Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018

Transkrypt

1 Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28

2 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv z následujících podmínek: () f (x) je monotónní, (2) f (x) je spojitá, (3) f (x) je omezená má nejvýše konečný počet bodů nespojitosti. Potom existuje určitý integrál f (x)dx. Výpočet určitého integrálu: Newtonov - Leibnitzov formule Necht funkce f (x) je integrovtelná n intervlu, b necht F (x) je její primitivní funkce. Potom pltí: f (x) dx = F (b) F ()

3 Zákldní vlstnosti určitého integrálu Necht funkce f (x) g(x) jsou integrovtelné n intervlu, b. Pk tké funkce f (x) ± g(x) cf (x), kde c je libovolná konstnt, jsou n tomto intervlu integrovtelné pltí: b (f (x) ± g(x)) dx = cf (x) dx = c f (x) dx f (x) dx ± g(x) dx Necht funkce f (x) je integrovtelná n intervlu, b. Pk je integrovtelná i n libovolném podintervlu c, d, kde c < d b. Necht funkce f (x) je definovná n intervlu, b < c < b. Pk funkce f (x) je integrovtelná n intervlu, b právě tehdy, když je integrovtelná n obou intervlech, c c, b. Přitom pltí f (x) dx = f (x) dx =, c f (x) dx + f (x) dx = c b f (x) dx f (x) dx

4 Metod per prtes pro určitý integrál Necht funkce u(x) v(x) mjí n intervlu, b, < b, derivce u (x) v (x), které jsou n tomto intervlu integrovtelné. Pk pltí u(x)v (x) dx = u(x)v(x) b u (x)v(x) dx

5 Substituční metod pro určitý integrál Necht funkce f (t) je spojitá n intervlu, b, < b. Necht funkce ϕ(x) má derivci ϕ (x) n intervlu α, β, α < β, která je n tomto intervlu integrovtelná. Dále necht pltí ϕ(x) b pro x α, β (tedy ϕ(x) zobrzuje intervl α, β do intervlu, b ). Pk pltí, že β α f (ϕ(x)) ϕ (x) dx = ϕ(β) ϕ(α) f (t) dt

6 Aplikce určitého integrálu Geometrické plikce Obsh rovinné množiny Délk křivky Objem rotčního těles Obsh pláště rotčního těles Fyzikální plikce hmotnost, sttický moment, souřdnice těžiště, moment setrvčnosti...

7 Výpočet obshu (plochy) rovinných útvrů Necht je funkce f (x) integrovtelná n intervlu, b, je n něm nezáporná. Pk pro obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného shor grfem funkce f (x), přímkmi x =, x = b osou x pltí P = f (x) dx. Je-li funkce f (x) n intervlu, b nekldná, pro obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného zdol grfem funkce f (x), přímkmi x =, x = b osou x pltí P = f (x) dx. Necht jsou funkce f (x) g(x) integrovtelné pltí g(x) f (x) pro kždé x, b. Pk pro obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného zdol grfem funkce g(x), shor grfem funkce f (x) přímkmi x =, x = b pltí P = (f (x) g(x)) dx.

8 Příkldy Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného y = 4 x 2 ; y = 2 xy = 4; x + y = 5 3 y 2 = 2x +, x y = 4 y 4, x 2 y, x 2 4y

9 Objem rotčního těles Necht je funkce f (x) spojitá nezáporná n intervlu <, b >. Pk rotční těleso, které vznikne rotcí křivočrého lichoběžník ohrničeného shor funkcí f (x), osou x přímkmi x =, x = b kolem osy x, má objem V = π f 2 (x) dx Pro výpočet objemu rotčního těles, které vznikne rotcí oblsti ohrničené křivkmi g(x) f (x) kolem osy x pro x <, b > použijeme vzth V = π f 2 (x) dx π g 2 (x) dx = π [ f 2 (x) g 2 (x) ] dx Zcel nlogicky můžeme určit objem rotčního těles, jehož plášt vznikl rotcí spojité křivky x = h(y), y < c, d > kolem osy y: d V = π h 2 (y) dy c

10 Objem: příkldy y = x 2, x = y 2 kolem osy x; kolem osy y xy = 4, x =, x = 4, y = y 2 = 5x, x = 8

11 Délk oblouku křivky Necht je funkce f (x) definovná n intervlu <, b > má zde spojitou derivci. Pk délk této křivky Příkld s = y = ln x, 3 x 8 + [f (x)] 2 dx. Necht funkce f je dán prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t) y = ψ(t), přičemž funkce ϕ(t) ψ(t)jsou spojité pro t α, β, přičemž funkce ϕ(t) ψ(t) mjí spojité derivci n intervlu α, β Pk délk této křivky Příkld β s = α x = 2 cos t, y = 2 sin t, t π [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt.

12 Nevlstní integrál Nevlstní integrál n neohrničeném intervlu Uvžujme funkci f definovnou n intervlu, + ), R, tkovou, že pro kždé c > existuje určitý integrál c f (x)dx. Pk můžeme definovt funkci F vzthem F (c) = Necht existuje lim c F (c) = I, I R. c f (x)dx, c. Pk řekneme, že nevlstní integrál f (x)dx konverguje jeho hodnot je I. Nevlstní integrál z neohrničené funkce Uvžujme funkci f definovnou n intervlu, b),, b R, < b, která není n intervlu, b) ohrničená, tkovou, že pro kždé c (, b) existuje určitý integrál definovt funkci F vzthem F (c) = c c f (x)dx.pk můžeme f (x)dx, c < b. Necht existuje lim F (c) = I, I R. c b Pk řekneme, že nevlstní integrál f (x)dx konverguje jeho hodnot je I.

13 Příkldy rctg 2 x π3 dx [ + x 2 2 ] x x 2 4 dx [ π 4 ] xe x2 dx [ 2 ] 5 x 3 dx [ 5 2 ] 2 x dx [2 2] ln x dx [ ] 3 x dx [ 5 2 ] 4 π 4 2 dx [D] (x ) 3 x 2 dx x x 2 sin x cos x dx [π] dx [] x 2 4x + 3 dx [D] [D] x ln x dx [ 4 ] 2 rcsin x dx [ln 3] x2