Politechnika Białostocka

Transkrypt

1 Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 6 Temat ćwiczenia: DOŚWIADCZALNE SPRAWDZENIE ZASADY SUPERPOZYCJI KOD: B O Studia: stacjonarne, 1-go stopnia Kierunek: Budownictwo Semestr: 3 Autor: dr inż. Jarosław Malesza Białystok 2018

2 1. Wstęp Zasada superpozycji, tzn zasada niezależności działania obciążeń mówi, iż skutek jednoczesnego działania wielu obciążeń na układ (konstrukcję) jest prostą sumą skutków działania każdego z obciążeń z osobna. Przykładem obowiązywania zasady superpozycji jest ugięcie pręta konstrukcji pod wpływem przyłożenia różnych obciążeń, dla którego ugięcie całkowite jest sumą ugięć od poszczególnych obciążeń przyłożonych osobno. Ugięciem belki w danym przekroju nazywamy przesunięcie środka ciężkości tego przekroju w kierunku prostopadłym do osi belki. Największe ugięcie nazywamy strzałką ugięcia i oznaczamy przez f. Jeśli założymy układ współrzędnych xy jak na rysunku wówczas równanie y = f 1 (x) będziemy nazywali równaniem linii ugięcia, a φ = f 2 (x) równaniem kąta obrotu przekroju. Każdemu ugięciu towarzyszy powstanie krzywizny wygiętej belki, która jest opisana równaniem różniczkowym: d 2 y dx 2 = M(x) E I E I d2 y dx 2 = M(x) Na podstawie powyższego równania możemy wyznaczyć ugięcie w dowolnym punkcie belki. Po jednokrotnym scałkowaniu otrzymujemy: E I dy dx = M(x)dx + C L Z powyższego równania można ustalić kąt nachylenia stycznej (kąt obrotu przekroju) do ugiętej osi belki: φ(x) = dy dx

3 Po powtórnym scałkowaniu otrzymamy równanie linii ugięcia y(x) = f(x): E I y(x) = M(x)dxdx L + C x + D Występujące we wzorach stałe całkowania C i D należy ustalać z warunków brzegowych lub warunków ciągłości linii ugięcia. Często obciążenie występujące na belce dzieli ją na odcinki w ten sposób, że moment zginający jest opisany innym równaniem na każdym odcinku. Z rozwiązania równań różniczkowych otrzymujemy wówczas dwa razy więcej stałych niż jest przedziałów całkowania. Obliczenie stałych wymaga rozwiązania szeregu równań liniowych. W metodzie Clebscha uproszczono sposób wyznaczania stałych całkowania oraz zmniejszono ich liczbę do dwóch niezależnie od ilości przedziałów całkowania. Są one ustalane jedynie z warunków brzegowych, tzn założenia nieodkształcalności podpór, czyli np.: dla belki swobodnie podpartej o rozpiętości L ugięcie w miejscach podpór: y = 0, w belce wspornikowej w miejscu podpory zapisujemy y = 0 i φ = 0. Chcąc wyznaczać ugięcia metodą Clebscha musimy spełnić następujące założenia: 1. układ osi współrzędnych ma początek w jednym z końców belki, tzn że równania momentów zginających są pisane względem jednego punktu oraz w równaniu kolejnego odcinka belki znajdują się wszystkie składniki równania poprzednich odcinków, 2. jeśli obciążeniem są siły skupione to wyrażenie (x a i ) n całkujemy jak niżej: (x a i ) n dx = (x a i) n+1 + C n gdy w przekroju określonym współrzędną ai działa moment M należy wprowadzić w równaniu momentów wyrażenie M (x a i ) 0, co umożliwia całkowanie jak wyżej, 4. w przypadku obciążenia ciągłego rozłożonego tylko na pewnym fragmencie belki należy je doprowadzić do końca, dodając na tym odcinku równoważne obciążenie o zwrocie przeciwnym: 2. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ugięcia belki wspornikowej obciążonej siłą skupioną ustawioną na swobodnym końcu belki i ciężarem własnym. Stosując zasadę superpozycji ugięcia od każdego z obciążeń wyznaczamy osobno, a otrzymane rezultaty dodamy otrzymując ugięcie całkowite. Ugięcia wyznaczamy w dwóch różnych przekrojach belki: na swobodnym końcu y 1 (x = L = 700mm) oraz w odległości 400mm od zamocowania y 2 (x = 400mm).

4 3. Metodologia badań W pierwszej kolejności wyznaczamy ugięcie belki w przyjętych punktach od obciążenia skupionego, a następnie od obciążenia równomiernie rozłożonego Ugięcie od obciążenia skupionego. Belkę wspornikową o przekroju poprzecznym b h i rozpiętości L obciążamy siłą skupioną P ustawioną na końcu pręta zgodnie z rysunkiem. Równanie momentu zginającego w przedziale od 0 do L: Równanie krzywizny ugiętej belki: Pierwsza pochodna ma postać: a równanie ugięcia: M(x) = P x P L = P (x L) E I d2 y = P (x L) dx2 E I dy (x L)2 = P + C dx 2 E I y(x) = P 6 (x L)3 + C x + D Stałe całkowania C i D ustalamy z warunków brzegowych: 1. w miejscu utwierdzenia kąt obrotu jest równy zero, φ(x = 0) = 0, stąd:

5 P L2 C = 2 2. w miejscu utwierdzenia ugięcie jest równe zero, y(x = 0) = 0, stąd: P L3 D = 6 Ostatecznie równanie ugięcia, za pomocą którego obliczymy ugięcie w dowolnym miejscu belki przyjmuje postać: y(x) = 1 E I [P 6 (x L)3 P 2 L2 x + P 6 L3 ] y(x) = 3.2. Ugięcie od ciężaru własnego belki P 6 E I [(x L)3 3 L 2 + L 3 ] Ciężar własny belek jest obciążeniem równomiernie rozłożonym zgodnie z rysunkiem: Postępując analogicznie do wcześniejszych obliczeń należy ustalić równanie ugięcia belki Ugięcie całkowite Ugięcie całkowite obliczamy jako sumę ugięć składowych: 3.4. Pomiar ugięcia belki y 1 = y 11 + y 12 i y 2 = y 21 + y 22 W pierwszej kolejności pomiaru ugięcia dokonujemy dla każdego z obciążeń z osobna, a następnie mierzymy ugięcie od obu obciążeń ustawionych jednocześnie. Otrzymane wyniki porównujemy z rezultatami obliczeń. 4. Wymagania BHP Stanowisko do badań nie jest podłączone do prądu elektrycznego i nie posiada elementów niebezpiecznych. Może być w całości obsługiwane przez studentów pod nadzorem osoby prowadzącej zajęcia lub pracownika laboratorium. 5. Literatura [1] Laboratorium wytrzymałości materiałów. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, [2] A.Blum, J.Błaszczak, B.Ładecki, A.Siemieniec, A.Skorupa, B.Zachara.: Ćwiczenia laboratoryjne z wytrzymałości materiałów. Kraków [3] Z.Dylag, A.Jakubowicz, A.Orłoś.: Wytrzymałość materiałów. Tom I i II. WNT. Warszawa [4] M.E.Niezgodziński, T.Niezgodziński.: Wytrzymałość materiałów. PWN. Warszawa 1998.

6 Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Sprawozdanie z ćwiczeń Ćwiczenie nr 6 Temat ćwiczenia: DOŚWIADCZALNE SPRAWDZENIE ZASADY SUPERPOZYCJI KOD: B O Student: Studia:, 1-go stopnia Kierunek: Budownictwo Semestr: 3 Autor: dr inż. Jarosław Malesza Białystok 2018

7 1. Wymiary belki Wymiary przekroju poprzecznego i długość belki: b =, h =, L = Moment bezwładności przekroju: I z = [mm 4 ] Moduł Younga: E = [MPa] 2. Ugięcie obliczone 2.1. Obciążenie skupione Obciążenie: P = [N] Ugięcie : y 11 = y 21 =

8 2.2. Obciążenie ciężarem własnym Obciążenie ciągłe belki Ciężar objętościowy stali: γ = q = [N/mm] Równanie ugięcia :

9 Ugięcie : y 12 = y 22 = 2.3. Obliczone ugięcie całkowite y 1 = y 11 + y 12 = y 2 = y 21 + y 22 = 3. Pomiar ugięcia 3.1. Obciążenie skupione y 11 = y 21 = 3.2. Obciążenie ciągłe y 12 = y 22 = 3.3. Zmierzone ugięcie całkowite y 1 = y 11 + y 12 = y 2 = y 21 + y 22 =