MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej"

Transkrypt

1 MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, / 31

2 1 Kręt dla bryły sztywnej 2 Ruch postępowy bryły sztywnej 3 Ruch obrotowy bryły sztywnej Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, / 31

3 Szczególny przypadek krętu Obrót wokół osi Rozpatrzymy przypadek obrotu układu punktów materialnych wokół ustalonej osi. Punkty sa rozłożona jest po pewnej objętości - do analizy wybieramy jeden punkt elementarny o masie dm. z v = ω r lub v = ω r (1) Elementarny kręt wynosi: ω r v dm dk = v r dm = ω r r dm (2) Dla układu punktów: K z = dk = ω r 2 dm (3) M M Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, / 31

4 Szczególny przypadek krętu Obrót wokół osi ω z r v dm K z = M ω r 2 dm (4) Ponieważ prędkość obrotowa jest taka sama dla każdego z punktów bryły - można ja wyciagn ać przed całkę i otrzymać: K z = ω r 2 dm = ωi (5) M gdzie I jest momentem bezwładności dla układu punktów materialnych względem osi z. Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, / 31

5 Przykład 1 Kręt bryły sztywnej Płyta kołowa o masie m B wraz dwoma ciężarkami o masie m A obraca się wokół osi z z prędkościa obrotowa ω. Jak zmieni się prędkość wirowania jeśli położenie ciężarków zmieni się z promienia r 1 na r 2? Ruch ciężarków odbywać się będzie na skutek działania sił wewnętrznych. ω m A r 3 y m B m A Dane: ω 1 = 10 1 s, m B= 2 (kg), m A = 0.2 (kg), r 1 = 0.1 (m), r 2 =0.3 (m), r 3 =0.45 (m). r 1 r 2 x Szukane: ω 2 =? Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, / 31

6 Przykład 1 Rozwiazanie cz. 1 Rozwiazuj ac korzystamy z zasady zachowania krętu dla układu punktów materialnych. Ponieważ zmiana rozłożenia masy odbywa się bez udziału sił zewnętrznych to kręt układu pozostanie stały. ω m A r 3 y m B r 1 r 2 m A x { K 1 = K B +2 K A K B = m B r3 2 4 ω 1 K A = m A r1 2 ω 1 (6) Dla drugiego położenia: K 2 = K B + 2 K A { K B = m B r ω 2 K A = m A r 2 2 ω 2 Porównujac kręty możemy zapisać: (7) K 1 = K 2 = const. (8) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, / 31

7 Przykład 1 Rozwiazanie cz. 2 m B r ω 1 ( mb r ω m A r 2 1 ω 1 = m B r m A r 2 1 ω 2 = ω 1 ) ( mb r 2 3 Podstawiajac dane numeryczne: ω 2 = 10 = ω 2 ( mb r ω m A r 2 2 ω 2 (9) ) + 2 m A r 2 2 ) (10) m A r1 2 ( ) mb r = ω I1 (11) m A r2 2 I 2 ( ) = 7.66 s (12) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, / 31

8 Zasada zachowania krętu układu punktów - przykłady Wniosek z poprzedniego zadania Zmiana prędkości obrotowej zależy od zmiany momentu bezwładności układu punktów materialnych a więc od rozłożenia masy. Eksperyment na orbicie -> NASA Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, / 31

9 Przykład 2 Kręt bryły sztywnej Płyta kołowa o masie m p może obracać się bez tarcia wokół osi z. Na jej obwodzie znajduje się punkt materialny o masie m r. W chwili czasu t=0 oba obiekty pozostaja w spoczynku. Dla czasu t>0 rozpoczyna się ruch punktu m r po obwodzie płyty z prędkościa względna v w. Obliczyć z jaka prędkościa będzie obracać się płyta. Moment bezwładności płyty I z. z v w J z m r ω p r x Dane: v w = 0.2 ( m s ), m r = 0.01 (kg), I z = 2 (kgm 2 ), r = 0.5(m) Szukane: ω p =? y Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej January 29, / 31

10 Przykład 2 Rozwiazanie cz 1. Jak wygladaj a poszczególne kręty? v b v b r r K r K r Kręt punktu materialnego: K r = r m v b (13) Uwaga: v b - oznacza prędkość bezwzględna. UWAGA Nasz robaczek porusza się prędkościa względna v w po obwodzie płyty. Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

11 Przykład 2 Rozwiazanie cz. 2 Kręt płyty: K p = I z ω p (14) ω p K p ω p K r Moment bezwładności jest dodatnim skalarem więc zwrot krętu płyty jest zgodny ze zwrotem prędkości wirowania. Kierunek obrotu płyty pojawia się jako przeciwny do kierunku ruchu punktu m r. Suma krętów płyty i robaczka: K p + K r = 0 = K p = K r (15) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

12 Przykład 2 Rozwiazanie cz. 3 Liczymy kręt całkowity: K p = I z ω p, K r = m r r v b (16) Prędkość bezwzględna v b obliczamy z różnicy ruchu płyty i punktu: v w ω p m r v b = v w + v u v b = v w v u v b = v w ω p r (17) v u v w v u v b Kręt układu: K = K p K r = 0 I z ω p m r r (v w v u ) = 0 ω p = m r r v w m r r 2 + I z ω p = = s (18) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

13 Ruch postępowy bryły sztywnej Równanie dynamiki Równanie dynamiki ruchu postępowego ciała sztywnego ma taka sama postać jak równanie dynamiczne punktu materialnego o masie równej masie całego ciała i poddanego działaniu sił zewnętrznych działajacych na rozpatrywane ciało. Uwaga: Siły te musza spełniać warunek Mic = 0 Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

14 Ruch obrotowy bryły sztywnej Równanie dynamiki ruchu obrotowego wyprowadzimy z równania krętu: dk z dt n = M iz = M z, K z = I z ω (19) (i=1) z Podstawiajac wyrażenie na kręt do pochodnej otrzymamy: P 1 y ω o P2 x P 3 d(i z ω) dt = M z I z dω dt = M z (20) Równanie dynamiki ruchu obrotowego ciała sztywnego: I z ε = M z (21) I z φ = Mz (22) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

15 Ruch obrotowy bryły sztywnej W szczególnym przypadku brak jest momentów od sił zewnętrznych lub ich suma równa się zero M z = 0. Wówczas otrzymujemy równanie: I z ε = I z dω dt = 0 = ε = 0 = ω = const. (23) co oznacza iż takie ciało porusza się ruchem obrotowym jednostajnym. W ogólnym przypadku gdy M z 0 otrzymujemy równanie różniczkowe, które można rozwiazać otrzymujac funkcję φ(t). W przypadku gdy M z = const. ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym lub opóźnionym. Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

16 Równanie ruchu obrotowego bryły sztywnej Rozwiazuj ac równanie dla M z = const. otrzymamy: I z φ = Mz = φ = M z I z = d φ dt = M z I z (24) d φ = Mz I z dt = φ = M z I z t + C 1 (25) Warunki poczatkowe: φ(t = 0) = ω 0, φ(t = 0) = φ 0 dφ = C 1 = φ 0 = φ = M z I z t + ω 0 = dφ dt = M z I z t + ω 0 (26) ( ) Mz t + ω 0 dt = φ = M z t 2 I z I z 2 + ω 0 t + C 2 (27) φ(t) = M z t 2 I z 2 + ω 0 t + φ 0 (28) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

17 Przykład 3 Ruch obrotowy i postępowy bryły sztywnej Układ dwóch ciał znajduje się w spoczynku w chwili t=0. Płyta kołowa o masie m 1 oraz prostopadłościan o masie m 2 połaczone sa lina. Na ciała działaja siły grawitacji, brak jest tarcia. Obliczyć równanie ruchu dla płyty kołowej oraz siłę w linie. r m 1 0 φ x m 2 Dane: m 1 = 100 (kg), m 2 = 10 (kg), r = 1 (m), Szukane: φ(t), S 1 2 Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

18 Przykład 3 Rozwiazanie cz.1 Układ rozdzielamy na dwie części ponieważ każda z nich porusza się innego rodzaju ruchem. Oznaczamy wszystkie siły na rysunku. Dla ruchu obrotowego ciała m 1 możemy R napisać równanie: r φ n 0 I z ε = M zi = I z ε = S 12 r (29) m 1 G 1 S 12 S 21 i=1 Dla ciała m 2 równanie uchu postępowego: m 2 G 2 x n m 2 ẍ = F i = m 2 ẍ = G 2 S 21 (30) i=1 Otrzymujemy w ten sposób układ równań. Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

19 Przykład 3 Rozwiazanie cz.2 Wykorzystujac zwiazki ruchu puntów na obwodzie koła, liny i masy m 2 : v = dφ dt r = ω r = ẋ, a o = dω dt r = ε r = ẍ, S 12 = S 21 (31) a o v Wstawiajac do układu równań : a d r 0 φ m 1 x x x m 2 { Iz ε = S 12 r m 2 ε r = m 2 g S 12 (32) { S12 = Iz ε r m 2 ε r = m 2 g Iz ε r ) ( ε m 2 r + I z r (33) = m 2 g (34) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

20 Przykład 3 Rozwiazanie cz.3 Ostatecznie otrzymujemy równanie na przyspieszenie katowe: ε = m 2 g r m 2 r 2 + I z = Siła w linie wynosi: m 2 g r m 2 r 2 + m 1 r 2 2 = = 1.63 ( 1 s 2 ) (35) S 12 = I z ε r = = (N) (36) Aby uzyskać równanie ruchu masy m 1 należy rozwiazać równanie: ε = dω dt = = dω = dt = ω = t + C 1 (37) ω(t = 0) = 0 = 0 = C 1 = C 1 = 0 = ω = t (38) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

21 Przykład 3 Rozwiazanie cz.4 Rozwiazuj ac dalej: dφ dt = t = dφ = t dt = φ = t2 2 + C 2 (39) φ(t = 0) = 0 = 0 = t2 2 + C 2 = C 2 = 0 (40) Rozwiazanie końcowe: φ(t) = t2 2 (41) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

22 Przykład 4 Ciało sztywne w postaci pręta oraz masy punktowej może obracać się wokół punktu 0. Do pręta zamocowane sa sprężyna o sztywności k i tłumik o tłumieniu c. W chwili poczatkowej pręt jest w pozycji pionowej (bez wychylenia) ale posiada pewna prędkość katow a φ(t = 0). k 0 c m 1 a a a Dane: m 1 = 10 ((kg), m 2 = 2 (kg), a = 0.1 (m), k = 100 N m), c = 5 ( N s m ), φ(0) = 0.2, φ(0) = 0 (rad) Szukane: ω o częstość drgań własnych, u częstość drgań tłumionych, φ(t) równanie ruchu. a Ruch rozpatrzyć dla tzw. małych katów. m 2 Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

23 Przykład 4 Rozwiazanie cz. 1 Pręt zamocowany jest przegubowo co umożliwia jego obroty. Oznaczamy siły jakie występuja w układzie. F s R y G1 = m 1 g, G 2 = m 2 g, F s = k x s, F t = x t c (42) R x Równanie dynamiki ruchu obrotowego: F t G 1 φ I z ε = M 0 (43) Momenty bezwładności: I z = I z1 + I z2 = m 1 (4a) 2 + m 1 a 2 + m 2 (3a) 2 (44) 12 G 2 Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

24 Przykład 4 Rozwiazanie cz. 2 Momenty sił biorace udział w ruchu: M0 = M s + M t + M G1 + M G2 (45) a sin φ F s Analiza działania momentu od sił sprężystości: a φ a cos φ M s = F s h = k a sin φ a cos φ (46) Po uproszczeniu dla tzw. małych katów sin φ φ, cos φ 1 M s = k a 2 φ (47) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

25 Przykład 4 Rozwiazanie cz. 3 a sin φ Moment od tłumika: φ G 1 2a cos φ M t = F t h = c ẋ t 2a cos φ ẋ t = v t = ω 2a = φ 2a M t = c φ (2a) 2 (48) F t Momenty od sił grawitacji: 3a sin φ G 2 M G1 = G 1 a sin φ = m 1 g a φ M G2 = G 2 3a sin φ = m 2 g 3a φ (49) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

26 Przykład 4 Rozwiazanie cz. 3 Piszac sumaryczne równanie otrzymujemy: I z ε = M s + M T + M G1 + M G2 (50) ( m1 (4a) 2 ) + m 1 a 2 + m 2 (3a) 2 φ = k a 2 φ c 12 φ (2a) 2 Podstawiajac dane numeryczne: m 1 g a φ m 2 g 3a φ (51) φ = φ 0.2 φ (52) Końcowa postać równania: φ φ φ = 0 (53) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

27 Przykład 4 Rozwiazanie cz. 4 Analogia Otrzymane równanie 53 jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Mimo występowania współrzędnej katowej φ można je porównać z równaniem otrzymywanym dla układu drgajacego liniowego punktu materialnego o jednym stopniu swobody. k c Równanie dla punktu materialnego: ẍ + 2n ẋ + ω0x 2 = 0 gdzie 2n = c m, ω k 0 = m (54) m x ω 0 częstość drgań własnych, u = ω0 2 n2 częstość drgań tłumionych. Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

28 Przykład 4 Rozwiazanie cz. 5 Porównujac bezpośrednio równania : ẍ + 2n ẋ + ω 2 0 x = 0 φ φ φ = 0 (55) Możemy wyznaczyć częstość drgań własnych: ω 0 = ( ) = s (56) oraz częstość drgań tłumionych: ( ) 1 u = ω0 2 n2 = s (57) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

29 Przykład 4 Rozwiazanie cz. 6 Pozostaje rozwiazanie równania różniczkowego w celu wyznaczenia funkcji φ(t): φ φ φ = 0 (58) Równanie charakterystyczne: λ λ = 0 (59) = = (60) α = = 0.242, β = 2 Ogólna postać rozwiazania: = (61) φ = e αt (C 1 sin (βt) + C 2 cos (βt)) (62) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

30 Przykład 4 Rozwiazanie cz. 7 Podstawiajac do końcowej postaci równania α i β: φ = e t( C 1 sin (6.353 t) + C 2 cos (6.353 t) ) (63) Stałe C 1 i C 2 należy wyznaczyć z warunków poczatkowych. Odpowiednio w chwili czasu t = 0 i φ(0) = 0: 0 = e ( C 1 sin ( ) + C 2 cos ( ) ) (64) co daje C 2 = 0. Dalej uzyskujemy wzór na prędkość z różniczkowania wzoru 63 φ = e t C 1 sin (6.353 t)+e t C cos (6.353 t) (65) Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

31 Przykład 4 Rozwiazanie cz. 8 Podstawiajac dla prędkości φ(t = 0) = 0.2 otrzymujemy: 0.2 = e C 1 sin ( )+e C cos ( ) (66) stad C 1 = a końcowe rozwiazanie otrzymuje postać: φ = e t ( sin (6.353 t) ) (67) Φ Φ t t Figure: Przebiegi zmian kata obrotu od czasu dla układu z tłumieniem i bez Daniel Lewandowski (W10/k10) MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnejjanuary 29, / 31

MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych

MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)

Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Kinematyka ruchu

Bardziej szczegółowo

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Kinematyka: opis ruchu

Kinematyka: opis ruchu Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający

Bardziej szczegółowo

Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki

Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki I. Zasada bezwładności Gdy działające siły równoważą się ciało fizyczne pozostaje w spoczynku lubporusza się ruchem prostoliniowym ze stałą prędkością. II. Zasada

Bardziej szczegółowo

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Obrót wokół ustalonej osi Prawa ruchu Dla bryły sztywnej obracajacej się wokół ostalonej osi mement

Bardziej szczegółowo

M2. WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI WAHADŁA OBERBECKA

M2. WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI WAHADŁA OBERBECKA M WYZNACZANE MOMENTU BEZWŁADNOŚC WAHADŁA OBERBECKA opracowała Bożena Janowska-Dmoch Do opisu ruchu obrotowego ciał stosujemy prawa dynamiki ruchu obrotowego, w których występują wielkości takie jak: prędkość

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Drgania wymuszone

MECHANIKA II. Drgania wymuszone MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Drgania wymuszone

MECHANIKA II. Drgania wymuszone MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody

Bardziej szczegółowo

Opis ruchu obrotowego

Opis ruchu obrotowego Opis ruchu obrotowego Oprócz ruchu translacyjnego ciała obserwujemy w przyrodzie inną jego odmianę: ruch obrotowy Ruch obrotowy jest zawsze względem osi obrotu W ruchu obrotowym wszystkie punkty zakreślają

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA OGÓLNA (II)

MECHANIKA OGÓLNA (II) MECHNIK GÓLN (II) Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Liczba godzin: sem. II *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. sem. III *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz., ale

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 4

Podstawy fizyki wykład 4 Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada

Bardziej szczegółowo

Mechanika Analityczna

Mechanika Analityczna Mechanika Analityczna Wykład 2 - Zasada prac przygotowanych i ogólne równanie dynamiki Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej 29 lutego 2016 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy ( Równowaga Statyka Bryły sztywnej umieszczonej

Bardziej szczegółowo

12 RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ I. a=εr. 2 t. Włodzimierz Wolczyński. Przyspieszenie kątowe. ε przyspieszenie kątowe [ ω prędkość kątowa

12 RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ I. a=εr. 2 t. Włodzimierz Wolczyński. Przyspieszenie kątowe. ε przyspieszenie kątowe [ ω prędkość kątowa Włodzimierz Wolczyński Przyspieszenie kątowe 1 RUCH OROTOWY RYŁY SZTYWNEJ I = = ε przyspieszenie kątowe [ ] ω prędkość kątowa = = T okres, = - częstotliwość s=αr v=ωr a=εr droga = kąt x promień prędkość

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.)

Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) I (zasada bezwładności) Istnieje taki układ odniesienia, w którym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają

Bardziej szczegółowo

R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO

R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO 4.1. Bryła sztywna W dotychczasowych rozważaniach traktowaliśmy wszystkie otaczające nas ciała jako punkty materialne lub zbiory punktów materialnych. Jest to

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych

MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych Prowadzący: dr Krzysztof Polko Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Układem punktów materialnych nazwiemy zbiór punktów w sensie

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 4

Podstawy fizyki wykład 4 Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada

Bardziej szczegółowo

Drgania. O. Harmoniczny

Drgania. O. Harmoniczny Dobrej fazy! Drgania O. Harmoniczny Położenie równowagi, 5 lipca 218 r. 1 Zadanie Zegar Małgorzata Berajter, update: 217-9-6, id: pl-ciepło-5, diff: 2 Pewien zegar, posiadający wahadło ze srebra, odmierza

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: . Katapultowanie pilota z samolotu Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: gdzie D - siłą ciągu, Cd współczynnik aerodynamiczny ciągu, m - masa pilota i fotela, g przys. ziemskie, ρ - gęstość

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego

Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego POLTECHNKA ŚLĄSKA WYDZAŁ CHEMCZNY KATEDRA FZYKOCHEM TECHNOLOG POLMERÓW LABORATORUM Z FZYK Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego WYZNACZANE MOMENTÓW BEZWŁADNOŚC

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 Wykład 7 Dynamiczne równania ruchu

MECHANIKA 2 Wykład 7 Dynamiczne równania ruchu MECHANIKA 2 Wykład 7 Dynamiczne równania ruchu Prowadzący: dr Krzysztof Polko Dynamiczne równania ruchu Druga zasada dynamiki zapisana w postaci: Jest dynamicznym wektorowym równaniem ruchu. Dynamiczne

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne

Bardziej szczegółowo

Napęd pojęcia podstawowe

Napęd pojęcia podstawowe Napęd pojęcia podstawowe Równanie ruchu obrotowego (bryły sztywnej) moment - prędkość kątowa Energia kinetyczna Praca E W k Fl Fr d de k dw d ( ) Równanie ruchu obrotowego (bryły sztywnej) d ( ) d d d

Bardziej szczegółowo

Pierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3.

Pierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3. Dynamika ruchu obrotowego Zauważyłem, że zadania dotyczące ruchu obrotowego bardzo często sprawiają maturzystom wiele kłopotów. A przecież wystarczy zrozumieć i stosować zasady dynamiki Newtona. Przeanalizujmy

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

v 6 i 7 j. Wyznacz wektora momentu pędu czaski względem początku układu współrzędnych.

v 6 i 7 j. Wyznacz wektora momentu pędu czaski względem początku układu współrzędnych. Dynamika bryły sztywnej.. Moment siły. Moment pędu. Moment bezwładności. 171. Na cząstkę o masie kg znajdującą się w punkcie określonym wektorem r 5i 7j działa siła F 3i 4j. Wyznacz wektora momentu tej

Bardziej szczegółowo

Napęd pojęcia podstawowe

Napęd pojęcia podstawowe Napęd pojęcia podstawowe Równanie ruchu obrotowego (bryły sztywnej) suma momentów działających na bryłę - prędkość kątowa J moment bezwładności d dt ( J ) d dt J d dt dj dt J d dt dj d Równanie ruchu obrotowego

Bardziej szczegółowo

VII.1 Pojęcia podstawowe.

VII.1 Pojęcia podstawowe. II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej

Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej 1. Wielkości dynamiczne w ruchu postępowym. a. Masa ciała jest: - wielkością skalarną, której wielkość jest niezmienna

Bardziej szczegółowo

ZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.

ZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał. ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją

Bardziej szczegółowo

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki): Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły

Bardziej szczegółowo

Ruch obrotowy bryły sztywnej. Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe

Ruch obrotowy bryły sztywnej. Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe Ruch obrotowy bryły sztywnej Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe Ruch obrotowy ruch po okręgu P, t 1 P 1, t 1 θ 1 θ Ruch obrotowy ruch po okręgu P,

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła balistycznego

Wyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła balistycznego Ćwiczenie nr Wyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła balistycznego. Wymagania do ćwiczenia 1. ynamika ruchu obrotowego.. rgania harmoniczne Literatura:. Halliday, R. Resnick,

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

Ciało sztywne i moment bezwładności Ciekawe przykłady ruchu obrotowego Dynamika ruchu obrotowego Kinematyka ruchu obrotowego Obliczanie momentu

Ciało sztywne i moment bezwładności Ciekawe przykłady ruchu obrotowego Dynamika ruchu obrotowego Kinematyka ruchu obrotowego Obliczanie momentu Ruch obrotowy 016 Spis treści Ciało sztywne i moment bezwładności Ciekawe przykłady ruchu obrotowego Dynamika ruchu obrotowego Kinematyka ruchu obrotowego Obliczanie momentu bezwładności Ruch obrotowo-postępowy

Bardziej szczegółowo

będzie momentem Twierdzenie Steinera

będzie momentem Twierdzenie Steinera Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz. Niech 90 oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała o masie i niech będzie momentem bezwładności tego ciała względem osi równoległej

Bardziej szczegółowo

MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki

MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI:

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI: Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI: Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Ogólne wyrażenie na moment pędu Tensor momentu bezwładności Osie główne Równania Eulera Bak swobodny Porównanie

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA

RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Mechaniki Technicznej

Laboratorium Mechaniki Technicznej Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MODELOWANIE UKŁADÓW MECHANICZNYCH Badania analityczne układu mechanicznego

Bardziej szczegółowo

Drgania wymuszone - wahadło Pohla

Drgania wymuszone - wahadło Pohla Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności

Zasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności Zasady dynamiki Newtona Pęd i popęd Siły bezwładności Copyright by pleciuga@o2.pl Inercjalne układy odniesienia Układy inercjalne to takie układy odniesienia, względem których wszystkie ciała nie oddziałujące

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9 Fizyka 1 (mechanika) 1100-1AF14 Wykład 9 Jerzy Łusakowski 05.12.2016 Plan wykładu Żyroskopy, bąki, etc. Toczenie się koła Ruch w polu sił centralnych Żyroskopy, bąki, etc. Niezrównoważony żyroskop L m

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

Prawa ruchu: dynamika

Prawa ruchu: dynamika Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Dynamika ruchu po okręgu siła dośrodkowa Prawa ruchu w układzie nieinercjalnym siły bezwładności Prawa ruchu w układzie obracajacym się siła odśrodkowa siła

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO GRAWITACYJNEGO I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA ĆWICZENIE

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO GRAWITACYJNEGO I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA ĆWICZENIE ĆWICZENIE 1 WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO GRAWITACYJNEGO I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA Cel ćwiczenia: Doświadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera, wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ

Bardziej szczegółowo

Fizyka 12. Janusz Andrzejewski

Fizyka 12. Janusz Andrzejewski Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu INŻYNIERIA MATERIAŁOWA Studia pierwszego stopnia

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu INŻYNIERIA MATERIAŁOWA Studia pierwszego stopnia Karta (sylabus) modułu/przedmiotu INŻYNIERIA MATERIAŁOWA Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Mechanika Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy Kod przedmiotu: IM 1 S 0 2 24-0_1 Rok: I Semestr: 2 Forma studiów:

Bardziej szczegółowo

Kinematyka: opis ruchu

Kinematyka: opis ruchu Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (Mechanika) Wykład II: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny, ruch jednostajnie przyspieszony

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)

Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)

Bardziej szczegółowo

RUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin

RUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika

Bardziej szczegółowo

1. K 5 Ruch postępowy i obrotowy ciała sztywnego

1. K 5 Ruch postępowy i obrotowy ciała sztywnego 1. K 5 Ruch postępowy i obrotowy ciała sztywnego Zadanie 1 Koło napędowe o promieniu r 1 =1m przekładni ciernej wprawia w ruch koło o promieniu r =0,5m z przyspieszeniem 1 =0, t. Po jakim czasie prędkość

Bardziej szczegółowo

D103. Wahadła fizyczne sprzężone (przybliżenie małego kąta).

D103. Wahadła fizyczne sprzężone (przybliżenie małego kąta). D3. Wahadła fizyczne sprzężone (przybliżenie małego kąta). Cel: Zbadanie przebiegu drgań dwóch wahadeł sprzężonych: zbadanie zależności częstości drgań wahadła prostego od jego momentu bezwładności, wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1(mechanika) AF14. Wykład 5

Fizyka 1(mechanika) AF14. Wykład 5 Fizyka 1(mechanika) 1100-1AF14 Wykład 5 Jerzy Łusakowski 30.10.2017 Plan wykładu Ziemia jako układ nieinercjalny Fizyka 1(mechanika) 1100-1AF14 Wykład 5 Dwaj obserwatorzy- związek między mierzonymi współrzędnymi

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1- Mechanika. Wykład 4 26.X Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

Fizyka 1- Mechanika. Wykład 4 26.X Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów Fizyka 1- Mechanika Wykład 4 6.X.017 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ III zasada dynamiki Zasada akcji i reakcji Każdemu działaniu

Bardziej szczegółowo

Elementy dynamiki mechanizmów

Elementy dynamiki mechanizmów Elementy dynamiki mechanizmów Dynamika pojęcia podstawowe Dynamika dział mechaniki zajmujący się ruchem ciał materialnych pod działaniem sił. Głównym zadaniem dynamiki jest opis ruchu ciał pod działaniem

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Newtona. dr inż. Romuald Kędzierski

Zasady dynamiki Newtona. dr inż. Romuald Kędzierski Zasady dynamiki Newtona dr inż. Romuald Kędzierski Czy do utrzymania ciała w ruchu jednostajnym prostoliniowym potrzebna jest siła? Arystoteles 384-322 p.n.e. Do utrzymania ciała w ruchu jednostajnym prostoliniowym

Bardziej szczegółowo

Siła sprężystości - przypomnienie

Siła sprężystości - przypomnienie Siła sprężystości - przypomnienie Pomiary siły sprężystości wykonane kilka wykładów wcześniej (z uwzględnieniem kierunku siły). F = kx = 0.13x 0 F x cm mg Prawo Hooke a Ciało m na idealnie gładkiej powierzchni

Bardziej szczegółowo

a, F Włodzimierz Wolczyński sin wychylenie cos cos prędkość sin sin przyspieszenie sin sin siła współczynnik sprężystości energia potencjalna

a, F Włodzimierz Wolczyński sin wychylenie cos cos prędkość sin sin przyspieszenie sin sin siła współczynnik sprężystości energia potencjalna Włodzimierz Wolczyński 3 RUCH DRGAJĄCY. CZĘŚĆ 1 wychylenie sin prędkość cos cos przyspieszenie sin sin siła współczynnik sprężystości sin sin 4 3 1 - x. v ; a ; F v -1,5T,5 T,75 T T 8t x -3-4 a, F energia

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki. [T.] 1 / David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. wyd. 2. Warszawa, Spis treści

Podstawy fizyki. [T.] 1 / David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. wyd. 2. Warszawa, Spis treści Podstawy fizyki. [T.] 1 / David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. wyd. 2. Warszawa, 2015 Spis treści Od Wydawcy do drugiego wydania polskiego Przedmowa Podziękowania xi xiii xxi 1. Pomiar 1 1.1.

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) przedmiotu Kierunek studiów Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Mechanika Techniczna Rodzaj przedmiotu: Podstawowy Kod przedmiotu:

Karta (sylabus) przedmiotu Kierunek studiów Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Mechanika Techniczna Rodzaj przedmiotu: Podstawowy Kod przedmiotu: Karta (sylabus) przedmiotu Kierunek studiów Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Mechanika Techniczna Rodzaj przedmiotu: Podstawowy Kod przedmiotu: MT 1 S 0 2 14-0_1 Rok: I Semestr: II Forma

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1- Mechanika. Wykład 9 1.XII Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

Fizyka 1- Mechanika. Wykład 9 1.XII Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów Fizyka 1- Mechanika Wykład 9 1.X.016 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ Moment bezwładności - koło Krążek wokół osi symetrii: M dm

Bardziej szczegółowo

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba

Bardziej szczegółowo

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego 1. Balon opada ze stałą prędkością. Jaką masę balastu należy wyrzucić, aby balon

Bardziej szczegółowo

10 K A T E D R A FIZYKI STOSOWANEJ

10 K A T E D R A FIZYKI STOSOWANEJ 10 K A T E D R A FIZYKI STOSOWANEJ P R A C O W N I A F I Z Y K I Ćw. 10. Wyznaczanie momentu bezwładności brył nieregularnych Wprowadzenie Obserwowane w przyrodzie ruchy ciał można opisać * stosując podział

Bardziej szczegółowo

Z-ETI-1027 Mechanika techniczna II Technical mechanics II. Stacjonarne. Katedra Inżynierii Produkcji Dr inż. Stanisław Wójcik

Z-ETI-1027 Mechanika techniczna II Technical mechanics II. Stacjonarne. Katedra Inżynierii Produkcji Dr inż. Stanisław Wójcik Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego Z-ETI-1027 Mechanika

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia

Bardziej szczegółowo

Symetrie i prawa zachowania Wykład 6

Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/29 Rola symetrii Największym

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Mechanika Newtona

Wykład 2 Mechanika Newtona Wykład Mechanika Newtona Dynamika jest nauką, która zajmuję się ruchem ciał z uwzględnieniem sił, które działają na ciało. Podstawą mechaniki klasycznej są trzy doświadczalne zasady, które po raz pierwszy

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXII: Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym. Bak Precesja Żyroskop

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXII: Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym. Bak Precesja Żyroskop Bryła sztywna Wykład XXII: Fizyka I (B+C) Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Bak Precesja Żyroskop Ogólne wyrażenie na moment pędu Tensor momentu bezwładności Osie główne Porównanie Punkt

Bardziej szczegółowo

Zasady i kryteria zaliczenia: Zaliczenie pisemne w formie pytań opisowych, testowych i rachunkowych.

Zasady i kryteria zaliczenia: Zaliczenie pisemne w formie pytań opisowych, testowych i rachunkowych. Jednostka prowadząca: Wydział Techniczny Kierunek studiów: Inżynieria bezpieczeństwa Nazwa przedmiotu: Mechanika techniczna Charakter przedmiotu: podstawowy, obowiązkowy Typ studiów: inżynierskie pierwszego

Bardziej szczegółowo

Prawa ruchu: dynamika

Prawa ruchu: dynamika Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Równania ruchu Więzy Rozwiazywanie równań ruchu oscylator harminiczny, wahadło ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym spektroskop III zasada

Bardziej szczegółowo