Repetytorium. Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan

Transkrypt

1 Repetytorium Zajęcia w semestrze zimowym 01/013 Ewa Cygan Wersja z 15 stycznia 013

2

3 Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia Na najbliższe zajęcia (11.10.) proszę o rozwiązanie (bądź powtórzenie sobie rozwiązań z ćwiczeń) poniższych zadań, (w miarę możliwości). Na zajęciach przerobimy część z nich a na pewno te, które sprawią kłopot - proszę jednak najpierw spróbować samodzielnie:) Wymierność i niewymierność zad Następujące wyrażenia doprowadź do najprostszej postaci: ( 4x 9x 1 (a) + x 4 + ) ( ) 3x 1 1 9, (b) x 1 3x 1 x 1 x 1 x + 8 x 3 + x 3 x (c) 1 + x 1 + x x ( ) ( x ) x x zad.1.1. Udowodnić, że 7 jest liczbą niewymierną. x x x 1 3 zad.1.. (a) Udowodnić, że suma, różnica, iloczyn i (o ile ma sens) iloraz liczb wymiernych jest liczbą wymierną.? (b) Co można powiedzieć o sumie, różnicy, iloczynie i ilorazie dwóch liczb niewymiernych (c) Udowodnić, że suma (różnica) liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną. (d) Udowodnić, że iloczyn liczby wymiernej różnej od zera i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną. zad.1.3. Udowodnić, że liczbą niewymierną jest (a) pierwiastek z liczby pierwszej, (b) pierwiastek z liczby niewymiernej dodatniej, (c) pierwiastek z iloczynu dwóch różnych liczb pierwszych, (d) suma pierwiastków z dwóch różnych liczb pierwszych. zad.1.4. (a) Sprawdzić, czy następujące liczby są wymierne: 10, + 3, 3 5, + 5. i

4 ii Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia (b) Udowodnić, że liczby: log 3, log 6, log 7 są niewymierne. Wskazówki: spróbować za pomocą dowodu niewprost jak na zajęciach. zad.1.5. Sprawdzić, czy liczby: (a) 3 + 3, (b) , wymierne. Wskazówka: spróbować wyliczyć jak mogą wyglądać te liczby. Działania na zbiorach (c) ( ) są zad..1. Niech A = ( 1, 4), B = (3, 5). Wyznaczyć zbiory A B, A B, A \ B, B \ A oraz A B gdzie A B := (A \ B) (B \ A). zad... Na płaszczyźnie R dane są zbiory: A = {(x, y) R : x +y 1}, B = {(x, y) R : (x 1) + y 4}. Wyznaczyć zbiory A B, A B, A \ B, B \ A oraz A B. zad..3. Wyznaczyć zbiór A B, gdzie A, B są podzbiorami płaszczyzny R, określonymi następująco: A = {(x, y) R : y x }, B = {(x, y) R : y + x 1}. zad..4. Naszkicować zbiór A B gdzie A = {(x, y) R : y x 1 0}, B = {(x, y) R : x + y 0}. zad..5. Naszkicować zbiór A B gdzie A = {(x, y) R : y log x}, B = {(x, y) R : x + y x 0}. zad..6. Naszkicować zbiory A B oraz A \ B gdzie A = {(x, y) R : x ( 1, 1), y R}, B = {(x, y) R : (x 3) + y 9}. zad..7. Niech A, B, C będą dowolnymi zbiorami. Wykazać, że: (a) (A \ B) \ C = A \ (B C), (b) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C), (c) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). zad..8. Niech A = (0, ) {3, 4} R, B = (1, 3] [4, 5) {6} R. Podać interpretację geometryczną zbiorów A B i B A. zad..9. Zbadaj, jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami A, B i C jeśli prawdziwa jest następująca równość: (a) (A B) (C B) = B, (b) (A B) (C B) = B, (c) (A \ C) B = A B, (d) (A B) \ C = (A \ C) B, (e) (A B) \ (B \ C) = A C, (f) [(A B) C] \ A = (A B) \ C. zad..10. Udowodnić następujące własności różnicy symetrycznej zbiorów: (a) A B = B A, (b) A = A, (c) A A =, (d) A (B C) = (A B) C, (e) A (B C) = (A B) (A C).

5 Równania i nierówności liniowe z ich zastosowaniami (elementy programowania liniowego) iii Równania i nierówności liniowe z ich zastosowaniami (elementy programowania liniowego) Znaleźć maksimum funkcji f(x, y) = x + 3y na zbiorze spełniającym następujące nierówności: x + 7y 14 x + y 1 x + y 5 x + y x Znaleźć minimum funkcji f(x, y) = x + y na zbiorze spełniającym następujące nierówności: 0 x 7, 0 y x y 1 x + y 1 x + y (a) Znaleźć minimum funkcji f(x, y) = x y na zbiorze spełniającym następujące nierówności: { 0 x, 0 y 4x + 4y 1 (b) Znaleźć maksimum funkcji f(x, y) = 3x y na zbiorze spełniającym następujące nierówności: x + y 4 3x + y 8 5x y 0 x, y Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie: W pewnym zakładzie wytwarzane są produkty A i B. Do produkcji każdego z nich wykorzystywana jest praca trzech maszyn: M 1, M i M 3. Maszyna M 1 może być wykorzystywana przez 4000 sekundy, M przez sekund zaś M 3 przez 7000 sekund. Poniższa tabela podaje czas pracy każdej maszyny potrzebny do wyprodukowania jednostki każdego produktu: ( 1 )odp. 76/7 ( )odp. 3 ( 3 )(a)=-4, (b)=0 ( 4 )Załóżmy, że planujemy wyprodukować x jednostek produktu A i y produktu B. Maszyna M 1 musi być wykorzystywana przez 3 sekundy do produkcji jednostki produktu A i przez 6 sekund do produkcji jednostki produktu B. Wobec tego planowana produkcja powoduje wykorzystanie maszyny M 1 w czasie 3x + 6y. Ale maszyna M 1 nie może być wykorzystywana przez więcej niż 4000 sekundy stąd musi być spełniona nierówność: 3x + 6y Tak samo układamy nierówności dla pozostałych maszyn i rozwiązujemy ten układ szukając maksimum funkcji f(x, y) = 9x + 6y. Należy wyprodukować albo 4000 sztuk produktu A albo 000 sztuk produktu A i 3000 sztuk produktu B

6 iv Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia A B M M 8 4 M Zysk ze sprzedaży jednostki produktu A wynosi 9 zł, zaś produktu B - 6 zł. Zaplanować produkcję tak, aby zysk był maksymalny Rozwiązać w sposób geometryczny następujące zadanie: Pewien zakład krawiecki przygotowuje na karnawał suknie wieczorowe długie i krótkie. Uszycie sukni długiej wymaga 3 godziny pracy krawcowej A i 1 godzinę pracy krawcowej B. Uszycie sukienki krótkiej wymaga godziny pracy krawcowej A i 1 godzinę pracy krawcowej B.W ciągu miesiąca krawcowa A może pracować co najwyżej 10 godzin, a krawcowa B 50 godzin. Zakład zarabia na sukience długiej 00 zł, a na krótkiej 150 zł. Ile długich, a ile krótkich sukienek powinien uszyć w ciągu miesiąca aby osiągnąć maksymalny zysk? Ile wyniesie ten zysk? Układy równań 4.1. Rozwiąż następujące układy równań metodą podstawiania: { { { 3x + 4y =, 3x y =, x y = 4, x + 5y = 1 6 6x + y = 3 7 4y x = Rozwiąż następujące układy równań metodą przeciwnych współczynników: { { x y = 13, 3x 4x 4y = y = 8, { 10 4x y = 3, 6x y = 16 x y = Zinterpretować graficznie i odczytać (jeśli to możliwe) rozwiązanie następujących układów równań: { { { x + y = 3, y x = 3, x + y = 1, x 4y = 1 1 x y = 3 13 x y = Poniższe układy równań rozwiąż metodą wyznacznikową: { { { x 3y = 5, 3x + y = 5, x + 5y = 5, 4x y = x + y = x 10y = ( 5 )odp. 0 sukni długich i 30 krótkich ( 6 )x =, y = 1 ( 7 )układ sprzeczny ( 8 )układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, zbiorem rozwiązań jest prosta x y = 4 ( 9 )układ sprzeczny ( 10 )x = 8, y = 3 ( 11 )x = 1/6, y = 7/3 ( 1 )rozwiązaniem jest punkt (1, 1/) ( 13 )rozwiązaniem jest prosta y = x + 3 ( 14 )zbiór rozwiązań jest pusty ( 15 )x = 1/10, y = 17/10 ( 16 )x = 13, y = 44 ( 17 )zbiór rozwiązań to prosta x + 5y = 5 ( 18 )x = 15, y = 47 { x + 5y = 15, 3x + 8y = 1 18

7 Równania i nierówności modułowe, wykresy funkcji v { x 3y = 5, 4x + 6y = W zależności od parametru (parametrów) wyznacz ilość rozwiązań następujących układów równań: { (a )x y = a, x + (a + )y = a 0 { (k 3)x 4y = l, 9x (k + )y = 9 3 { 3x + y = b, x + 3y = a 1 1 { mx + y = m, x + my = m 4 { c x + y = 1, x + y = c 4.6. Odpowiedz na pytanie dla jakich wartości parametru k układ: 1. jest niesprzeczny,. ma co najmniej jedno rozwiązanie 3. jest nieoznaczony, 4. ma co najwyżej jedno rozwiązanie, 5. ma co najmniej dwa rozwiązania, 6. ma dokładnie 3 rozwiązania, 7. ma rozwiązanie będące parą liczb przeciwnych. 5 { kx + y = k, x + ky = Odpowiedz na{ pytanie dla jakich wartości parametru m punkt przecięcia prostych x 3my = 5m, danych równaniami: x + y = 5 należy do czwartej ćwiartki układu współrzędnych? Równania i nierówności modułowe, wykresy funkcji Zadanie 5.1. to przykłady do treningu przed kartkówką Zadanie 5.. to przykłady jakie rozwiązywać będziemy na zajęciach - bardzo proszę przypomnieć sobie jak rysujemy wykresy takich funkcji. zad Rozwiązać następujące równania i nierówności: (1) x 3 4 < 6, () 5x 3, (3) 3x + 1 > 3, (4) 5x , (5) x 7 3 =, (6) x x + 3x 6 9, (7) ( 19 )zbiór rozwiązań to prosta x 3y = 5 ( 0 )Dla a 0 mamy dokładnie jedno rozwiązanie, dla a = 0 mamy nieskończenie wiele rozwiązań ( 1 )niezależnie od parametrów mamy dokładnie jedno rozwiązanie, (samo rozwiązanie zależy od parametrów) ( )dla c / { 1, 1} mamy dokładnie jedno rozwiązanie, dla c = 1 nieskończenie wiele rozwiązań, dla c = 1 mamy układ sprzeczny ( 3 )dla k / { 6, 7} i dowolnego l mamy jedno rozwiązanie, dla k = 6 i l = 9 mamy nieskończenie wiele rozwiązań, dla k = 6 i l 9 rozwiązań brak, dla k = 7 i l = 1 mamy nieskończenie wiele rozwiązań, dla k = 7 i l 1 rozwiązań brak ( 4 )dla m / { 1, 1} mamy dokładnie jedno rozwiązanie, w pozostałych przypadkach nieskończenie wiele rozwiązań ( 5 )1. dla k 1,. dla k 1, 3. dla k = 1, 4. dla k 1, 5. dla k = 1, 6. nigdy, 7. nigdy. ( 6 )dla m > ( 7 )Wyniki: (1) ( 7/, 13/), () [ 3/5, 1/5] [3/5, 7/5], (3) (, 4/3) (, + ), (4) (, 1/5] [7/5, + ), (5) {1, 3, 4, 6}, (6) [1/3, ], (7) [ 5/, ], (8) [, 7/], (9) (, 4/3], (10) (, 11/4) ( 1/, + )

8 vi Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia x 3 + x + x+5 = 10, (8) x 7 + x +x 5, (9) 3x +x x 4, (10) x + x x x + x > 8.

9 Równania i nierówności: logarytmiczne, wykładnicze i trygonometryczne vii 5.. Naszkicować wykresy następujących funkcji: (1) f(x) = x 3, () f(x) = 3 x 1, (3) f(x) = 1 x + 1, (4) f(x) = sin x, (5) f(x) = cos x 1, (6) f(x) = log 1/ x, (7) f(x) = x 8 x + 15, (9) f(x) = log 1/3 x, (10) f(x) = log x log(x ) + 1, 5.3. Naszkicować wykresy następujących funkcji oraz dla każdej z nich wyznaczyć przedziały w których jest monotoniczna, (malejąca lub rosnąca). (1) f 1 (x) = 6x x, f (x) = x + x, f 3(x) = x + 3 x, f 4(x) = 3x 4 x, f 5(x) = x x + 1, f 6(x) = x () g 1 (x) = x 1, g (x) = x, g 3 (x) = x (3) g 4 (x) = 1 x, g 3 5 (x) = 1 x, 3 x + 1 g 6 (x) = 1 x Rozwiązać nierówności: (1) (x ) (x 5) (x 7x + 1 0, () (x + 1) 3 (x 3)(x 3x + ) (4) 3x x 4 x 4 1, (5) x + 1 > x x , (3) x 4 x + 1 > x x + 1, 5.5. Dla jakich wartości parametru m istnieją dwa różne pierwiastki x 1, x równania: mx m 1 + m + 1 x spełniające nierówność 1 x x < m + 1? = x + 1 Równania i nierówności: logarytmiczne, wykładnicze i trygonometryczne 6.1. Rozwiązać nierówności logarytmiczne: (1) 8log x log 81, () log (x 6) 3 + log (x 1), (3) log(x) + log(x 1) > log(3x + 1), (4) log x (log x), (5) log 1 x 1 + log 1 x, log(x + 1) (6), log4 log (7) logx log(4x 15), (8) log 4(x + 3) log 4 (x 1) log 4 8, (9) log 3 log 3 log 3 x > 0, (10) log 5x 5 x + log 5x > Znaleźć x jeśli (1) x = 3 1+log 3 6, () x = 4+log 3, (3) x = 10 3log3, (4) x = 7 1 log 3, (5) x = a 1+log a b, (6) x = log16, (7) x = a 1 log a b, (8) x = 5 log 5 4+log (1) Wiedząc, że log 6 = a znaleźć log 3 6 oraz log 6 9 () Wiedząc, że log 36 8 = a znaleźć log 36 9, (3) Wiedząc, że log3 = a i log = b znaleźć log 5 6

10 viii Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia (4) Wiedząc, że log 14 = a znaleźć log Rozwiązać następujące równania wykładnicze: (1) ( 3 3x 7 ( 7) = 7 7x 3, 3) () x x 5x+6 = 1, (3) 10 x 5 x 1 x = 950, (3) x + 5 x + 14 ( 1 4x) x 8 = 3x 4, (4) 11 x 7 = 17 7 x, (5) 3x 7 > 0, 5 18 x a) Rozwiązać następujące nierówności wykładnicze: ( ) 8x 1 (1)4 x+1 16 x 8, () 4 x 3 x (3) 4 x < 8 3x 3 8 x 6 8 x , (5) 8 ( 8x ( 3) 30 ) 4x Korzystając ze wzorów na sin α i cos α obliczyć: (a) sin π 8, cos π 8 i tg π 8. (b) sin π 1, cos π 1 i tg π Rozwiązać równania trygonometryczne: ( ) x 1 30, (4) (a) sin 3x cos 3x = sin x, (b) cos x sin x 3 = 0, (c) 3 sin x + cos x = 3, (d) tg 4 x = 36 cos x, (e) cos ( π + sin x = cos 3x Zbadać parzystość i nieparzystość funkcji: (a) f(x) = sin x cos 3x, (b) g(x) = sin xtg(5x), (c) h(x) = sin x cos 3x Sporządzić wykresy funkcji: (a) f(x) = sin x cos x cos x, (b) f(x), (c) f(x) = tgx cos x. sin x sin x 6.9. Uprościć wyrażenia: (a) sin ( π + x) ( tg(π x) sin(4π x) cos 4 x + 3, (b) π) cos(π + x) sin(π x) tg(π + x) sin ( x 3π) Rozwiązać równania: (1) cos t + sin t = 1, () sin t + sin t = 0, (3) cos t + sin t = 1 (4) sin ( ) x + π cos(π x) = cos x, (5) sin x + ( 3) cos x = 1, (b) 1 tgx + tg x cos x tg 3 x +... = sin ( ). x + π 4 (1 + cos x) p Dla jakich wartości parametru p równanie: = posiada rozwiązanie cos x 1 cos x? 6.1. Rozwiązać nierówności: [ 1 ( 8 )x, + ) ( 9 )x [3, + ) ( 30 )x ( 1 ), 0 ( 31 )x (, 0] ( 3, + ) ( 3 )x (, 1 ] [ 1 4, + )

11 Wielomiany i działania modulo ix (1) sin x Wyliczyć: (1) arcsin ( sin π 3, () sin x cos x, (3) sin x < cos x. ) (, () arcsin sin 5π 3 ), (3) arccos ( sin π a (1) Rozwiązać nierówności: (a) cos x < 1, (b) sin 3x cos x cos 3x sin x > 1, (c) cos 4 x 3 cos x 1 > 0, (d) sin x > cos x, (e) tgx ctgx > Zapisać wzór funkcji f(x) = sin( arcsin x) bez użycia funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych (1) Narysować wykres funkcji arcsin(sin x), () Rozwiązać równanie: arcsin x + arcsin x = π Wyliczyć: arcsin( 1/), arccos(0), arctan(0), arctan(tan(7π/8)), arccos(sin(15π/7)), cos( arcsin(4/5)), sin(1/ arccos(3/7)). 6.16a. Podać dziedziny zachodzenia poniższych równości oraz udowodnić je: x (a) arcsin( x) = arcsin x, (b) arcsin x = arctan. 1 x Wyrazić funkcję odwrotną względem funkcji: [ 4 (a) f(x) = sin(3x 4) dla x 3 + π 6, π ] za pomocą funkcji arcsin, (b) f(x) = cot(x π) dla x ( π, ) π za pomocą funkcji arctan Udowodnić wzór (podać dziedzinę): arcsin x + arccos x = π Udowodnić wzór (podać dziedzinę): arccos( x) = π arccos x Podać dziedzinę i narysować wykres funkcji f(x) = π arctan(tanx). Wielomiany i działania modulo Zadania typu jakiego można spodziewać na kartkówce 10.01: (odpowiedzi pojawią się około wtorku) Odpowiedzi do 7: (tu) 7.1. Rozstrzygnąć, czy można wykonać i jeśli to możliwe wykonać dzielenie z resztą wielomianu f przez wielomian g jeśli współczynniki brane są z P : (a) f = x 4 + x 3 + x + 3x + 3, g = 3x + x + 4, P = Z 5, (b) f = x 3 + x + 4x + 3, g = 3x + 5, P = Z 8, (c) f = x 10 + x + 3x + 5, g = 6x 7 + x 3 + 1, P = Z 8, (d) f = 4x 3 + x, g = x i, P = C. ( 33 )(a) x x k Z ( 3 π + kπ, 4 3 π + kπ), (b) x ( k Z π 4 + kπ, 5 4 π + kπ), (e) x k Z ( π 1 ( k Z π 6 + kπ 4, π 4 + kπ 4 5π + kπ, 1 + kπ), (c) x ( π 4 + kπ, 3 4 π + kπ), (d) ) k Z ).

12 x Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia 7.. Korzystając z tabelki Hornera wykonać dzielenie wielomianu f przez jednomian g gdy współczynnik wzięte są z P : (1) f = 4x 6 + x 5 + 3x 4 + 4x +, g = x + 1, P = Z 6, () f = x 4 + 3x 3 + x + x + 4, g = x +, P = Z 5, (3) f = x 3 x x, g = x 1 + i, P = C, (4) f = x 5 + x 3 + 5x + 4x + 6, g = x + 3, P = Z 7, (5) f = 4x 6 + x 5 + 3x 4 + 5x 3 + 4x +, g = x + 1, P = Z Dobrać tak liczby a, b Z, aby wielomian x 5 4x 3 + x + ax + b przy dzieleniu przez x 1 dawał resztę 1, a przy dzieleniu przez x + resztę 5, (gdy dzielimy f przez g i wychodzi: f = g q + r gdzie r jest wielomianem niższego stopnia niż g to q to wynik a r to reszta) Znaleźć pierwiastki wymierne wielomianu f = 4x 4 + 4x 3 + 3x x 1. Poniższe zadania są do rozwiązania na ćwiczenia będziemy je robić na zajęciach i z tego typu zagadnień będzie ostatni sprawdzian. Obrazy i przeciwobrazy zbiorów, ogólne własności odwzorowań Na sprawdzianie można się spodziewać zadań podobnych do poniższych za wyjątkiem (1) Dla f(x) = x + x + 1 znaleźć f([ 1, ]) oraz f 1 (( 3 4, 1)) () Dla f(x) = sin 3x znaleźć f((0, π 3 )) i f 1 ([ 1, 0)) (3) Dla f(x) = [x] znaleźć f((, )) i f 1 ((, )). 8.. Niech f : Z Z Z dane będzie wzorem f(x, y) = xy. (1) Znaleźć obrazy zbiorów: {1, 10, 100, 1000} {1, 10, 100, 1000}, Z Z, { n, n N = {0, 1,,...}} (Z + 1). () Znaleźć przeciwobrazy zbiorów: {1,, 3}, Z, Z (1) Dla jakich a, b, c, d R, (gdzie c 0) funkcja R\{ d } R określona wzorem c f(x) = ax+b jest różnowartościowa? cx+d () czy istnieją takie a, b, c, d że ta funkcja jest surjekcją? 8.4. Wyznaczyć f([0, 1 ] oraz f 1 ((0, π ) dla f(x) = π + arcsin(x) Wyznaczyć poniższe obrazy i przeciwobrazy. W każdym z przypadków podać również zbiór wartości funkcji. (1) f(x) = x + 1 1, f((, 1]), f 1 ([ 1, 1]) () f(x) = arctgx, f((, 0)), f 1 ([ π 4, π 4 ]) (3) f(x) = 3x + x 1, f((, 0)), f 1 ([ 1, + )), f 1 ({0}) (4) f(x) = ( x ), f([0, 1]), f 1 ((4, + ))

13 Wyniki zadań z wielomianów xi (5) f(x) = x 1, f([ 1, ]), f 1 ((1, )) (6) f(x) = 3 x 1, f((, 1]), f 1 ([4, )) { x, gdy x 1 (7) f(x) = 1, gdy x < 1, f([0, 9]), f 1 ([10, + )) 3 { x ln(3x + 1), gdy x 1 (8) f(x) = 1, gdy x < 1, x 0, f([ 1, 0] [0, 5]), f 1 ((, 1]) (9) f(x) = x x [x] znaleźć obraz i przeciwobraz zbioru A[ 4, ), (10) f(x) = [x ] + 3 znaleźć obraz i przeciwobraz zbioru A = [, 5) (11) f(x) = sgn(x + 1) znaleźć obraz i przeciwobraz zbioru A = ( 3, 3], (1) f(x) = x + 4, znaleźć obraz i przeciwobraz zbioru A = [, + ), (13) f(x) = 3x, znaleźć obraz i przeciwobraz A = [ 4, ) (, ) x + 4 (14) f : Z Z Z takie, że f(x, y) = x y, znaleźć obraz i przeciwobraz zbioru liczb parzystych (15) f(x) = 3 4x 1, znaleźć obraz i przeciwobraz zbioru A = { 1, 0, 1 4, 1, 1}. Wyniki zadań z wielomianów 7.1. (a) x 4 +x 3 +x +3x+3 = (3x +x+4)(4x +4x+)+0 nad Z 5, (b) x 3 +x +4x+3 = (3x + x + 5)(3x + 5) + nad Z 8, (c) niewykonalne nad Z 8 bo 6 ma wspólny dzielnik z 8 więc nie da się odwrócić, (d) 4x 3 + x = (x i)[4x (3 + 4i)x) 1 + 7i] + 8 6i 7.. (1) wynik: w = 4x 5 + 3x 4 + 4, reszta: r = 4, () w = x 3 + 4x + 3x + 1, r =, (3) w = x ( + i)x + (i 7), r = 3 16i, (4) w = x 4 + 4x 3 + 3x + 3x + 4, r = 1, (5) w = 4x 5 + 3x 4 + 5x + x + 3, r = b = 3, a = Pierwiastki wymierne to: 1 i 1. Wielomian ma dodatkowo dwa pierwiastki zespolone: 1 3i i 1+ 3i. Wyniki wybranych zadań z (1) f([ 1, ]) = [ 3, 7], f 1 (( 3, 1)) = ( 1, 1) ( 1, 0), () f((0, π )) = (0, 1], f 1 ([ 1, 0)) = ( ) (k+1)π, (k+)π, (3) f((, )) = {, 1, 0, 1}, f 1 (, )) = 3 3 [ 1, ). k Z 8.. (1) {1, 10, 100, 1000, 10000, , }, 4Z, Z\{0}, () {(1, 1), ( 1, 1), ( 1, ), (, 1), Z Z Z Z, frm ez + 1 Z (1) różnowartościowość zachodzi dokładnie wtedy, gdy ad bc 0, () funkcja tak nigdy nie jest surjekcją na R [ π, 5π], (, 0). 6 ( 8.5. (1) ( 1, 1], [ 3, 1], zbiór wartości: [ 1, + ), () ( π, 0), [ 1, 1], zbiór wartości: π, ) π, (3) [0, 7), R, zbiór wartości [0, ) (4) [0, 1], (, + ), zbiór wartości: [0, ), (5)

14 xii Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia [ 15, 3], (, 3) ( 3, + ), zbiór wartości: [ 15, + ), (6) [3 5, 7), ( 1 + log 3 4, 1 + log 3 4), (7) (1/3, 1] [, 8], (, log 9 (10)] [(log (10)), + ), (8) (1, + ), (, 1), (9) [0, 1), R, (10) [3, 7], (0, 4), (11) { 1, 0, 1}, R, (1) [4, + ), R, (14) Z, Z Z (Z+1) (Z+1). Rozwiązania wybranych zadań Zadanie Zapisać wzór funkcji f(x) = sin( arcsin x) bez użycia funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Rozwiązanie Dziedziną naszej funkcji jest oczywiście dziedzina funkcji arcsin czyli [ 1, 1]. Zauważmy, że mamy tu wzór na sin α = sin α cos α gdzie α = arcsin x. Dostajemy więc: f(x) = sin(arc sin x) cos(arc sin x) i żeby wyliczyć nasz wzór musimy wyliczyć cos(arc sin x). Wiemy, że arcsin x = y oznacza, że sin y = x wobec tego skoro sin y to x to wiemy z jedynki trygonometrycznej że cos y = ± 1 sin y = 1 x. Jednak y = arcsin x jest kątem należącym do przedziału [ π, π ] a w tym przedziale cos przyjmuje wartości dodatnie, czyli cos y = 1 x tzn. cos(arc sin x) = 1 x. W takim razie nasza funkcja ma wzór f(x) = x 1 x. Zauważmy, że analogicznie możemy uzasadnić, że sin(arccos x) = 1 x. Istotnie jeśli arccos x = y to cos y = x czyli sin y = ± 1 x ale y jest kątem z przedziału [0, π] a tam sinus jest dodatni, czyli cos(arcsin x) = cos y = 1 x. Zadanie 6.15() () Rozwiązać równanie: arcsin x + arcsin x = π. Rozwiązanie: Sprawdzamy dziedzinę naszego równania i zauważamy, że jest to [ 1, 1], (taka jest dziedzina arcusa sinusa w związku z tym tam należeć musi x, z kolei jeśli x [ 1, 1] to x jest mieści się w tym przedziale i możemy liczyć z niego arcus sinus). Sprawdzamy gdzie leżeć może lewa strona (w jakim przedziale). Zauważamy najpierw, że jeśli x jest ujemne to zarówno arcsin x jak i arcsin x też są ujemne, czyli lewa strona jest [ ujemna więc takie x nie mogą spełniać naszej równości. Wniosek: rozważamy x 0, π ]. Ale [ dla x [0, 1] mamy, że arcsin x 0, π ] oraz arcsin x [ 0, π ] tzn. lewa strona równania leży w przedziale [0, π]. Na przedziale [0, π] funkcja cos jest różnowartościowa, w związku z tym otrzymujemy równoważność: arcsin x + arcsin x = π cos(arcsin x + arcsin x ) = cos(π ) = 0. Wobec tego musimy rozwiązać równanie: cos(arcsin x + arcsin x ) = 0 Stosujemy wzór na cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β i otrzymamy: cos(arcsin x) cos(arcsin x ) = sin(arcsin x) sin(arcsin x )

15 Rozwiązania wybranych zadań xiii Jednak wiemy, że cos(arcsin x) = 1 x, sin(arcsin x) = x, skąd ostatnie równanie jest równoważne następującemu: 1 x 1 x 4 = x. Ponieważ wszystkie występujące tu wyrażenia są nieujemne to równanie możemy podnieść strona do kwadratu otrzymując przejście równoważne i rozwiązując je dostaniemy, że x = 5 - wybieramy dodatni x bo zauważyliśmy wcześniej, że x [0, π] a. Podać dziedziny zachodzenia poniższych równości oraz udowodnić je: arcsin( x) = arcsin x Rozwiązanie Dziedziną naszego równania jest oczywiście [ 1, 1] bo tam określona jest funkcja arcsin a jeśli x [ 1, 1] to także x [ 1, 1]. Zacznijmy od rozpisania co to jest arcsin( x). Otóż: arcsin( x) = y sin y = ( x)oraz y [ π, ] π sin y = xoraz y [ π, ] [ π sin( y) = xoraz y π, ] π arcsin x = y arcsin x = y. Ostatecznie więc mamy: arcsin( x) = y i arcsin x = y czyli zachodzi żądana równość, (nieparzystość funkcji arcsin Wyrazić funkcję odwrotną względem funkcji: [ 4 (a) f(x) = sin(3x 4) dla x 3 + π 6, π ] za pomocą funkcji arcsin. Rozwiązanie: Zadanie sprowadza się do wyliczenia x za pomocą y z równania: y = sin(3x 4). Zauważmy, że sin(3x 4) = y. By wyliczyć x musimy najpierw wyliczyć α = 3x 4. Szukamy więc takiego kąta α żeby sin α = y, ale najpierw musimy się dowiedzieć z jakiego [ przedziału tego kąta szukamy. Pytanie więc gdzie należy 3x 4? Wiemy, że x π 6, π ] wobec tego (po przeliczeniu nierówności) dostaniemy, że 3x 4 [ π, 3π]. Szukamy więc kąta α [ π, 3π] takie, że sin α = y. Wiemy, że kąt β = arc sin y to kąt taki, że sin β = y oraz β [ π, ] π. Nasz kąt musi mieć taki sam sinus. Zauważmy, że jeśli weźmiemy kąt π β to będzie to kąt taki, że π β [ π, 3π] oraz sin(π β) = sin β = y. Wobec tego szukanym przez nas kątem jest π β = π arcsin y. Stąd 3x 4 = π arc sin y skąd x = 1(π arcsin y + 4) czyli wzór funkcji odwrotnej to f 1 (x) = 1(π arcsin x + 4) Udowodnić wzór (podać dziedzinę): arcsin x + arccos x = π. Rozwiązanie: Sprawdzamy dziedzinę naszego równania i zauważamy, że jest to [ 1, 1]. Sprawdzamy [ gdzie leżeć może lewa strona (w jakim przedziale). Dla x [ 1, 1] mamy, że arcsin x π, π ] oraz arccos x [0, π] tzn. lewa strona równania leży w przedziale [ π, 3 ] π. Zauważmy, że patrząc na prawą stronię mamy: cos π = 0 ale cos w przedziale [ π, 3 π ] przyjmuje tę wartość aż trzykrotnie. Za to sin π = 1 i sinus w tym przedziale tylko raz

16 xiv Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia przyjmuje tę wartość. W związku z tym otrzymujemy równoważność: arcsin x + arccos x = π sin(arcsin x + arccos x) = 1. Wobec tego musimy rozwiązać równanie: sin(arcsin x + arccos x) = 1 Stosujemy wzór na sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β i otrzymamy: sin(arcsin x) cos(arccos x) + cos(arcsin x) sin(arccos x) = 1 Jednak wiemy, że cos(arcsin x) = 1 x, sin(arcsin x) = x, cos(arccos x) = x i sin(arccos x) = 1 x skąd ostatnie równanie jest równoważne następującemu: x + ( 1 x ) = 1, skąd dzięki temu, że zawsze 1 x 0 dostajemy tożsamość: 1 = 1. Wobec przejść równoważnych nasze wyjściowe równanie zachodzi dla dowolnego x [ 1, 1] skąd koniec dowodu.