Wstęp do analizy i algebry (2017/2018) Listazadań

Transkrypt

1 Wstęp do analizy i algebry 07/08 Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas Listazadań. Czy podane sformułowania są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną: a GnieznobyłostolicąPolski ; b Liczba jestpodzielnaprzez ; c a +b =c ; d Piotrniejestmoimbratem ; e W 06 r. zadania maturalne z matematyki były trudne ; f Czyjadłeśdzisiajobiad? ; g =b ac.. Ocenić prawdziwość zdań: a nieprawda,żefunkcjaf= jestrosnącana R ; b = lub008jestliczbąparzystą ; c funkcjag=sinjestokresowa,afunkcjaf= nieparzysta ; d jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest ojcem Piotra ; e liczba56789jestpodzielnaprzezwtedyitylkowtedy,gdysumajejcyfrjestpodzielnaprzez9.. Zbadać, czy podane formuły rachunku zdań są prawami logicznymi: a p q [ p q]; bp [q q r]; cp q [ p q]; d[p q] [ p q].. Podane stwierdzenia zapisać za pomocą kwantyfikatorów i funkcji zdaniowych: a każda liczba rzeczywista jest dodatnia; b równanie f = ma rozwiązanie rzeczywiste; c zbiór liczb naturalnych nie jest ograniczony z góry; dzbióra Rmaelementnajwiększy; ewzbiorzeb Rniemaelementunajmniejszego; f każda liczba rzeczywista jest parzysta; grównanie ++=0niemarozwiązaniarzeczywistego; hrównanie 5 +=matylkojednorozwiązanierzeczywiste. 5. Zbadać, czy podane funkcje zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe: a sin= ; b ++>0; c R R R d y=0; e n = n ; f y R R R n N n N y R,y,z R y =0; 6. Zastosować wzór dwumianowy Newtona do wyrażeń: a+y ; bc 7 ; c + 5 ; d u+ v 8. n +y n =z n. 7. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia: a 5 znaleźćwspółczynnikprzy 0 ; b a + 8znaleźćwspółczynnikprzya a. Zadaniazaczerpniętozksiążkiautorów:Wstępdoanalizyialgebry.Teoria,przykłady,zadania Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 0.

2 8. Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą równości: a!+!+...+n n!=n+! ; b++...+n =n ; c n = nn+n+ ; d n = n Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba: an njestpodzielnaprzez6; b n +jestpodzielnaprzez; c5 n jestpodzielnaprzez; d9 n +jestpodzielnaprzez. 0. a Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n > zachodzi nierówność > n. n bpokazać,żedladowolnejliczbynaturalnejn 5zachodzinierówność n >n.. Uzasadnić, że ciąg: aa n =n n jestmalejący; bb n =n+ n jestrosnący.. awciąguarytmetycznympierwszymwyrazemjesta =/,aróżnicąr=/.którymwyrazemciągu jest? bobliczyćsumę ,wktórejskładnikisąkolejnymiwyrazamiciąguarytmetycznego. c Kąty w trójkącie tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym najmniejszy kąt jest cztery razy mniejszy od największego. Znaleźć te kąty.. apierwszymwyrazemciągugeometrycznegojesta =,ailorazemq=.jakąnajmniejsząliczbę kolejnych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby ich suma była większa od 000? bniecha n będzieciągiemgeometrycznym.znamywartościsums =6orazS =.WyznaczyćS. c Liczby 5,, y, 0 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Znaleźć, y. d Rozwiązać równanie =, + + w którym lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.. Liczbya,9,ctworząciągarytmetyczny,aliczbya,5,cciąggeometryczny.Znaleźćaic. 5. a Wyrazić objętość V sześcianu, jako funkcję pola powierzchni P. bwyrazićpolepkoła,jakofunkcjęobwoduo. 6. Określić dziedziny naturalne funkcji: af= +; bf= + ; cf= ; df= ; ef= + ; ff= Korzystając z definicji pokazać, że podane funkcje są parzyste lub nieparzyste: af= +; bf= + ; cf= Korzystając z definicji pokazać, że podane funkcje są monotoniczne na wskazanych zbiorach: af=, R; bf=,,]; cf=,, ; df= +,[,. 9. Określićfunkcjezłożonef f,f g,g f,g gorazichdziedziny,jeżeli: af=,g= + ; bf=+,g=.

3 0. Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach: af=, R; bf= +,[,.. Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji: af= ; bf= + ; cf=.. Wykres funkcji f przedstawiono poniżej: y y a b y=f y=f Naszkicować wykresy funkcji: if+; iif ; iiif+; iv f+; v f ; vif. W punkcieb zwrócić uwagę na zmianę dziedziny funkcji.. Wykres funkcji y = f przedstawiono poniżej: y y=f π π Naszkicować wykresy funkcji: ay=fπ; by=f ; cy=f; dy= f; ey=f; fy= f.. Korzystając z wykresu funkcji f przedstawionego na rysunku, a y y=f b y y=f naszkicować wykresy funkcji: if ; ii f ; iii f. W punkcieb zwrócić uwagę na dziedzinę funkcji. 5. Podane wyrażenia zapisać bez symbolu wartości bezwględnej: a ; b 8 ; c + ; d ; e+ +,jeżeli ; f +,jeżeli Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej rozwiązać nierówności: a 5 >; b + ; c <. 7. Narysować wykresy funkcji: ay= ; by= 6 ; cy=.

4 8. Sprowadzić do postaci kanonicznej trójmiany kwadratowe: a ++5; b ; c Narysować wykresy funkcji kwadratowych: ay= +; by= + ; cy= Sprowadzić do postaci iloczynowejjeżeli istnieje funkcje kwadratowe i narysować ich wykresy: af= +; bf= +; cf= ++ ; df= + ; ef= + ; ff= 9 ; gf= ; hf=.. Rozwiązać równania z wartością bezwzględną: a+= b += +; c =; d +=.. Rozwiązać nierówności, a zbiór rozwiązań zaznaczyć na osi liczbowej: a0 7> +7; c + + b 5 7; < + ; d 6.. Rozwiązać nierówności z wartością bezwzględną: a + + 5; b +5>; c >6; d Rozwiązać równania: a +5+=0; b8 +=0; c + 5=0; d 7+=0; e =0; f =0. 5. Rozwiązać nierówności: a + 0; c8 +; e+ ; b <+; d ; f+ >+ +; g+ +; h5 > WyznaczyćilorazorazresztęzdzieleniawielomianuUprzezV: au= 6 + 6, V= 5+6; bu= 7 +, V= +; cu= 7, V= ++; du= + 6 +, V= + +; eu= , V= Podane liczby są pierwiastkami wskazanych wielomianów, wyznaczyć pozostałe pierwiastki: a =,W= + ; b =, =,W= 5 +; c =, =,W= 5 + ; d =, =, W= Wyznaczyć krotności pierwiastków wielomianów: a 0 =, W= + ++; b 0 =, W= ; c 0 =, W=

5 9. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki całkowite wielomianów: a ++6; b 7+0; c ; d ; e ; f Wyznaczyć wszystkie pierwiastki wymierne wielomianów: aw= ; bw= ++; cw= +7 + ; dw= Rozwiązać równania: a + +=0; b + +=0; c 6=0; d + 6=0; e 5 + =0; f + + =0; g 5 +=0; h =0.. Rozwiązać nierówności: a + >0; b + 6 0; c 5 +5 >0; d +<0; e + 0; f + 0; g ; h >0; i Rozwiązać równania: a d 6 + =0; b 6 + = 5 ; c 9 = + +; + + = ; e = +; f + + = + 6 ; g = + + ; h = + ; i 5 =.. Rozwiązać nierówności: a <0; b++ 0; c > ; d +5 >; e + ++ >0; f ++ g +6 0; h ; i Kąty wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a0 ; b ; c5 ; d5 ; e50 ; f Kąty wyrażone w radianach zapisać w stopniach: a; b π ; c7π ; dπ ; e5π 6 ; f7π. 7. Obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych: a sin 7π ; bcos π ; ctgπ ; dctg π. 6 ; 8. Korzystając ze wzorów redukcyjnych podane wyrażenia zapisać w postaci funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α: π 5π π a sin α ; bcos +α ; ctgπ α; dctg +α. 5

6 9. Podane wyrażenia zapisać w postaci funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: a sin π ; bcos 9 π; ctg 95 π ; dctg 9 π. 50. Uzasadnić tożsamości: a +tgα +ctgα =tgα; bsin α+cos α= sin α; ctgα+ctgα= sinα ; dctgα tgα=ctgα; e sinα+sin5α cosα+cos5α =tgα; ftgα = cosα sinα. 5. W przedziale[ π, π] naszkicować wykresy funkcji: ay=cos π ; by=sin sin + ; cy=+ctg π ; dy=tg+ tg ; ey=sin+cos; fy= tg ctg. 5. Rozwiązać równania: asin= ; bcos= ; ctg=; dctg=. 5. Rozwiązać równania: π asin= sin; bcos =cos + π ; ctg π π =tg 6 ; dctg + π =ctg. 5. Rozwiązać równania: acos=sin ; bsin π 6 =cos 55. Rozwiązać równania: asin +cossin=0; + π ; cctg=tg; dtg + π =ctg + π. 6 bsin =cos; ccos= sin; dsin sin sin= ; etg tg+=0; ftg+tg=tg; gsin sin=sin; hcos5 cos=sin. 56. Rozwiązać nierówności: asin ; bcos ; ctg< ; dctg>. 57. Rozwiązać nierówności we wskazanych przedziałach: asin, [0,π]; bcos, [ π,π]; ctg >, 58. Rozwiązać nierówności: π asin ; bcos 6 π 59. Rozwiązać nierówności w ich dziedzinach lub wskazanych zbiorach: acos sin [, π ],π ; bcos+sin π,π ; dctg <, 0,π. < ; ctg +π > ; d ctg + π. ; cctg ctg <0; dtgtg, π,π 60. Wyznaczyć dziedziny funkcji: ay= + ; by=+ ; cy= ; dy= ; ey= ; fy= Rozwiązać równania z pierwiastkami: a = 9 ; b +5 =; c + =. 6

7 6. Rozwiązać nierówności z pierwiastkami: a ; b ++ <; c Rozwiązać równania: a =8; b = ; c 5 5=0; d9 + + =; 8 e5 = ; f + =0; g +6=0 ; h =0; i+ cos = sin. 6. Rozwiązać nierówności: + a <9 ; b0.5 d ; e <0.065; c > + ; ; f5 <5 ; g + ; h ; i e < e Korzystając z własności logarytmów obliczyć: alog 6 +log 6 ; blog 8 log ; c9log 6 6; dlog a +log a log a; elog log +log log 6; f log 5 log 6 log 7 log Rozwiązać równania: alog =log 8; dlog 6 =+log ; elog glog log log = ; h blog + log =; clog = ; +log log 6 =0; flog+log =log+; log =+log ; ilog 5 + =. 67. Rozwiązać nierówności: alog 5 5 >; dlog +log g log + blog log >log; clog 5 +<+log 5 6 ; >; e log log ; fln+ ln >0; >; hlog log + + >0; ilog > Rozwiązać równania lub nierówności: a + = + ; be 5 e =9; c5 + 5 ; de e >. 69. aniecha=,,b=0,.obliczyćwspółrzędnewektora AB. bniecha=,,b=,6.wyznaczyćwektory:a, b,a+b,b a. cniechu=p+,,v=,q.znaleźćliczbypiq,dlaktórychu v=0. dwektorya,bsąznane.rozwiązaćrównaniea+=b. edlajakichwartościparametrup,wektorya=,6,b=, psąrównoległe. fobliczyćdługośćwektorałączącegopunktya=,,b=,7. g Uzasadnić, że w dowolnym trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego. h Pokazać, że w dowolnym trapezie odcinek łączący środki ramion ma długość równą połowie sumy długości podstaw. 7

8 70. adanesąpunktyp=0,5,q=,.wyznaczyćwspółrzędneśrodkaodcinkapq. bpunktk=,dzieliodcinekabwstosunku:.wyznaczyćwspółrzędnepunktub,jeżelia=,5. c rodek masy jednorodnego trójkąta pokrywa się z punktem przecięcia jego środkowych. Znaleźć współrzędne masyjednorodnegotrójkątaowierzchołkacha=,y,b=,y,c=,y. 7. aobliczyćkąt,jakitworząwektorya=,,b= 5,. bdlajakiejwartościparametrup,wektorya=p+,,b=p,5sąprostopadłe? cpokazać,żeczworokątabcdowierzchołkacha=,,b=,7,c= 6,,D=, jest prostokątem. dwiadomo,żea b= 5oraz a =, b =.Obliczyća+b a b. 7. a Znaleźć równanie kierunkowe prostej, która przecina oś O w punkcie itworzyzdodatniączęściątejosikąt0. bwyznaczyćrównanieogólneprostej,przechodzącejprzezpunktyp =,,P =,5. crównanieprostej+y =0napisaćwpostacinormalnej. drównanieprostej y+5=0napisaćwpostaciparametrycznej. eznaleźćpunktywspólneprostych+y=0, y+6=0. f Zbadać, czy proste mają punkt wspólny. l : { = t, y=+t t R, l : { = s, y=5 s s R, 7. aniecha=,,b=,.znaleźćrównaniesymetralnejodcinkaab. bprzezpunktp=,5poprowadzićprostąrównoległądoprostej y+8=0. { =+8t, czbadać,czyproste y+5=0, t R,sąrównoległe. y=7+ 6t d Znaleźć równanie parametryczne prostej, która przechodzi przez punkt P =, i jest równoległa do prostej+y =0. ewyznaczyćkątostrymiędzyprostymi y+5=0,+y 7=0. fznaleźćrównaniaprostych,któreprzechodząprzezpoczątekukładuwspółrzędnychitworząkąt5 zprostą y= anaosioyznaleźćpunkty,którychodległośćodpunktup=5,jestrówna. b Znaleźć punkty, które są położone w odległości od punktu A = 0, iwodległości5odpunktub=,. cnaprostejy=znaleźćpunktypołożonewodległości5odpunktup=,. dobliczyćodległośćpunktua=, odprostej 5y+9=0. e Wyprowadzić wzór na odległość punktu P 0 o wektorze wodzącym r 0 od prostej orównaniunormalnymr r n=0. fuzasadnić,żeproste y+=0,6y +9=0sąrównoległe.Nastepniewyznaczyćodległośćmiędzy nimi. gpunktya=,,b=5,,c=5,sąwierzchołkamitrójkata.obliczyćwysokośćtrójkątaprzechodzącą przez wierzchołek B. h Znaleźć równania dwusiecznych kątów utworzonych przez proste { { =+t, =+s, t R, y= t y=+ s s R. 75. awyznaczyćobrazpunktup=,poprzesunięciuowektorv=,. bdanyjestpunktp=, orazprostay=+.wyznaczyćwspółrzędnepunktup symetrycznegodo P względem tej prostej. cpunktp=,5obróconookąt5 wokółpoczątkuukładuwspółrzędnych.znaleźćjegoobraz. dprostąy=6 przekształconojednokładniewskalik=/względemosio.wyznaczyćrównanie obrazu tej prostej. 8