Zginanie belek o przekroju prostokątnym i dwuteowym naprężenia normalne i styczne, projektowanie 8

Transkrypt

1 Zinanie belek o przekroju prostokątnm i dwuteowm naprężenia normalne i stczne, projektowanie 8 Na rs. 8.1 przedstawiono belkę obciążoną momentami zinającmi w płaszczźnie x. oment nąceo dla tak obciążonej belki jest dodatki, zodnie z konwencją przjętą w rozdziale 6. Rs. 8.1 Naprężenia normalne wwołane momentem nącm będziem określać na podstawie zależności: dzie: moment nąc, (8.1) W wskaźnik wtrzmałości przekroju na zinanie, równ: W I W (8.) z dzie: I moment bezwładności przekroju poprzeczneo belki wzlędem centralnej osi bezwładności (rs. 8.), z odlełość od osi (rs. 8.). Rs. 8.

2 8. Wtrzmałość materiałów Rozkład naprężeń normalnc jest liniow na rubości przekroju belki, a maksmalne wartości wstępują w skrajnc włóknac. W przpadku przekrojów smetrcznc, np. prostokątn lub dwuteow, wielkość z jest równa połowie wsokości przekroju, a naprężenia w órnej i dolnej części przekroju są sobie równe co do wartości, lecz mają przeciwne znaki (rs. 8.). Rs. 8. Projektując belkę z warunku nośności sprawdzam, cz maksmalne naprężenia wwołane momentem nącm nie przekraczają naprężeń dopuszczalnc na zinanie. Warunek nośności możem zapisać w postaci: k k (8.) Naprężenia stczne wwołane siłą tnącą wznaczam w oparciu o wzór Żurawskieo: T S I b(z) (8.) dzie: T siła tnąca, S moment statczn wzlędem centralnej osi bezwładności, części przekroju poprzeczneo, odciętej linią przecodzącą przez punkt dla któreo wznaczam naprężenia stczne (rs. 8.), I moment bezwładności przekroju poprzeczneo belki wzlędem centralnej osi bezwładności, b (z) szerokość przekroju poprzeczneo na poziomie punktu, dla któreo wznaczam naprężenia stczne (rs. 8.). Na rs. 8. przedstawiono przekrój prostokątn o wmiarac. Prosta przecodząca przez punkt odcina część przekroju poprzeczneo o polu A b z i współrzędnej środka mas (punkt D): z D 1 z oment statczn odciętej części przekroju S A z D b z 1 z b S jest zatem równ: b z A równm:

3 Zinanie belek o przekroju prostokątnm i dwuteowm naprężenia normalne i stczne, projektowanie 8. Rs. 8. Szerokość przekroju poprzeczneo b ( z ) na poziomie punktu, dla któreo wznaczam naprężenia stczne jest równa b i jest stała dla przekroju prostokątneo. Z uwai na fakt, iż wartość sił tnącej T w rozpatrwanm przekroju jest stała, podobnie jak centraln moment bezwładności I i szerokość przekroju poprzeczneo b, wartość naprężeń stcznc będzie zależeć jednie od odlełości z od centralnej osi bezwładności. Po podstawieniu wznaczonc wielkości do zależności (8.) otrzmam oóln wzór na naprężenia stczne dla przekroju prostokątneo: b T b 1 z b 6T b z (8.5) W skrajnc warstwac przekroju poprzeczneo, dla z / otrzmam: z 6T 0 Z kolei w warstwie leżącej na poziomie środka mas przekroju poprzeczneo C, dla z 0 uzskam: 6T T ( z 0) 0 Wniosek końcow jest zatem następując naprężenia stczne osiąają maksmalne wartości w warstwie leżącej na poziomie środka mas przekroju oraz wartości zerowe w skrajnc warstwac. Rozkład naprężeń na rubości przekroju jest opisan parabolą (8.5), co przedstawiono na rs Rs. 8.5

4 8. Wtrzmałość materiałów Zadanie 8.1. elka o przekroju prostokątnm jest obciążona jak na rs Zaprojektować belkę z warunku nośności. Dane: P kn, l 00 mm, k 180 Pa, b. Rs. 8.6 Rozwiązanie Sporządzam wkres momentów nącc i sił tnącc (rs. 8.7). aksmaln moment nąc wstępuje w połowie dłuości belki, a jeo wartość wnosi: 1 Rs. 8.7 Centraln moment bezwładności I przekroju poprzeczneo prostokąta (rs. 8.8) jest równ: I 1 a wskaźnik wtrzmałości na zinanie: I I W z / 1 6 Rs. 8.8 Podstawiając b otrzmam: b W 6 6 1

5 Zinanie belek o przekroju prostokątnm i dwuteowm naprężenia normalne i stczne, projektowanie 8.5 Warunek nośności ma zatem postać: W 1 1 Wkonując kolejne przekształcenia, wznaczam minimalną wsokość belki: k k Po podstawieniu wartości liczbowc otrzmujem: k 18,8 mm Przjmujem wmiar przekroju poprzeczneo belki: 19 mm b 57 mm aksmalne naprężenia normalne wwołane momentem nącm są równe: ,95 Pa (19) Wkres naprężeń normalnc przedstawiono na rs Rs. 8.9 Wartość sił tnącej T w rozpatrwanm przekroju jest równa P /. Naprężenia stczne wznaczm z wprowadzonej oólnej zależności na naprężenia stczne w przekroju prostokątnm (8.5): 6T W skrajnc warstwac naprężenia stczne są równe zeru, natomiast maksmalne wartości wstąpią w warstwie przecodzącej przez środek mas ( z 0 ): ( z 0) T P z 000,770 Pa Wkres naprężeń stcznc przedstawiono na rs Rs. 8.10

6 8.6 Wtrzmałość materiałów Zadanie 8.. elka o przekroju prostokątnm jest obciążona jak na rs Zaprojektować belkę z warunku nośności. Dane: P kn, l 00 mm, k 180 Pa, b. Rs Rozwiązanie Wkres momentów nącc i sił tnącc są analoiczne jak w zadaniu 8.1 (rs. 8.7). aksmaln moment nąc wstępuje w połowie dłuości belki, a jeo wartość wnosi: 1 Centraln moment bezwładności I przekroju poprzeczneo prostokąta (rs. 8.1) jest równ: I 1 a wskaźnik wtrzmałości na zinanie: I I W z / 1 6 Podstawiając b otrzmam: W 6 Warunek nośności ma zatem postać: W Rs. 8.1 b (b) 6 1 b b b Wkonując kolejne przekształcenia, wznaczam minimalną wsokość belki: b b k k k

7 Zinanie belek o przekroju prostokątnm i dwuteowm naprężenia normalne i stczne, projektowanie 8.7 Po podstawieniu wartości liczbowc otrzmujem: b ,05 mm Przjmujem wmiar przekroju poprzeczneo belki: b 1 mm b mm aksmalne naprężenia normalne wwołane momentem nącm są równe: b ,77 Pa (1) Wkres naprężeń normalnc przedstawiono na rs Rs. 8.1 Naprężenia stczne wznaczm analoicznie jak w zadaniu 8.1: 6T z W skrajnc warstwac naprężenia stczne są równe zeru, natomiast maksmalne wartości wstąpią w warstwie przecodzącej przez środek mas ( z 0 ): ( z 0) T P Wkres naprężeń stcznc przedstawiono na rs , 10 Pa Rs. 8.1

8 8.8 Wtrzmałość materiałów Zadanie 8.. elka wspornikowa o przekroju dwuteowm jest obciążona jak na rs Zaprojektować belkę z warunku nośności. Dane: P 6 kn, l 00 mm, k 180 Pa. Rs Rozwiązanie Sporządzam wkres momentów nącc i sił tnącc (rs. 8.16). aksmaln moment nąc wstępuje w miejscu utwierdzenia, a jeo wartość wnosi: Rs Centraln moment bezwładności I przekroju dwuteoweo (rs. 8.17) jest równ: I 6a a 6a a a 7 a 6a a (6a) 1 18a a wskaźnik wtrzmałości na zinanie: I I 18a W 6a z a a Warunek nośności ma zatem postać: Rs W 6a Wkonując kolejne przekształcenia, wznaczam minimalną wielkość parametru a: k k a a 6 6 k

9 Zinanie belek o przekroju prostokątnm i dwuteowm naprężenia normalne i stczne, projektowanie 8.9 Po podstawieniu wartości liczbowc otrzmujem: a ,6 mm Przjmujem a 7 mm. aksmalne naprężenia normalne wwołane momentem nącm są równe: 6a , 111 Pa 6 (7) Wkres naprężeń normalnc przedstawiono na rs Rs Wartość sił tnącej T w rozpatrwanm przekroju jest równa P. Naprężenia stczne wznaczm ze wzoru Żurawskieo (8.). Rozpatrwan przekrój jest smetrczn, w związku z czm rozpatrzm jednie órną połowę przekroju. Wznaczanie naprężeń stcznc rozpoczniem od dolnej półki dwuteownika (rs. 8.19), dzie a z a. Rs Naprężenia stczne w skrajnej warstwie ( A 0 z a ) są równe zeru. oment statczn wzlędem centralnej osi bezwładności, części przekroju poprzeczneo odciętej linią przecodzącą przez punkt i D, jest równ: S S D 7 ( 6a a) a 1a Szerokość przekroju powżej linii przecodzącej przez punkt jest równa b( z) 6a.

10 8.10 Wtrzmałość materiałów Po podstawieniu do zależności (8.) otrzmujem: T S P 1a I b z) 18a 6a ( P a (7),9 Pa Szerokość przekroju poniżej linii przecodzącej przez punkt D jest równa b( z) a. Naprężenia stczne są więc równe: D D T S P 1a I b z ) 18a a ( P a ,987 Pa (7) W kolejnm kroku wznaczm naprężenia stczne w środniku (rs. 8.0), dzie a z 0. Rs. 8.0 oment statczn wzlędem centralnej osi bezwładności, części przekroju poprzeczneo odciętej linią przecodzącą przez środek mas przekroju C, jest równ: C S 7 ( 6a a) a (a a) a 1a 9a 0a Szerokość przekroju środnika jest stała i wnosi b( z) a. Naprężenia stczne w warstwie przecodzącej przez środek mas przekroju C są więc równe: C C T S P 0a I b z) 18a a ( Wkres naprężeń stcznc przedstawiono na rs P a ,98 Pa (7) Rs. 8.1