Metody numeryczne. Wykład nr 2. dr hab. Piotr Fronczak

Transkrypt

1 Metod numerczne Wład nr dr hab. Piotr Froncza

2 Przbliżone rozwiązwanie równań nieliniowch Jedno równanie z jedną niewiadomą Szuam pierwiastów rzeczwistch równania =. zwle jest uncją nieliniową zatem orzstam z metod iteracjnch poprawianie olejnch przbliżeń pierwiastów

3 Władni zbieżności Oreśla szbość zbieżności metod iteracjnch Metoda jest rzędu p jeżeli istnieje stała c taa że dla dwóch olejnch przbliżeń i + zachodzi lim p c gdzie = + -. Przpadi specjalne p= metoda liniowa p> & p< metoda superliniowa p= metoda wadratowa p=3 metoda ubiczna linowa z C = - linowa z C = - superliniowa wadratowa

4 Kroi podstawowe. Przeanalizuj problem pod ątem = cos - złożoności badanej uncji doładności rozwiązań szbości obliczeń. Jeśli to możliwe narsuj uncję 3. Oceń problem np. rozbieżność uncji 4. Wbierz rozwiązanie początowe

5 Metoda bisecji połowienia Wbieram przedział domnięt <a; b> wewnątrz tórego znajduje się pierwiaste i na tórego ońcach wartości uncji mają przeciwne znai a b UWAGA!

6 Metoda bisecji połowienia. Wbieram przedział <a b> ta b a b<. Dzielim przedział na połow: 3. Mam trz przpadi: a b a znaleziono pierwiaste ma ten sam zna co a zatem jest w b ma ten sam zna co b zatem jest w przedziale przedziale a pierwiaste pierwiaste 4. Wbieram przedział zawierając pierwiaste jao now przedział <ab> i wracam do rou.

7 Metoda bisecji: przład

8 Metoda bisecji połowienia: uwagi Metoda zawsze zbieżna jeśli tlo dobrze wbrano przedział początow. Metoda zawiedzie gd stczne z osią dla =. Wolna zbieżność p= metoda liniowa Po iteracjach rozmiar przedziału zmalał do: b a Zatem liczba iteracji onieczna do uzsania tolerancji błędu : b log a

9 Metoda Regula Falsi Opisana w hindusim teście Vaishali Ganit III w. p.n.e. Dziewięć rozdziałów sztui matematcznej 九章算術 p.n.e. n.e. worzstuje algortm do rozwiązwania równań liniowch regula linia alsus - ałszw

10 Metoda Regula Falsi. Wbierz przedział a b ta b a b<. Przbliżenie pierwiasta: punt w tórm prosta łącząca punt a i b przecina oś. równanie prostej: Stąd gd = mam: 3. Mam trz przpadi: b b app a b a a b b a b a b app app app znaleziono pierwiaste ma ten sam zna co a zatem jest w przedziale app ma ten sam zna co b zatem jest w przedziale a b app pierwiaste pierwiaste 4. Wbierz przedział zawierając pierwiaste jao now przedział a b i wróć do rou.

11 Metoda Regula Falsi: przład

12 Metoda Regula Falsi: uwagi b a a a 3 a a prawidłowe rozwiązanie b Metoda zawsze zbieżna jeśli tlo dobrze wbrano przedział początow. Metoda zawiedzie gd stczne z osią dla =. Wolna zbieżność p= metoda liniowa

13 Metoda Newtona = rozwiązanie 3 Wbierzm pewien punt początow i rozwińm uncję w szereg Talora Podstawm i weźm tlo dwa wraz rozwinięcia: Niech. Wted

14 Metoda Newtona: przład 5-5 stczna

15 Metoda Newtona: przład c.d. Szuam pierwiastów Liczm pochodną Równanie iteracjne

16 Metoda Newtona: uwagi Szba zbieżność p= metoda wadratowa Wmaga analitcznej znajomości Metoda zbieżna gd ciągłe <> w pobliżu rozwiązania początowa wartość leż bliso rozwiązania

17

18 Fratale ma nietrwialną struturę w ażdej sali strutura ta nie daje się łatwo opisać w jęzu tradcjnej geometrii eulidesowej jest samo-podobn ma wmiar wmiern ractional a nie całowit obraz Lichtenberga: władowanie eletrczne w dieletru.

19 Brouł romanesco Drzewo

20 Liście Linia brzegowa

21 Fratale Netwona Weźm równanie z = z C np. z 3 = Równanie zespolone stopnia n ma n pierwiastów. W zależności od wboru puntu warunu początowego + i metoda Newtona doprowadzi nas do jednego z n pierwiastów. Punt te następnie oznacza się różnm olorem w zależności od: rozwiązania do tórego dąż dan punt: prędości znalezienia rozwiązania:

22 lub oba waruni naraz:

23 Metoda siecznch Do wznaczenia + przbliżenia orzstam z puntów - i. Korzstając z podobieństwa trójątów: 3 Stąd 3 Ogólnie

24 Metoda siecznch: przład

25 Metoda międz Regula alsi a Newtona Zbieżność szbsza niż liniowa Metoda siecznch: uwagi Przbliżenie pochodnej Newton Nie musim znać analitcznej postaci! Ale te same problem ze zbieżnością co w metodzie Newtona. Najpierw wolna ale pewna bisecja potem szba metoda siecznch.

26 Metoda szuania puntu stałego Równanie = zastępujem równaniem - g = czli = g Rozwiązania szuam iteracjnie: g

27 Metoda szuania puntu stałego

28 Metoda szuania puntu stałego: przład /3 3 g /3 / g /3 g Trz sposob zapisu: Cz jest jaaś różnica? zbieżność rozbieżność szba zbieżność

29 Metoda szuania puntu stałego: zbieżność Twierdzenie: Jeśli uncja g jest ciągła w i ograniczona dla ażdego to uncja posiada prznajmniej jeden punt stał Jeśli ponadto jest ciągła na i spełniona jest nierówność: to ciąg iteracji jest zbieżn do puntu stałego. Dla opornch: jeśli g jest głada i ograniczona i niezbt stroma to proces iteracjn jest zbieżn.

30 Metoda szuania puntu stałego: zbieżność

31 Metoda szuania puntu stałego: przład Trz sposob zapisu: /3 g /3 3 g g 6 /3 3 /3 3 Cz jest jaaś różnica? g g g ' 3 /3 ' 3 ' /3 /3 / zbieżność rozbieżność szba zbieżność

32

33 Równania z wieloma pierwiastami ro = ; //< szeroość przedziału a = ; //< lewa granica pierwszego przedziału b = a + ro; //< prawa granica pierwszego przedziału whileb < bma { ia*b < //<-- sprawdź cz uncja zmienia zna { root[i] = FindRootsab; //<-- np. bisecja i = i + ; } a = b; //< lewa granica nowego przedziału b = a + ro; //<---- prawa granica nowego przedziału };

34 Uład równań nieliniowch Metoda Newtona Dla uładu dwóch równań: Wbieram rozwiązania początowe i. Jeśli są one bliso rozwiązań prawdziwch i to rozwinięcie Talora uncji i woół i :......

35 J J Czli uład dwóch równań liniowch. Korzstając z reguł Cramera: gdzie J jaobian: J det Zatem nowe przbliżenie rozwiązań:

36 Uład równań nieliniowch: przład / / e e e e e e J det det / / 4 / / 4

37 F = unction { -.5*ep/+ep-/ } F = unction { 9*^+5*^-5 } F = unction { -ep/+ep-//4 } F = unction { } F = unction { 8* } F = unction { 5* } Jacob = unction { -ep/ + ep-//4*5*-8* } i =.5; i = ; Err =.; Waruni początowe i dopuszczaln błąd ori=;i<=5;i++ { Del = -Fii*Fii+Fii*Fii / Jacobii; Del = -Fii*Fii+Fii*Fii / Jacobii; ip = i + Del; ip = i + Del; Err = absip - i/i; + i + Err = absip - i/i; i ierr<err && Err<Err brea; i = ip; i = ip; Błąd względn rozwiązania }; i Err Err

38 Uład równań nieliniowch: uwagi n n n n n n n n W ogólności:. Zbieżność nie jest gwarantowana.. Funcje n i ich pochodne muszą bć ciągłe i ograniczone w pobliżu rozwiązania 3. J n <> w pobliżu rozwiązania 4. Waruni początowe wstarczająco bliso prawdziwego rozwiązania 5. Dla uładu n>3 równań powższe równanie trzeba rozwiązać numercznie.