V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach

Transkrypt

1 V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 1. Niezależność wielomianów, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych W paragrafie tym podamy pewien lemat 1 potrzebny w następnym paragrafie do określenia fundamentalnego układu rozwiązań. Niech (σ 1,τ 1 ),...,(σ r,τ r ) będą różnymi parami liczb rzeczywistych, spełniającymi warunek: τ k 0, k = 1,...,r. Niech ponadto będzie dany ciąg par wielomianów (S 1,T 1 ),...,(S r,t r ) spełniający warunek: τ k = 0 T k = 0. Lemat 1. Jeżeli równość r e σ kx ( S k (x)cosτ k x+t k (x)sinτ k x ) = 0 jest spełniona dla każdej liczby x R, to S 1 =... = S r = 0 i T 1 =... = T r = Jednorodne układy o stałych współczynnikach W dalszym ciągu rozszerzymy rozważania także na dziedzinę zespoloną. W tym celu przypomnimy kilka pojęć ze Wstępu do analizy zespolonej. 2 Niech f : R C. Połóżmy u(t) = Ref(t), v(t) = Imf(t) dla t R. Jesli funkcje u i v są różniczkowalne w R, to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna i jej pochodną określamy wzorem f (t) = u (t)+iv (t), t R. Mówimy, że funkcja F : R C jest funkcją pierwotną funkcji f, gdy F (t) = f(t) dla t R. Oczywiście funkcja f posiada funkcję pierwotną wtedy i tylko wtedy, gdy część rzeczywista i urojona funkcji f posiadają funkcje pierwotne. Na zakończenie przypomnijmy, że funkcję wykładniczą w dziedzinie zespolonej określamy w następujący sposób e z = e x (cosy +isiny), z = x+iy C. 1 Dowód lematu znajduje sie na przyład w skrypcie Jacka Chądzyńskiego,Wstęp do równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo UŁ, Łódź Porównaj: J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 2000.

2 Przykład 1. Niech λ = α +iβ C. Funkcja f(t) = e λt, t R jest różniczkowalna i f (t) = e λt λ. Istotnie, dla dowolnej liczby t R mamy f(t) = e λt = e αt+iβt = e αt cosβt+ie αt sinβt. Funkcje rzeczywiste u(t) = e αt cosβt i v(t) = e αt sinβt są różniczkowalne w każdym punkcie t R oraz u (t) = αe αt cosβt e αt βsinβt, v (t) = αe αt sinβt+e αt βcosβt. Stąd funkcja f jest różniczkowalna i f (t) = u (t)+iv (t) = e αt (α+iβ)cosβt+ie αt (α+iβ)sinβt = e λt λ. Niech w dalszym ciągu K oznacza ciało R lub ciało C. Powróćmy do układów równań różniczkowych. Niech ] A = [a kl 1 k,l n będzie macierzą o wyrazach a kl K. Przyjmujemy następujące oznaczenia ] ReA = [Rea kl [Ima ]1 k,l n, ImA = kl 1 k,l n. W paragrafie tym zajmować się będziemy układami postaci y 1 = a 11y a 1n y n,... y n = a n1 y a nn y n lub krócej, w postaci macierzowej (1) y = Ay. Rozwiązaniem integralnym takiego układu (również przy K = C) jest każde odwzorowanie różniczkowalne Φ : R K n takie, że Φ (x) = A Φ(x) dla x R. Niech E oznacza macierz jednostkową stopnia n, czyli ] E = [δ kl 1 k,l n gdzie δ kl jest tak zwaną deltą Kroneckera, tzn. 1 dla k = l, δ kl = 0 dla k l. Macierz A λe, gdzie λ K nazywamy macierzą charakterystyczną układu (1). Jej wyznacznik D(λ) = det(a λe), który jest wielomianem stopnia n względem λ nazywamy wielomianem charakterystycznym układu (1). Przypomnijmy, że każdy pierwiastek λ 0 K wielomianu charakterystycznego D nazywamy wartością własną macierzy A, natomiast wektor Γ K n będący rozwiązaniem układu (2) (A λ 0 E)Γ = 0 nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ 0. 45

3 Twierdzenie 1. Jeśli λ 0 K jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego układu (1), a Γ K n wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ 0, to odwzorowanie Φ(x) = e λ 0x Γ x R jest rozwiązaniem układu (1). Dowód. Wprost z określenia Γ mamy AΓ λ 0 Γ = AΓ λ 0 EΓ = (A λ 0 E)Γ = 0. Stąd λ 0 Γ = AΓ. Ponadto odwzorowanie Φ jest różniczkowalne i z powyższego Φ (x) = e λ 0x λ 0 Γ = e λ 0x AΓ = Ae λ 0x Γ = AΦ(x), co kończy dowód. Twierdzenie 2. Jeśli λ 0 K jest p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego układu (1), to istnieje p liniowo niezależnych nad ciałem K rozwiązań układu (1) postaci (3) Φ k (x) = e λ 0x P ik (x), 1 i n k = 1,...,p, gdzie P 1k,...,P nk są wielomianami o współczynnikach z ciała K stopnia co najwyżej k 1. Dowód. Zastosujemy indukcję względem p. Dla p = 1 prawdziwość dowodzonego twierdzenia wynika z twierdzenia 1. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla p 1. Niech λ 0 K będzie p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego układu (1). Ponieważ det(a λ 0 I) = 0, to istnieje niezerowy wektor własny Γ = (,...,γ n ) K n macierzy A odpowiadający wartości własnej λ 0. Z twierdzenia 1. wynika, że istnieje niezerowe rozwiązanie Φ 1 układu (1) postaci Φ 1 (x) = e λ 0x Γ. Bez zmniejszenia ogólności, możemy założyć, że 0. Można to uczynić przenumerowując niewiadome w układzie (1). Wówczas, jak wiadomo z algebry, wielomiany charakterystyczne układu (1) i układu powstałego po przenumerowaniu niewiadomych są takie same. Rozważmy układ zredukowany odpowiadający rozwiązaniu Φ. Ma on następującą postać: (4) z 2 = ( a 22 γ ) 2 a 12 z ( a 2n γ ) 2 a 1n zn,... z n = ( ) a n2 γn a 12 z ( ) a nn γn a 1n zn. 46

4 Niech D(λ) oznacza wielomian charakterystyczny tego układu. Zbadamy najpierw, jaki jest związek między wielomianami charakterystycznymi układów (1) i (4). Zauważmy, że a 11 λ a a 1n a 11 λ a a 1n det(a λe) = a 21 a 22 λ... a 2n... = 1 a 21 a 22 λ... a 2n... = a n1 a n2... a nn λ a n1 a n2... a nn λ n a 1k γ k λ a a 1n = 1 n a 2k γ k λγ 2 a 22 λ... a 2n... n a nk γ k λγ n a n2... a nn λ Ponieważ (A λ 0 E)Γ = 0, to AΓ = λ 0 Γ. Stąd, z powyższego i łatwych własności wyznaczników dostajemy kolejno (λ 0 λ) a a 1n det(a λe) = 1 (λ 0 λ)γ 2 a 22 λ... a 2n... = (λ 0 λ)γ n a n2... a nn λ a 1 12 a... 1n a 1 12 a... 1n = (λ 0 λ) γ 2 a 22 λ... a 2n... = (λ 0 λ) 0 a 22 γ 2 a 12 λ... a 2n γ 2 a 1n... = γ n a n2... a nn λ 0 a n2 γn a a nn γn a 1n λ a 22 γ 2 a 12 λ... a 2n γ 2 a 1n = (λ 0 λ)... = (λ 0 λ)d(λ). a n2 γn a a nn γn a 1n λ Stąd wynika, że λ 0 jest (p 1)-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego układu (4). W myśl założenia indukcyjnego istnieje p 1 liniowo niezależnych nad K rozwiązań układu (4) postaci Ψ k (x) = e λ 0x Q ik (x), 2 i n k = 2,...,p, gdzie Q 2k,...,Q nk są wielomianami o współczynnikach z K stopnia co najwyżej k 2. Z metody redukcji otrzymujemy rozwiązania układu (1) postaci 0 Φ k (x) = ω k (x)e λ0x Γ +e λ Q 0x 2k (x). gdzie ω k = ω Ψk jest funkcja pierwotną funkcji Q nk (x) k = 2,...,p, 1 e λ 0x ( e λ 0 x Q 2k (x)+...+e λ 0x Q nk (x) ) = 1 ( Q2k (x)+...+q nk (x) ). 47

5 Z powyższego wynika, że gdzie P 1k (x) Φ k (x) = e λ 0x., P nk (x) 0 P 1k (x). = ω Q k(x)γ + 2k (x).. P nk (x) Q nk (x) Oczywiście P 1k,...,P nk są wielomianami stopnia co najwyżej k 1, gdyż ω k jest takim wielomianem. Pozostaje wykazać, że Φ 1,Φ 2,...,Φ p są liniowo niezależne nad ciałem K. Niech Stąd i postaci rozwiązań Φ k wynika, że (5) c 1 + oraz że dla każdego i {2,...,n} (6) Zatem co daje, że c 1 Φ+c 2 Φ c p Φ p = 0, c 1,...,c p K. ( c1 + c k ω k = 0 ) c k ω k γi + c k Q ik = 0, c k Q ik = 0. [ c 2 Ψ c p Ψ p = e λ p 0x i = 1,...,n, c k Q ik ] 2 i n Stąd, na podstawie liniowej niezależności Ψ 2,...,Ψ p otrzymujemy, że c 2 =... = c p = 0. Co więcej, z (5) dostajemy, że c 1 = 0. Indukcja kończy dowód. = 0, W dalszym ciągu tego paragrafu załóżmy, że K = R, czyli A będzie w dalszym ciągu macierzą o wyrazach rzeczywistych. Przedmiotem dalszych rozważań będzie poszukiwanie fundamentalnego układu rozwiązań układu jednorodnego (1). Rozważmy teraz ważny przypadek, gdy wielomian charakterystyczny układu (1) ma n różnych pierwiastków rzeczywistych. Twierdzenie 3. Niech λ k, k = 1,...,n będą różnymi rzeczywistymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego układu (1) i Γ k = (k,...,γ nk ) niezerowym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ k nad ciałem R. Wówczas odwzorowania Φ k (x) = e λ kx Γ k, k = 1,...,n tworzą fundamentalny układ rozwiązań układu (1). 48

6 Dowód. Z twierdzenia 1. dla K = R wynika, że Φ 1,...,Φ n są rozwiązaniami układu (1). Oczywiście są to rozwiązania integralne. Wystarczy zatem pokazać, że są one liniowo niezależne nad R. Niech c 1 Φ c n Φ n = 0, c 1,...,c k R. Wówczas dla każdego j {1,...,n} mamy (7) c 1 e λ1x γ j c n e λnx γ jn = 0 dla x R. Różniczkując (7) (n 1)-razy i dołączając do (7) dostajemy układ równań (c 1 e λ1x γ j1 )+...+(c n e λnx γ jn ) = 0, (8)... λ1 n 1 (c 1 e λ1x γ j1 )+...+λn n 1 (c n e λnx γ jn ) = 0. Traktując (8) jako układ n równań o n niewiadomych c 1 e λ1x γ j1,...,c n e λnx γ jn otrzymujemy c 1 γ j1 = 0,...,c n γ jn = 0. Wynika to z faktu, że wyznacznik tego układu jest wyznacznikiem Vandermonde a, tzn. wyznacznikiem postaci = λ 1 n 1... λn n 1 n (λ k λ l ) 0. Zatem c 1 Γ 1 = 0,...,c n Γ n = 0. Ale w myśl założenia Γ 1,...,Γ n są wektorami niezerowymi. Stąd c 1 = 0,...,c n = 0, co kończy dowód. Twierdzenie 4. Niech λ 0 będzie zespolonym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego układu (1), λ 0 / R i Γ 0 = (,...,γ n ) C n będzie niezerowym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ 0, czyli niezerowym rozwiązaniem układu k,l=1 k>l (A λ 0 I)Γ = 0 nad ciałem C. Ponadto, niech Φ(x) = e λ 0x Γ 0, x R. Wówczas Φ 1 (x) = ReΦ(x) i Φ 2 (x) = ImΦ(x) są liniowo niezależnymi nad ciałem R rozwiązaniami układu (1). Dowód. Z twierdzenia 1. dla K = C wynika, że odwzorowanie Φ = Φ 1 +iφ 2 jest rozwiązaniem układu (1), czyli Φ = AΦ. Stąd i z faktu, że A jest macierzą o wyrazach rzeczywistych wynika, że Φ 1 = AΦ 1 i Φ 2 = AΦ 2, gdyż Zatem Φ 1, Φ 2 są rozwiązaniami układu (1). Φ 1 +iφ 2 = Φ = AΦ = AΦ 1 +iaφ 2. Pokażemy teraz, że Φ 1 i Φ 2 są liniowo niezależne nad ciałem R. Niech c 1 Φ 1 +c 2 Φ 2 = 0, c 1,c 2 R. 3 Porównaj: A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa,

7 Połóżmy λ 0 = σ +iτ, γ j = α j +iβ j, j = 1,...,n. Oczywiście τ 0 i istnieje j {1,...,n} takie, że γ j 0. Wówczas mamy czyli Stąd kładąc x = 0 i x = π 2τ c 1 (α j cosτx β j sinτx)+c 2 (α j sinτx+β j cosτx) = 0, (c 1 α j +c 2 β j )cosτx+( c 1 β j +c 2 α j )sinτx = 0 dla x R. dostajemy układ α j c 1 +β j c 2 = 0, β j c 1 +α j c 2 = 0, którego wyznacznik jest równy α 2 j +β2 j = γ j 2 0. Stąd c 1 = 0 i c 2 = 0. To kończy dowód. Twierdzenie 5. Jeśli λ 0 jest p-krotnym pierwiastkiem zespolonym wielomianu charakterystycznego układu (1) i λ 0 / R, to istnieje 2p liniowo niezależnych nad ciałem R rozwiązań układu (1) postaci (9) Φ 1k (x) = Re e λ0x P jk (x), Φ 2k(x) = Im e λ0x P jk (x), k = 1,...,p, 1 j n 1 j n gdzie P jk jest wielomianem zespolonym stopnia co najwyżej k 1. Dowód. Z twierdzenia 2. dlak = C wynika, że istniejepliniowo niezależnych nad ciałem C rozwiązań układu (1) postaci Φ k (x) = e λ 0x P jk (x) 1 j n, k = 1,...,p, gdzie P jk jest wielomianem zespolonym stopnia degp jk p 1. Stąd i z faktu, że A jest macierzą o wyrazach rzeczywistych wynika, że Φ 1k i Φ 2k określone wzorami (9) są rozwiązaniami układu (1). Wystarczy zatem wykazać, że rozwiązania Φ 1k i Φ 2k są liniowo niezależne nad ciałem R. Niech c 11 Φ c 1p Φ 1p +c 21 Φ c 2p Φ 2p = 0, c 11,...,c 1p,c 21,...,c 2p R. Połóżmy λ 0 = σ + iτ, P jk = Q jk + ir jk, j = 1,...,n, k = 1,...,p. Oczywiście τ 0 oraz dla dowolnego j {1,...,n} i dowolnego x R mamy ( ( c 1k Qjk (x)cosτx R jk (x)sinτx ) ( +c 2k Qjk (x)sinτx+r jk (x)cosτx )) = 0. Stąd kładąc x ν = 2πν τ, x ν = π 2 +2πν τ, ν = 1,2,..., dostajemy ( c1k Q jk (x ν)+c 2k R jk (x ν) ) = 0, ( c1k R jk (x ν)+c 2k Q jk (x ν) ) = 0. Stąd, ponieważ po lewej stronie powyższych tożsamości znajdują sie wielomiany stopnia co najwyżej p 1, więc dla dowolnego j {1,...,n} mamy ( ) c1k Q jk +c 2k R jk = 0, ( ) c1k R jk +c 2k Q jk = 0. 50

8 Mnożąc pierwszą sumę przez i oraz dodając do drugiej dostajemy co daje (c 2k +ic 1k )P jk = 0, (c 2k +ic 1k )Φ k = 0. Ponieważ Φ 1,...,Φ p są liniowo niezależne nad C mamy c 2k + ic 1k = 0, czyli c 1k = c 2k = 0 dla k = 1,...,p. To kończy dowód. Podamy teraz twierdzenie o układzie fundamentalnym rozwiązań układu jednorodnego (1). Niech λ 1 = σ 1 +iτ 1,...,λ r = σ r +iτ r będą wszystkimi różnymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego układu (1) spełniającymi warunek τ k 0, k = 1,...,r. Niech p 1,...,p r będą odpowiednio krotnościami tych pierwiastków. Połóżmy p k, gdy τ k = 0, = 2p k, gdy τ k > 0. Niech teraz dla każdego k {1,...,r} będzie dany układ Φ k1,...,φ kqk liniowo niezależnych nad R rozwiązań układu (1) postaci [ (10) Φ kν (x) = e σ kx ( S jkν (x)cosτ k x+t jkν (x)sinτ k x )], ν = 1,...,, 1 j n gdzie S jkν,t jkν są wielomianami rzeczywistymi stopni nie większych niż k 1 i T jkν = 0, jeśli τ k = 0. Niech Ω = {Φ 11,...,Φ 1q1,...,Φ r1,...,φ rqr }. Twierdzenie 6. Układ Ω jest fundamentalnym układem rozwiązań układu (1). Dowód. Z twierdzenia 2. (dla K = R) i twierdzenia 5 wynika, że układy typu Ω istnieją. Z faktu, że wielomian charakterystyczny układu (1) ma współczynniki rzeczywiste wynika, że ma on pierwiastki zespolone parami sprzężone. Stąd łatwo dostajemy, że czyli Ω składa się z n rozwiązań. r = n, Pozostaje zatem pokazać liniową niezależność rozwiązań układu Ω. Niech (11) r ν=1 c kν Φ kν = 0, c kν R. Z (10) dostajemy, że (12) ν=1 c kν Φ kν (x) = [ e σ kx ( S jk (x)cosτ k x+t jk (x)sinτ k x )] 1 j n, 51

9 gdzie S jk = c kν S jkν, T jk = ν=1 ν=1 c kν T jkν. Oczywiście T jk = 0, gdy τ k = 0. W konsekwencji z (11) i (12) dla każdego j {1,...,n} mamy r e σ kx ( S jk (x)cosτ k x+t jk (x)sinτ k x ) = 0 dla x R. Stąd i z założenia, że λ 1,...,λ r są różne między sobą i z lematu 1. dostajemy S jk = T jk = 0. To wraz z (12) daje, że dla każdego k {1,...,r} ν=1 c kν Φ kν = 0. Ponieważ rozwiązania Φ k1,...,φ kqk są liniowo niezależne dostajemy c k1 =... = c kqk = 0. To w zestawieniu z dowolnością k daje liniową niezależność rozwiązań układu Ω. To kończy dowód. 52