Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne"

Transkrypt

1 , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne

2 Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

3 Niech X, X n (n = 1, 2,...) będą zmiennymi losowymi określonymi na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P). Omówimy rodzaje zbieżności ciągu (X n ) do zmiennej losowej X., centralne twierdzenia graniczne

4 Niech X, X n (n = 1, 2,...) będą zmiennymi losowymi określonymi na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P). Omówimy rodzaje zbieżności ciągu (X n ) do zmiennej losowej X. Definicja Mówimy, że ciąg zmiennych losowych (X n ) jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub stochastycznie) do zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy lim P ({ω Ω : X n(ω) X (ω) ε}) = 0 n dla każdego ε > 0. Zbieżność stochastyczną oznaczamy przez X n p X., centralne twierdzenia graniczne

5 Definicja Mówimy, że ciąg zmiennych losowych (X n ) jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (lub prawie na pewno) do zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy ({ }) P ω Ω : lim X n(ω) = X (ω) = 1. n Piszemy wówczas X n X., centralne twierdzenia graniczne

6 Definicja Mówimy, że ciąg zmiennych losowych (X n ) jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (lub prawie na pewno) do zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy ({ }) P ω Ω : lim X n(ω) = X (ω) = 1. n Piszemy wówczas X n X. Twierdzenie Jeśli ciąg (X n ) jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 do zmiennej losowej X, to ciąg (X n ) jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej losowej X., centralne twierdzenia graniczne

7 Twierdzenie odwrotne do powyższego twierdzenia jest fałszywe, świadczy o tym następujący przykład. Przykład Niech (Ω, M, P) będzie przestrzenią probabilistyczną, gdzie Ω = (0, 1, M jest rodziną zbiorów borelowskich na przedziale (0, 1, P jest prawdopodobieństwem określonym wzorem P(A) = A. Określamy ciąg (A n ) podzbiorów zbioru Ω taki, że ( ( ( ( A 1 = 0, 1 2, A 2 = 1 2, 1, A 3 = 0, 1 4, A 4 = 1 4 4, 2, ( ( A 5 = 2 4 4, 3, A 6 = 3 4, 1, ( ( A 7 = 0, 1 8, A 8 = 1 8 8, 2,... itd., centralne twierdzenia graniczne

8 Przykład (cd) Dla dowolnej liczby naturalnej n przyjmujemy X n (ω) = { 1 dla ω An, 0 dla ω / A n. Łatwo można sprawdzić, że dla dowolnej liczby ε > 0 spełniony jest warunek lim P ({ω (0, 1 : X n(ω) ε}) = 0. n, centralne twierdzenia graniczne

9 Przykład (cd) Istotnie, jeśli ε > 1, to dla każdego n N. Dla 0 < ε 1 mamy natomiast P ({ω (0, 1 : X n (ω) ε}) = 0 P ({ω (0, 1 : X n (ω) ε}) = A n 0, gdy n. Oznacza to, że ciąg (X n ) jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej losowej X 0 (tzn. do zmiennej losowej X o rozkładzie jednopunktowym skoncentrowanym w punkcie 0). Z drugiej strony, dla dowolnego ustalonego ω 0 (0, 1 ciąg liczbowy (X n (ω 0 )) zawiera dwa podciągi, jeden o wyrazach równych 0, drugi o wyrazach równych 1. Wynika stąd, że ciąg funkcyjny (X n ) nie jest zbieżny punktowo do żadnej granicy., centralne twierdzenia graniczne

10 Załóżmy, że zmienne X n (n = 1, 2,...), X mają skończone momenty drugiego rzędu., centralne twierdzenia graniczne

11 Załóżmy, że zmienne X n (n = 1, 2,...), X mają skończone momenty drugiego rzędu. Definicja Mówimy, że ciąg zmiennych losowych (X n ) jest zbieżny przeciętnie z kwadratem (lub średnio kwadratowo) do zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy lim n E(X n X ) 2 = 0. Piszemy wówczas l.i.m. n X n = X., centralne twierdzenia graniczne

12 Załóżmy, że zmienne X n (n = 1, 2,...), X mają skończone momenty drugiego rzędu. Definicja Mówimy, że ciąg zmiennych losowych (X n ) jest zbieżny przeciętnie z kwadratem (lub średnio kwadratowo) do zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy lim n E(X n X ) 2 = 0. Piszemy wówczas l.i.m. n X n = X. Twierdzenie Jeśli ciąg (X n ) jest zbieżny przeciętnie z kwadratem do zmiennej losowej X, to ciąg (X n ) jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej losowej X., centralne twierdzenia graniczne

13 Obok zbieżności ciągów zmiennych losowych możemy również rozpatrywać zbieżność rozkładów prawdopodobieństwa tych zmiennych. Ponieważ rozkład prawdopodobieństwa jest jednoznacznie wyznaczony przez dystrybuantę, więc pojęcie zbieżności rozkładów sformułujemy przy pomocy pojęcia zbieżności ciągów dystrybuant., centralne twierdzenia graniczne

14 Obok zbieżności ciągów zmiennych losowych możemy również rozpatrywać zbieżność rozkładów prawdopodobieństwa tych zmiennych. Ponieważ rozkład prawdopodobieństwa jest jednoznacznie wyznaczony przez dystrybuantę, więc pojęcie zbieżności rozkładów sformułujemy przy pomocy pojęcia zbieżności ciągów dystrybuant. Definicja Mówimy, że ciąg dystrybuant (F n ) jest zbieżny podstawowo do dystrybuanty F wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym punkcie x R ciągłości dystrybuanty F spełniony jest warunek lim n F n(x) = F (x). O ciągu (P n ) rozkładów o dystrybuantach F n mówimy wtedy, że jest słabo zbieżny do rozkładu P o dystrybuancie F., centralne twierdzenia graniczne

15 Twierdzenie Jeśli ciąg (X n ) zmiennych losowych jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej losowej X, to ciąg (F n ) dystrybuant tych zmiennych jest zbieżny podstawowo do dystrybuanty zmiennej losowej X., centralne twierdzenia graniczne

16 Twierdzenie Jeśli ciąg (X n ) zmiennych losowych jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej losowej X, to ciąg (F n ) dystrybuant tych zmiennych jest zbieżny podstawowo do dystrybuanty zmiennej losowej X. Twierdzenie odwrotne do powyższego twierdzenia jest prawdziwe tylko w szczególnym przypadku, gdy zmienna X ma rozkład jednopunktowy., centralne twierdzenia graniczne

17 , centralne twierdzenia graniczne

18 Niech (X n ) będzie ciągiem zmiennych losowych określonych na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P) o skończonych wartościach oczekiwanych. Przyjmijmy następujące oznaczenia: m k = EX k dla k = 1, 2,..., S n = X 1 + X X n, M n = m 1 + m m n dla n = 1, 2,..., centralne twierdzenia graniczne

19 Niech (X n ) będzie ciągiem zmiennych losowych określonych na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P) o skończonych wartościach oczekiwanych. Przyjmijmy następujące oznaczenia: m k = EX k dla k = 1, 2,..., S n = X 1 + X X n, M n = m 1 + m m n dla n = 1, 2,... Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) spełnia słabe prawo wielkich liczb wtedy i tylko wtedy, gdy 1 n (S n M n ) p 0., centralne twierdzenia graniczne

20 Niech (X n ) będzie ciągiem zmiennych losowych określonych na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P) o skończonych wartościach oczekiwanych. Przyjmijmy następujące oznaczenia: m k = EX k dla k = 1, 2,..., S n = X 1 + X X n, M n = m 1 + m m n dla n = 1, 2,... Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) spełnia słabe prawo wielkich liczb wtedy i tylko wtedy, gdy 1 n (S n M n ) p 0. Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) spełnia mocne prawo wielkich liczb wtedy i tylko wtedy, gdy 1 n (S n M n ) 0., centralne twierdzenia graniczne

21 Podamy warunki dostateczne na to, aby ciąg (X n ) spełniał prawo wielkich liczb., centralne twierdzenia graniczne

22 Podamy warunki dostateczne na to, aby ciąg (X n ) spełniał prawo wielkich liczb. Definicja Ciąg (X n ) nazywamy ciągiem niezależnych zmiennych losowych wtedy i tylko, gdy dla każdego k N zmienne X 1, X 2,..., X k są niezależne., centralne twierdzenia graniczne

23 Podamy warunki dostateczne na to, aby ciąg (X n ) spełniał prawo wielkich liczb. Definicja Ciąg (X n ) nazywamy ciągiem niezależnych zmiennych losowych wtedy i tylko, gdy dla każdego k N zmienne X 1, X 2,..., X k są niezależne. Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) spełnia warunek Markowa wtedy i tylko wtedy, gdy σ1 lim 2+σ σ2 n = 0, n n 2 gdzie σ 2 n = D 2 X n dla n N., centralne twierdzenia graniczne

24 Twierdzenie (prawo wielkich liczb Markowa) Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych mających skończone wariancje σ 2 n = D 2 X n. Jeśli ciąg (X n ) spełnia warunek Markowa, to ciąg (X n ) spełnia słabe prawo wielkich liczb., centralne twierdzenia graniczne

25 Twierdzenie (prawo wielkich liczb Markowa) Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych mających skończone wariancje σ 2 n = D 2 X n. Jeśli ciąg (X n ) spełnia warunek Markowa, to ciąg (X n ) spełnia słabe prawo wielkich liczb. Przykład Wykażemy, że ciąg (X n ) niezależnych zmiennych losowych o rozkładach N(0, 3 n) spełnia słabe prawo wielkich liczb., centralne twierdzenia graniczne

26 Przykład (cd) Zadanie sprowadza się do wykazania, że ciąg (X n ) zmiennych losowych spełnia warunek Markowa. Ponieważ zmienna X k ma rozkład normalny N(0, 3 k), więc σ 2 k = 3 k 2. Stąd otrzymujemy oszacowanie lim n 0 < σ2 1 +σ σ2 n n 2 = n 2 n 2 n 3 n 2 n 2 = 1 3 n. Z twierdzenia o trzech ciągach wynika zatem, że σ1 2+σ σ2 n = 0. n 2, centralne twierdzenia graniczne

27 Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) spełnia warunek Kołmogorowa wtedy i tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny. n=1 σ 2 n n 2, centralne twierdzenia graniczne

28 Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) spełnia warunek Kołmogorowa wtedy i tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny. n=1 σ 2 n n 2 Twierdzenie (pierwsze prawo wielkich liczb Kołmogorowa) Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych mających skończone wariancje σ 2 n = D 2 X n. Jeśli ciąg (X n ) spełnia warunek Kołmogorowa, to ciąg (X n ) spełnia mocne prawo wielkich liczb., centralne twierdzenia graniczne

29 Przykład Wykażemy, że ciąg zmiennych losowych (X n ) z przykładu 16 spełnia mocne prawo wielkich liczb. Rozwiązanie. Ponieważ σ2 n = 1 n 2 3, więc szereg σn 2 jest zbieżny, n 4 n 2 n=1 a zatem ciąg (X n ) spełnia warunek Kołmogorowa. Oznacza to, że ciąg (X n ) spełnia mocne prawo wielkich liczb., centralne twierdzenia graniczne

30 Przykład Wykażemy, że ciąg zmiennych losowych (X n ) z przykładu 16 spełnia mocne prawo wielkich liczb. Rozwiązanie. Ponieważ σ2 n = 1 n 2 3, więc szereg σn 2 jest zbieżny, n 4 n 2 n=1 a zatem ciąg (X n ) spełnia warunek Kołmogorowa. Oznacza to, że ciąg (X n ) spełnia mocne prawo wielkich liczb. Wynika stąd oczywiście, że ciąg (X n ) spełnia również słabe prawo wielkich liczb. Tak więc, aby wykazać, że ciąg niezależnych zmiennych losowych spełnia słabe prawo wielkich liczb można korzystać albo z twierdzenia Markowa, albo z twierdzenia Kołmogorowa., centralne twierdzenia graniczne

31 Załóżmy teraz, że niezależne zmienne losowe X 1,X 2,... mają identyczny rozkład z wartością oczekiwaną m = m k dla k = 1, 2,... Zbieżność ciągu ( 1 n (S n M n )) do zmiennej losowej X 0 jest równoważna warunkowi, że ciąg średnich 1 n S n dąży do zmiennej losowej przyjmującej wartość m z prawdopodobieństwem 1. W tym przypadku zachodzi następujące twierdzenie., centralne twierdzenia graniczne

32 Załóżmy teraz, że niezależne zmienne losowe X 1,X 2,... mają identyczny rozkład z wartością oczekiwaną m = m k dla k = 1, 2,... Zbieżność ciągu ( 1 n (S n M n )) do zmiennej losowej X 0 jest równoważna warunkowi, że ciąg średnich 1 n S n dąży do zmiennej losowej przyjmującej wartość m z prawdopodobieństwem 1. W tym przypadku zachodzi następujące twierdzenie. Twierdzenie (drugie prawo wielkich liczb Kołmogorowa) Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach. Ciąg (X n ) spełnia mocne prawo wielkich liczb wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wartość oczekiwana m = EX n, gdzie n = 1, 2,...., centralne twierdzenia graniczne

33 , centralne twierdzenia graniczne

34 Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych określonych na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P) mających skończoną wartość oczekiwaną i skończoną dodatnią wariancję. Przyjmijmy, tak jak w poprzednim paragrafie: m k = EX k dla k = 1, 2,..., S n = X 1 + X X n, M n = m 1 + m m n, oraz σ k 2 = D2 X k dla k = 1, 2,..., Bn 2 = σ1 2 + σ σ2 n, B n = Bn. 2 Niech Y n będzie zmienną otrzymaną przez standaryzację zmiennej S n, tzn. Y n = S n M n. B n, centralne twierdzenia graniczne

35 Definicja Mówimy, że dla ciągu (X n ) spełnione jest centralne twierdzenie graniczne wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg dystrybuant zmiennych losowych Y n jest zbieżny podstawowo do dystrybuanty rozkładu normalnego N(0, 1). O ciągu (Y n ) mówimy wtedy, że jest asymptotycznie normalny., centralne twierdzenia graniczne

36 Przykładem centralnego twierdzenia granicznego jest twierdzenie integralne de Moivre a-laplace a, które sformułowaliśmy nie korzystając z pojęcia zmiennej losowej. Podany w tym twierdzeniu wzór ( ) lim P a < k np n npq < b = F (b) F (a), gdzie F jest dystrybuantą rozkładu normalnego N(0, 1), możemy obecnie zinterpretować następująco. Liczba sukcesów k w schemacie n prób Bernoulliego jest wartością zmiennej losowej S n o rozkładzie Bernoulliego z parametrami n, p. Zmienna S n jest sumą n niezależnych zmiennych losowych X k, gdzie k = 1, 2,..., n, o identycznym rozkładzie zero-jedynkowym z parametrem p., centralne twierdzenia graniczne

37 Standaryzując zmienne S n, otrzymujemy Y n = S n M n B n = S n np npq. Tak więc twierdzenie integralne de Moivre a-laplace a orzeka, że dla ciągu niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach zero-jedynkowych spełnione jest centralne twierdzenie graniczne., centralne twierdzenia graniczne

38 Twierdzenie integralne de Moivre a-laplace a jest szczególnym przypadkiem następującego twierdzenia. Twierdzenie (Lindeberga-Levy ego) Jeśli (X n ) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach z wartością oczekiwaną m i skończoną dodatnią wariancją σ 2, to ciąg (X n ) spełnia centralne twierdzenie graniczne., centralne twierdzenia graniczne

39 Twierdzenie integralne de Moivre a-laplace a jest szczególnym przypadkiem następującego twierdzenia. Twierdzenie (Lindeberga-Levy ego) Jeśli (X n ) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach z wartością oczekiwaną m i skończoną dodatnią wariancją σ 2, to ciąg (X n ) spełnia centralne twierdzenie graniczne. Przykład Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych (X n ) o jednakowych rozkładach takich, że EX n = 3, D 2 X n = 2. Wyznaczymy ( przybliżoną wartość prawdopodobieństwa P 580 < 200 ) X n < 660. n=1, centralne twierdzenia graniczne

40 Przykład (cd) Zauważmy, że ciąg (X n ) spełnia założenia twierdzenia Lindeberga-Levy ego. Niech S 200 = 200 X n, wówczas n=1 M 200 = ES 200 = = 600, a z niezależności zmiennych X n wynika, że B200 2 = D 2 S 200 = = 400, czyli B 200 = 400 = 20., centralne twierdzenia graniczne

41 Przykład (cd) Stąd otrzymujemy ( P 580 < 200 = P n=1 ) X n < 660 ( ) 1 < S < 3 ( ) = P < S < = F (3) F ( 1) = F (3) + F (1) 1, gdzie F jest dystrybuantą rozkładu normalnego N (0, 1)., centralne twierdzenia graniczne

42 Podamy teraz twierdzenie graniczne dla ciągu zmiennych losowych o niejednakowych rozkładach. Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) zmiennych losowych o skończonych wartościach oczekiwanych m n = EX n spełnia warunek Lapunowa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba δ > 0, że a) ck 2+δ = E X k m k 2+δ < + dla k = 1, 2,...; C b) lim n n B n = 0, gdzie C n = ( n k=1 c 2+δ k ) 1/(2+δ)., centralne twierdzenia graniczne

43 Podamy teraz twierdzenie graniczne dla ciągu zmiennych losowych o niejednakowych rozkładach. Definicja Mówimy, że ciąg (X n ) zmiennych losowych o skończonych wartościach oczekiwanych m n = EX n spełnia warunek Lapunowa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba δ > 0, że a) ck 2+δ = E X k m k 2+δ < + dla k = 1, 2,...; C b) lim n n B n = 0, gdzie C n = Twierdzenie (Lapunowa) ( n k=1 c 2+δ k ) 1/(2+δ). Jeśli ciąg (X n ) niezależnych zmiennych losowych spełnia warunek Lapunowa, to ciąg (X n ) spełnia centralne twierdzenie graniczne., centralne twierdzenia graniczne

44 Twierdzenie Lapunowa stosowane jest najczęściej dla δ = 1. Przykład Niech (X n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach dwupunktowych określonych następująco P(X n = n) = P(X n = n) = 1 2. Wykażemy, że ciąg (X n ) spełnia centralne twierdzenie graniczne., centralne twierdzenia graniczne

45 Przykład (cd) Zauważmy, że σ 2 k = k2, c 3 k = k3, więc Stąd otrzymujemy C lim n n B n = lim n B 2 n = C 3 n = n k=1 n k=1 k 2 = 1 6n(n + 1)(2n + 1), ( ) 2 k 3 = 1 2 n(n + 1). 3 ( 1 2 n(n+1))2 1 6 n(n+1)(2n+1) = lim n n ( 1 2 (1+ 1 n ))2 n (1+ 1 n )(2+ 1 n ) = 0. Ciąg (X n ) niezależnych zmiennych losowych spełnia zatem warunek Lapunowa, a więc spełnia także centralne twierdzenie graniczne., centralne twierdzenia graniczne

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F; Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Rozdział 06: Zmienne losowe. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 = Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe skokowe

Zmienne losowe skokowe Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.

Bardziej szczegółowo

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej: Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5 Warunki zaliczenia

Bardziej szczegółowo

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008 STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. w zastosowaniach

Elementy rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. w zastosowaniach Statystyka matematyczna w zastosowaniach Elementy rachunku prawdopodobieństwa Robert Pietrzykowski STATYSTYKA: nauka poświęcona metodom badania(analizowania) zjawisk masowych; polega na systematyzowaniu

Bardziej szczegółowo

Zbigniew S. Szewczak Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki. Graniczne własności łańcuchów Markowa

Zbigniew S. Szewczak Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki. Graniczne własności łańcuchów Markowa Zbigniew S. Szewczak Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Graniczne własności łańcuchów Markowa Toruń, 2003 Co to jest łańcuch Markowa? Każdy skończony, jednorodny łańcuch Markowa

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 24 lutego 2003 roku 1 c Copyright J.Kotowicz

dr Jarosław Kotowicz 24 lutego 2003 roku 1 c Copyright J.Kotowicz Szkice do wykładu z Rachunku prawdopodobieństwa 1 II rok matematyki finansowej III roku matematyki ogólnej III roku matematyki z metodami informatycznymi dr Jarosław Kotowicz 24 lutego 2003 roku 1 c Copyright

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO dla studiów magisterskich kierunku ogrodnictwo Wykład 1 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 1- Generatory liczb losowych i ich wykorzystanie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 5,12 października 2016 r.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 :

x x 0.5. x Przykłady do zadania 4.1 : Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 4: Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Cz. 2 / William Feller. wyd. 4, dodr. 3. Warszawa, Spis treści

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Cz. 2 / William Feller. wyd. 4, dodr. 3. Warszawa, Spis treści Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Cz. 2 / William Feller. wyd. 4, dodr. 3. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa 5 Oznaczenia i konwencje 7 Rozdział I Rozkład wykładniczy i rozkład jednostajny 1. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Diagramy Venna. Uwagi:

Diagramy Venna. Uwagi: Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych

12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania i jej zastosowania Tomasz Mostowski Zajęcia 31.03.2008 Plan 1 PWL 2 3 Plan PWL 1 PWL 2 3 Przypomnienie PWL Istnieje wiele wariantów praw wielkich liczb. Wspólna ich cecha jest asymptotyczne zachowanie

Bardziej szczegółowo