Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki
|
|
- Amalia Janowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Stabilność rozwiązań równań różniczkowych w ujęciu lokalnych układów dynamicznych. Adam Kanigowski Toruń
2 Spis treści 1 Wprowadzenie 3 2 Pojęcie stabilności i asymptotycznej stabilności Pojęcie lokalnego układu dynamicznego Definicja stabilności i przykłady Funkcja Lapunowa Linearyzacja Przykłady i zadania Zadania Rozwiązania
3 Rozdział 1 Wprowadzenie Wiemy, że bardzo często znalezienie rozwiązania równania różniczkowego w postaci wzoru analitycznego jest trudne. W praktyce często interesuje nas przybliżone rozwiązanie danego równania. Jedną z metod wykorzystywanych w tym celu są rozwiązania numeryczne, lecz ma ona wiele wad np.brak stabilności. Wtedy z pomocą przychodzi nam jakościowa analiza rozwiązań. Dzięki niej można uzyskać informacje, w jakim obszarze dane rozwiązanie zachowuje się regularnie. Dlatego chcemy wiedzieć jak zmieni się rozwiązanie równania pod wpływem małych zaburzeń warunków początkowych. Będziemy starali się odpowiedzieć na pytanie jakie warunki muszą być spełnione aby małe zaburzenie warunków początkowych powodowało małą zmianę rozwiązania. Stabilność będzie rozważana w przypadku równań autonomicznych. 3
4 Rozdział 2 Pojęcie stabilności i asymptotycznej stabilności 2.1 Pojęcie lokalnego układu dynamicznego Rozważmy równanie różniczkowe postaci ẋ = f(x), gdzie f jest określona na podzbiorze otwartym D pewnej przestrzeni wektorowej X (w szczególności X = R n ). Zauważmy, iż jest to równanie autonomiczne, gdyż prawa strona równania nie jest zależna od czasu. Wówczas wprowadzamy następujące pojęcie: Definicja 2.1. Niech X będzie przestrzenią topologiczną Ω X R takim, że X {0} Ω. Dla ustalonego x Xoznaczamy I x = {t R : (x, t) Ω}. Niech ϕ : Ω X będzie ustalonym odwzorowaniem. Trójkę (X,Ω,ϕ) nazywamy lokalnym układem dynamicznym, jeżeli: 1. Ω jest otwartym podzbiorem X R oraz dla wszyskich x X, I x jest przedziałem otwartym 2. Dla każdego x X ϕ(x, 0) = x 4
5 3. Jeżeli x X,t I x oraz s I ϕ(x,t), to t + s I x oraz 4. Jeżeli t I x, to t I ϕ(x,t). ϕ(ϕ(x, t), s) = ϕ(x, t + s) Definicję lokalnego układu dynamicznego można rozumieć następująco: Jeżeli w chwili początkowej układ znajdował się w stanie x, po czasie t jest w stanie y i startując ze stanu y po czasie s jest w stanie z, to startując z chwili zerowej ze stanu x można osiągnąć stan z po czasie t+s. Podamy teraz zasadnicze twierdzenie, które wyjaśni nam rolę jaką pełni układ dynamiczny w równaniach różniczkowych oraz pozwoli w prosty sposób sformułować pojęcie stabilności i asymptotycznej stabilności.przyjmujemy oznaczenia jak powyżej Twierdzenie 2.1. Niech f : D X będzie odwzorowaniem klasy C 1 na zbiorze otwartym D X. Dla x D niech I x będzie przedziałem na którym określone jest maksymalne rozwiązanie problemu (jest dokładnie jedno,gdyż funkcja f jest klasy C 1 ): ẋ = f(x), x(0) = x ( ) Niech Ω = {(x, t) D R : x D, t I x }. Określamy: ϕ : Ω D wzorem ϕ(x, t) = x(t), gdzie x = x(t) jest rozwiązaniem maksymalnym problemu ( ). Wtedy trójka (D, Ω, ϕ) jest lokalnym układem dynamicznym. Dowód twierdzenia nie jest trudny, lecz zajmuje dużo miejsca, ze względu na to, że przedmiotem naszych rozważań jest stabilność rozwiązań równań różniczkowych, zostanie on pominięty. Zdefiniujemy teraz trzy podstawowe pojęcia: 5
6 Definicja 2.2. Niech x X 1. Orbitą punktu x nazywamy zbiór o(x) = {ϕ(x, t), t I x } 2. Orbitą dodatnią punktu x nazywamy zbiór o + (x) = {ϕ(x, t), t I x, t 0} 3. Orbitą ujemną punktu x nazywamy zbiór o (x){ϕ(x, t), t I x, t 0}. Definicja 2.3. Zbiór A X nazywamy niezmienniczym jeżeli x A = o(x) A. Definicja 2.4. Niech x X i załózmy, że I x = R.Definiujemy zbiory: ω(x) = t R cl o + (ϕ(x, t)) α(x) = t R cl o (ϕ(x, t)) i nazywamy odpowiednio dodatnim i ujemnym zbiorem granicznym. Zbiorem granicznym są punkty stałe lub orbity okresowe. Lemat 1. Jeśli X jest przestrzenią metryczną, to ω(x) = {y X : ϕ(x, t n ) y, dla pewnego ciągu t n + } α(x) = {y X : ϕ(x, t n ) y, dla pewnego ciągu t n } Dowód. Dowód przeprowadzimy dla zbioru ω(x), dowód dla zbioru α(x) jest analogiczny. Jeżeli y = lim t + ϕ(x, t n ) i niech t R będzie ustalone y = lim t + ϕ(ϕ(x, t), t n t) clo + (ϕ(x, t)). Jeżeli punkt y ω(x), to rozważmy następujący ciąg t n := n + s n, gdzi s n jest takie, że ϕ(ϕ(x, n), s n ) U n, gdzie U n należy do przeliczalnej bazy otoczeń puntu y.(taki ciąg s n istnieje, gdyż y clo + (ϕ(x, n))). Stąd 6
7 ϕ(x, t n ) y oraz t n + Twierdzenie 2.2. Dla każdego x X zbiory ω(x) i α(x) są niezmiennicze. Dowód: Dowód przeprowadzimy dla ω(x). Niech y ω(x) czyli na mocy powyższego lematu dla pewnego ciągu t n + mamy ϕ(x, t n ) y. Stąd dla każdego t ϕ(x, t + t n ) = ϕ(ϕ(x, t n ), t) ϕ(y, t) Otrzymane rezultaty pozwolą nam zdefiniować stabilność w języku lokalnych układów dynamicznych i dadzą alternatywny dowód zasadniczego twierdzenia Lapunowa. Otrzymane wyniki zostaną wykorzystane w następnym rozdziale. 2.2 Definicja stabilności i przykłady Niech f : D X będzie odwzorowaniem klasy C 1,gdzie D X jest zbiorem otwartym. Rozważmy równanie: ẋ = f(x), x(0) = x Definicja 2.5. Każdy punkt x 0 o tej właśności, że f(x 0 ) = 0 nazywamy położeniem równowagi. Sens położenia równowagi jest taki, że jeśli układ opisywany danym równaniem znajduje się w tym położeniu, to zawsze w nim był i na zawsze w nim pozostanie.(rys.1) 7
8 Zauważmy, że obie kulki znajdują się w położeniu równowagi. Oba te położenia różnią się zasadniczo. Jeśli wychylimy kulkę z położenia równowagi to na lewej części rysunku za sprawą sił tarcia, po pewnym czasie wróci ona do początkowego położenia.czyli jest to stabline położenie równowagi, natomiast po prawej stronie gdy wytrącimy kulkę z położenia równowagi, to nigdy już do niego nie powróci, czyli jest to niestabilne położenie równowagi. Definicja 2.6. Niech y(t) będzie rozwiązaniem tego układu w przedziale [0, + ). Mówimy że rozwiązanie y(t) jest rozwiązaniem stabilnym w sensie Lapunowa dla t +, jeśli ε>0 s>0 η>0, że każde rozwiązanie x(t) takie że spełnia dla t > s warunek Jeśli dodatkowo x(s) y(s) < η x(t) y(t) < ε lim t + x(t) y(t) = 0 to mówimy, że rozwiązanie y(t) jest asymptotycznie stabilne. Badanie stabilności rozwiązań równania możemy sprowadzić do badania stabilności rozwiązania zerowego, o czym orzeka poniższy Lemat 2. Badanie stabilności i asymptotycznej stabilności rozwiązania równania różniczkowego sprowadza się do badania stabilności i asymptotycznej stabilności rozwiązania zerowego. Dowód: 8
9 Niech x 0 (t) bedzie rozwiązaniem układu ẋ = f(x), x(0) = x 0. x(t) = y(t) + x 0 (t). Wówczas: Połóżmy f(y(t) + x 0 (t)) = ẋ(t) = ẏ(t) + x 0 (t), stąd ẏ(t) = f(y(t) + x 0 (t)) x 0 (t) = f(y(t) + x 0 (t)) f(x 0 (t)), gdyż x 0 jest rozwiązaniem równania. Zauważmy, że y(t) = 0 jest rozwiązaniem tego równania. Czyli rozwiązanie x 0 (t) jest stabilne wtedy i tylko wtedy gdy stabilne jest rozwiązanie y(t) = 0. Przykład Rozważmy układ liniowy w R 2 ( ) α β ẋ = A x, gdzie A = β α ( ) 0 Funkcja stała z(t) = jest rozwiązaniem danego równania. 0 Zbadajmy stabilność naszago rozwiązania.wiemy, jakie są wzory na rozwiązania układu: x(t) = x 1 (t) = c 1 e αt cosβt + c 2 e αt sinβt x 2 (t) = c 3 e αt cosβt + c 4 e αt sinβt Rozważmy teraz 3 przypadki: ( ) x1 (t), gdzie x 2 (t) 1. α < 0, wówczas x 1 (t), x 2 (t) są dowolnie bliskie zeru dla dostatecznie dużych t.stąd z(t) jest asymptotycznie stabilnym rozwiązaniem. 2. α = 0, wówczas x(t) w zależności od warunku początkowego jest okręgiem, a więc rozwiązanie z(t)jest stabilne ale nie jest asymptotycznie stabilne, gdyż lim t + x(t) > α > 0, wówczas wartości x 1 (t), x 2 (t) oscylują między 0 a e αt, więc rozwiązanie z(t) nie jest stabilne. 9
10 Teraz zdefiniujemy pojęcie stabilności w języku dogodniejszym do naszych rozważań, w języku lokalnych układów dynamicznych. Niech jak wcześniej f : D X będzie odwzorowaniem klasy C 1,gdzie D X jest zbiorem otwartym oraz niech ϕ będzie lokalnym układem dynamicznym generowanym przez równanie ẋ = f(x) Definicja 2.7. Mówimy, że punkt p X jest punktem stałym jeżeli dla każdego t I p mamy ϕ(p, t) = p Teraz podamy związek między definicja punktu równowagi a punktu stałego. Twierdzenie 2.3. Niech p D.Wtedy p jest punktem stałym f(p) = 0 Teraz zdefiniujemy pojęcie stabilności w języku lokalnych układów dynamicznych. Niech p D będzie punktem stałym. Definicja 2.8. Punkt p jest stabilny,jeżeli: 1. Istnieje U 0, otoczenie p takie, że dla każdego x U 0, [0, + ) I x 2. Dla każdego otoczenia U punktu p, istnieje otoczenie punktu p V,że dla każdego x V {ϕ(x, t) : t I x, t 0} U. Aby lepiej uzmyslowić sobie istotę tej defnicji, zauważmy, że z ciągłości lokalnego układu dynamicznego ϕ oraz z tego, że I p = R, wynika następujący warunek zbliżony do warunku z definicji: 1. Dla każdego T > 0, istnieje U 0, otoczenie p takie, że dla każdego x U 0,[0, T ] I x 2. Dla każdego U, otoczenia p, istnieje V, otoczenie p takie, że dla każdego x V oraz 0 t T ϕ(x, t) U Interpretację pojęcia stabilności przedstawia rys. 2 10
11 Teraz podamy definicję asymptotycznej stabilności. Definicja 2.9. Punkt stały p jest asymptotycznie stabilny, jeżeli: 1. p jest stabilny 2. Istnieje U 1 U 0 że dla każdego x U 1 mamy lim t + ϕ(x, t) = p Łatwo zauważyć, że obie definicje stabilności i asymptotycznej stabilności są równoważne, gdyż ϕ(x, t) = x(t), gdzie x(t) jest rozwiązaniem równania oraz analogicznie jak w Lemacie 1 można pokazać że badanie stabilności punktu stałego p można sprowadzić do badania stabilności punktu zerowego. Jeśteśmy teraz przygotowani by zdefiniować funkcję Lapunowa,która pozwala badać stabilność i asymptotyczną stabilność również wtedy, gdy nie znamy jawnych wzorów na rozwiązanie rownania autonomicznego. 11
12 Rozdział 3 Funkcja Lapunowa Niech E D będzie otwartym otoczeniem punktu równowagi p i niech V : E [0, + ) będzie pewną funkcją. Przypuśćmy, że funkcja ta est różniczkowalna w pewnym punkcie x. Oznaczamy: V (x) = [grad V (x), f(x)] Funkcję V (x) nazywamy pochodną V wzdłuż trajektorii. Definicja 3.1. Funkcję V nazywamy funkcją Lapunowa, o ile: 1. V jest ciągła w E i różniczkowalna w E\{p} 2. V (x) 0, dla wszystkich x E, V (x) = 0 x = p 3. V (x) 0 dla wszyskich x E\{p} Jeśli dodatkowo: V (x) < 0 dla wszystkich x E\{p}, to V nazywamy mocną funkcją Lapunowa. 1 1 Od funkcji V wystarczy wymagać, by funkcja t V (x(t)), gdzie x(t) jest dowolnym rozwiązaniem równania ẋ = f(x) była nierosnącą funkcją zmiennej t.czyli by funkcja była nierosnąca wzdłuż rozwiązań. Oczywiście to implikuje, że V (x) 0 ale w praktyce jeśli nie znamy rozwiązań znacznie bardziej przydatna jest właśnie taka definicja. 12
13 Teraz sformułujemy główne twierdzenie. Twierdzenie Jeśli istnieje funkcja Lapunowa, to punkt równowagi p jest stabilny. 2. Jeśli istnieje mocna funckja Lapunowa, to punkt równowagi jest asymptotycznie stabilny. Dowód. Ad 1. Ustalmy dowolne ε tak, aby K(p, 2ε) E. Sfera S(p, ε) = {x : x p = ε} jest zbiorem zwartym, więc funkcja ciągła V osiąga na niej swoje kresy, w szczególności dodatnie minimum równe α. Ponieważ V (p) = 0, więc istnieje δ > 0 taka, że dla każdego x K(p, δ) mamy V (x) < α. Niech x K(p, δ). Pokażemy, że dla każdego dodatniego t I x, V (ϕ(x, t)) < α. Wiemy, że dotv < 0, więc funkcja t V (ϕ(x, t)) jest nierosnącą funkcją zmiennej t, czyli α > V (x) = V (ϕ(x, 0)) V (ϕ(x, t)) Stąd wiemy, że dla każdego x K(p, δ) oraz dodatniego t I x, ϕ(x, t) K(p, ε), gdyż gdyby tak nie było to dostalibyśmy punkt na sferze S(p, ε) ϕ(x, t 1 ). Z określenia liczby α wynika, że V (ϕ(x, t 1 )) α co jest sprzeczne z wyżej udowodnionym warunkiem. Rozwiązanie ϕ(x, t) jest wysycone dla każdego t I x więc dociera prawym końcem do brzegu zbioru R D i stąd [0, + ) I x. Ponieważ ε było dowolne, dowodzi to warunku 2 w definicji stabilności. Ad 2. Ustalmy ε > 0 dobierzmy do niego δ > 0, tak jak w dowodzie pierwszej części twierdzenia.niech x K(0, δ), x p. Wiemy, że o + (x) = {ϕ(x, t), t I x, t 0} K(p, ε). W takim razie ω(x), zbiór graniczny x, jest niepusty i zawiera się w K(p, 2ε).Niech y, z ω(x). Istnieją więc ciągi t n, s n + takie, że ϕ(x, t n ) = y, ϕ(x, s n ) = z ponieważ funkcja t V (ϕ(x, t)) ma ujemną pochodną, więc jest malejąca.mozemy założyć, że... < t n < s n < t n+1 < s n+1 <... dla każdego n.wówczas:... > V (ϕ(x, t n ) > V (ϕ(x, s n ) > V (ϕ(x, t n+1 ) > V (ϕ(x, s n+1 ) >..., dla wszystkich n i z ciągłości V mamy V (y) = V (z). Pokazaliśmy więc, że funkcja V jest stała na zbiorze ω(x). Z Twierdzenia 2 wiemy, że zbiór ten jest niezmienniczy. Niech y ω(x). Wtedy o + (y) ω(x). W takim razie y = p, gdyż w przeciwnym wypadku funkcja [0, + ) t V (ϕ(y, t)) byłaby funkcją malejącą. 13
14 W takim razie dlakażdego x K(p, δ), ω(x) = {p}, a to dowodzi asymptotycznej stabilności. Przykład 2. Rozpatrzmy następujący układ równań w R 2 : ẋ = y x 3 (3.1) ẏ = x y 3 (3.2) ( ) 0 Układ ma dokładnie jeden punkt stały p =. Aby zbadać jesgo stabilność 0 zdefiniujemy funkcje V : R 2 R daną wzorem: V (x, y) = x 2 + y 2 Policzmy V (x, y) : V (x, y) = 2xẋ + 2yẏ = 2x(y x 3 ) + 2y( x y 3 ) = 2(x 4 + y 4 ), czyli dla (x, y) (0, 0) mamy, że V (x, y) < 0, czyli V jest mocną funkcją Lapunowa, a więc punkt p jest asymptotycznie stabilny. 3.1 Linearyzacja Teraz zajmiemy się inną metodą, która pozwala badać stabilność rozwiązań równań różniczkowych, poprzez tzw. linearyzację. Będziemy starali się zastąpić problem nieliniowy problemem liniowym tak, by stabilność obu układów była w jakiś sposób stowarzyszona.rezultatem naszych rozważań będzie twierdzenie Hartmana-Grobmana.Najpierw jednak podamy kilka definicji. Twierdzenie 3.2. Równanie różniczkowe nazywamy równaniem liniowym jednorodnym, o ile ẋ = A x, x(0) = x, gdzie a jest pewną macierzą o współczynnikach rzeczywistych(bądź ogólniej w ciele) 14
15 Definicja 3.2. Widmem macierzy A nazywamy zbiór: σ(a)={λ C: λ jest wartością własną macierzy A}. Definicja 3.3. Układ dynamiczny generowany przez macierz A ma postać: czyli jest to układ liniowy. ϕ(x, t) = e A t x, Definicja 3.4. Liniowy układ dynamiczny generowany przez macierz A nazywamy hiperbolicznym liniowym układem dynamicznym, jeśli widmo σ(a) jest rozłączne z osią urojoną. Przykład 4. Układem hiperbolicznym jest np. : ẋ = A x, gdzie A = ( ) Wiemy,że jeśli f : U R m i U R n, to pochodna f w dowolnym punkcie jest odwzorowaniem liniowym z R n do R m. Pochodną f w punkcie x 0 oznaczymy Df(x 0 ).Ale jako odwzorowanie liniowe Df(0) jest pewną macierzą nazwijmy ją A. Teraz jesteśmy przygotowani na sformułowanie twierdzenia : Twierdzenie 3.3. (Hartman-Grobman) Niech ψ będzie układem dynamicznym generowanym przez równanie liniowe ẋ = Ax, gdzie A = Df(0). Jeżeli A dyktuje układ hiperboliczny, to isnieje otoczenie U punktu p oraz otoczenie V punktu 0 oraz homeomorfizm h : U V, takie,że zlda każdego x U: h(ϕ(x, t) = ψ(h(x), t) Dowód tego twierdzenia jest dość skomplikowany i zostanie pominięty. Uzyskaliśmy więc, że dynamika w otoczeniu punktu równowagi p układu wyjściowego jest taka sama jak dynamika w otoczeniu punktu 0 równania liniowego, o ile pochodna odwzorowania f w zerze wyznacza układ hiperboliczny. 15
16 Rozdział 4 Przykłady i zadania 4.1 Zadania 1. Rozważmy układ liniowy w R 2 ( ) 1 0 ẋ = A x, gdzie A = 0 1 z warunkiem początkowym x(0, 0) = (a, b) Pokazać, że równanie to generuje układ dynamiczny. 2. Rozpatrzmy równanie skalarne ẋ = x. Wykaż że równanie to generuje układ dynamiczny oraz wyznacz jego trajektorie. 3. Rozpatrzmy Rozważmy układ liniowy w R 2 ẋ = B x, gdzie B = Z warunkiem początkowym x(0, 0) = (a, b) ( 0 ) Wyznacz trajektorie rozwiązań dla tego układu. 16
17 4.2 Rozwiązania 1. Rozwiązanie danego problemu stanowi funkcja z(t) = (x(t), y(t)), gdzie x(t) = ae t, y(t) = be t. Zdefiniujemy funkcję f : R R 2 R 2, daną wzorem f(t, (x, y)) = (xe t, ye t ), mamy f(0, (x, y)) = (x, y) oraz f(s, f(t, (x, y))) = (xe ( t + s), ye ( t + s)) = f(t + s, (x, y)) Ciągłość f jest oczywista, a wieć f jest układem dynamicznym. 2. Zauważmy, że układ dynamiczny generowany przez to równanie jest postaci f : R R R dany wzorem f(t, x) = xe t. Układ ten ma tylko trzy różne trajektorie, a mianowicie T 0 = {0}, T 1 = (0, + ) dla x > 0 oraz T 2 = (, 0) dla x<0. 3. Zauważmy że rowiązanie tego równania jest postaci x(t) = (y(t), z(t)), gdzie x(t) = a cos(t) + b sin(t) y(t) = a sin(t) + b cos(t) Zdefiniujemy funkcję f : R R 2 R 2, daną wzorem f(t, (x, y)) = (x cos(t) + y sin(t), x sin(t) + y cos(t) Łatwo sprawdzić, że f jest układem dynamicznym. Zauważmy że trajektoria punktu (0, 0) składa się tylko z tego punktu. Jeżeli x = (x 0, y 0 ) (0, 0), to trajektorią jego jest okrąg. 17
18 Bibliografia [1] A.Pelczar, Wstęp do teorii równań różniczkowych część 2, Warszawa 1989 [2] J.Ombach, Wykłady z równań różniczkowych, Kraków 1996 [3] L.Górniewicz,R.S.Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków tom 2, Toruń
19 Spis rysunków 1. Przykład położenia równowagi (Rys.1) 2. Pojęcie stabilności (Rys.2) 19
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.
VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoFale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji
Fale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji Piotr Bartłomiejczyk Politechnika Gdańska Między teorią a zastosowaniami: Matematyka w działaniu Będlewo, 25 30 maja 2015 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 1 /
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji. Autorzy: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autorzy: Tomasz Zabawa 2018 Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autor: Tomasz Zabawa Pojęcie stycznej do wykresu funkcji f w danym punkcie wykresu P( x 0, f( x 0
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoUkłady autonomiczne. Rozdział Stabilność w sensie Lapunowa. Przedmiotem analizy w tym rozdziale będą układy równań autonomicznych
Rozdział 5 Układy autonomiczne 5.1 Stabilność w sensie Lapunowa Przedmiotem analizy w tym rozdziale będą układy równań autonomicznych ẋ = f(x), (5.1) z funkcją f : Q R m, gdzie Q jest otwartym zbiorem
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoWykład Analiza jakościowa równań różniczkowych
Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoTwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2
Twierdzenie Poincaré Bendixsona 1 TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2 1 TwierdzeniePoincaré Bendixsona W bieżącym podrozdziale zakładamy, że U jest otwartym podzbiorem płaszczyzny R 2 if:u R 2 jestpolemwektorowymklasyc
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoEfekt motyla i dziwne atraktory
O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoV. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach
V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 1. Niezależność wielomianów, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych W paragrafie tym podamy pewien lemat 1 potrzebny w
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowo11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.
Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoOpis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk
Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA
ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 5 - Stabilność układów dynamicznych Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 43 Plan wykładu Wprowadzenie Stabilność modeli
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowo