10. PODSTAWOWY MODEL POTOKU RUCHU PORÓWNANIE RÓŻNYCH MODELI (wg Ashton, 1966)

Transkrypt

1 1. Podstawowy model potou ruchu porównanie różnych modeli 1. PODSTAWOWY MODEL POTOKU RUCHU PORÓWNANIE RÓŻNYCH MODELI (wg Ashton, 1966) 1.1. Porównanie ształtu wyresów różnych unci modeli podstawowych Jednym z podstawowych problemów teorii potoów ruchu est teoretyczne rozważanie i doświadczalna weryiaca relaci poto-gęstość lub równanie stanu. Dlatego dale rozważamy, a podstawowy model ruchu może być wydeduowany z różnych teorii i aa to est orma graiczna w ażdym przypadu. Rozważmy napierw a model podstawowy może być otrzymany z rozważań mirosopowych, t. na podstawie rozważania przypadu dwóch szczególnych poazdów podążaących eden za drugim; to uż było opisane w rozdz. 9. Ktoś, to rozważa słania się do opinii, że są tu dwa rodzae następuących zachowań, edno dla gęstego, a drugie dla rzadiego ruchu. Z tego wyniaą dwie uncyne ormy modelu podstawowego z możliwością wyorzystania, ale bez sprecyzowanych ograniczeń na te strumienie tych zależności. Równania (9.9),(9.1) i (9.13), tóre wyniaą z tych teorii przytacza się eszcze raz dla wygody: c( 1 ), gdzie c est natężeniem ruchu (1.1) c ln ( ), gdzie c est prędością (1.) e c, gdzie c est odległością (1.3) Różniczuąc po i załadaąc d d, co dae wartość, dla tóre (max),t. optymalną wartość gęstości potou dla nawięsze przepustowości potou. Dla wzoru (1.) to est e, tzn. 37% zagęszczenia orowego. Optymalna prędość w tym przypadu est c. Dla wzoru (1.3) optymalne zagęszczenie est1 c a optymalna prędość e. c Rys.1.1. Wyres gęstość-natężenie dla modelu c( ) 1, dla, c 18 TPR1-45

2 1. Podstawowy model potou ruchu porównanie różnych modeli Rys.1.. Wyres gęstość-natężenie dla modelu c ln( ), dla, c Rys.1.3. Wyres gęstość-natężenie dla modelu c, e c, dla 1, Na Rys. 1.1 przedstawiony został wyres (1.1). Ja widać, wyres ten est nietypowy, nie spełniaący wszystich założeń granicznych, dla blisich zero. Wyresy przestawione w tym rozdziale pochodzą z różnych źródeł modelowych. Z tego względu, dla celów porównawczych przyęto następuące wartości parametrów: gęstość orowa [po/m], prędość swobodna 1 [m/h]. O przepustowości założono, że nie powinna być więsza od [po/h] oraz mniesza niż 15 [po/h], to znaczy: 15. Dla spełnienia ostatniego warunu dobierano odpowiednie wartości pozostałych parametrów. Gdy nie możliwa była taa normalizaca sali, wprowadzono dodatowy parametr sali d, a na Rys Wartości złożonych unci matematycznych obliczone zostały za pomocą programu EXCEL z paietu OFFICE i zaznaczone na wyresach dla wartości od do, ponieważ nie we wszystich modelach dopuszczalna est wartość. Na Rys. 1. przedstawiony został model (1.), tóry, a widać, ma typowy ształt. Również typowy ształt ma model (1.3), przedstawiony na Rys TPR1-46

3 1. Podstawowy model potou ruchu porównanie różnych modeli Rozważmy teraz a model podstawowy może być wyprowadzony z analogii płynów., różniczowanie dae: Jeżeli i i równanie: d d d + (1.4) d d c d wyraża hipotezę, że prędość ali szoowe w płynie ruchomym est stała. Podstawienie do (1.4) dae: d c, d a rozwiązaniem est: ( ) c ln. (1.5) Zauważmy, że to równanie, tóre było uzysane przez Greenberga (1959) est taie samo a równanie (1.). To będzie przedysutowane późnie. Sugerowane było dodanie dwóch esperymentalnych wzorów. Jeżeli założymy liniowy związe między średnią prędością a gęstością ao wyniaącą z technii regresi, to otrzymuemy: + 1, co prowadzi do wzoru: ( ) 1. (1.6) To równanie otrzymał Greenshields (1985). To est parabola i optymalna gęstość w tym przypadu est, tzn. połowa gęstości orowe. Rys. 1.4 z dodatowym parametrem sali d przedstawia model (1.6) Rys.1.4. Wyres gęstość-natężenie TPR1-47 dla modelu d ( 1 ), dla, 1, d 1 3.

4 1. Podstawowy model potou ruchu porównanie różnych modeli Inna orma, aą sugerowano est: 1 ( ) + ( ) 1. (1.7) A To edna wygląda trochę arbitralnie. Rys. 1.5 przedstawia model (1.7). Wyres z pozoru typowy est trochę nieregularny dla dużych gęstości Rys.1.5. Wyres gęstość-natężenie dla modelu, 1, A, 1. 1 ( ) 1 + ( ), dla A Rozważmy wreszcie a model podstawowy może być wyprowadzony ze stochastycznego podeścia. Załóżmy, za Haightem (1958), że ażdy poazd porusza się z prędością x, wtedy gdy est wolny od wpływów innych poazdów. Niech ta swobodna prędość ma rozład E x. Prędość x nie prawdopodobieństwa z uncą gęstości (x) i sończoną średnią będzie utrzymana przez cały czas, ta więc niech atualna średnia prędość będzie y, gdzie y y x y x,, normalizowana poprzez zastąpienie x, ; w rzeczywistości to est unca przez x, a y przez t y. Rozład x i y est trudny do oreślenia, ale można doonać pewne wiarygodne statystyczne założenia. Należy dodać tu do podstawowego uęcia, że <, gdzie 5 poazdów/m poedynczego pasa ruchu, eżeli przymiemy w przybliżeniu, że eden poazd ma długość 4 m. Dzisia Heidemann (1997) dla dróg niemiecich przymue. Rozład y musi spełniać trzy waruni brzegowe, że poazd porusza się z prędością y x y x,. swobodną, iedy nie ma ruchu I eszcze, że poazd może stanąć na chwilę: y( ),.Że ażdy poazd stoi w oru,. Zares x est < x <, stąd istnieąca masymalna średnia prędość a swobodna prędość rośnie, y musi spełniać: ( ) y, L, TPR1-48

5 gdzie 1. Podstawowy model potou ruchu porównanie różnych modeli L, L L est bezwymiarowe i. Innymi słowy unca gęstości prawdopodobieństwa musi być taa, że est zdeiniowana, L i musi mieć granicę zależną od ształtu unci gęstości prawdopodobieństwa w oreśloną w(, ) a. To est dobrze znana właściwość rozładu beta-pearsona typu I. Odpowiednia unca gęstości est: gdzie C est dane przez: ( ) a α i β są parametrami. Wartość oczeiwana y est dana przez: β α 1 Cy L y L 1, < y < L, 1 C B L L L β + α 1 ( α, β) L α Lβ 1 E y C y L y dx ( α, + 1 β) ( α, β) B L L B L L Lβ+ α Lβ+ α 1 α L β L + α (1.8) gdzie, gdy: L E( y), W gęstym ruchu i L. W ruchu regulowanym, gdy L, rozład Pearsona Typu I przeształca się w Typ III - rozład gamma. Jest to rozład x. Jego unca gęstości est: gdzie: C' β α Γ α, a α i β są granicznymi wartościami α i β. Wartość oczeiwana tego rozładu est: α β x x C' x e, < x < α β Γ α + 1 β x E( x) C' x e dx α β ( α + 1) Γ( α ) α β stąd: α β. Gdy obowiązue wzór (1.8), to problem oreślenia unci orm modelu podstawowego reduue się do problemu znalezienia średnie prędości niesończenie szybiego poazdu ao unci gęstości t. znalezienie ( ). To est możliwe, że α i β mogą zależeć od, ale to nie est niezbędne w przypadu gdy zbieżność L do zera w gęstości masymalne gwarantue, że ( ) ar ( ). Haight otrzymał dwie unce odpowiadaące wartościom granicznym: ( ). Po znormalizowaniu one przeształcaą się na następuące: L ln. Gdy wzór (1.8), to mamy: (i) i TPR1-49

6 dla pewnych α, β, i 1. Podstawowy model potou ruchu porównanie różnych modeli α ln( ) ( ) βln + α βln α ln( ) ( ) + α. (1.9) Rys. 1.6 przedstawia model (1.9) o typowym ształcie wyresu α ln Rys.1.6. Wyres gęstość-natężenie dla modelu β ln +, α, dla (ii) π L ( ).Gdy wzór (5.8), to mamy: ( ) ( ) αtπ βπ + ( α βπ ) dla pewnych α i β, a ( ) α π βπ + ( α βπ ) (1.1) Na Rys. 1.7 przedstawiono model (1.1) o typowym ształcie wyresu. TPR1-5

7 1. Podstawowy model potou ruchu porównanie różnych modeli Rys.1.7. Wyres gęstość-natężenie dla modelu, 1 α, 15 β 1,, ( ) α π, dla β π + ( α β π ) Rozważmy teraz rytycznie różne ormy podstawowego modelu ruchu dane powyższymi ośmioma wzorami. Żadna z tych orm nie była w pełni dowiedziona. Tylo dwa esperymentalne wzory: (1.6) i (1.7) i dwa wzory wyprowadzone z rozważań statystycznych: (1.9) i (1.1) spełniaą wszystie waruni brzegowe. Wzór (1.6) otrzymany został na podstawie założenia liniowego związu między i, co w pratyce est prawdziwe tylo w przybliżeniu. Wzór (1.) dae lepszą zgodność z doświadczeniami, ale nie spełnia wszystich warunów brzegowych. Zauważmy, że wzór (1.) uzysano z rozważań dwóch podążaących za sobą poazdów. W taim przypadu c est parametrem opisuącym wrażliwość na bodziec w modelu odwrotności odległości i to czasami est nazywane "charaterystyczną prędością". Wzór (1.5), z drugie strony otrzymano z rozważań marosopowych. Tuta c est optymalną prędością mierzoną esperymentalnie odniesioną dla wiele poazdów na drodze i a to było znalezione prędość rzędu 3 [m/h]. Fatem dosyć godnym uwagi est, że możliwy est związe prędości charaterystyczne z modelu mirosopowego z optymalną średnią prędością z modelu marosopowego. 1.. Zastosowanie teorii olee do modelu dopędzania (model Millera) Aż do tego miesca ten rozdział dotyczył zastosowania standardowe teorii olee do sytuaci ruchowych. Na zaończenie poświęćmy uwagę na prace Millera (1961, 196) o modelu dopędzania, w tórym poazdy podróżuą w losowych paietach lub oleach i łapią i wyprzedzaą inne paiety losową liczbę razy. W taim modelu prędości poazdów wychodzą z ednego ogólnego rozładu prawdopodobieństwa. Natychmiastowe zmiany prędości są załadane, oraz poazdy tratowane są ao punty, t. są niesończone odległości pomiędzy poazdami w olece. To nie est bardzo realistyczny model w tym stanie, ale zawarte są pewne propozyce orety. Załada się, że intensywność łapania olee est proporconalna do iloczynu gęstości i ich odpowiednich prędości. Miller wyprowadził uład równań stochastycznych. Rozważał on głównie stany staconarne, w tórych intensywność łapania było równe średnie intensywności TPR1-51

8 1. Podstawowy model potou ruchu porównanie różnych modeli wyprzedzania. Wolniesza olea w tym modelu może być tratowana ao punt obsługi w lasyczne teorii olee. Jeżeli est zdeiniowane ao gęstość olei poazdów, i 1 <, że część z porusza się ao poedyncze poazdy, może być wyprowadzone aprosymacyne równanie na zmianę gęstości w czasie t. Intensywność zmian, w tórych edna olea łapie inną est proporconalna w tym przypadu do wadratu gęstości stąd, eżeli ω est intensywnością dopędzania olee zawieraących więce niż eden poazd, to: d dt a + ω 1. Stała a może być wyprowadzona ao połowa średnie różnicy prędości, tóra est dodatnia. Załadaąc, że łapanie i dopędzanie ma osiągać statystyczną równowagę, to: 1 a 1. ω Jeżeli 1 1 w przybliżeniu wszystie poazdy podróżuą swobodnie, i stąd a ω może być użyte ao miara paietowania. Jeżeli ω est duże, to są małe paiety, eżeli est eszcze duże. Jeżeli ω est mniesze, to paietowanie ma mnieszą gęstość. Używaąc modeli Millera można było badać wiele problemów. Rozważaąc za powolnym poazdem można było oszacować wpływy przechodzące na cały poto. On eszcze zastosował teorię olee do problemu srzyżowań regulowanych o stałym cylu oraz rozładu czasu czeania pieszych chcących prześć przez drogę. Problem intensywności dopędzania est nierozłącznie powiązany z przepustowością drogi. W artyule Rallisa (1965) poazano, że wartości "bazowe" i "pratyczne" przepustowości dla różnych typów dróg, aie dae Highway Capacity Manual (Biuro Dróg Publicznych, Washington 197) są zależne od procentowych intensywności awarii, dopędzania lub utrzymania swobodne prędości. Na przyład, dla tuneli dróg szybich maących dwa pasy w ednym ierunu liczby dla bazowe i pratyczne przepustowości odpowiadaą 4% i % załóceniom dopędzania. To prawdopodobieństwo załócenia dopędzania, tóre odnosi się do wszystich zaętych pasów ruchu, może być obliczane ze wzoru Erlanga, tóry w oryginale był wyprowadzony dla ruchu teleonicznego. To est ta zwany wzór "strat" lub "odrzuceń" i atycznie pozwala zrozumieć poziom, do tórego ruch zależy od gęstości. Prawdopodobieństwo, że poazd ponosi opóźnienie est więsze niż prawdopodobieństwo załócenia dopędzania, ponieważ przyazdy aumuluą się i powoduą rozprzestrzenianie warunu. To prawdopodobieństwo ednaże est trudno oszacować, ponieważ wiele założeń est potrzebnych przed użyciem atualnych rezultatów numerycznych. Wzór "odrzucania est niezależny od rozładu ruchu na poszczególne pasy, Jednaże musi być zrobione założenie staconarności, aby pociągnąć za sobą aprosymace w pratycznych sytuacach. Jeżeli A est obciążeniem ruchowym n pasów ruchu wzór Erlanga, załadaąc Poissonowsie przybycia dae: R n n A r n A n! r r! Prawdopodobieństwo "odrzucenia" ( załócenia przy dwóch pasach) TPR1-5

9 1. Podstawowy model potou ruchu porównanie różnych modeli Wzór ten może być użyty do obliczania aiegoś n, A lub R n, eżeli dwa z nich są znane. Na przyład, eżeli n, to odpowiednie wartości R dla A,6; 1,; i 1, są: 1%, % i 5%. Obciążenie ruchowe ANT, gdzie N est średnią liczbą poazdów na ednostę czasu, a T est czasem spędzonym przez poazd na dystansie s, bezpiecznym dystansie pomiędzy dwoma poazdami. Prędość s T i gęstość NT s A s. Wielość R n może być użyta do ustalenia standardów proetowych. Na przyład, można tego użyć do oreślenia, czy droga wymaga dodania pasa ruchu czy nie. Dodanie ednego pasa ruchu zreduue liczbę użytowniów drogi przenoszących załócenia z NR n / edn. Czasu do NR n+1 / edn. Czasu. Pozwala to wziąć do rozważań eonomicznych liczbę N(R n - R n+1 ), tóra musi być porównana z pewną wotą naładu inwestycynego. Załóżmy dla przyładu, że rozważane est dostarczenie dla ogólne wielości ruchu 6 po. / h na drogę maącą eden pas w ażdym ierunu. Średnia prędość est 3 m / h i minimalny dystans 5 m. Pragniemy znaleźć procent poazdów, tóre nie mogą wyprzedzić i poprawa aa może być uzysana poprzez dodanie dodatowego pasa. W tym przypadu: N6, 3, dystans ednostowy s 1/ m, n Stąd: 6 1 A 3 1, R A 1 % lub 1 po./ h 1 + A + A 5 R 3 3 A , % lub 38 po./ h A + A + A To oznacza, że poprawa o 14,5% lub zmnieszenie o 6 po./ h, tóre nie mogą wyprzedzać. Ten sposób podeścia umożliwia oparcie pracy proetowe na raconalnych przesłanach. TPR1-53