingwistycznie przyporządowane jest do zbioru rozmytego porowatości (; 5), a w obliczeniach zastosowano metodę ostatniego masimum. W efecie przeształceń uzysano wyostrzoną wielość porowatości równą,5%. 1, 1,5,, Rys. 7. Graficzna ilustracja procesu wyostrzania porowatości x 39 Nafta-Gaz, nr /

5 artyuły Rezultaty Powyżej, na onretnym przyładzie, przedstawiono zasadę zastosowanej metody. Postępowano zgodnie z nią w wyonanym zadaniu. Wyorzystano tu wszystie zbiory ujęte w tablicy, tóre poddano omówionym wyżej regułom rozmywania i wniosowania. W onsewencji uzysano zbiór stopni przyporządowania dla ażdego pojedynczego zdarzenia. W procesie wyostrzania stopnie przyporządowania zostały przeonwertowane do rzeczywistej porowatości. Aby wyznaczyć wpływ danego parametru na porowatość, zastosowano metodę wyluczeń, tzn. oreślano, jai efet ońcowy osiągnie się, wyluczając ten parametr z testowanego zbioru. Wynii przedstawiono na olejnych rysunach. Linia niebiesa stanowi zbiór porowatości rzeczywistej, czerwona Typ zbioru Tablica. Wynii orelacji Rysune Współczynni orelacji Bez średnicy progowej, Bez powierzchni właściwej 9,57 Bez histerezy 1,53 Bez gęstości 11,3 Całość, wyliczonej. Współczynni orelacji wsazuje wielość wpływu danego parametru na porowatość. Wynii przedstawiono w postaci wyresów (rysuni ) i orelacji w tablicy Numer próbi Rys.. Baza danych wejściowych z wyluczeniem średnicy progowej 1 Numer próbi Rys. 9. Baza danych wejściowych z wyluczeniem powierzchni właściwej 1 1 Numer próbi Rys. 1. Baza danych wejściowych z wyluczeniem histerezy 1 1 Numer próbi Rys. 11. Baza danych wejściowych z wyluczeniem gęstości 1 1 Najlepszy wyni uzysano w przypadu zastosowania wszystich parametrów (rysune, współczynni orelacji,). Po wyluczeniu ze zbioru obliczeniowego danego parametru orelacja zmniejsza się (tablica ), najwięszy wpływ na porowatość ma różnica gęstości szieletowej i objętościowej oznaczona jao gęstości. Numer próbi Rys.. Pełna baza danych wejściowych Nafta-Gaz, nr / 391

6 NAFTA-GAZ Wniosi Z przedstawionych danych wynia, że wyonane symulacje metodą logii rozmytej dobrze odzwierciedlają rzeczywiste trendy, dając dobrą orelację z wyniami rzeczywistymi. Jednaże na rysunach można zauważyć zawyżenie danych w przypadu dużych wartości i zaniżenie w przypadu wartości średnich. Odchylenia wyniają ze zgrubnego dobrania lingwistycznych zbiorów oraz dość prostej formuły wyostrzania, czyli metody ostatniego masimum. Metoda logii rozmytej oazała się użyteczna, rzucając nowe światło na hierarchię wpływów parametrów przestrzeni porowej na porowatość, niemniej jedna wymaga dalszego dopracowania. Prosimy cytować jao: Nafta-Gaz, nr, s , DOI: 1.1/NG...1 Artyuł nadesłano do Redacji r. Zatwierdzono do druu 1.3. r. Literatura [1] Darła B., Kowalsa-Włodarczy M.: Próba zastosowania logii rozmytej do interpretacji parametrów petrofizycznych sał zbiorniowych. Nafta-Gaz 7, nr 5, s [] Darła B., Kowalsa-Włodarczy M.: Zastosowanie logii rozmytej w budowie modeli geologicznych. Nafta-Gaz 9, nr, s [3] Finol J., Jing X. D.: Permeability prediction in shaly formations: the fuzzy modeling approach. Geophysics, vol. 7, no. 3, s [] Finol J., Jing X. D.: Predicting Petrophysical parameters in a fuzzy environment. Soft computing for reservoir characterization and modeling. Physica-Verlag, vol., s [5] Flasińsi M.: Wstęp do sztucznej inteligencji. Warszawa, PWN, 11, s [] Kisielewicz A.: Sztuczna inteligencja i logia. Warszawa, WNT,, s. 9. [7] Łęsi J.: Systemy neuronowo-rozmyte. Warszawa, WNT,. [] Piegat A.: Fuzzy modeling and control. Springer-Heidelberg, 1, s [9] Piegat A.: Modelowanie i sterowanie rozmyte. Warszawa, Aademica Oficyna Wydawnicza EXIT, [1] Rutowsa D., Pilińsi M., Rutowsi L.: Sieci neuronowe, algorytmy genetyczne i systemy rozmyte. Warszawa, PWN, 1997, s. 5. [11] Zadeh L. A.: Fuzzy sets. Information and Control 195, vol., no. 3, s Mgr Barbara DARŁAK Starszy specjalista badawczo-techniczny w Załadzie Geologii i Geochemii. Instytut Nafty i Gazu Państwowy Instytut Badawczy ul. Lubicz 5 A Kraów barbara.darla@inig.pl Mgr inż. Małgorzata Kowalsa- Włodarczy Starszy specjalista badawczo-techniczny w Załadzie Geologii i Geochemii. Instytut Nafty i Gazu Państwowy Instytut Badawczy ul. Lubicz 5 A, Kraów wlodarczy@inig.pl 39 Nafta-Gaz, nr /