Analiza Matematyczna 1 (2014/2015)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza Matematyczna 1 (2014/2015)"

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna 4/5) MAP43, 9, 4, 43, 345, 357 Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Listazdań obejmujecałymateriałkursuijestpodzielonana4jednostekodpowiadającychkolejnym wykładom Na ćwiczeniach należy rozwiązać jeden lub dwa podpunkty z każdego zadania Wyjątkiem są zadania oznaczone literąp) oraz symbolem*) Zadania oznaczone literąp) są proste i należy je rozwiązać samodzielnie Z kolei zadania oznaczone gwiazdką*) są trudniejsze Te nieobowiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów Dodatkowo na końcu listy zadań umieszczono po 4 przykłady zestawów zadań z I i II kolokwium oraz z egzaminów podstawowego i poprawkowego Zachęcamy studentów do weryfikowania rozwiązań zadań za pomocą programów komputerowych Programy te można wykorzystać min do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ciągów i funkcji, znajdowania pochodnych, wyznaczania całek nieoznaczonych i oznaczonych, rozwiązywania układów równań algebraicznych i różniczkowych, badań statystycznych itp Polecamy stronę internetową Wolfram Alpha Wiele kalkulatorów naukowych jest zaprogramowanych do wykonywania obliczeń numerycznych i symbolicznych oraz do prezentowania wykresów funkcji Uzdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy Zadania z tych egzaminów z ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej Przed kolokwiami i egzaminami warto zapoznać się z zestawieniem typowych błędów popełnianych przez studentów na sprawdzianach z matematyki skoczylas/typowe bledy studentowpdf Lista Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną: a) Amsterdam jest stolicą Holandii ; b) liczba 3888 jest podzielna przez 8 ; c) a +b =c ; e) 5 3 ; Napisać zaprzeczenia zdań: a) jem śniadanie i słucham radia ; b) kwadrat nie jest pięciokątem ; c) stolicą Polski jest Gniezno lub Wrocław ; d) trójkątobokach3,4,5jestostrokątny ; f) =b 4ac d) jeślifunkcjafjestrosnąca,tofunkcja fjestmalejąca ; e) liczbajestpodzielnaprzez6wtedyitylkowtedy,gdyjestpodzielnaprzezorazprzez3 Zadaniazaczerpniętozksiążekautorów:AnalizamatematycznaDefinicje,twierdzenia,wzory; Przykłady i zadania; Kolokwia i egzaminy) oraz Wstęp do analizy i algebry

2 3 Ocenić prawdziwość zdań złożonych: a) nieprawda,żefunkcjaf)= jestrosnącana R ; b) ) 44 = lub8jestliczbąparzystą ; c) funkcjag)=sinjestokresowa,afunkcjaf)=3 nieparzysta ; d) jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra ; e) liczba3579jestpodzielnaprzez9wtedyitylkowtedy,gdysuma jestpodzielna przez9 4Używająctylkokwantyfikatorów,spójnikówlogicznychorazrelacji=,,<, )zapisaćstwierdzenia: a)punkta,b)leżypodwykresemfunkcjiy=4 ; b) punktp, q) nie należy do wnętrza pierwszej ćwiartki; { c) układ równań +y =4, nie ma rozwiązań; +y= d)równanie =matylkojednorozwiązanierzeczywiste; e) liczba 7 jest pierwsza; f)funkcjafniejestrosnącanaprzedziale[,]; ) g)skorodlapewnego Rzachodzirówność + 3)=,arównanie +=niema rozwiązańrzeczywistych,to 3= 5 Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe: a) =7; b) +4+3>; c) +y =; R d) y R R R y=; e) R R y ) y>); f) y R R y R 6DlaparzbiorówA,B RwyznaczyćA B,A B,A\B,B\A,A c,b c : y R +) 4 +y ) 4 = a)a=,5), B=[,7]; b)a=,3), B=[, ); c)a={,}, B={,,3,4} WskazaćteparyA,B,dlaktórychA B 7P) Funkcje kwadratowe sprowadzić do postaci iloczynowejjeżeli istnieje) i naszkicować ich wykresy: a)f)= +; b)f)= +; c)f)= ++ 4 ; d)f)= + 3; e)f)= + 3 ; f)f)= Lista 8 Określić i narysować dziedziny naturalne funkcji: a)f)= 3 ; b)f)= 4 + ; c)f)= 6 ; d)f)= Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje są monotoniczne na wskazanych zbiorach: a)f)= 4+5, R; b)f)= 3,,3] Podaćwzoryfunkcjizłożonychf f,f g,g f,g gorazokreślićichdziedzinynaturalne: a)f)=, g)=+; b)f)=, g)= ; c)f)=, g)= 4 ; d)f)=, g)= +

3 Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach: a)f)= 3, R; b)f)=,, ) P) Korzystając z własności logarytmów obliczyć: a)log 6 3+log 6 ; b)log 3 8 log 3 ; c)9log ; d)3log 3 log 3 4; e)3log 4 3 log 43+3log 4 log 4 6; f) log 54 log 6 log 7 log 9 3 Naszkicować wykresy funkcji: a)y=+) 4 ; b)y= ; c)y= ) d)y= + ; e)y= ; f)y=4 ; 3 g)y=5+log ; h)y= log ; i)y=log 3 +3) ; 4 Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji: a)f)= + ; b)f)=3 3 +; c)f)= ; d)f)=4 e)f)=log+); f)f)= ; g)f)= 4 3 3) Lista 3 9 ; 5Narysunkuprzedstawionowykresfunkcjiy=f) Narysować wykresy funkcji: a)y=f)+3; b)y=f+); c)y= f); e)y= f); g)y= f) ; d)y=f ); f)y=f3); h)y=f ) y y=f) 6P) Korzystając z wykresu funkcji y = sin naszkicować wykresy funkcji: a)y=sin; b)y=sin 3 ; c)y=sin + π ) ; 4 d)y=+sin; e)y= sin ; f)y=sin π ) 6 7 Naszkicować wykresy funkcji: a)y= cos ; b)y=sin sin ; c)y= tg ctg 8 Uzasadnić tożsamości trygonometryczne: a) +tgα +ctgα =tgα; b)sin4 α+cos 4 α= sin α; c)tgα+ctgα= sinα ; d)tg α = cosα sinα ; e)sin4 α cos 4 α=sin α cos α; f) Dlajakichkątówαsąoneprawdziwe? cosα cosα=sinαtgα 9P) Podaj wartości wyrażeń: a)arcsin +arccos ) 3/ ; b)arcctg arctg; c)arcsin ; d)arctg 3 arcctg 3 arcsin 3

4 Określić dziedziny funkcji: a)f)=arcsin+); b)f)=arccos + ) ; c)f)=arctg + ; d)f)=arcctg * Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych: [ ] π a)f)=sin,,3π ; b)f)=cos, [π,π]; c)f)=tg, 3π ), π ; d)f)=ctg, π,π) Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych Lista 4 Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone: a)a n = +cosn 3 sinn ; b)a n= n n ; c)a n = n; d)a n = n+8 n+3; e*)a n = n +n 3 Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca: a)a n = n+ n+ ; b)a n= n n + ; c)a n= n! n; d)a n = n 6n+ ; e)a n= 4n n +3 n; f)a n= n + n 4 Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości: 3 n a) lim = ; b) lim n+4 n =; c) lim n = 5 Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice: a) lim d) lim g) lim 3n n+ ; b) lim n+4 n + ; n + ) n ) n 3 +) ; e) lim +4++n n + ) n!+ ; h) lim n+)n+)! n 3 +n + c) lim n 3n 3 ; 5 n+ 4 n ; f) lim 5 n 4 n+; n +4n+ n +n) ; i) lim 6 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice: a) lim d) lim n+ ) n nπ ; b) lim ; c) lim 3n+ n n n + 3 n + n3 n3; e) lim n + n 5 n +4n; f) lim n n 4n 3 + n 3+sinn; n + + n + ++ ) n +n 7 Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice: a) lim + 3n ) 5n+ 5n ) 3n n ) n+4 5 n ; b) lim ; c) lim ; d) lim n) 5n+ 3n+ n+3 8 Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice: n + ) a) lim n ; b) lim n 4 3n 3 n ) n+ n n+)! d) lim ; e) lim ; f) lim n n!+ 4 ; c) lim +n 3 n ); arctgn arcctgn

5 9Będziemymówili,żeciągia n ),b n )ododatnichwyrazach,zbieżnedogranicywłaściwejlubniewłaściwej, są asymptotycznie równe, gdy lim a n/b n =Zbadać,czypodaneciągisąasymptotycznie równe: a)a n =n +,b n = n 4 +; b)a n =n 4 n 3,b n =n 4 ; c)a n = n + n +3 n,b n =3; d)a n = 3 n +5 n,b n= n +6 n; e)a n=n+)!,b n =n n!; f*)a n =n!,b n =a n,a>) Jeżeli zaś granica lim a n/b n jestliczbądodatnią,tomówimy,żeciągia n ),b n )sątegosamegorzędu Które z podanych par ciągów są tego samego rzędu? Lista 5 3 Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości: a) lim ) 5 =; b) lim 3 =; c) lim + = 3 Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice: a) lim + ; b)lim 4 ; c)lim + ; 5+4 e) lim ; f)lim ; g) lim ++) 5) 6 6 tg + i) lim π tg +5 ; j)lim sin ; k) lim ++ cos + 3 Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice: a) lim sgn; b)lim 3 ; c)lim 4 ; d)lim arctg 33 Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości: a) lim cos + =; b)lim 3 arctg +sin =; c) lim = d)lim 3 4 ; ; h) lim 34 Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice: sin 3 sin 5+4 ) arcsin a) lim ; b)lim 4 ; c)lim 6 arctg ; d) lim arctg ; ln+ 3 ) g) lim e) lim π ; h) lim cos5 cos3 ; ln 3 ) + j) lim+) ; k)lim[+tg)] ctg ; 35 Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji: a)f)= ; 3 b)f)= +) ; + d)f)= g)f)= cos e + Lista 6 f)lim e 3 sin ; ; i)lim π ; l)lim 3 c)f)= 9 ; ; e)f)= 3 3 ; f)f)=sin 3 ; ; ; ; h)f)= arctg; i)f)=+) 36Dobraćparametrya,b Rtak,abypodanefunkcjebyłyciągłena R: 5

6 dla<, a + dla<, a)f)= a+bsindla π/, b)f)= b dla ; dla>π/; Naszkicować wykres funkcji z przykładua) a +dla<, c)f)= dla, 3 +bdla> 37 Wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji i określić ich rodzaj: + a)f)= ++ dla, arctg dla=, b)f)= dla, dla=; dla=; c)f)= ln ) ln +) dla, cos d)f)= dla, dla=; dla= 38 Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach: [ a) 3 +6 =,[,]; b)sin=7, π, 5π ] ; c)= sin [ +,, π d) + =, [, ] ; e)3 +=3,[,]; f) =,[,] Wyznaczyć rozwiązania równaniaa) 5 39 Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji: a)f)= 4 R); b)f)= ); c)f)= >); d)f)=tg π ) +kπdlak Z Lista 7 4 Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: { } a)f)=, =; b)f)=sin sgn), =; c)f)=min,, = Naszkicować wykresy tych funkcji 4Zbadaćzdefinicji,czypodanefunkcjemająpochodneniewłaściwewpunkcie =: a)f)=3 5 ; b)f)= sin 4 Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe na pewnym przedziale, obliczyć pochodne funkcji: a)y=f ); b)y= f ) ; c)y=e fe ); d)y=f)cosg); e)y= f ) g ); f)y=arctg[f)g)]; ) g)y=ln f) g) ; h)y=tgf) g) ; i)y=f)g 43 Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji: a)y= + ; b)y=3cos+tg; c)y=e+ sin ; d)y= 3 + ) e ; e)y= + 4 ) tg ; f)y=e arctg; g)y=ln sin + ); h)y= 3 arcsin ); i)y=e e ; 6 ] ;

7 j)y= sin 3 cos ; k)y= e +) 3; l)y=sin) <<π) 44* Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć a)f)=+ln, y =e+; b)f)=cos 3, y =; c)f)= , y =3; d)f)= 3 +3, y =4 f ) y ),jeżeli: 45P) Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: a)f)=arcsin ) π,,f)); b)f)=ln +e,,f)); c)f)=e tg, 4,f d)f)= +,3,f3)); e)f)= +,,f )) 46a)Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)= 4 +5,którajestrównoległado prostejy=+3 b)wyznaczyćstycznądowykresufunkcjif)=,któratworzykąt π 4 zosiąo c)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)=ln,którajestprostopadładoprostej +6y = d)znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)=arctg,wpunkciejegoprzecięciazprostą π=4y 47 Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granice: π ln +) lnsin a) lim ; b)lim ln +9 d) lim ; e)lim lncos lncos3 ; g) lim +ln; j) limcos) ; h) lim π π )tg ; k) lim ; c)lim arctg ; f) lim arcctg; i) lim ctg ) ; π arctg ) ; l) lim ++)ln 48 Czy warto stosować regułę de L Hospitala, aby obliczyć granice: 3 + ) a) lim ) ; b)lim sin ) sin 5) sin 3 )sin 4 )? Lista 8 49 Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji: a)f)= ; d)f)= 3 3 ; g)f)=ln ; 5 Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: π 4 b)f)= ; c)f)=4+ ; e)f)= ; f)f)=e 3 ; h)f)= ln ; i)f)= ln a)f)= 3 4 ; b)f)=+ ; c)f)= ; d)f)=+)e ; e)f)= + + ; f)f)= 5 6 ; g)f)=ln; h)f)= 3 3 ; i)f)=arctg ln + ) 7 )) ;

8 5 Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach: a)f)= ,[,5]; b)f)= + +,[ 4,]; c)f)= 3) e,[,4]; d)f)= 9 [,[ 5,]; f)f)=sin+sin,, 3 ] π 5P)Obliczyćf,f funkcji: a)f)= ; b)f)= 3 ; c)f)=e ; d)f)=arctg; e)f)=sin 3 +cos 3 ; f)f)= 3 ln 53 Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji: a)f)= ) 3); b)f)=e ; c)f)= 3 + ; d)f)=ln + ) ; e)f)= ; f)f)= 3 3 4ln ; g)f)=sin+ 8 sin; h)f)=earctg ; i)f)= ln Lista 9 54 Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy: a)f)= ) +); b)f)= 3 ; c)f)= ; d)f)=3 4 4 ; e)f)= ; f)f)= ln ; g)f)=e ; h*)f)=sin+sin3; i)f)= ln 55 Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu km od brzegu Ropa z tej platformy będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 6 km od punktu brzegu najbliższegoplatformiekosztułożeniakmrurociągunadniemorzawynosieuro,analądzie euro Do którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy? Platforma wiertnicza km 6km Rafineria 56Prostopadłościennykontenermamiećpojemność5m 3 ikwadratowąpodłogękosztm blachypotrzebnejdowykonaniajegopodłogiipokrywywynosizł,aścianbocznych 3złJakie powinny być wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy? 57 Jaka powinna być miara kąta α przy wierzchołku trójkata równoramiennego o danym polu, aby promień koła r wpisanego w ten trójkąt był największy? α r 8

9 58 Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bokiem jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki? rzeka Lista S a 59NapisaćwzoryTaylorazresztąLagrange adlapodanychfunkcjif,punktów orazn: a)f)= 3, =,n=4; b)f)=, =,n=; c)f)=sin, =π,n=3; d)f)=e, =,n=5 6 Napisać wzory Maclaurina z n-tą resztą Lagrange a dla funkcji: a)f)=sin 3 ; b)f)=cosh; c)f)=cos; d)f)= e 6 Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach: a)tg, π ; b b)cos, ; c) + +, 5; d)ln ) 8 3 3, < 6 Stosując wzór Maclaurina obliczyć: a) e zdokładnością 3 ; b) 3 997zdokładnością 3 ; c)lnzdokładnością 4 ; d)sinzdokładnością 5 Lista 63 Przyjmując w definicji całki oznaczonej podział równomierny obliczyć: a) )d; b) 3 Wskazówka Zastosować odpowiednio wzory d a) +++n= nn+) 64 Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć całki: ) + a) d; b) d) + 3) d; e), b) + ++n = nn+)n+) 6 d; c) + ) d; f) 9 π π d + ; sin+cos )d 65 Korzystając z definicji całki oznaczonej oraz faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne uzasadnić równości: n 3 a) lim n 4 = [ ; b) lim cos π )] 4 n n +cosπ n ++cosnπ = n π ; [ c) lim n +n+ +n++ n+n n )] = ) 3 9

10 66 Obliczyć podane całki nieoznaczone: a) ) 3 d; b) cosd 3 d) cos sin ; e) + 3 d; 67 Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: )d + ; c) 4 d + ; f) 5 d a)y=,+y=; b)y=,y=,y=3; c)y=,y=,y=4; d)y=,y= 4 + ; e)y=,y=,=; f)y=+sin,y=, π); g)y=π,=πy ; Lista h)y 4 =,y=,y=6; i)y =,y= 6,y=,y=4 68 Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone: arctg a) e 3 d; b) d d; c) d; d) cos ; arccosd e) sind; f) ; g) ln+)d; h) arccosd; + i) e sind; j) sinsin3d; k) sin3cosd; 69 Metodą całkowania przez części obliczyć całki oznaczone: a) d) π 4 e d; b) sind; e) π e d; c) +cos)d; f) e e ln d; arcsind 7 Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone: a) e) cos +4 d; b) d; c) d ch ; f) 5 3) d; g) d; h) l) coscos5d cosd ) ; d) +) sin ++ d; +sin d + ; ln i) d; j) e d 5sind e + ; k) 3 cos ; l) 3 e d 7 Obliczyć całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień: a) c) e) π 4 sine cos d,cos=t; b) +d, +=t; d) d ),=t ; f) 3 e 3 d +,+=t; lnd,ln=t; 9 d,=3sint; g) ln3 e d +e,e =t

11 7P) Obliczyć całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju: d a) 3) 7; b) d +5 ; c) 5d 7) 3; d) 8d 9+ Lista 3 73 Obliczyć całki z ułamków prostych drugiego rodzaju: d 6+3)d a) +4+9 ; b) ++4 ; c) 4+)d +9 ; d) 74 Obliczyć całki z funkcji wymiernych: +)d a) ) ; b) d + ; c) d 4+)d d) +) +4) ; e) ++ ; f) 5 4)d g) 4+ ; h) d ++5 ; i) d ) ; d +6+8 ; d +4) 75 Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: a) sin 3 d; b) sin 4 cos 3 d; c) cos 4 d; d) sin 3 cos 6 d; e) cos cosd; f*) sin sin d 76 Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: d +tg a) sin+tg ; b) cos d; sin d d) +cos ; e) d tg ; d g) cos ; h) Lista 4 c) d sin+cos ; i) d +cos ; f) sin 5 d cos 3 ; d 3sin+4cos+5 77 Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: a) + y=,=,y=; b)4y=,y= 8 +4 ; c)y=ln,=e,y= ; d)y=tg,y=ctg, << π ) )d Obliczyć długości krzywych: a)y=ln e + e, 3; b)y=, ; c)y= 3, ; e)y=e, ln ln3; g)y= , ; h)y= lncos, π 4 79 Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu figur T wokół wskazanych osi: a)t:, y,o; b)t: 5, y +4,Oy; c)t: π 4, y tg,o; d)t:, y,oy;

12 e)t:, y 3,Oy; f)t: 3, y,oy; 4 g)t: 4, y 5,O; h)t: π, y sin+cos,o; i)t: π, y sin,y=; j)t:, y,= 8 Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów funkcji wokół wskazanych osi: a)f)=cos, π,o; b)f)= 4+, 4,O; c)f)=ln, 3,Oy; d)f)= +,,Oy; e)f)= 4,,O; f)f)= ), 3,O; 3 g)f)=,,oy; h)f)= 9, 3,Oy 8a) Siła rozciągania sprężyny jest wprost proporcjonalna do jej wydłużeniawspółczynnik proporcjonalności wynosi k) Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby sprężynę o długości l rozciągnąć do długości L b)zbiornikmakształtwalcaoosipoziomejśrednicawalcad=m,adługośćl=6mobliczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbiornik Otwór do opróżnieniazbiornikaznajdujesięwjegogórnejczęścimasawłaściwawodyγ=kg/m 3 8a)Punktmaterialnyzacząłporuszaćsięprostoliniowozprędkościąpoczątkowąv =m/s iprzyspieszeniema =m/s Poczasiet =spunkttenzacząłporuszaćsięzopóźnieniem a = m/s Znaleźćpołożeniepunktupoczasiet =sodchwilirozpoczęciaruchu b) Dwie cząstki elementarne położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do siebie z prędkościamiodpowiedniov t)=t+t 3,v t)=6t,gdziet Pojakimczasienastąpizderzenietych cząstek?

13 Przykładowe zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzeniapodać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólnez wyjaśnieniem oznaczeń) Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane Ikolokwium Zestaw A Wyznaczyćwszystkieasymptotywykresufunkcjif)= Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i następnie obliczyć granicę lim 3Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)= arctg wpunkcie = 3 sin 4 ) 4 Obliczyć granicę lim 3+ Zestaw B Obliczyć granicę lim n 4 +n 3 + n ) Wyznaczyć dziedzinę funkcji Następnie obliczyć jej pochodną f) = e n 3 n+ + n+ 3SformułowaćtwierdzenieBolzanoiuzasadnić,żerównanie +=5matylkojednorozwiązanie 4 Obliczyć granicę lim [ln+) ln)] Zestaw C +a dla, e Dobraćparametrya,b Rtak,abyfunkcjaf)= dla<, b dla< byłaciągłana R ) 3n+ n 5 Obliczyć granicę lim 3n+ 3Znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)=e,którajestrównoległadoprostej y=e ln 8 ) 4 Obliczyć granicę lim 3 3 Zestaw D Znaleźćdziedzinęfunkcjif)=arcsin 3 ) iobliczyćf ) n Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i zastosować je do obliczenia granicy lim n 3 +n +3 3Znaleźćwszystkieasymptotyfunkcjif)= Napisaćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)=e 3 wpunkcie,e 7) 3

14 II kolokwium Zestaw A Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim arctg Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f) = 3 Całkując przez części obliczyć całkę oznaczoną π cos d + naprzedziale[,] 4ObliczyćobjętośćbryłypowstałejzobrotuwokółosiOfiguryograniczonejkrzywąy=sini Zestaw B prostąy= π π/) Wyznaczyćprzedziałymonotonicznościfunkcjif)= +ln Podać wymiary prostokątnej działki wytyczonej z obszaru w kształcie półkola o promieniu R tak, aby miała ona największe pole + 3Przezpodstawienie=t t )obliczyćcałkę dnastępniewyznaczyćfunkcję + pierwotnąffunkcjipodcałkowejspełniającąwarunekf)= 3 4Obliczyćcałkęnieoznaczonąfunkcjif)=sin 4 Zestaw C Wyznaczyćekstremalokalnefunkcjig)=arctg 3 3 Oszacować dokładność wzoru przybliżonego dla 3ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymiy=,y= iprostą=sporządzić rysunek 4 Obliczyć całkę nieoznaczoną funkcji f) = Zestaw D 3 +4 Sprawdzićotrzymanywynik Wyznaczyćprzedziaływypukłościorazpunktyprzegięciawykresufunkcjif)= ln Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim e 3 +e 3 3ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymi:y =,+y=sporządzićrysunek 4 Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną arcctgd 4

15 Egzamin podstawowy Zestaw A ObliczyćpoleobszaruDograniczonegoprzezkrzywe:y=ln, =e, y= Sporządzić rysunek Metodą podstawiania obliczyć całkę n 3 Obliczyć granicę lim +9 n n +4 n d + 4Wprzedziale[ 3,4]wyznaczyćwartośćnajmniejsząinajwiększąfunkcjif)= 5 5 Obliczyć granicę lim )sinπ 6Dobraćparametryp,qtak,abyfunkcja Zestaw B f)= { e + dla, +p+qdla< miałapochodnąwpunkcie =Narysowaćwykresotrzymanejfunkcji Znaleźćasymptotywykresufunkcjif)= ) 3 Obliczyć całkę 4+6)d Wyznaczyć granicę lim sin )sin3 3 ) sin 5 5 ) 4 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią powstałą z obrotu wykresu funkcji f) = sin π)wokółosio 5Znaleźćprzedziałymonotonicznościfunkcjif)= 3 ln 6 Wyznaczyć granicę lim 3n+)n+)! n n!+4) Zestaw C Obliczyć całkę sind Znaleźćekstremafunkcjif)= 3)e 3Obliczyćpoleobszaruograniczonegoprzezkrzywe:y=3 6,y=6+3 3 Sporządzić rysunek 4Wyznaczyćrównaniestycznejdowykresufunkcjif)= 3 +,którajestprostopadłado prostej+y 3= 5Obliczyćgranicęciągu n = n +5n+ n +3n+ 6 Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę lim + ln) 5

16 Zestaw D Obliczyćpoleobszaruograniczonegoprzezwykresfunkcjiy=sin π)orazprostą y = / Sporządzić rysunek Wyznaczyćprzedziaływypukłościipunktyprzegięciawykresufunkcjif)= )e 3 Obliczyć całkę d 6+5 4Pokazać,żerównanie+ln =matylkojednorozwiązanie n +) 3 n+ + ) 5 Obliczyć granicę lim 6 n +5 6 Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji f) = 3 Egzamin poprawkowy Zestaw A Obliczyćgranicęciągua n =n n ) n Wyznaczyćdziedzinę,asymptotyinaszkicowaćwykresfunkcjif)= ) 3 Wyznaczyć przedział, na którym funkcja f) = wypukła ) + e jestjednocześnierosnącai 4Obliczyćpoleobszaruograniczonegoosiamiukładuwspółrzędnych,wykresemparaboliy= +3 istycznądoniejwpunkcieoodciętej =3Sporządzićrysunek 5 Ile materiału stracimy wycinając z blachy w kształcie półkola o promieniu R prostokąt o największym polu? lnarctg)d 6 Podstawiając arc tg = t, a następnie całkując przez części, obliczyć całkę + Sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku Zestaw B Obliczyćcałkęzfunkcjiwymiernej Sprawdzićotrzymanywynik Wyznaczyćasymptotypionoweiukośnewykresufunkcjif)= ++ naszkicować oraz starannie go 3Wyznaczyćprzedziałjeżeliistnieje),naktórymfunkcjaf)= lnjestjednocześnierosnąca iwypukła 4Obliczyćgranicęciągu n = 5 Obliczyć granicę lim +tgln n n + n ) 6Obliczyćpoleobszaruograniczonegowykresamifunkcji:y=,y=ln,y=ln ) 6

17 Zestaw C Wyznaczyćdziedzinę,asymptotyinaszkicowaćwykresfunkcjif)= +) + Obliczyćgranicęciągua n = nn+) n 3 Wyznaczyć przedział, na którym funkcja f) = wklęsła ) 6+ e jestjednocześniemalejącai 4NarysowaćiobliczyćpoleobszaruograniczonegoosiąO,wykresemfunkcjiy= 3 istycznądo niegowpunkcieoodciętej =3 5 Z kawałków blachy w kształcie koła o promieniu R wycinamy prostokątne podkładki Wyznaczyć ich wymiary tak, aby odpady były najmniejsze 6 Podstawiając sin = t, a następnie całkując przez części, obliczyć całkę sincosarctgsind Sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku Zestaw D Obliczyć granicę lim +lntg) Wyznaczyćasymptotypionoweiukośnewykresufunkcjig)= naszkicować ) 3Obliczyćgranicęciąguy n =3n 4n n oraz starannie go 4Wyznaczyćprzedziałjeżeliistnieje),naktórymfunkcjag)= 3 3 +arcctg jestjednocześnie rosnąca i wklęsła 5Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywymi:y=ln,y=ln 6 Obliczyć całkę z funkcji wymiernej Sprawdzićotrzymanywynik 7

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna 1 MAP1043, 1142, 1143, 3045, 3057

Analiza Matematyczna 1 MAP1043, 1142, 1143, 3045, 3057 Analiza Matematyczna MAP43, 4, 43, 345, 357 Lista zdań obejmuje cały materiał kursu i jest podzielona na 5 jednostek odpowiadających kolejnym wykładom. Na ćwiczeniach należy rozwiązać przynajmniej jeden

Bardziej szczegółowo

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

MAP1142 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1A. Listy zadań

MAP1142 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1A. Listy zadań MAP4 ANALIZA MATEMATYCZNA.A Zdni z listy oznczone gwizdką ) są nieco trudniejsze lbo mją chrkter teoretyczny. Jednk nie wychodzą one poz rmy progrmu kursu. Odpowiedzi do zdń z listy możn zweryfikowć z

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Lista 0 wstęp do matematyki

Lista 0 wstęp do matematyki dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30 WYDZIAŁ ARCHITEKTURY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Matematyka 1 Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów i forma:

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

na egzaminach z matematyki

na egzaminach z matematyki Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

MAP 1148 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.2

MAP 1148 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.2 MAP 48 ANALIZA MATEMATYCZNA. Lista List zadań na semestr zimow 9/.. Korzstając z definicji granic właściwej ciągu uzasadnić podane równości: n+ n+ lim n n =; b) lim =; n n+ lim n n =; e*) lim +5 n 3 n

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 Lista zadań

Analiza matematyczna 2 Lista zadań Analiza maemayczna Lisa zadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: d) + ; b) arccg; e) +) ; c) 4+3

Bardziej szczegółowo

Tydzień 2 - Kilka bardzo prostych funkcje. Logarytm i funkcja wykładnicza. ; e)

Tydzień 2 - Kilka bardzo prostych funkcje. Logarytm i funkcja wykładnicza. ; e) Tydzień - Logika. Każde z poniższych zdań wyraź w postaci p = q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia. A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia I. Informacje ogólne Analiza matematyczna 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia

Bardziej szczegółowo

Zał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU

Zał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW 33/01 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna 1.1 A Nazwa w języku angielskim: Mathematical Analysis 1.1

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO STEREOMETRIA wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny odróżnić proste równoległe

Bardziej szczegółowo

Sylabus - Matematyka

Sylabus - Matematyka Sylabus - Matematyka 1. Metryczka Nazwa Wydziału: Program kształcenia: Wydział Farmaceutyczny z Oddziałem Medycyny Laboratoryjnej Farmacja, jednolite studia magisterskie Forma studiów: stacjonarne i niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 for Economists Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna I Mathematical analysis I Kierunek: Kod przedmiotu: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Poziom kwalifikacji:

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum Umie obliczyć potęgę liczby wymiernej o wykładniku naturalnym. 1. Arytmetyka występują potęgi o wykładniku naturalnym. Umie zapisać i porównać duże liczby

Bardziej szczegółowo

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli: sin α b). Oblicz wartość wyrażenia: tg ctg 77 = b) sin 0 (cos ) = c) sin = d) [( sin 0

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania

1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 Lista zadań

Analiza matematyczna 2 Lista zadań Analiza matematyczna Lista zadań Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Lista Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: + ; (b) + ; (c) sin; (d) arcctg;

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16) Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY

Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY MATEMATYKA Klasa TMB Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY (zakres rozszerzony - czcionką pogrubioną) Hasła programowe Wymagania

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki poziom podstawowy klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy proporcjonalnością

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych - na ocenę dopuszczającą (2) uczeń potrafi: zamieniać ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych podać przybliżenie dziesiętne

Bardziej szczegółowo

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f(x) = 3x 3 przy x = zakładając, że przyrost x zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f(x)

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 2 1. TRYGONOMETRIA STOPIEŃ UMIEJĘTNOŚCI UCZNIA Dopuszczający Zna i

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4. Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych

MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych MATeMAtyka 4 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f (x) = ax Przesunięcie wykresu funkcji f(x) = ax o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 2c (poziom rozszerzony)

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 2c (poziom rozszerzony) Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 2c (poziom rozszerzony) Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinny być zatem opanowane

Bardziej szczegółowo

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych

w najprostszych przypadkach, np. dla trójkątów równobocznych MATEMATYKA - klasa 3 gimnazjum kryteria ocen według treści nauczania (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wszystkich wymagań na oceny niższe.) Dział programu

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania

Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania http://www./86.htm Analiza matematyczna w zadaniach, t., W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania Całki nieoznaczone. Całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części. 5. 5. 5. 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJACE WYKRACZAJĄCE czytać teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Wymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14

Wymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14 z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14 Liczby rzeczywiste Wiadomości i umiejętności rozpoznać liczby naturalne w tym pierwsze i złożone,

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 2 CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo