Układy równań i nierówności liniowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Układy równań i nierówności liniowych"

Transkrypt

1 Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X a 1d X n = b 1 (1) a m1 X a md X n = b m gdzie m N, a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n Oznaczmy a 11 a 1d a 11 a 1n b 1 b 1 A =, [A B] =, b =, a i = a m1 a md a m1 a mn b m b m a 1i, a mi dla i = 1,, n Macierz A nazywamy macierzą układu (1), macierz [A B] nazywamy macierzą rozszerzoną układu (1), wektor b wektorem (kolumną) wyrazów wolnych, a a i, i = 1,, n, kolumnami współczynników Układ (1) można zapisać w równoważnej postaci wektorowej oraz równoważnej postaci macierzowej DEFINICJA 12 Układ równań liniowych (1) nazywamy (i) niejednorodnym, gdy b 0; (ii) jednorodnym, gdy b = 0 a 1 X a n X n = b (2) AX = b (3) DEFINICJA 13 Rozwiązaniem układu równań liniowych (1) (czasami nazywane rozwiązaniem szczególnym) nazywamy każdy ciąg liczb rzeczywistych x = (x 1,, x n ) taki, że a 11 x a 1n x n = b 1 a m1 x a mn x n = b m 1

2 Układy równań i nierówności liniowych 2 Rozwiązanie nazywamy nieujemnym rozwiązaniem układu, jeśli x 0 Zbiorem rozwiązań (odpowiednio, nieujemnych) układu równań liniowych (1) nazywamy zbiór wszystkich rozwiązań (odpowiednio, nieujemnych) układu (1), tj zbiór {x R n : Ax = b} (odpowiednio, zbiór {x R n : x 0, Ax = b}) WNIOSEK 11 Zbiór rozwiązań układu równań liniowych jest zbiorem afinicznym UWAGA 11 Czasami zbiór rozwiązań układu równań liniowych (1) nazywamy rozwiązaniem ogólnym układu równań (1) WNIOSEK 12 Jeżeli układ równań posiada dwa różne rozwiązania, to posiada nieskończenie wiele rozwiązań DEFINICJA 14 Układ równań liniowych (1) nazywa sie sprzecznym, gdy nie posiada żadnego rozwiązania, w przeciwnym przypadku nazywa się niesprzecznym DEFINICJA 15 Niesprzeczny układ równań liniowych (1) nazywa sie: (i) oznaczonym, gdy posiada dokładnie jedno rozwiązanie; (ii) nieoznaczonym, gdy posiada nieskończenie wiele rozwiązań TWIERDZENIE 13 (Kroneckera-Capelliego) Układ równań liniowych (1) jest niesprzeczny iff r(a) = r([a B]) Ponadto, (i) jeżeli r(a) = r([a B]) = n, to układ jest oznaczony; (ii) jeżeli r(a) = r([a B]) = r < n, to układ jest nieoznaczony, przy czym rozwiązania zależą od n r parametrów przebiegających zbiór liczb rzeczywistych DEFINICJA 16 Układ równań liniowych (1) nazywa sie układem Cramera, jeżeli n = m oraz det(a) 0 TWIERDZENIE 14 (Cramer) Układ równań liniowych Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie tj jest układem oznaczonym, a jego rozwiązanie (x 1,, x n ) T jest zadane wzorem x i = det(a i), i = 1,, n, det(a) gdzie macierz A i oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny przez kolumnę wyrazów wolnych DEFINICJA 17 Układ równań liniowych (1) nazywa sie jednorodnym, gdy wektor wyrazów wolnych jest wektorem zerowym TWIERDZENIE 15 Układ jednorodny równań liniowych jest zawsze układem niesprzecznym (posiada zawsze rozwiązanie zerowe) Ponadto, (i) jeżeli r(a) = n, to układ jest oznaczony; (ii) jeżeli r(a) = r < n, to układ jest nieoznaczony, przy czym rozwiązania zależą od n r parametrów przebiegających zbiór liczb rzeczywistych

3 Układy równań i nierówności liniowych 3 Następujące operacje wykonywane na równaniach układu równań liniowych: (i) przestawienie miejscami dwóch dowolnych równań układu; (ii) pomnożenie obu stron dowolnego równania przez liczbę różną od zera; (iii) dodanie do dowolnego równania układu, innego równania tego układu pomnożonego przez liczbę różną od zera; (iv) zamiana w każdym z równań tych samych dwóch zmiennych miejscami (łącznie z występującymi z nimi współczynnikami przekształcają wyjściowy układ równań w układ równań równoważnych Powyższym operacjom na równaniach układu równań odpowiadają analogiczne przekształcenia na wierszach macierzy rozszerzonej Noszą one nazwę operacji elementarnych Dlatego zamiast dokonywania operacji na równania układu można przekształcać wiersze macierzy rozszerzonej Przekształcenia te stanowią podstawę metody rozwiązywania układów równań linowych zw metodą eliminacji Gaussa lub metodę operacji elementarnych Mówi o tym następujące twierdzenie TWIERDZENIE 16 Stosując metodę operacji elementarnych na wierszach macierzy rozszerzonej ( przestawiając ewentualnie dodatkowo kolumny macierzy układu) możemy sprowadzić macierz rozszerzoną układu do jednej z czterech postaci kanonicznych [I C 1 ], [I M C 1 ], [ ] [ I C1 I M, 0 C 2 0 ] C 1 C 2 gdzie I oznacza macierz jednostkową, M tzw macierz resztową, a macierze C 1 i C 2 powstają z przekształcania kolumny wyrazów wolnych za pomocą przekształceń elementarnych W pierwszych dwóch przypadkach układ równań jest niesprzeczny, z tym że w pierwszym przypadku jest to układ oznaczony, a w drugim nieoznaczony Natomiast w dwóch pozostałych przypadkach układ jest niesprzeczny iff macierz C 2 jest macierzą zerową W trzecim przypadku jest to układ oznaczony, a w czwartym nieoznaczonym LEMAT 17 Niech V będzie podprzestrzenią R n oraz b R n Wtedy zachodzi dokładnie jedno z następujących stwierdzeń: a) b V ; b) istnieje u V taki, że b, u = 1 Dowód Dla b R n mamy rozkład b = b 1 + b 2, gdzie b 1 V oraz b 2 V Możliwe są dwa przypadki: 1) b 2 = 0 Wtedy b = b 1 V 2) b 2 0 Wtedy b, b 2 = b 2 2 > 0,

4 Układy równań i nierówności liniowych 4 Lemat ten jest szczególnym przypadkiem lematu Farkasa (twierdzenie??) W języku rozwiązań układów równań liniowych lemat ten ma następującą postać TWIERDZENIE 18 Niech A będzie m d-macierzą oraz b R n Wtedy zachodzi dokładnie jedno z następujących stwierdzeń: albo 1 zbiór rozwiązań w R n układu jest niepusty; Au = 0, b T u = 1 (4) albo 2 zbiór rozwiązań w R m układu jest niepusty A T v = b (5) Dowód Niech a T 1,, a T m oznaczają wiersze macierzy A Oznaczmy V = lin{a 1,, a m } Zauważmy, że wówczas (i) b V iff istnieje v R m takie, że Av = b; (ii) u V iff Au = 0 Dlatego dowód wynika natychmiast z lematu 17 DEFINICJA 18 Rozwiązanie x R m układu równań (1) nazywa się bazowym, gdy zbiór {a i : x i 0} składa się z wektorów liniowo niezależnych Współczynniki niezerowe w rozwiązaniu bazowym nazywają się zmiennymi bazowymi, a zerowe zmiennymi niebazowymi WNIOSEK 19 Niech układ równań liniowych (1) będzie układem oznaczonym Wtedy jedyne rozwiązanie tego układu jest rozwiązaniem bazowym WNIOSEK 110 Dla każdego podzbioru składającego się z wektorów liniowo niezależnych zbioru a 1,, a n } istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie bazowe równania (1) WNIOSEK 111 1) Sprzeczny układ równań liniowych ma zero rozwiązań bazowych 2) Liczba rozwiązań bazowych niesprzecznego układu równań liniowych (1) jest zawarta pomiędzy 1, a ( ) n r, gdzie r = r(a) Dowód Liczba podzbiorów zbioru a 1,, a n } składających sie z wektorów niezależnych jest ograniczona z góry przez ( ) n r, gdzie r = r(a) Każde rozwiązanie bazowe jest rozwiązaniem układu równań powstałego z układu (1) przez wstawienie przy n r kolumnach współczynników zer

5 Układy równań i nierówności liniowych 5 Przykład 11 Rozważamy układ równań liniowych postaci x 1 + 2x 2 + x 3 2x 4 = 6 x 1 + x 2 + 2x 3 x 4 = 8 Jego rozwiązaniami bazowymi są następujące wektory: (4, 0, 2, 0) T, (10, 2, 0, 0) T, (10, 0, 0, 2) T, (0, 0, 10/3, 4/3) T, (0, 4/3, 10/3, 0) T Zauważmy, że ( ) 4 2 = 6, ale zmienne x2 i x 4 nie mogą być jednocześnie bazowe, gdyż wektory (2, 1) T i ( 2, 1) T nie są niezależne TWIERDZENIE 112 Jeżeli równanie (1) ma rozwiązanie nieujemne, to ma ono również bazowe rozwiązanie nieujemne Dowód Dowód będzie indukcyjny, że względu na liczbę kolumn d macierzy A Dla d = 1 jest oczywisty Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla k < d i niech x będzie rozwiązaniem nieujemnym równania (1) Jeżeli jakakolwiek współrzędna x jest równa zero to istnieje bazowe rozwiązanie nieujemne równania (1) na mocy założenia indukcyjnego Załóżmy, że x 0 Jeżeli wektory a 1,, a n są niezależne to rozwiązanie x jest rozwiązaniem bazowym, co kończy dowód Załóżmy, że wektory a 1,, a n są zależne Wtedy istnieje y 0 taki, że y i a i = 0 (6) i=1 y i Nie zmniejszając ogólności, można zakładać, że dla pewnego i, y i > 0 Niech θ = max i x i Wtedy dla pewnego i, θ = y i > 0 Załóżmy, że θ = y 1 Zauważmy, że x i x 1 ( 1 θ y i i=1 θ x i ( 1 θ y i θ x i θ y 1 x 1 = 0, ) x i a i = ) x i 0, x i a i 1 y i a i=1 θ i = b 0 = b, i=1 czyli istnieje nieujemne rozwiązanie równania (1), którego pierwsza współrzędna jest równa zero, a więc na mocy założenia indukcyjnego istnieje bazowe rozwiązanie nieujemne równania (1) 2 Metody rozwiązywania układów nierówności liniowych DEFINICJA 21 Każdy układ m nierówności liniowych o d niewiadomych X 1,, X n, d N, o rzeczywistych współczynnikach można zapisać w postaci a 11 X a 1d X d b 1 a m1 X a md X d b m (7)

6 Układy równań i nierówności liniowych 6 gdzie m N, a ij R, i = 1,, m, j = 1,, d Oznaczmy a 11 a 1d A = a m1 a md, b = b 1 b m, a i = a 1i a mi, dla i = 1,, d Macierz A nazywamy macierzą układu (7) Układ (7) można zapisać w równoważnej postaci wektorowej oraz równoważnej postaci macierzowej DEFINICJA 22 Układ nierówności (7) nazywamy (i) niejednorodnym, gdy b 0; (ii) jednorodnym, gdy b = 0 a 1 X a d X d b (8) AX b (9) DEFINICJA 23 Rozwiązaniem układu nierówności liniowych (7) nazywamy każdy ciąg liczb rzeczywistych x = (x 1,, x d ) taki, że a 11 x a 1d x d b 1 a m1 x a md x d b m Rozwiązanie nazywamy nieujemnym rozwiązaniem układu, jeśli x 0 Zbiorem rozwiązań (odpowiednio, nieujemnych) układu nierówności liniowych (7) nazywamy zbiór wszystkich rozwiązań (odpowiednio, nieujemnych) układu (7), tj zbiór {x R d : Ax b} (odpowiednio, zbiór {x R d : x 0, Ax b}) WNIOSEK 21 Ciąg (0,, 0) jest rozwiązaniem jednorodnego układu nierówności DEFINICJA 24 Układ nierówności (7) nazywamy rozwiązalnym (dopuszczalnym), gdy posiada rozwiązanie DEFINICJA 25 Niech λ 1,, λ m R + Wtedy nierówność (λ 1 a λ m a m1 )X (λ 1 a 1d + + λ m a mn )X d λ 1 b λ m b m nazywamy kombinacją liniową o nieujemnych współczynnikach nierówności układu (7) WNIOSEK 22 Każde rozwiązanie układu nierówności liniowych (7) jest rozwiązaniem każdej nierówności będącej kombinacją liniową o nieujemnych współczynnikach nierówności układu (7)

7 Układy równań i nierówności liniowych 7 DEFINICJA 26 Układ nierówności liniowych nazywamy sprzecznym, gdy nierówność 0 > 1 jest kombinacją liniową o nieujemnych współczynnikach tego układu TWIERDZENIE 23 Układ nierówności liniowych określonych przez (7) jest rozwiązalny iff nie jest sprzeczny Dowód Rozważmy obecnie układ (7) wprowadzając do niego dodatkowe zmienne y 1,, y m zdefiniowane następująco: y 1 = b 1 (a 11 X a 1n X n ) (10) y m = b m (a m1 X a mn X n ) Zmienne określone wzorem (10) nazywamy zmiennymi swobodnymi, ich wartości są nieujemne Zmienne swobodne przekształcają układ nierówności (7) w układ równań postaci Układ (11) można zapisać w postaci macierzowej a 11 X a 1n X n + y 1 = b 1 a m1 X a mn X n + y m = b m (11) AX + Y = B, gdzie Y = y 1 y n (12) lub [ ] X AX + I m Y = B, albo [A I m ] = B, (13) Y gdzie I m jest macierzą jednostkową stopnia m Macierz uzupełniona A u układu (11) jest postaci A u = [A I m B] Układ równań (11) jest rozwiązalny, gdyż r(a u) = m [ ] X Nierówność (7) ma rozwiązanie X iff istnieje wektor Y 0 taki, że wektor jest Y rozwiązaniem równania (13) Jeżeli ograniczymy się do rozwiązań nieujemnych układu (7), to X 0 jest rozwiązaniem [ ] X nierówności (9) iff wektor 0 jest rozwiązaniem równania (13) Y LEMAT 24 Stosując przekształcenia elementarne wierszy można macierz uzupełnioną A u = A u = [A I m B] układu równań (11) sprowadzić do jednej z postaci 1) [I m R B ] gdy r(a) = m = n; 2) [I m A R B ] gdy r(a) = m oraz n > m;

8 Układy równań i nierówności liniowych 8 I n R B 1 3) gdy r(a) = n, m > n; 0 R 1 I m n B 2 I r A R B 1 4) gdy r(a) = r oraz r < min(n, m) 0 R 1 I m r B 2 TWIERDZENIE 25 1) Jeżeli rząd macierzy A układu nierówności liniowych (7) jest równy m to układ ten jest rozwiązalny 2) Jeżeli rząd macierzy A układu nierówności liniowych (7) jest mniejszy od m to układ ten jest rozwiązalny iff układ równań o macierzy rozszerzonej [R 1 I m n B 2] z postaci 3) lub [R 1 I m r B 2] z postaci 4) ma co najmniej jedno nieujemne rozwiązanie bazowe Przykład 21 Znaleźć rozwiązanie ogólne układu nierówności x 1 + x 2 + x 3 2, x 1 + 2x 2 + x 3 4, x 1 + x 2 + 3x 3 5 Układowi nierówności odpowiada układ równań postaci x 1 + x 2 + x 3 + y 1 = 2, x 1 + 2x 2 + x 3 + y 2 = 4, x 1 + x 2 + 3x 3 + y 3 = 5 Jego macierz uzupełniona ma postać Mnożąc pierwszy wiersz kolejno przez 1, a następnie dodając odpowiednio do drugiego i trzeciego wiersza, otrzymujemy Trzeci wiersz mnożymy przez 1 2 Mamy

9 Układy równań i nierówności liniowych 9 Do pierwszego wiersza dodajemy trzeci pomnożony przez 1, Drugi wiersz mnożymy przez 1 dodajemy do pierwszego wiersza W ten sposób sprowadziliśmy uzupełnioną macierz układu równań do macierzy postaci 1) Na mocy twierdzenia układ nierówności ma rozwiązanie postaci gdzie t 1, t 2, t 3 0 x 1 = t 1 + t t 3, x 2 = 2 + t 1 t 2, x 3 = t t 3, Przykład 22 Znaleźć rozwiązanie ogólne układu nierówności x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 2, x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 4, 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 4x 4 5 Układowi nierówności odpowiada układ równań postaci x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 + y 1 = 2, x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 + y 2 = 4, 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 4x 4 + y 3 = 5 Jego macierz uzupełniona ma postać Mnożąc pierwszy wiersz kolejno przez 1 i 2, a następnie dodając odpowiednio do drugiego i trzeciego wiersza, otrzymujemy

10 Układy równań i nierówności liniowych 10 Do pierwszego wiersza dodajemy drugi pomnożony przez 1, otrzymując W ten sposób sprowadziliśmy uzupełnioną macierz układu równań do macierzy postaci 4) Zgodnie z twierdzeniem układ wyjściowych nierówności jest rozwiązalny iff równanie 2y 1 + y 3 = 1 ma przynajmniej jedno nieujemne rozwiązanie bazowe Ponieważ y 3 = 1 + 2y 1 to przyjmując y 1 = 0 otrzymujemy y 3 = 1, czyli y 1 = 0 i y 3 = 1 jest nieujemnym rozwiązaniem bazowym Dlatego układ nierówności ma rozwiązanie postaci x 1 = d 1 3d 2 2t 1 + t 2, x 2 = 2 + d 2 + t 1 t 2, x 3 = d 1, x 4 = d 2 gdzie d 1, d 2 R t 1, t 2, t 3 0 oraz 2t 1 + t 3 = 1 Przykład 23 Znaleźć rozwiązanie ogólne układu nierówności x 1 + x 2 2, 2x 1 + x 2 4, x 1 0, x 2 0 Układowi nierówności odpowiada układ równań postaci x 1 + x 2 + y 1 = 2, 2x 1 + x 2 + y 2 = 4, x 1 + y 3 = 0, x 2 + y 4 = 0 Jego macierz uzupełniona ma postać Mnożąc pierwszy wiersz kolejno przez 2 i 1, a następnie dodając odpowiednio do drugiego i trzeciego wiersza, otrzymujemy

11 Układy równań i nierówności liniowych 11 Dodajemy trzeci wiersz do pierwszego, a następnie mnożymy trzeci wiersz przez 2 i dodajemy do drugiego wiersza otrzymując Pierwszy wiersz mnożymy przez 1, następnie dodajemy drugi wiersz do trzeciego i do czwartego otrzymując macierz Czwarty wiersz odejmujemy od wiersza drugiego i wiersza trzeciego, a następnie trzeci wiersz mnożymy przez 1 W ten sposób otrzymujemy macierz W ten sposób sprowadziliśmy uzupełnioną macierz układu równań do macierzy postaci 3) Zgodnie z twierdzeniem układ wyjściowych nierówności jest rozwiązalny iff układ równań y 1 y 3 + y 4 = 2, y 2 + 2y 3 + y 4 = 4, ma przynajmniej jedno nieujemne rozwiązanie bazowe Ponieważ y 1 = 2 + y 3 y 4, y 2 = 4 2y 3 y 4, to przyjmując y 3 = y 4 = 0 otrzymujemy y 1 = 2 oraz y 4 = 4, czyli y 1 = 2 i y 2 = 4, y 3 = 0, y 4 = 0 jest nieujemnym rozwiązaniem bazowym Dlatego układ nierówności ma rozwiązanie postaci x 1 = t 1, x 2 = t 2, gdzie t 1, t 2 0 spełniają nierówności 2 + t 1 t 2 0, 4 2t 1 t 2 0 Można pokazać, że wszystkie nieujemne rozwiązania układu można przedstawić jako kombinację wypukłą wierzchołków: (0, 0), (0, 2), (20), (2/3, 8/3)

12 Układy równań i nierówności liniowych 12 3 Twierdzenie Kuhna Niniejszy podrozdział poświęcimy twierdzeniu Kuhna dotyczącemu układów nierówności i równań liniowych które udowodnimy metodami programowania liniowego Układem równań i nierówności liniowych będziemy nazywać układ postaci a ij x j b j, (i N) a ij x j = b j, (i R) gdzie N R = {1, 2,, m} Dla każdego i N, nierówność n a ij x j b j możemy wymnożyć przez nieujemną liczbę y i otrzymując a ij x j y i y i b i oraz dla każdego i R równość n a ij x j = b j możemy wymnożyć przez dowolną liczbę y i otrzymując a ij x j y i = y i b i Dodając powyższe nierówności stronami i zmieniając kolejność sumowania otrzymujemy ostatecznie nierówność ( m ) m a ij y i x j y i b i (15) i=1 i=1 Zwróćmy uwagę, że w ten prosty sposób otrzymaliśmy pewne kryterium niesprzeczności układu (14) Nim kryterium to sformułujemy w postaci ogólnej, przyjrzymy się jak funkcjonuje ono na przykładzie Przykład 31 Niech będzie dany następujący układ nierówności i równań liniowych: 2x 1 7x 2 + x 3 1 x 1 + 3x 2 + 2x 3 + x 4 2 x 1 + x 2 x 3 0, 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 6 Jeżeli w nierówności (15) podstawimy y 1 = 1, y 2 = 2, y 3 = 3 oraz y 4 = 1, to otrzymamy nierówność 0x 1 + 0x 2 = 0x 3 + 0x 4 1, a więc sprzeczność Ponieważ tylko y 4 jest ujemne, to wynika stąd, że układ (16),jest sprzeczny DEFINICJA 31 Układ (14) nazywa się niezgodnym, gdy istnieją liczby y 1,, y m spełniające następujące warunki y i 0 i M, m a ij y i = 0 j = 1,, n, i=1 m b i y i < 0 i=1 (14) (16) (17)

13 Układy równań i nierówności liniowych 13 UWAGA 31 Oczywiście, jeżeli układ jest niezgodny, to jest sprzeczny Zachodzi również implikacja przeciwna Udowodnił ją w 1956 roku HW Kuhn TWIERDZENIE 31 (Kuhn) Układ nierówności i równań liniowych (14) jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, jeżeli jest niezgodny Dowód Ponieważ każdy układ niezgodny jest sprzeczny, to należy udowodnić implikację odwrotną Implikację odwrotną dowodzi sie metodami programowania liniowego 4 Metoda Fouriera-Motzkina redukcji układów nierówności Niech będzie dany układ nierówności a ij x i b i, i = 1,, m (18) Metoda Fouriera-Motzkina polega na stopniowej redukcji zmiennych tak, by w końcu otrzymać jedną zmienną niezależną, a więc układ trywialny Powiedzmy od razu, że to zmniejszanie liczby zmiennych będzie sie odbywało kosztem bardzo szybkiego wzrostu liczby nierówności Nie zmniejszając ogólności można zakładać, że: pierwszych m 1 nierówności ma przy x 1 współczynnik dodatni następne m 2 nierówności mają przy x 1 współczynnik ujemny w pozostałych m (m 1 + m 2 ) nierównościach współczynnik przy x 1 jest równy zero Dzieląc każdą z m 1 + m 2 nierówności przez a i1 (i = 1,, m 1 + m 2 otrzymamy z (18) równoważny mu układ postaci x 1 + a ijx i b i, i = 1,, m 1 czyli x 1 + x 1 + x 1 + a ijx i b i, i = m 1 + 1,, m 1 + m 2 a ijx i b i, i = m 1 + m 2 + 1,, m ijx i b i, i = 1,, m 1 ijx i b i, i = m 1 + 1,, m 1 + m 2 ijx i b i, i = m 1 + m 2 + 1,, m (19) (20)

14 Układy równań i nierówności liniowych 14 gdzie ij = a ij, b i = b i dla i = 1, m 2, i = m 1 + m 2 + 1,, m oraz ij = a ij, b i = b i dla i = m 1 + 1, m 1 + m 2 Układ (20 ) jest z kolei równoważny układowi b i 1 i 1 jx i x 1 b i 2 ijx i b i, i = m 1 + m 2 + 1,, m i 2 jx i,, i 1 = m 1 + 1,, m 1 + m 2, i 2 = 1,, m 1, (21) Zredukowane zadanie będzie następującym układem nierówności: ( i 2 j i 1 j)x i x 1 b i 2 b i 1,, i 1 = m 1 + 1,, m 1 + m 2, i 2 = 1,, m 1, ijx i b i, i = m 1 + m 2 + 1,, m (22) Sprzeczność układu (22) oznacza sprzeczność układu (21) Natomiast jeśli układ (22) jest niesprzeczny to każde rozwiązanie x 2,, x n można rozszerzyć do rozwiązania x 1, x 2,, x n dołączając dowolne x 1 spełniające układ nierówności b i 1 i 1 jx i x 1 b i 2 Zilustrujemy opisaną metodę następującym przykładem Przykład 41 Niech będzie dany układ równań i 2 jx i,, i 1 = m 1 + 1,, m 1 + m 2, i 2 = 1,, m 1 2x 1 + 4x 2 6x 3 8 x 1 2x 2 + x 3 5 x 1 + x 2 + x 3 3 3x 2 4x 3 12 Zastosujmy do tego układu kolejne etapy metody Fouriera-Motzkina Po pierwsze, doprowadzamy do sytuacji w której współczynniki przy x 1 są równe 1, 1 lub 0 Stąd x 1 + 2x 2 3x 3 8 x 1 2x 2 + x 3 5 x 1 + x 2 + x 3 3 3x 2 4x x 2 x 3 x 1 4 2x 2 + x 3 3 x 2 x 3 x x 2 + x 3 3x 2 4x 3 12 (23)

15 Układy równań i nierówności liniowych 15 i zredukowany układ nierówności który po zredukowaniu przyjmie postać a więc 3 x 2 x 3 x 1 4 2x 2 + x 3 3 x 2 x 3 x x 2 + x 3 3x 2 4x 3 12 x 2 4x 3 1 3x 2 2 3x 2 4x 3 12 x 2 4x 3 1 x x 3 4 Teraz redukujemy zmienną x 2 : x x x x x 3 (24) a więc 4x x i ostatecznie x 3 5 Ten wynik zaś oznacza, że dla każdego możemy dzięki (23) i (24) 12 znaleźć odpowiednie wartości x 2 i x 1 UWAGA 41 Zauważmy, że przy układzie co najwyżej trzech nierówności liczba nierówności przy kolejnych redukcjach nie zwiększa się (tak właśnie było w naszym przykładzie)

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych metoda gaussowskiej eliminacji

Układy równań liniowych metoda gaussowskiej eliminacji Wykład4(29X2009) Układy równań liniowych metoda gaussowskiej eliminacji Treść wykładu Teoria układów równań liniowych, I Przykłady prowadzenia eliminacji niewiadomych metodą Gaussa, Wprowadzenie języka

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych.. Układy równań o macierzach trójkątnych.. Metoda eliminacji Gaussa.3. Metoda Gaussa-Jordana.4.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s) = s n + 1 s n 1 ++a 1 s+a 0, 1) gdzie n N, a i R i = 0,,n), 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i i = 0,,n)

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne

Programowanie matematyczne dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Funkcje i tabele. Paweł Bednarz 29 marca Funkcje Funckja liniowa Własności funkcji liniowej Funkcja kwadratowa...

Funkcje i tabele. Paweł Bednarz 29 marca Funkcje Funckja liniowa Własności funkcji liniowej Funkcja kwadratowa... Funkcje i tabele Paweł Bednarz 29 marca 2015 Spis treści 1 Funkcje 2 1.1 Funckja liniowa............................ 2 1.1.1 Własności funkcji liniowej.................. 2 1.2 Funkcja kwadratowa.........................

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX

Bardziej szczegółowo