Analiza rozkładu sił reakcji podłoża podczas dynamicznie stabilnego chodu robota dwunożnego

Transkrypt

1 Pomiary Automatya obotya 7-8/2009 Analiza rozładu sił reacji podłoża podczas dynamicznie stabilnego chodu robota dwunożnego Teresa Zielińsa Maciej T. Trojnaci Praca stanowi ontynuację badań opisanych w publiacji Generowanie ruchu robota dwunożnego z wyorzystaniem danych opisujących chód człowiea (PA 3/2009). Przedstawiono w niej metodę wyznaczania rozładu sił reacji podłoża podczas dynamicznie stabilnego chodu robota dwunożnego. Po zapisaniu równań opisujących dynamię ruchu robota, wyznaczono symbolicznie wartości sładowych sił reacji podłoża oraz współrzędne umownych puntów styczności stóp robota z podłożem. naliza rozładu sił wywieranych przez nogi robota na podłoże jest istotna dla oreślenia stabilności jego postury, ma też znaczenie dla syntezy sterowania pozycyjno-siłowego. Analiza rozładu sił reacji podłoża (lub sił wywieranych przez nogi robota na podłoże) jest trudnym zagadnieniem. Najprostszy przypade występuje wtedy, gdy w tracie ruchu z podłożem stya się tylo jedna noga robota. obot i podłoże stanowią otwarty łańcuch inematyczny i można w jednoznaczny sposób wyznaczyć szuane wielości. Zagadnienie ompliuje się w przypadu, gdy z podłożem stya się więcej niż jedna noga. Wówczas nogi robota tworzą już z podłożem zamnięty łańcuch inematyczny i nie można wyznaczyć jednoznacznego rozwiązania. Na szczególną uwagę zasługuje przypade, w tórym z podłożem styają się dwie nogi robota. Przyładem może być ruch robotów czteronożnych poruszających się chodami diagonalnymi lub robotów dwunożnych będących w fazie dwupodporowej. W taim przypadu, gdy stopy styają się z podłożem puntowo, do wyznaczenia jest sześć niewiadomych sił reacji podłoża (lub sił wywieranych przez nogi robota na podłoże) i można zapisać sześć dynamicznych równań ruchu. Jednaże równania te są osobliwe (rząd macierzy jest nie więszy niż pięć). Jeżeli ońce nóg robota mają stopy styające się z podłożem na jaiejś powierzchni, wówczas należy jeszcze wyznaczyć punty przyłożenia wypadowych sił reacji w obszarze śladów stóp. Zagadnienie wyznaczenia rozładu sił reacji podłoża (lub sił wywieranych przez nogi robota na podłoże) jest jeszcze trudniejsze w przypadu robotów wielonożnych (o sześciu i więszej liczbie nóg), gdzie do wyznaczenia jest jeszcze więcej niewiadomych sił prof. dr hab. inż. Teresa Zielińsa Politechnia Warszawsa, dr inż. Maciej T. Trojnaci Przemysłowy Instytut Automatyi i Pomiarów w Warszawie (i ewentualnie umownych puntów styczności stóp z podłożem), a do dyspozycji jest analogiczna liczba dynamicznych równań ruchu. W literaturze można znaleźć nieliczne przyłady analizy rozładu sił reacji podłoża podczas realizacji chodu robotów dwunożnych. Znacznie częściej autorzy oncentrują się na samej realizacji ruchu robota, najczęściej z wyorzystaniem ryterium ZMP (ang. zero moment point). Inne metody, głównie inspirowane biologicznie, omówione są m.in. w pracy [10]. Często przy oazji badań esperymentalnych autorzy rejestrują uzysane w tracie badań siły reacji podłoża lub siły wywierane przez nogi na podłoże, biorąc pod uwagę głównie sładowe normalne tych sił. Do rzadości należą prace, w tórych autorzy wyznaczają położenie umownych puntów styczności stóp robota z podłożem. W pracy [2] autorzy oncentrują się na realizacji ruchu robota, bazując na wcześniej wyonanych badaniach symulacyjnych z zastosowaniem platformy programowej OpenHP. Zarówno w badaniach symulacyjnych, ja i esperymentalnych wyznaczono sładowe normalne sił reacji podłoża, uwzględniając przy tym mechanizm stopy opisany w postaci modelu tłumi- -sprężyna. Mechanizm ten pozwala na zmniejszenie efetu uderzenia stopy o podłoże w momencie rozpoczęcia fazy podporowej. W artyule [5] autorzy opisują uład sterowania opracowany dla biegnącego robota dwunożnego. Sterowni robota uwzględnia m.in. stabilizację postury robota, absorbowanie uderzenia stóp o podłoże i sładowe normalne sił reacji podłoża. Autorzy prezentują wynii badań esperymentalnych biegnącego robota, w tym wartości sładowych normalnych sił reacji podłoża. obot porusza się na mocno ugiętych nogach, co nie jest obserwowane podczas typowego biegu człowiea. W taim podejściu wymagane są duże wartości momentów napędowych do realizacji ruchu robota. Podobnej tematyce poświęcony jest artyuł [6] tych samych autorów, w tórym dodatowo opisana jest możliwość wyonywania przez robota podsoów. 14

2 Pomiary Automatya obotya 7-8/2009 W pracy [1] autorzy opisują metody sterowania ruchem trzech różnych robotów dwunożnych bazując na wyniach badań pasywnych robotów roczących. Taie odniesienie pozwala m.in. na realizację chodów przy mniejszych wydatach energetycznych niż ma to miejsce w przypadu chodów niewzorowanych na ruchach pasywnych stymulowanych wyłącznie siłą grawitacji. Autorzy wyznaczają m.in. sładowe pionowe sił reacji podłoża w uładzie związanym ze stopami robota podczas realizacji dwóch roów dla omawianych trzech robotów. Autorzy niniejszej pracy prowadzili dotychczas badania dotyczące rozładu sił reacji podłoża dla robotów czteronożnych, co znalazło odzwierciedlenie w pracach [9, 12, 13]. W artyule poazano rozwiązanie dotyczące rozładu sił reacji podłoża wyznaczone w analogiczny sposób, ja w pracach [12, 13]. Zasadnicza różnica, jeśli chodzi o rozwiązanie, polegała na zupełnie innej onstrucji stóp robota. W pracach [12, 13] robot miał orągłe stopy o trzech pasywnych stopniach swobody związanych z możliwością realizacji dwóch niezależnych obrotów i jednego ograniczonego sprężyną przesunięcia. W rozwiązaniu omawianym w pracy robot ma jeden atywny stopień swobody w ostce związany z obrotem stopy (jej pochyleniem) i jeden pasywny stopień swobody związany ze sprężyną wbudowaną w stopę. obot dwunożny Praca dotyczy dwunożnego robota roczącego o dwunastu stopniach swobody. Konstrucja robota jest omówiona doładnie w pracy [3], natomiast generowaniu ruchu robota poświęcone były publiacje [4, 7, 11]. Niniejszy artyuł prezentuje ontynuację badań przedstawionych w publiacji [7]. Na rys. 1 poazano oznaczenia członów robota, charaterystycznych puntów, ąty związane z orientacją orpusu, uład współrzędnych związany z orpusem oraz ąty przegubowe dla nogi robota. Zaznaczono taże istotne wymiary robota. Stosowany jest analogiczny system oznaczeń ja w [7], przy czym dodatowo uwzględnia się sprężyny zamontowane w stopach robota i wyróżnia dwa osobne człony stóp, tj.: górne 6j i dolne 7j (j {L, }) rys. 1. Model dynamii robota ównania dynamii robota w uładzie xyz związanym z orpusem robota zapisuje się orzystając z formalizmu Newtona-Eulera, czyli w postaci: m ṙcg + m g (1) ( ) + Iq + q Iq r rcg m g (2) ys. 1. Strutura inematyczna robota z zaznaczeniem istotnych wymiarów i oznaczeń ątów przegubowych dla j-tej nogi [3, 7] 15

3 Pomiary Automatya obotya 7-8/2009 gdzie: oznaczenie podpierającej nogi, siła wywierana przez nogę na podłoże, siła reacji działająca na tę nogę, r CG, r wetory oreślające położenie środa masy robota i puntu przyłożenia siły reacji do nogi, g wetor grawitacji, ṙ. CG wetor przyspieszenia bezwzględnego środa masy robota, I tensor bezwładności, q wetor ątów: przechylenia, pochylenia i odchylenia orpusu robota. W pracy analizuje się ruch postępowy orpusu robota załadając przy tym bra przechylenia, pochylenia i odchylenia orpusu robota. W tracie ruchu występuje wyłącznie wychylanie orpusu robota w lewo bądź prawo w celu odpowiedniego balansowania dynamicznego. Stąd równanie (2) upraszcza się do postaci: ( ) + CG 0 r r m g (3) ozład sił reacji podłoża w fazie jednopodporowej W przypadu fazy jednopodporowej ( L lub ), czyli nieznany jest tylo jeden wetor sił reacji podłoża, tóry można wyznaczyć bezpośrednio z równania (1): m r m g (4) Dla poprawnie zaprojetowanego balansowania dynamicznego robota i brau nierówności podłoża, punt przyłożenia siły reacji podłoża dla fazy jednopodporowej (punt środa nacisu) jest jednocześnie puntem zerowego momentu (na podstawie jednej z interpretacji puntu ZMP [8]), czyli: CG r r ZMP (5) ozład sił reacji podłoża w fazie dwupodporowej W przypadu fazy dwupodporowej w równaniach (1) i (3) występują dwa niewiadome wetory sił reacji podłoża i dwa niewiadome wetory oreślające położenie puntów przyłożenia tych sił, przy czym z geometrii znane są współrzędne z puntów styczności. Zatem ostatecznie w równaniach tych występuje 10 nieznanych wielości (6 sładowych sił reacji podłoża i 4 współrzędne puntów styczności). W związu z powyższym zachodzi onieczność zdefiniowania dodatowych czterech równań. Dwa dodatowe równania wyniają z równowagi sił reacji podłoża względem puntu zerowego momentu (wg jednej z jego interpretacji [8]): ( ) ( ) 0 (6a) ( s ZMP ) Zs ( s ) 0 (6b) Z x x ZMP + Zs2 xs2 x ZMP Z y 1 y + 2 y 2 y ZMP gdzie:, s2 odpowiednio pierwsza i druga podparta noga, L i s2 lub i s2 L. Jeżeli nie występują nierówności podłoża, tj. stopa na całej powierzchni stya się z podłożem, punt ZMP jest jednocześnie puntem środowym nacisu (ang. centre of pressure). Załada się, że punty styczności są przesunięte względem puntów, a przesunięcia te rozłada się na 3 sładowe, tóre są równe: x x, dy y y, dz h6 (7) gdzie: {L, }. W celu uzysania jednoznacznego rozwiązania przyjmuje się założenia upraszczające, że w tracie fazy dwupodporowej ieruni przesunięć puntów styczności są taie same dla obu nóg robota, czyli: dy s2 (8) dys2 oraz dodatowo, że wyniają one z ierunu działania na środe masy robota wypadowej siły pochodzącej od sił ciężości i bezwładności, czyli że spełnione są równania: X x CG Y ycg Z z CG + g, Z z CG + g (9) Korzystając jednocześnie z wybranych równań (1, 3, 6, 7, 8, 9) można wyznaczyć sładowe sił reacji podłoża, położenia puntów styczności stóp oraz ich przesunięcia względem puntów. Jednaże otrzymane ta rozwiązanie jest bardzo złożone i ze względu na osobliwości (w mianowniach nietórych wielości występuje wyrażenie z z s2, tóre w typowym przypadu jest równe 0) nie nadaje się do zastosowania w badaniach symulacyjnych. W związu z tym, w celu otrzymania rozwiązania w odpowiedniej postaci (prostej i bez osobliwości), proces wyznaczania rozwiązań podzielono na ila etapów. W pierwszej olejności wyznacza się z tych równań, np. orzystając z drugiego i z trzeciego z równań (1), z drugiego z równań (3) oraz z równania (6b), sładowe normalne sił reacji podłoża w postaci: Z Zs2 ( + CG )( ZMP s2) y ys2 ( + CG )( ZMP ) y ys2 m g z y y m g z y y (10) Następnie orzystając z pierwszych dwóch z rów nań (1) 1 i ostatniego równania spośród równań (3) oraz z równań (6a), (9) uzysuje się jedno z możliwych rozwiązań na sładowe x i y sił reacji podłoża: X z + g xcg CG Z, Y z + g ycg CG gdzie: oznaczenie podpartej nogi, {L, }. Z (11) 1 ównania (1) (5) są równaniami wetorowymi. Każde z nich odpowiada trzem równaniom salarnym. 16

4 Pomiary Automatya obotya 7-8/2009 Przesunięcia puntów styczności wyznacza się w funcji przesunięcia z równań (6a, 8) i z pierwszego z równań (3) oraz uwzględniając zależności (7), przy czym: Podstawiając: (12) Z( x ) + Zs2( xs2 ) 2 Z (13) do zbioru rozwiązań otrzymuje się ostatecznie rozwiązanie w postaci: Z( x ) + Zs2( xs2 ) 2 Z (14a) (14b) gdzie: oznaczenie nogi, {L, }. Uzysane w ten sposób rozwiązanie jest jednym z możliwych. Siły reacji sprężyn W stopach robota znajdują się wyłącznii chwilowe ze sprężynami. Zależność pomiędzy deformacją sprężyny a działającą siłą zapisuje się jao: j 0 dla hj hmax ( h h ) dla h < h < h Zj m6 gz dla hj hmin S max j min j max (15) gdzie: S» 300 N/m stała sprężyny, j oznaczenie nogi ( j {L, }) podpartej lub przenoszonej, j siła przenoszona przez sprężynę, h j wysoość stopy, h min 0,039 m, h max 0,049 m, minimalna i masymalna wysoość stopy odpowiadająca odpowiednio przypadowi masymalnej i minimalnej deformacji sprężyny. Załada się, że dana stopa robota znajduje się w fazie podparcia, jeżeli deformacja sprężyny jest masymalna, czyli jeżeli: j ³ min s (h max h min ) 3 N. Podana zależność (15) odnosi się do dowolnej fazy ruchu nogi j. Warune uniania poślizgu Z olei minimalne dopuszczalne wartości współczynniów tarcia ślizgowego dla współpracy stóp robota z podłożem oreśla się na podstawie zależności: 2 2 m X + Y Z (16) Zależność (16) dotyczy fazy podparcia danej nogi, w przypadu fazy przenoszenia minimalna dopuszczalna wartość współczynnia tarcia ślizgowego jest równa 0. Podsumowanie i ieruni dalszych badań W pracy przedstawiono metodę wyznaczania rozładu sił reacji podłoża podczas dynamicznie stabilnego chodu robota dwunożnego. Po zapisaniu niezbędnych równań, wyniających z ruchu robota oraz z przyjętych założeń upraszczających, wyznaczono z nich symbolicznie wartości sładowych sił reacji podłoża oraz współrzędne umownych puntów styczności. Podano taże zależność wyniającą z zastosowania sprężyn w stopach robota oraz warune uniania poślizgu. Dalsze badania będą dotyczyły analiz symulacyjnych polegających na numerycznym wyznaczeniu rozładu sił reacji podłoża z zastosowaniem omówionej w pracy metody. Jao wzorce ruchu zostaną tu wyorzystane dane zarejestrowane w czasie chodu człowiea. Niniejsza praca została zrealizowana w ramach projetu badawczego finansowanego przez Ministerstwo Naui i Szolnictwa Wyższego pt. Analiza mechanizmów stabilizacji loomocji dwunożnej, opracowanie metod syntezy ruchu z wyorzystaniem wzorców biologicznych o numerze N N Bibliografia 1. Anderson S. O., Wisse M., Ateson C.G., Hodgins J.K., Zeglin G.J., Moyer B.: Powered Bipeds Based on Passive Dynamic Principles, Proceedings of th IEEE-AS International Conference on Humanoid obots. 2. Hirohisa Hiruawa, umio Kanehiro, Shuji Kajita, Kiyoshi ujiwara, Kazuhito Yooi, Kenji Kaneo, Kensue Harada: Experimental Evaluation of the Dynamic Simulation of Biped Waling of Humanoid obots, Proceedings of the 2003 IEEE International Conference on obotics & Automation, Taipei, Taiwan, September 2003, p Krycza P.: An anthropomorphic biped: prototype and control system. Praca dyplomowa inżyniersa, Politechnia Warszawsa, Warszawa Krycza P., Chee-Meng Ch.: The Design of a Humanoidal Biped for the esearch on the Gait Pattern Generators, Advances in Climbing and Waling obots, Eds. Ming Xie at al., World Scentific 2007, p Shuuji Kajita, Taashi Nagasai, Kenji Kaneo, Kazuhito Yooi, Kazuo Tanie: A unning Controller of Humanoid Biped HP-2L, Proceedings of the 2005 IEEE International Conference on obotics and Automation, Barcelona, Spain, April 2005, p Shuuji Kajita, Taashi Nagasai, Kenji Kaneo, Kazuhito Yooi, Kazuo Tanie: A Hop towards 17

5 Pomiary Automatya obotya 7-8/2009 unning Humanoid Biped, Proceedings of the 2004 IEEE International Conference on obotics & Automation, New Orleans, LA, April 2004, p Trojnaci M.: Generowanie ruchu robota dwunożnego z wyorzystaniem danych opisujących chód człowiea, Pomiary Automatya obotya 3/2009, s Vuobratović M., Borovac B.V: Zero-Moment Point - thirty five years of its life, International Journal of Humanoid obotics, Vol. 1, No. 1 (2004), p Zhou D., Low K.H., Zielińsa T.: An efficient foot- -force distribution algorithm for quadruped waling robots, obotica (2000) vol. 18, p Zielińsa T.: Maszyny roczące. Podstawy, projetowanie, sterowanie i wzorce biologiczne, PWN, Warszawa Zielińsa T., Chee-Meng Ch., Krycza P., Jargilo P.: obot Gait Synthesis using the scheme of human motion sills development, Mechanism and Machines Theory, Elsevier 2008, Zielińsa T., Trojnaci M.: Synteza dynamicznie stabilnego chodu dwupodporowego czteronożnego robota roczącego. ozważania teoretyczne (1), Pomiary Automatya obotya 11/2007, s Zielińsa T., Trojnaci M.: Dynamical approach to the diagonal gait synthesis: theory and experiments, Journal of Automation, Mobile obotics & Intelligent Systems, volume 3, N 2, 2009, p