Zaawansowane metody numeryczne

Transkrypt

1 Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F jest pewną relacją funkcyjną pomiędzy x i d.

2 Zadanie 1) W zadaniu zmienne x i d mogą być różnych typów. 2) Zadanie nazywamy zagadnieniem bezpośrednim jeżeli dane są F i d, a niewiadomą jest x. Jeżeli dane jest x i d, a niewiadomą jest F, to jest ono nazywane zagadnieniem odwrotnym. Przykłady zadań Przykład 1.1. (rozwiązanie równania macierzowego) Znaleźć rozwiązanie równania macierzowego Ax = b. Dane: macierze A i b. Rozwiązanie: macierz x. Relacja: F (x, A, b) = Ax b. Przykład 1.2. (wyznaczenie miejsca zerowego funkcji) Wyznaczyć miejsce zerowe funkcji f. Dane: funkcja f. Rozwiązanie: miejsce zerowe x. Relacja: F (x, f ) = f (x).

3 Zadanie dobrze postawione Definicja 1.2. (zadanie dobrze/źle postawione) Zadanie F (x, d) = 0 nazywamy dobrze postawionym (lub stabilnym), jeżeli posiada jednoznaczne rozwiązanie x, które zależy w sposób ciagły od danych d. Jeżeli zadanie nie posiada tej własności, to mówimy, że jest ono źle postawione (lub niestabilne). Ciągła zależność rozwiązania od danych w definicji zadania dobrze postawionego oznacza, że małe zaburzenia danych d dają w efekcie małą zmianę rozwiązania x. Przykład zadania źle postawionego Przykład 1.3. (liczba rozwiązań równania wielomianowego) Zadanie znalezienia liczby rzeczywistych pierwiastków wielomianu p danego wzorem x R p(x) = x 4 x 2 (2a 1) + a(a 1), gdzie daną jest parametr a R, jest zadaniem źle postawionym.

4 Wskaźnik uwarunkowania zadania Definicja 1.3. (wskaźnik uwarunkowania zadania) Niech będzie dane zadanie F (x, d) = 0. Definiujemy względny wskaźnik uwarunkowania zadania K(d) jako K(d) = sup δd D δx / x δd / d, gdzie D oznacza zbiór dopuszczalnych zaburzeń danych d, dla których zaburzone zagadnienie postaci F (x + δx, d + δd) = 0 dalej ma sens. Jeżeli d = 0 lub x = 0, to K(d) jest nieokreślone i wprowadzamy wtedy bezwzględny wskaźnik uwarunkowania zadania K abs (d) poprzez K abs (d) = sup δd D δx δd. Uwarunkowanie zadania Definicja 1.4. (zadanie źle uwarunkowane) Zadanie F (x, d) = 0 nazywamy zadaniem źle uwarunkowanym, jeżeli K(d) jest duże dla dowolnych dopuszczalnych danych d. 1) Dokładne znaczenie słów małe i duże zależy od rozpatrywanego zagadnienia. 2) Własność dobrego lub złego uwarunkowania zadania nie zależy od używanej metody numerycznego rozwiązywania tego zadania.

5 Rezolwenta i oszacowanie wskaźników Definicja 1.5. (rezolwenta) Jeżeli zadanie F (x, d) = 0 posiada jednoznaczne rozwiązanie, to wówczas istnieje odwzorowanie G nazywane rezolwentą, ze zbioru danych w zbiór rozwiązań, takie że x = G(d), F (G(d), d) = 0. Fakt 1.1. Niech będzie dane zadanie F (x, d) = 0 i niech G będzie jego rezolwentą. Niech G będzie różniczkowalne względem d i niech G (d) oznacza jej pochodną względem d. Wtedy: K(d) G (d) d G(d), K abs(d) G (d). Uwarunkowanie zadania Przykład 1.4. (dodawanie i odejmowanie liczb) Zadanie dodawania dwóch liczb rzeczywistych tego samego znaku jest zawsze dobrze uwarunkowane, natomiast zadanie odejmowania od siebie dwóch prawie równych liczb rzeczywistych jest źle uwarunkowane (rolę normy pełni tutaj wartość bezwzględna).

6 Rezolwenta i oszacowanie wskaźników Jeżeli G : R n R m, to G (d) jest macierzą Jacobiego odwzorowania G wyliczoną w d. Normy w powyższych rachunkach muszą być odpowiednie w stosunku do rodzaju zmiennych x i d. Zadania Przykład 1.5. (układ równań liniowych) Niech będzie dany układ równań liniowych Ax = b, gdzie x, b R n są dwoma wektorami kolumnowymi i A R n n jest macierzą rzeczywistych współczynników tego układu. Załóżmy, że A jest macierzą nieosobliwą. Wtedy nieznanym rozwiązaniem jest x, a danymi są b i A. Zbadać stabilność zadania rozwiązania tego układu przy dodatkowym założeniu, że A jest ustalone, a zaburzane dane to b (d = b).

7 Zadania Przykład 1.6. (równanie nieliniowe) Niech f : R R będzie funkcją klasy C 1 postaci f (x) = ϕ(x) d, gdzie ϕ : R R jest pewną funkcją i d R. Rozważmy zadanie rozwiązania równania nieliniowego postaci f (x) = 0. Wtedy x jest szukanym rozwiązaniem, d jest daną i F (x, d) = f (x). Zbadać stabilność i uwarunkowanie tego zadania.