Synteza dynamicznie stabilnego chodu dwupodporowego czteronożnego robota kroczącego Rozważania teoretyczne (1)

Transkrypt

1 Snteza namicznie stabilnego codu dwupodporowego czteronożnego robota roczącego ozważania teoretczne () Teresa ielińsa Maciej Trojnaci W znaczanie sił reacji podłoża wstępującc w czasie codu robotów roczącc jest zagadnieniem istotnm, o ile mam na celu preczjną sntezę (opracowwanie) wzorca codu, gdzie zadawane są nie tlo trajetorie rucu ońców nóg, ale też werfiowana jest prawidłowość postur nóg, zares i prędości rucu. Wszstie te cznnii wpłwają nie tlo na wartości momentów napędowc, jaie muszą bć rozwane, ale też deterują stabilność postur całego robota. Naturalnm oczeiwaniem jest, że nogi nie powinn się ślizgać, czli sił stczne do podłoża powinn bć odpowiednio ograniczone. agadnienie wznaczania sił reacji podłoża (cz też sił wwieranc przez nogi, co jest równoważne) od wielu lat supia uwagę badacz [, 3, 4, 6, 9,, ]. Niestet, nie istnieje jena ednoznaczna metoda rozwiązania tego zagadnienia. amnięte łańcuc inematczne, jaie tworzą nogi oraz podłoże sutują tm, że zagadnienie sterowania siłą wwieraną przez nogi znajduje wiele możliwc rozwiązań (co ma odzwierciedlenie w momentac napędowc). Nietórz badacze rozwiązując ten problem, przeładają zagadnienie obliczania sił na zadanie optmalizacji momentów napędowc [5]. Prz taim podejściu uwzględnia się waruni równowagi sił i momentów działającc na masznę, ale niestet zapoa się często o badaniu warunu uniania poślizgu. Warune ten oznacza uwzględnienie ograniczonego stosunu wartości sił stcznc rozwanc przez nogę do sił normalnej. W przeciwstawnm postawieniu zagadnienia uwzględniane są waruni ograniczenia poślizgu, ale nie ma optmalizacji momentów napędowc [4, 9, ]. Jeszcze inni badacze modelują zjawiso ontatu nogi i podłoża, przjmując np. cec sprężste gruntu [6]. ozwiązania uzsane tmi różnmi metodami są formalnie poprawne i aceptowane w pracac nauowc. ozpatrując aspet apliacjn, należ podać ic wa. Po pierwsze rozwiązania imalizujące moment napędowe mogą sutować uderzeniami nogi o podłoże oraz soowmi wartościami sił, bowiem nie nałada się tu ograniczeń na cara- Pomiar Automata obota /7 Przedstawiono metodę wznaczania sił reacji podłoża działającc na nogi robota. Dla dwupodporowego codu diagonalnego robota czteronożnego rozwiązano zagadnienie równowagi sił i momentów, sprawdziwsz warune uniania poślizgu. Podano warune utrzmania stabilnej postur z uwzględnieniem prac elementów sprężstc zamocowanc w stopac. tersti sił. Po drugie, rozwiązania uwzględniające jenie warune uniania poślizgu pozwalają supić się na ształcie wresów sił w funcji czasu, ale często prowadzą do otrzmania zerowc wartości sił stcznc do podłoża, co nie jest obserwowane np. w czasie codu człowiea cz owadów. Tai wnest rezultatem uproszczeń modelu namii i nie wdaje się realistczn. Po trzecie, rozwiązania worzstujące model podłoża, pomimo pozornej preczjności modelu, nie mają jedna znaczenia uniwersalności, bowiem podłoże jest niejednorodne i nawet na jednej nieutwardzonej ścieżce ażda noga może napotać istotnie różne waruni podparcia. Najwięcej prac z zaresu analiz sił dotcz stabilnego statcznie codu trójpodporowego w masznac cztero- lub sześcionożnc [, 4, 5, 9, ]. Diagonaln cód dwupodporow (par nóg leżące po przeątnej orpusu poruszają się jednocześnie), gdzie istotna jest stabilizacja postur z uwzględnieniem sił bezwładności nie bł badan. Tai cód umożliwia osiągnięcie najwięszc prędości rucu w masznac wielonożnc, bowiem zmniejszenie liczb podpierającc nóg prz taic samc ograniczeniac prędości napędów pozwala zwięszć prędość rucu robota. Wstępowanie faz dwupodporowc jest też tpowe dla codu człowiea. W niniejszej prac przedstawiam metodę wznaczania sił wwieranc na nogi robota, bazując m.in. na wcześniejszc publiacjac [7, 8] dotczącc sntez rucu robota. W odróżnieniu od więszości badacz, pomam uproszczenia w modelu robota, uwzględniając sił bezwładności. ozwiązujem zagadnienie równowagi sił i momentów, sprawdzając warune uniania poślizgu. Przedstawione wnii badań został zwerfiowane w rucu dwupodporowm czteronożnego robota roczącego. Stabilność namiczna codu dwupodporowego Waruni równowagi prof. dr inż. Teresa ielińsa, Politecnia Warszawsa, dr inż. Maciej Trojnaci, Politecnia zeszowsa aładam, że robot utrzmuje posturę stabilną i nie następuje jego obrót względem nierucomego uładu odniesienia OXY rs.. Moment sił działającc na robota względem tego uładu odniesienia wnosi: 5

2 Pomiar Automata obota /7 r ( + ) + + m r g r m r g ME r m( r + g) + ME T () gdzie: i numer członu robota w ramac danej nogi (i... 5), j numer nogi (j... 4), m masa orpusu, m masa puntowa członu i należącego do nog, r wetor wsazując środe mas orpusu, r wetor wsazując punt o masie m (środe mas członu ), g wetor grawitacji g [,, g] T, m masa całowita robota, M E moment zewnętrzn działając na uład maszn. s.. ozład mas robota i działające sił, OXY nierucom uład odniesienia, z uład związan z orpusem robota Prz brau obrotów robota względem osi uładu OXY, powinien działać moment pocodząc od sił reacji stóp robota o wartości równoważącej moment T: ( r F) T () gdzie: numer podpierającej nogi, F siła reacji działająca na tę nogę, r wetor wsazując punt przłożenia sił F. Sił reacji podłoża muszą równoważć wszstie działające sił, o ile robot ma się nie przewracać: F m ( r + g)+ m r + g FE m( r + g) F (3) E gdzie: F E sił zewnętrzne działające na robota. Wstawiając równanie () do równania () otrzmuje się: ( r F) r m ( r + g)+ + r m ( r + g) M E (4) r ( ṙ + g) M m E Dla maszn roczącej, poruszającej się codem dwupodporowm, nieznane są dwa wetor sił reacji podłoża dla dwóc podpierającc nóg. Sił te wznaczam worzstując równania wetorowe (3) i (4). Liczba równań odpowiada liczbie niewiadomc. Uwzględnienie powierzcni stóp Wiele badawczc wielonożnc robotów roczącc ma niewielie stop wte założenie o puntowm ontacie nogi i podłoża jest dobrm przbliżeniem. Niewiela powierzcnia stóp nie jest jedna dobrm rozwiązaniem, o ile rozważam cód w naturalnm terenie, gdzie rozłożenie sił wwieranej przez stopę na więszej powierzcni zmniejsza zapadanie się stóp. Należ też dodać, że robot dwunożne, z wjątiem robotów saczącc, nig nie mają małc stóp. W dalszej części prac poażem i przeanalizujem wnii obliczeń sił uzsane dla onretnego robota czteronożnego, tórego stop zawierają sprężn. Badanie stabilności namicznej codu dwupodporowego Środe mas robota Współrzędne środa mas robota () w uładzie z wznaczam z zależności: z gdzie: i... 5, j m m mz + m m + m m + mz m (5a) (5b) (5c) s.. ozład mas robota s. 3. Pozcja startowa robota 6

3 Pomiar Automata obota /7 W tm celu mas rozłożone członów robota przbliżam masami supionmi w puntac. ozład tc mas poazaliśm na rs., podając wmiar w milimetrac. W przpadu 5. członu stop robota do obliczeń przjmujem położenie jego środa mas odpowiadające masmalnemu ugięciu sprężn. aładam, że osie nierucomego uładu odniesienia OXY, związanego z podłożem, porwają się w pozcji startowej z osiami uładu uładu związanego z orpusem rs. 3. Przez pozcję startową rozumiem tutaj pozcję, w tórej orpus jest podniesion do noalnej wsoości H, m, a osie obrotu stóp są przesunięte do przodu lub tłu względem osi obrotu nóg o,5 m. Przjmujem, że na robota nie działają dodatowe sił i moment zewnętrzne (M E, F E ), co jest stuacją tpową. Waruni równowagi postur ównania równowagi inetostatcznej robota będziem opiswać w uładzie z związanm z orpusem robota. Możem przedstawić je w postaci: [ ] T F m( r + g) GX, GY, G (6a) T ( r F) r m( r + g) [ MX, MY, M] (6b) Wprowadzam następujące oznaczenia: s, s to indes podpierającc nóg, czli {s, s}. W rozważanm codzie dwupodporowm: s, s 4 (w przpadu podparcia nogami i 4), albo s, s 3 (dla podparcia nogami i 3). Na podstawie równań (6) otrzmujem równanie macierzowe Af b (7) gdzie: A zs s zs s z z s s s s s s s s f Xs Ys s Xs Ys s GX G Y G b MX M Y M Xs, Ys, s, Xs, Ys, s są szuanmi sładowmi sił reacji podłoża, I z jest masowm momentem bezwładności orpusu oreślonm względem osi z, a.. g przspieszeniem ątowm związanm z obrotem orpusu. Jedna prz taim ujęciu problemati rozładu sił reacji w przpadu ogólnm macierz A jest osobliwa (det(a), ran(a) 5). Wnia to z fatu, że nie jest możliwe spełnienie równań równowagi inetostatcznej prz poięciu stóp, tóre ompensują pojawiające się moment przeclające/poclające robota, a w przpadu pojawienia się sił bezwładności G X i G Y, punt przłożenia sił reacji podłoża są przesunięte względem osi obrotu stóp. Punt środow nacisu () Sładowe normalne sił reacji podłoża możem wznaczć, orzstając m.in. ze znajomości położenia puntu środowego nacisu (centre of pressure). Punt powinien znajdować się we wnętrzu figur obrsowującej punt podparcia (rs. 4). Położenie tego puntu możem wznaczć na podstawie znanc sił: ciężości i bezwładności działającc na środe mas robota, pomając dodatowe moment pocodzące od sił zewnętrznc. Mianowicie, w stanie równowagi inetostatcznej suma sił ciężości, bezwładności i sił reacji będzie równa zeru, a linia działania wpadowej sił G pocodzącej od sił: ciężości i bezwładności, działającc na środe mas robota, powinna przecinać punt. s. 4. Ilustracja puntu środowego nacisu () i sił działającc na robota olei sił reacji stóp robota możem zastąpić jedną siłą wpadową, tórą możem zaczepić również w puncie będzie ona miała wartość równą sile wpadowej G, ale zwrot (zna) przeciwn. aładam, że z z s z s -H, gż przjęliśm, że robot porusza się po poziomej płaszczźnie, nie ulegając prz tm przecleniu i pocleniu. Pomiędz sładowmi sił G X i G Y, a sładową G oraz pomiędz odległościami puntów i na ierunac osi i, a na ierunu osi z zacodzą następujące proporcje (rs. 4): GX GY (8) H+ z G H+ z G stąd, współrzędne puntu oreślam z równań: GX G H z + + GY G H z + + (9) 7

4 Pomiar Automata obota /7 Dodatowo możem zauważć, że z równowagi momentów pocodzącc od wszstic sił względem osi i równoległc do osi i oraz przecodzącc przez punt wniają następujące równania: s ( s )+ s( s ) (a) ( )+ ( ) (b) s s s s stąd, współrzędne puntu spełniają równania: Punt stczności + + s s s s s s + + s s s s s s (a) (b) Ponieważ punt przłożenia sił reacji, w przpadu ogólnm, są oddalone od osi obrotu stóp o nieznane wielości s, s, s i s, więc możem napisać, że: s Bs + s s Bs + s (a), + i + (b) s Bs s s Bs s gdzie Bs, Bs, Bs i Bs są znanmi współrzędnmi puntów B s i B s nóg robota. Na tej podstawie zapisujem następujące równania: s s ( Bs+ s) ( Bs + s) s s ( Bs + s ) ( Bs + s) tgd a (3a) a + b a + b a + b (3b) s s s s gdzie wielości: a, b, d oznaczają odpowiednio: współcznnii ierunowe prostej, na tórej znajdują się punt stczności oraz ąt naclenia tej prostej. Należ zauważć, że dla znanc wartości sładowc sił reacji s i s oraz współrzędnc z s i z s istnieje niesończenie wiele rozwiązań wartości sładowc sił reacji Xs, Ys, Xs i Ys oraz współrzędnc s, s, s i s. Możem wznaczć jenie zbiór rozwiązań, np. załadając wartości wbranc wielości w zadanm przedziale. Moment w puntac zamocowania stóp nając wsoość stop ( {s, s}) i sił reacji podłoża dla podpartc nóg robota, możem wznaczć sładowe momentów działające na stop robota w puntac B (rs. 5). Na rs. 5 zaznaczono sładowe sił reacji w puncie B ( {s, s}) dla 3. członu nogi (goleni) oraz sił reacji podłoża. Wiadomo, że pomiędz tmi sładowmi sił zacodzą związi: X BX, Y BY, B +(m 4 +m 5 )g (4) olei wartości paswnc momentów przeclającc i poclającc działającc w puntac B zamocowania stóp możem oreślić z zależności (rs. 5): M BX Y + (5a) M BY X (5b) pomając wstępowanie sił tarcia w połączeniu rucomm stop i golenia. ozład sił reacji podłoża Worzstując uład równań: Xs + Xs G, Ys + Ys G Y, (6a) Xs s Xs s + Ys s + Ys s M z (6b) wznaczam zbiór rozwiązań, np. szuając sładowe Xs, Xs i Ys sił reacji podłoża i tratując sładową Yj jao parametr. W wniu rozwiązania otrzmujem: Xs Xs ( )+ G G + M Ys s s X s Y s s s ( )+ G G + M Ys s s X s Y s s s (7a) G (7c) Ys Ys Y Natomiast orzstając z równań (a), (5b) oraz Xs + Xs G (8a) s + s G (8b) Xs (z s z s ) s ( s s ) M Y (7b) (8c) s. 5. Ilustracja sił działającc na stopę robota 8

5 Pomiar Automata obota /7 możem wznaczć: s s G + G X Bs Bs Bs G + G X Bs Bs Bs (9a) (9b) s s ( Bs )+ s( Bs) s s GX G s X (c) Podstawiając GX s s (3) s s Xs Xs G ( ) G z z z z X s s s G ( ) G z z z z X s s s G GX zs z Bs Bs ( ) ( ) ( ) G ( )+ G ( z z ) Bs X s s G GX zs z Bs Bs ( ) ( ) ( ) G ( )+ G ( z z ) Bs X s s (9d) (9e) (9f) jednaże równania (9c-f) nie nadają się do smulacji omputerowej, gż w tpowm przpadu z s z s uzsane rozwiązanie jest osobliwe. Możem jedna wznaczć zbiór rozwiązań, tratując jedną z niewiadomc, np. s jao parametr. ozład sił reacji podłoża w rucu postępowm orpusu robota W przpadu rucu postępowego orpusu robota możem przjąć założenie upraszczające, że: s s s () czli że ieruni przesunięcia puntów stczności są taie same dla obu nóg. Następnie orzstając z równań (b), (5b), () oraz Xs + Xs G () wznaczam: s G X s s s Xs s Xs s s GX s s (9c) (a) (a) do zbioru rozwiązań, otrzmujem ostatecznie rozwiązanie w postaci: G X s( Bs )+ s( Bs) s s s s GX s s Xs G X s ( )+ (4a) s Bs s Bs Xs G X s (4b) Uzsane w ten sposób rozwiązanie jest jednm z możliwc. Następnie z równań: + G Ys Ys Y + + M Xs s Xs s Ys s Ys s (5b) wznaczam braujące sładowe Ys i Ys sił reacji podłoża w postaci: Ys Ys + + G M Xs s Xs s Y s s s + + G M Xs s Xs s Y s s s (6b) ozład sił reacji podłoża w rucu obrotowm orpusu robota Dla rucu obrotowego orpusu robota przewidujem, że rozład sładowc stcznc sił reacji (leżącc w płaszczźnie podparcia) będzie mieć postać poazaną na rs. 6, a sił G X i G Y będą równe zeru, gż nogi robota będą przemieszczać się smetrcznie względem środa geometrcznego orpusu. W tm przpadu, przjmując olejne założenie upraszczające, że d s d s, co jest równoważne z przjęciem również założenia, że d s d s i orzstając z równań (), () i (3), otrzmujem rozwiązanie na a, b, s, s, s i s w postaci: a Bs Bs Bs Bs (5a) (6a) ( Bs Bs) ( Bs Bs) b Bs Bs (7) s ( )+ ( ) G s Bs s Bs s X (b) ( )+ s + s s Bs s Bs s s (8a) 9

6 Pomiar Automata obota /7 s ( Bs )+ s( Bs) s s (8b) s + s Uzsane w ten sposób rozwiązanie jest jednm z możliwc rozwiązań, pozwalającm znaleźć szuane odległości i współcznnii ierunowe prostej łączącej punt podparcia. Dla znanc już wartości d s, d s, d s i d s wznaczam współrzędne s, s, s i s orzstając z równań (). Mając wznaczone sładowe sił reacji podłoża oraz znając położenie puntów stczności możem na podstawie równania (5a) oreślić wartość momentu M BX ( {s, s}), tór jest przenoszon przez onstrucję stóp. Sił w sprężnac W stopac robota znajdują się włącznii cwilowe ze sprężnami, możem więc uwzględnić zmianę reacji pionowej prz przejściu z faz przenoszenia do faz podporowej i na odwrót. ależność pomiędz deformacją sprężn a działającą siłą zapisujem jao: (3) s. 6. ozład sładowc stcznc sił reacji podłoża w tracie obrotu orpusu robota rs. 6 wnia, że pomiędz sładowmi X oraz Y ( {s, s}) zacodzą zależności: X Y (9) Korzstając z równań (7) i z zależności (9) oraz załadając G X, G Y, możem w sposób jednoznaczn oreślić sładowe stczne sił reacji podłoża jao: Xs Xs Ys Ys M s + ( ) s s s s s s M s + ( ) s s s s s s M s + ( ) s s s s s s M s + ( ) s s s s s s (3a) (3b) (3c) (3d) Wstępując w równaniac (3) moment M będzie związan m.in. z masowm momentem bezwładności oreślonm względem osi z i przspieszeniem ątowm wstępującm prz obrocie orpusu. Uzsane w wniu rozwiązania odległości s, i s oraz sładowe sił reacji Xs i Xs nie spełniają równania (5b), jednaże z uwagi na małe wartości sładowc stcznc sił reacji podłoża i fat poięcia sił tarcia w połączeniu rucomm stóp robota z goleniami, rozwiązanie to jest wstarczająco doładne do celów pratcznc. prz czm stała sprężn S» N/m, j numer nogi robota, j siła przenoszona przez sprężnę, j atualna wsoość stop,, ma imalna i masmalna wsoość stop. aładam, że dana stopa robota znajduje się w fazie podparcia, jeżeli deformacja sprężn jest masmalna (włącznest zwart), czleżeli: j S ( fma f ) 3 N (3) W przpadu, g dana noga jest przenoszona, ale sta się z podłożem, możem z zależności (3) obliczć dla niej siłę reacji w sprężnie, a następnie uwzględnić tę siłę prz oreślaniu sił reacji dla nóg będącc w fazie podparcia. Możem zatem rozszerzć wetor b w równaniu (7) o sił reacji nóg będącc w fazie przenoszenia. Wsoości stóp dla przenoszonc nóg robota obliczm z zależności: l ma dla H+ zbl ma H+ zbl dla < H+ zbl < dla H+ zbl ma (33) gdzie: l numer przenoszonej nogi. Oznaczam indes nóg będącc w fazie przenoszenia jao t i t, czli l {t, t}. W analizowanm przpadu codu diagonalnego t, t 4, g przenoszone są nogi i 4 lub t, t 3, jeżeli przenoszone są nogi i 3. Wartości sił w sprężnac wznaczam na podstawie zależności (3) i znanc wsoości stóp: S ( ma ) (34) Pomając sładowe stczne, sładowe normalne sił reacji podłoża dla przenoszonc nóg, ale stającc się z podłożem, obliczm jao: + m 5 g (35)

7 Pomiar Automata obota /7 nając wartości sił w sprężnac stczniów umieszczonc w stopac, oreślim taże, cz w danej cwili czasu odpowiedni stcznest zwart cz rozwart. Mianowicie, stczni będzie zwart, jeżeli siła w sprężnie będzie więsza lub równa, zgodnie z zależnością (3). Praca bła finansowana przez Uczelnian Program Badawcz Politecnii Warszawsiej Heterogeniczna sieć współpracującc robotów mobilnc. Bibliografia. Albiez J.C., Lusc T., Berns K., Dillmann.: eactive refle-based control for a four-legged waling macine, obotics and Autonomous Sstems 44 (3), Gardner J.F.: Efficient computation of force distribution for waling macines on roug terrain, obotica (5) (99) Klein C.A, Kittivatcarapong S.: Optimal force distribution for te legs of a waling macine wit friction cone constraints, IEEE Transactions on obotics and Automation 6 () (99) Martins-Filo L.S., Prajou.: Locomotion control of a four-legged robot embedding real-time reasoning in te force distribution, obotics and Autonomous Sstems 3 (), Pfeiffer F., Eltze J., Weidemann H.J.: Si-legged Waling Considering Biological Principles, obotics and Autonomous Sstems 995, vol. 4, Taemura H., Deguci M., Ueda J., Matsumoto Y., Ogasawara T.: Slip-adaptive wal of quadruped robot, obotics and Autonomous Sstems 53 (5), Trojnaci M.: Opis rucu czteronożnego robota roczącego, eszt Nauowe Politecnii zeszowsiej, Nr, zeszów 5, Trojnaci M.: Te modeling, programg and computer simulation of motion for a four-legged robot, Projetowanie Mecatroniczne, Praca zbior. pod red. T. Ula, Wdawnictwo Katedr oboti i Dnamii Maszn AGH, Kraów 6, ou D., Low K.H., ielińsa T.: An efficient foot-force distribution algoritm for quadruped waling robots, obotica () vol. 8, ielińsa T.: Maszn roczące, PWN, Warszawa 3.. ielińsa T., Heng J.: Development of a waling macine: mecanical design and control problems, Mecatronics (), ielińsa T., Trojnaci M.: Czteronożn robot rocząc: analiza rucu z uwzględnieniem interacji nóg z podłożem, Pomiar Automata obota /7.