Rys I EA III. Rys x, y w odniesieniu do całej konstrukcji (rys. 9.15):

Transkrypt

1 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM Zadanie. Wznaczć sił wewnętrzne dla ład prętów dwprzegbowch o schemacie statcznm i obciąŝeni przedstawionm na rsn.. Do rozwiązania zadania zastosować jęcie macierzowe. Dane: const.,,. Rs.. Dzielim onstrcje na element i nmerjem węzł (rs..): I III II Rs.. W aŝdm węźle i wprowadzam dwa przemieszczenia translacjne opisane w globalnm ładzie współrzędnch, w odniesieni do całej onstrcji (rs..):

2 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM I III II Rs.. a poziomie poszczególnch sładowch elementów onstrcji (element I, II oraz III) wstępją przemieszczenia węzłów i stowarzszone z nimi sił przwęzłowe opisane w loalnm ładzie współrzędnch, związanm z elementem. - element pierwsz (rs..6) W aŝdm węźle wprowadzam przemieszczenia translacjne równoległe oraz prostopadłe do osi element oraz sił osiowe opisane w loalnm ładzie współrzędnch, : I I Rs..6

3 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM Macierz sztwności pierwszego element ratowego oreślona jest w sposób ogóln zaleŝnością (.). Dla element pierwszego o sztwności oraz dłgości, macierz sztwności ma postać: (.) Oreślm teraz ąt obrot loalnego ład współrzędnch, względem globalnego ład współrzędnch,. Element pierwsz ma swój począte w węźle pierwszm dlatego ąt obrot α jest równ zero stopni (rs..7): α o Rs..7 Wartości fncji trgonometrcznch opisjącch macierz transformacji są równe: sinα cosα (.) Z wagi na to, Ŝe odpowiadające sobie osie ład współrzędnch porwają się, transformacja macierz sztwności element pierwszego ma charater toŝsamościow, tzn.: (.)

4 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM - element drgi (rs..8) II II Rs..8 Macierz sztwności element drgiego o sztwności oraz dłgości tworzona w loalnm ładzie współrzędnch, ma postać: (.) Macierz transformacji pręta drgiego opisana zaleŝnością (.7) (z pominięciem trzeciego wiersza, trzeciej olmn oraz szóstego wiersza i szóstej olmn, poniewaŝ w zadani nie wstępje obrotow stopień swobod) będzie miała postać: cosα sinα sinα cosα (.) cosα sinα sinα cosα

5 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM Element drgi ma swój począte w węźle drgim dlatego ąt obrot α odmierzan jest następjąco (rs..) α o Rs.. Wartości fncji trgonometrcznch opisjącch macierz transformacji są równe: sinα cosα (.) o podstawieni do macierz (.) zaleŝności opisanch równaniami (.) otrzmam: (.) Zbdjm teraz macierz sztwności element drgiego opisaną w globalnm ładzie współrzędnch gdzie zaleŝnością:,. Macierz ta zdefiniowana jest zaleŝnością: (.6) oznacza transponowaną macierz transformacji element pierwszego wraŝoną

6 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM 6 (.7) W pierwszej olejności wonajm działanie: f (.8) Zgodnie ze schematem Fala otrzmam: (.) W rezltacie otrzmjem: f (.)

7 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM 7 Wonajm teraz działanie na macierzach, tórego rezltatem jest oreślenie macierz : f (.) Zgodnie ze schematem Fala otrzmam: (.) Macierz sztwności pręta drgiego opisana w globalnm ładzie współrzędnch, ma postać: (.) - element trzeci (rs..)

8 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM 8 III III Rs.. Macierz sztwności element trzeciego o sztwności oraz dłgości ma postać: (.) Macierz transformacji pręta trzeciego opisana zaleŝnością (.7) (z pominięciem trzeciego wiersza, trzeciej olmn oraz szóstego wiersza i szóstej olmn, poniewaŝ w zadani nie wstępje obrotow stopień swobod) będzie miała postać: cosα sinα sinα cosα (.) cosα sinα sinα cosα

9 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM Oreślm teraz ąt obrot loalnego ład współrzędnch, względem globalnego ład współrzędnch,. Element trzeci ma swój począte w węźle drgim dlatego ąt obrot α odmierzan jest następjąco (rs..): α Rs.. Obliczm wartości fncji trgonometrcznch opisjącch macierz transformacji. oniewaŝ oś znajdje się w drgiej ćwiartce globalnego ład współrzędnch,, fncje trgonometrczne sin α i cosα przjmą wartości: sinα cosα (.6) Macierz transformacji pręta trzeciego opisana zaleŝnością (.7) (z pominięciem trzeciego wiersza, trzeciej olmn oraz szóstego wiersza i szóstej olmn, poniewaŝ w zadani nie wstępje obrotow stopień swobod) będzie miała postać: cosα sinα sinα cosα (.7) cosα sinα sinα cosα o podstawieni do macierz (.7) zaleŝności opisanch równaniami (.6) otrzmam:

10 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM (.8) Zbdjm teraz macierz sztwności element trzeciego opisaną w globalnm ładzie współrzędnch,. Macierz ta zdefiniowana jest zaleŝnością: (.) gdzie oznacza transponowaną macierz transformacji element pierwszego wraŝoną zaleŝnością: (.6) W pierwszej olejności wonajm działanie: f (.6) Zgodnie ze schematem Fala otrzmam:

11 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM (.6) W rezltacie otrzmjem: f (.6) Wonajm teraz działanie na macierzach, tórego rezltatem jest oreślenie macierz : f (.6) Zgodnie ze schematem Fala otrzmam:

12 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM (.6) Macierz sztwności pręta trzeciego opisana w globalnm ładzie współrzędnch, ma postać: 6 6 (.66) 6 6 Uład równań algebraicznch dla całej onstrcji w ogólnej notacji macierzowej przjmie znaną formę: q (.67) a w bezpośrednim zapisie macierzowm będzie miał on postać:

13 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM (.68) gdzie (.6) jest macierzą sztwności całej onstrcji,

14 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM (.7) jest wetorem przemieszczeń węzłowch w odniesieni do całej onstrcji, a (.7) jest wetorem obciąŝenia (prawej stron) w odniesieni do całej onstrcji. Macierz sztwności onstrcji stanowi odpowiednie złoŝenie macierz sztwności elementów, i. a począt, wzerjm wszstie element macierz. Deformacją pręta pierwszego wwołana jest przemieszczeniami węzłów: pierwszego i oraz drgiego i. Stąd, macierz sztwności element pierwszego zajmje w macierz sztwności onstrcji następjące miejsce:

15 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM (.7) Za deformację pręta drgiego odpowiadają przemieszczenia węzłów: drgiego i oraz trzeciego i. Dlatego macierz sztwności element drgiego zajmje w macierz sztwności onstrcji następjące miejsce: (.7) Deformacja pręta trzeciego wwołana jest przemieszczeniami węzłów: drgiego i oraz czwartego i. Dlatego element macierz sztwności pręta trzeciego zajmją w macierz sztwności onstrcji następjące miejsce:

16 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM (.7) W rezltacie, po nałoŝeni na siebie macierz opisanch zaleŝnościami (.7), (.7) i (.7) otrzmam macierz sztwności onstrcji w postaci: (.7)

17 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM 7 o wonani smowania elementów,, i otrzmam: (.76) Macierz sztwności onstrcji jest osobliwa, tzn. jej wznaczni jest równ zero poniewaŝ nie względniono jeszcze warnów brzegowch. Wprowadźm teraz w odpowiedni sposób warni brzegowe,,,, i oraz odpowiednie wartości wetora obciąŝenia. W rezltacie, ład równań (.68) moŝem zapisać w postaci:

18 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM (.77) Uład równań (.77) zapisan lascznie ma postać: 8 7 (.78) W rezltacie otrzmjem:

19 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM 7 7 (.7) Wobec tego wetor przemieszczeń węzłowch onstrcji ma postać: 7 7 (.8) W następnej olejności analizjem onstrcję na poziomie pojednczch prętów. Worzstjem znane relacje macierzowe, łączące przemieszczenia węzłów z siłami przwęzłowmi. Sił przwęzłowe wraŝam za pomocą macierz sztwności pręta

20 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM i obliczonch przemieszczeń węzłowch. Wetor przemieszczeń węzłowch element pierwszego wraŝon za pomocą wetora przemieszczeń onstrcji ma postać: (.8) 7 7 Wetor przemieszczeń węzłowch pręta pierwszego opisan w loalnm ładzie współrzędnch, wraŝon jest zaleŝnością: (.8) oniewaŝ loaln ład współrzędnch, porwa się z globalnm ładem o współrzędnch, (ąt obrot α ) otrzmam: (.8) 7 7 Wetor sił przwęzłowch R obliczam mnoŝąc macierz sztwności element pierwszego : przez wetor przemieszczeń węzłowch

21 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM 7 7 (.8) W zapisie bezpośrednim, ład równań (.8) przjmie formę: (.8) Dodatowe sił przwęzłowe prostopadłe do osi pręta oraz mają wartości zerowe, poniewaŝ pręt z załoŝenia pracje włącznie osiowo. Zwrot sił przwęzłowch element pierwszego po względnieni znaów przedstawia rsne.: 7 I 7 Rs.. Wetor przemieszczeń węzłowch element drgiego wraŝon za pomocą wetora przemieszczeń onstrcji ma postać: (.86)

22 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM a w bezpośrednim zapisie macierzowm otrzmam: 7 7 (.87) Uład równań (.87) w lascznm zapisie ma postać: (.88) Wetor sił przwęzłowch R obliczam mnoŝąc macierz sztwności element drgiego przez wetor przemieszczeń węzłowch : 7 7 (.8) a w zapisie bezpośrednim, ład równań (.8) będzie miał postać:

23 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM (.) 7 7 Dodatowe sił przwęzłowe prostopadłe do osi pręta oraz mają wartości zerowe, poniewaŝ pręt z załoŝenia pracje włącznie osiowo. Zwrot sił przwęzłowch element drgiego po względnieni znaów przedstawia rsne.: 8 II 8 Rs.. Wetor przemieszczeń węzłowch element trzeciego wraŝon za pomocą wetora przemieszczeń onstrcji ma postać: a w bezpośrednim zapisie macierzowm otrzmam: (.)

24 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM 7 7 (.) Uład równań (.) w lascznm zapisie ma postać: (.) Wetor sił przwęzłowch R obliczam mnoŝąc macierz sztwności element trzeciego przez wetor przemieszczeń węzłowch : (.) W zapisie bezpośrednim, ład równań (.) będzie miał postać:

25 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM (.) Dodatowe sił przwęzłowe prostopadłe do osi pręta oraz mają wartości zerowe, poniewaŝ pręt z załoŝenia pracje włącznie osiowo. Zwrot sił przwęzłowch element trzciego po względnieni znaów przedstawia rsne.: 6 III 6 Rs.. Równowagę węzła drgiego ilstrje rsne.: Rs..

26 M. Gminia MECHAIA OSRUCJI RĘOWYCH W UJĘCIU MACIERZOWYM 6 Wres sił wewnętrznch przedstawia rsne.: 7 8 [] 6 Rs..