WPROWADZENIE DO MATEMATYKI WYŻSZEJ

Transkrypt

1 WPROWADZENIE DO MATEMATYKI WYŻSZEJ. Elementy logiki i teoria zbiorów Zad... Rozpatrzmy wartościowanie w takie, że w(p) = i w(q) = 0. Oblicz: a) w( (p p)), b) w( ( p p)), c) w( (q q)), d) w( p q), e) w( p (p q)), f) w( (p q) ( q p)), g) w(( p (q q)) p), h) w((p (p q)) q). Zad... Oblicz wartość logiczną, jaką wyrażenie ((p q) r) ( r (p q)) przyjmuje przy wartościowaniu w takim, że: a) w(p) = w(q) = w(r) = 0, b) w(p) = w(q) = w(r) =, c) w(p) = 0 i w(q) = w(r) =, d) w(p) = i w(q) = w(r) = 0. Zad..3. Czy poniższe wyrażenia są tautologiami (prawami KRZ)? a) ((p q) q) p b) ((p q) p) q c) ((p q) q) p d) ((p q) p) q e) ((p q) p) q f) (p q) ((p r) q) Zad..4. Udowodnij prawdziwość poniższych praw KRZ. a) ( p) p (prawo podwójnego przeczenia) b) p p (prawo wyłączonego środka) c) (p p) (prawo niesprzeczności) d) (p q) ( p q) (prawo de Morgana negacji koniunkcji) e) (p q) ( p q) (prawo de Morgana negacji alternatywy)

2 f) (p q) ( p q) (prawo transpozycji) g) (p (p q)) q (prawo oderywania) h) ( p (q q)) p (prawo dowodu nie wprost) Zad..5. Za pomocą negacji i koniunkcji zdefiniuj (zapisz wyrażenia logicznie równoważne): alternatywę, implikację i równoważność. Zad..6. Zbiory A, B, C oraz D definiujemy następująco: A = {x R : x 6}, B = {x R : x 5 < }, C = {x R : x 3 > x 7 x 9 }, D = {x R : x < 0}. Zaznacz na osi liczbowej te zbiory oraz zbiory A B, A D, A C, B C, C \ B, A D, A A B C, [(A D) B] \ C, (D \ B) C. Zad..7. Znajdź następujące zbiory: {[, 3]} {,, 3}, {, 3} [, 3], {[, 3]} [, 3], [, 3] {,, 3}, [, 3] (0, ), { }, { }. Zad..8. Zbiory A, B, C oraz D definiujemy następująco: A = {(x, y) R : x + y 4}, B = {(x, y) R : x + y }, C = {(x, y) R : x + y }, D = {(x, y) R : x y }. Zaznacz na osi liczbowej te zbiory oraz zbiory A B, A C, C D, B \ C, B D, A \ D, (A C) \ D, B (C \ D). Zad..9. Zbiory A, B, C oraz D definiujemy następująco A = [, ], B = {, 3}, C = (4, 5), D = (5, 6]. Zaznacz na płaszczyźnie zbiory A A, A B, A C, A D, B A, C A, D A, B C, B D, C D, D C, D D. Zad..0. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące równości: a) (A B) C = (A C) (B C) b) (A B) C = (A C) (B C) c) A = A (A B) d) A = A (A B) e) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) f) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) g) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C). Zad... Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące równości: a) A (B C) = (A B) (A C)

3 b) A (B C) = (A B) (A C) Zad... Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C, D zachodzą następujące implikacje i równoważności: a) A B A = A B b) A B B = A B c) A B B = A (B \ A) d) A B C \ B C \ A e) (A B) (C D) A C B D f) (A B) (C D) A \ D B \ C Zad..3. (*) Jakie inkluzje między zbiorami A, B i C muszą zachodzić, aby prawdziwe były następujące równości: a) (A B) (C B) = B b) (A B) \ C = (A \ C) B c) [(A B) C] \ A = (A B) \ C? Zad..4. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, A, B, B zachodzi inkluzja (A B ) (A B ) (A A ) (B B ). Podaj przykład zbiorów A, A, B i B wskazujący, że inkluzja przeciwna nie musi zachodzić. Zad..5. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów skończonych A, B i C zachodzą następujące równości ( A oznacza liczbę elementów zbioru A): a) A B = A + B A B b) A B C = A + B + C A B A C B C + A B C Zad..6. (*) W klasie 5 osób miało piątkę z matematyki, historii lub wychowania fizycznego. Z matematyki były 4 piątki, z historii było 7 piatek, a z wychowania fizycznego. Uczniów, którzy mieli piątkę zarówno z matematyki jak i z w.f.-u było trzech, a takich, którzy mieli piątkę z historii i z w.f.- u było czterech. Ile osób miało piątkę z matematyki i z historii, jeśli piątkę ze wszystkich trzech przedmiotów miała tylko jedna osoba. Zad..7. Ile jest liczb naturalnych mniejszych lub równych tysiąc, podzielnych przez i 3 oraz niepodzielnych przez 7? Zad..8. Ile jest liczb naturalnych mniejszych lub równych tysiąc, podzielnych przez 5 i niepodzielnych przez 3 ani przez 7? Zad..9. (*) Ile jest liczb naturalnych mniejszych lub równych tysiąc, podzielnych przez i 5 oraz niepodzielnych przez 7 ani przez 4? 3

4 . Wyrażenia algebraiczne Zad... Rozłóż podane wyrażenia na czynniki: a) 6b 4, b) (x + 3x ) (x x + ), c) 4x + y 4xy t, d) 36p 4 + q 4 + p q, e) 4(a b) (a + b), f) 7a 6 0, 5c 3, g) a 3 + b 3 + ab(a + b), h) ax bx + bx ax + a b, i) bc(b + c) + ca(c a) ab(a + b), j) a 3 + b 3 + c 3 3abc Zad... Uprościć wyrażenia: a) b) c) d) e) x + x x + x, (x + y) ( x + y ) + (x + y) 3 ( + ), x y a (a b)(a c) + b (b c)(b a) + c (c a)(c b), a c a 3 c 3 a + ac + c a b bc + c a c + c : c a b a + b + a + b a + b + ab a b ab a + b, c( + c) a, bc f) a ( ) + b c b ( ) + c a c ( a b a b (c b) + (a c) + c, (b a) bc ca ab g) + (a + x) (a + x) (a + x ) ax, jeżeli x = a, x a h) a b(ax), jeżeli x = (a + b) a + b. a + b Zad..3. Wykaż, że dla a, b R a) a + b ab, b) a + b + (a + b), 4

5 c) (a > 0 b > 0) (a + b)( + ) 4, a b d) (a > 0 b > 0) a + b ab, e) x + y + z xy + xz + yz, f) a 4 + b + c ab ac + bc. Zad..4. Wykaż, że jeśli a + b + c = 0, to a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Zad..5. Wykaż, że jeśli a + b + c = a + b + c, to co najmniej dwie spośród liczb a, b, c są liczbami przeciwnymi. Zad..6. Oblicz wartość wyrażenia ( m + n ) dla x = a, a > 0, n > m > 0. mn Zad..7. Udowodnij, że jeżeli b = a, to (x + a ) + (x a ) (x + a ) (x a ) (a + b)(a + b )(a 4 + b 4 )(a 8 + b 8 )(a 6 + b 6 )(a 3 + b 3 ) = a 64 b 64. Zad..8. Uprościć wyrażenie Zad..9. (*) Wykazać, że jeżeli x a a b(ax), jeżelix = (a + b) ( a + b a + b ). m = a + b a b, m = c + d c d, m 3 = m + m + m 3 = m m m 3. ac bd ad + bc, to Zad..0. (*) Obliczyć x 4 + y 4 + z 4 jeżeli x + y + z = 0 i x + y + z = a 5

6 3. Liczby rzeczywiste Zad. 3.. Czy suma i iloczyn dwóch liczb a i b jest liczbą wymierną? Rozważ różne przypadki wymierności a i b. Zad. 3.. Udowodnij niewymierność podanych poniżej liczb Zad Oblicz a) 5, b), c) 5 + 7, d) log 7. a) (3 8 : 3 4 ) c) b) ( 5 [ ] d) Zad Usuń niewymierność z mianownika ) ( ) 3 (3 ) ( ) [ (6 ) + ( ) 6 ] a) 3 5 b) c) 3 3 d) e) f) Zad Sprawdź, czy podane poniżej liczby są niewymierne a) b) c) d*) Zad Wykaż, że a) = b) 5 6 = Zad Wyznacz odwrotność liczby Zad Niech a) b) Udowodnij, że jeżeli x A, to x A. Zad Niech Udowodnij, że jeżeli x A, to x A. Zad Oblicz a) A = {x : x = a + b 5, a, b Q} A = {x : x = a + b 3 + c 3 4, a, b, c Q} b) Zad. 3.. Liczby naturalne dodatnie a, b, c, d spełniają warunki Znajdź d. 3 abc = 4 i 4 abcd = 0. 6

7 Zad. 3.. Wykaż, że jeżeli a = 9 3+ i b = 3 3+5, to b = 7 a. Zad Jeżeli liczba naturalna m = p n p n... p n k k, gdzie p, p,..., p k są różnymi liczbami pierwszymi, zaś n, n,..., n k są liczbami naturalnymi dodatnimi, to liczba wszystkich naturalnych dzielników liczby m jest równa (n + )(n + )... (n k + ). Wyznacz liczbę naturalnych dzielników liczby a) 756 b) c)!. Zad Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich jest równa 04, a ich największym wspólnym dzielnikiem jest 3. Podaj te liczby. Zad Iloczyn dwóch liczb naturalnych dodatnich jest równy 60, a ich największym wspólnym dzielnikiem jest. Podaj te liczby. Zad Liczba piłeczek w pudle należy do przedziału (7, 04). Jeśli z pudła wybieramy za każdym razem po 0 piłeczek, to w pudle pozostaną 4 piłeczki, a jeśli wybieramy po 8 piłeczek, to w pudle zostanie 6 piłeczek. Oblicz, ile piłeczek było w pudle. Zad (*) Wykaż, że jeżeli różne liczby a, b, a + b są liczbami wymiernymi, to liczby a, b są liczbami wymiernymi. Zad (*) Wykaż, że między dowolnymi liczbami rzeczywistymi a i b, a < b istnieje liczba wymierna (niewymierna) x, taka, że a < x < b. 7

8 4. Indukcja matematyczna Zad. 4.. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n różnej od zera prawdziwe są nastąpujące równości: n a) k = n(n+) b) k= n k= c) * n k = n(n+)(n+) 6 k= d) * n k= k 3 = n (n+) 4 = ( n k= k) k 4 = n(n+)(n+)(3n +3n ) 30 Zad. 4.. Udowodnij, że a) n N4 (5 n ) b) n N6 (7 n ) c) n N9 (0n ) Zad Udowodnij, że n N k N (k (k + ) n ). Zad Udowodnij, że a) n N6 n(n + )(n + ) b) n N7 0 6n. Zad Udowodnij, że: a) n N \ {0}( n ( ) n k = ( ) n n(n+) ), k= b) n N \ {0}( n k= k(k + ) = n(n+)(n+) 3 ). Zad (*) Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej większej badz równej oraz dla dowolnego n-elementowego ciągu a, a,..., a n liczb rzeczywistych zachodzi wzór: ( n a k ) = n a k + n k a k a l. k= l= Zad Udowodnij, że dla każdej różnej od zera, a w punkcie b) większej od, liczby naturalnej n prawdziwe są nierówności: k= k= a) n k= k n, b) n + < n *c) n k=. k n 8

9 Zad Udowodnij, że dla każdej różnej od zera liczby naturalnej n i dla każdej liczby rzeczywistej x większej lub równej zachodzi nierówność Bernoulliego: ( + x) n + nx. Gdzie wykorzystany jest w dowodzie warunek x? Zad Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n: a) 6 n 3 + 5n, b) 33 n+ + n+, c) 5 n+ 3 n + 5n 4. Zad Ciąg (a n ) n N definiujemy indukcyjnie w następujący sposób: a 0 =, a = 3, a n+ = 3a n a n. Udowodnij, że n Na n = n +. Zad. 4.. Ciąg Fibonacciego (a n ) n N definiujemy indukcyjnie w następujący sposób: a 0 = 0, a =, a n+ = a n + a n. Udowodnij, że wyrazy ciągu Fibonacciego posiadają następujące własności: a) n N(3 a 4n ), b) n N( a 3n ). Zad. 4.. Dla jakich n prawdziwa jest nierówność: a) n < 3 n, b) n k= n. k Zad (*) Udowodnij, że a, b > 0, n N((a + b) n < n (a n + b n )). Zad (**) Korzystając z zasady minimum udowodnij, że jeśli A N jest zbiorem takim, że k A oraz dla każdego n k jeśli n A, to n + A, to N \ {0,,..., k } A. Zad (**) Udowodnij zasadę indukcji porządkowej: Jesli A N jest zbiorem takim, że k A oraz dla każdego n > k jeśli {k,..., n } A to n A, to N \ {0,,..., k } A. Zad (**) Czy jeśli A N spełnia poniższe warunki, to A = N? a) (i) A A, (ii) n N b) (i) 0 A A, (ii) n N c) (i) A A, (ii) n N (iii) n N (n + A n A). (n A n A). (n A A n A), (n A n A). Zad (**) Korzystając z zadania?? c) udowodnij,że x,..., x n > 0 x... x n ( x x n n ) n. 9

10 Zad Udowodnij, że n N ( n5 5 + n n 5 N). Zad Ile przekątnych ma n-kat wypukły? Zad Udowodnij, że suma kątów wewnętrznych w n-kącie wypukłym jest równa (n ) 80. Zad. 4.. Udowodnij, że n-kąt wypukły można podzielić przekątnymi na n trójkąty tak, by żadne dwie z wybranych przekątnych nie przecinały się wewnątrz trójkąta. Zad. 4.. Znajdź błąd w poniższym dowodzie faktu, że wszystkie kwiaty są tego samego koloru. a) Jeden kwiat jest tego samego koloru, co on sam. b) Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich m n i weźmy n + kwiatów {k,..., k n+ }. Podzielmy je na dwa zbiory: {k,..., k n },{k n, k n+ }. W każdym ze zbiorów jest co najwyzej n kwiatów, więc na mocy założenia indukcyjnego wszystkie sa tego samego koloru. Jednocześnie kwiat k n jest w obu zbiorach, więc oba zbiory są tego samego koloru. Zad (*) Wieże z Hanoi. Na desce znajdują się 3 pręty, na jednym z nich znajduje się n krążków o różnych średnicach ułożonych w kolejności średnic od największego na dole do najmniejszego na górze. Należy przenieść całą wieżę na drugi pręt korzystając z trzeciego w ten sposób, że w jednym ruchu można przenieść tylko jeden krążek i nie można położyć większego na mniejszym. Jaka jest najmniejsza ilość ruchów, przy której można to uczynić? Zad (**) Na jednym z trzech prętów z poprzedniego zadania znajduje się n krążków, po tej samej wielkości n różnych wielkości. Jaka jest najmniejsza ilość ruchów, jakie trzeba wykonać aby przenieść przy regułach z poprzedniego zadania całą wiezę na drugi pręt jesli: a) krążki tej samej wielkości są nierozróżnialne? b) chcemy otrzymać wieże, której krążki będą ułożone w tej samej kolejności, co w wieży wyjściowej nawet te tej samej wielkości? Zad (**) Udowodnij, że n kwadratów można poprzecinać wzdłuż prostych w ten sposób, aby ze wszystkich otrzymanych kawałków można było ułożyć jeden kwadrat. Zad Na ile obszarów dzieli płaszczyznę n prostych, z których każde dwie się przecinają i żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie? 0

11 5. Podstawowe własności funkcji Zad. 5.. Określ (naturalną) dziedzinę funkcji : a) f(x) = x+ x+3, b) f(x) = c) f(x) = d) f(x) = x x, (x )(x )(x 3)(x 4), sin( x), e) f(x) = log 3 ( 3x x+ ), f) f(x) = log 3 x 5x+3 x. Zad. 5.. Na podstawie wykresu funkcji f(x) = x 4x + 5 narysuj wykres funkcji : a) f(x) +, b) f(x + ) 3, c) f(x) 3 +, d) f(x ). Zad Dana jest funkcja k(x) = a) k = k( x), b) k (x) = k(x+) k( x ). x. Wyznacz wzór funkcji: +x Zad Narysuj wykres funkcji x +, dla x f(x) = x +, dla x >, znajdż przeciwobrazy zbiorów [, 3], (, 0], [, 0) i obrazy zbiorów [0, ], (, 3), R. Wyznacz ilość rozwiązań równania f(x) = x + m w zależności od parametru m R. Zad Zbadaj różnowartościowość funkcji: a) f(x) = 3x 6x+3, b) f(x) = c) f(x) = x x 3, x 3, d) f(x) = x 3 x 4. Zad Zbadaj parzystość funkcji: a) f(x) = log(x + x + ), b) f(x) = sin(cosx),

12 c) f(x) = log +sinx sinx. Zad Niech f(x) = x+3. Określ naturalną dziedzinę funkcji, zbadaj odwracalność f(x), 3x określ funkcję odwrotną do f, ewentualnie ograniczając jej dziedzinę. Zad Znależć funkcję odwrotną do f(x): a) f(x) = x, D f = [, + ), b) f(x) = x, D f = (, 0), c) f(x) = x +x, D f = (, ], d) f(x) = x +x, D f = [, + ), e) f(x) = x +x, D f = [, ]. Zad Wyznacz funkcję f(x), jeżeli spełnia ona warunek: a) f(x ) = x x + 3, x R, b) f(x + x ) = x + x, x R \ {0}. Zad Wykaż, że jeżeli: a) f(x) jest rosnąca,to dla każdych a > 0, b funkcja g(x) = af(x) + b jest rosnąca. b) f(x) jest rosnąca, h(x) malejąca, to f(x) h(x) jest rosnąca. c) f(x) rosnća, to g(x) = f( x) jest malejąca. Zad. 5.. Wykaż, że jeżeli f(x) jest funkcją parzystą, to g(x) = af(x) + b jest też funkcją parzystą dla dowolnych a, b. Czy prawdziwe jest analogiczne twierdzenie dla funkcji nieparzystych? Zad. 5.. Zbadaj parzystość iloczynu (złożenia) dwóch funkcji parzystych, funkcji parzystej i nieparzystej, dwóch funkcji nieparzystych. Zad Zbadaj monotoniczność złożenia dwóch funkcji monotonicznych. Rozważ różne przypadki. Zad Zbadaj okresowość funkcji: a) f(x) = Asin(ax) + Bcos(ax), b) f(x) = sinx + sinx, c) f(x) = sin x, d) f(x) = sin(x ), e) f(x) = sinx, f) f(x) = sin x, g) f(x) = sinx + sin( x).

13 Zad Niech f(x) = Zad Zbadaj okresowość funkcji: a) f(x) = Asin(ax) + Bcos(ax), b) f(x) = sinx + sinx, c) f(x) = sin x, d) f(x) = sin(x ) e) f(x) = sinx, f) f(x) = sin x, g) f(x) = sinx + sin( x). x +x. Znależć wzór funkcji, będącej złożeniem n funkcji f(x). Zad (*) Udowodnij, że iloczyn dwóch funkcji okresowych o okresach współmiernych wymiernie jest funkcją okresową. Zad (*) Czy złożenie funkcji okresowej z dowolną funkcją jest funkcją okresową? Rozważ dwa przypadki kolejności złożenia. Zad (*) Zbadaj okresowość funkcji f(x) = Asinx + Bcos(ax + b). Zad (*) Udowodnij, że jeżeli f(x + T ) = kf(x), k, T są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to f(x) = a x g(x), gdzie g(x) jest funkcją okresową o okresie T. Zad. 5.. (*) Wykaż, że jeżeli f : R R, to istnieją funkcje g : R R, h : R R takie, że g jest funkcją parzystą, h jest funkcją nieparzystą oraz f(x) = g(x) + h(x). Zad. 5.. (*) Zbadaj okresowość funkcji f(x) = sinx + sin x. Zad (*) Znależć wszystkie funkcje ciągłe spełniające równanie Cauchy ego : f(x + y) = f(x) + f(y). 3

14 6. Funkcja liniowa Zad. 6.. Dana jest funkcja o wzorze f(x) = 3x + 4 b, x R. 3 a) Podaj miarę kąta nachylenia wykresu funkcji do osi OX. b) Wyznacz wszystkie liczby b, dla których miejsce zerowe funkcji jest liczbą większą od 5 3. c) Napisz wzór funkcji liniowej g, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji f i przechodzi przez punkt A( 3, ). Zad. 6.. Dana jest funkcja o wzorze f(x) = (3 a)x + 4, x R. a) Dla a = 0, 5 wyznacz zbiór tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości należące do zbioru [, 5]. b) Wyznacz a tak, by kąt nachylenia wykresu funkcji do osi OX wynosił 3π 4. c) Dla jakich a wykres funkcji f jest prostopadły do wykresu funkcji g(x) = 0, 5x + 4? Zad Dana jest funkcja f(x) = x + x + 4x + 4. a) Napisz wzór tej funkcji nie używając symbolu wartości bezwzględnej i pierwiastka kwadratowego. b) Narysuj wykres. c) Zbadaj liczbę rozwiązań, równania f(x) = k, k R, ze względu na wartość parametru k. Zad Zaznacz na płaszczyźnie zbiór A = {(x, y) R : [x] = y 3 }, gdzie symbol [a] oznacz największą liczbę całkowitą niewiększą niż a. Zad Dla jakich wartości parametru t rozwiązaniem układu równań, { 4x + 5y = t x + 3y = t + 3 jest para liczb o przeciwnych znakach? Zad Jaką figurę tworzą wszystkie punkty przecięcia prostej y = x + k z prostą y = 0, 5x + k, dla k R? Napisz równanie tej krzywej. Zad Wyznacz wzór funkcji liniowej f, która dla każdego x R spełnia warunek f(4x + 8) = x +. Zad Rozwiąż równanie: x + x + 3 = 4. Zad Rozwiąż równanie: x + x = 0. Zad Rozwiąż nierówność: x 3 3. Zad. 6.. Wyznacz zbiór punktów na osi liczbowej, o następującej własności: suma odleg łości od punktów i 3 jest większa od 5. Zad. 6.. (*) Znajdź wszystkie funkcje f : R R spełniające równanie: f(x) + 3f( x) = 4x. 4

15 Zad (*) Wykaż, że jeżeli wykresy funkcji y = ax + b, y = x + c, y = cx + a mają punkt wspólny, to a = b = c. Zad (*) Rozwiąż równanie x + y x xy + = 0. Zad Rozwiąż układ równań { (a 3)x + 4y = m 9x + (a + )y = 9 i przeprowadź dyskusję dotyczącą istnienia rozwiązań, ze względu na wartości parametrów a i m. Zad (*) Funkcje f(x) = ax + 8, g(x) = 3x + b, gdzie a, b N i a (50, 75), wartość 00 przyjmują dla tego samego argumentu. Znajdź liczby a i b. 5

16 7. Funkcja kwadratowa Zad. 7.. Dla jakiej wartości m R równanie kwadratowe: (m 3)x + (m )x + = 0 ma wspólny pierwiastek z równaniem mx + 3 = 0? Zad. 7.. Zbadaj w zależności od parametru m R liczbę rzeczywistych rozwiązań równania: x (m + )x + m = 0. Zad Określ liczbę pierwiastków równania: (m )x (m + )x 0, 5 = 0 w zaleznosci od parametru. m R Zad Dla jakich wartości parametru m R równanie: (m )x (5m )x + m = 0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste różnych znaków? Zad Dla jakich wartości parametru m R równanie: (m + m )x (5 m)x 6 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste jednakowych znaków? Zad Dla jakich wartości parametru m R równanie: ma dwa różne pierwiastki dodatnie? (m + )x (m + 3)x + m + = 0 Zad Dla jakich wartości parametru m R funkcja: f(x) = (m )x + (m )x + m przyjmuje wartości ujemne dla każdej liczby x R? Zad Dla jakich wartości parametru m R nierówność: jest spełniona dla każdej liczby x R? (m 3)x + (6 m)x + (m 9) > 0 7 Zad Dla jakich wartości parametru m R pierwiastki x, x równania: spełniają warunek x + x < m +? mx m + m + x 6 = x +

17 Zad Dla jakich wartości parametru m R równanie: a) ma dwa pierwiastki rzeczywiste, b) ma jeden pierwiastek rzeczywisty, c) nie ma pierwiastków rzeczywistych? x + a x a ax = x a Zad. 7.. Sporządź wykres funkcji określonej wzorem: f(x) = x + x x 4. Ustal liczbe rozwiazan równania f(x) = x + x x 4 = m w zależności od parmetru m R Zad. 7.. Dla jakich wartości całkowitych m pierwiastki równania: są liczbami całkowitymi? (m )x (m + )x + m + a = 0 Zad Znaleźć trójmian kwadratowy wiedząc, że suma jego pierwiastków wynosi 8, suma ich odwrotności wynosi 3, a wartość dla x = 0 wynosi 4. Zad Wykazać, że jeżeli zachodzi związek mp = (n+q), to przynajmniej jedno z równań x + px + q = 0 i x + mx + n = 0 ma rozwiązanie. Zad Dla jakich wartości parametru m R równanie: x (m )x + m + = 0 ma dwa różne pierwiastki a, b spełniające zależność a b =? Zad Dla jakich wartości parametru a R zbiorem rozwiązań nierówności: jest zbiór liczb rzeczywistych? (a )x + (a )x + > 0 Zad Dla jakich wartości parametru k R oba pierwiastki równania: są większe od? Zad Dane jest równanie: x + (k + 6)x + 4k + = 0 x + px + q = 0. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór punktów (p, q), dla których dane równanie ma: a) dwa pierwiastki równe, b) dwa pierwiastki rózne, c) jeden pierwiastek jest wiekszy od drugiego. 7

18 Zad Dla jakich wartości parametru m R pierwiastki równania: zawarte są między i 4? x mx + m = 0 Zad Dla jakich wartości parametru m R równania: mają wspólny pierwiastek? Zad. 7.. Rozwiąż równanie: x 3(m + )x + = 0 oraz 4x (9m )x + 36 = 0 x + xsin(xy) + = 0. Zad. 7.. Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiaząń nierówności: jest zawarty w zbiorze rozwiaząń nierówności: x 3x + < 0 mx (3m + )x + 3 > 0? Zad Dla jakich wartości parametru m funkcja: f(x) = (m + 4m 5)x (m )x + przyjmuje wartości dodatnie dla wszystkich liczb rzeczywistych x? Zad Dla jakich wartości parametru k zbiorem wartości funkcji f określonej wzorem: jest przedział [54, )? f(x) = (k 4)x ( k)x + + 0, 5k Zad Dla jakich wartości parametru m przedział (, ) zawarty jest w zbiorze rozwiązań nierówności: mx mx + > 0? 8

19 8. Wielomiany Zad. 8.. Wykonaj mnożenie wielomianów a) (x 4 x 3 + x + x + )(x 3x + ) b) (x 3 + x x )(x 3 x ) Zad. 8.. Rozwiąż równanie (x 3) 4 5(x 3) + 4 = 0. Zad Rozwiąż równanie x x 3 + x = 0 Zad Dany jest wielomian W (x) = x 3 (p + 3)x 4x. Dla jakiej wartości parametru p jeden z pierwiatków wielomianu jest średnią arytmetyczną pozostałych dwóch pierwiastków? Zad Trzy pierwiastki wielomianu W (x) o współczynnikach całkowitych są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Ich suma wynosi, a iloczyn 35. Wykaż, że dla każdego x całkowitego i nieparzystego wartość wielomianu W (x) jest podzielna przez 48. Zad Wykaż, że niezależnie od wartości parametru p wielomian ma pierwiastek całkowity. W (x) = x 3 (p + )x + (p 3)x + 3 Zad Dla jakich wartości parametru p pierwiastki wielomianu z poprzedniego zadania tworzą ciąg arytmetyczny? Zad Wykonaj dzielenie z resztą wielomianu P (x) przez wielomian Q(x) a) P (x) = x 4 x 3 + 4x 6x + 8, Q(x) = x, b) P (x) = x 5 5x 3 8x, Q(x) = x + 3, Wykonaj dzielenie z resztą wielomianu P (x) przez wielomian Q(x) a) P (x) = x 4 3x 3 + 4x 5x + 6, Q(x) = x 3x +, b) P (x) = x 3 3x x, Q(x) = 3x x +, Zad Wyznacz a i b tak, aby wielomian był podzielny przez x. Zad Rozwiąż równanie W (x) = x 4 + x + (a )x + b (x )(x )(x 3)(x 4) = 5. Wskazówka. Przedstaw lewą stronę w postaci (x 5x + 4)(x 5x + 6) a następnie dokonaj podstawienia x 5x + 4 = t. 9

20 Zad. 8.. (*) Rozwiąż równanie (x + a)(x + a)(x + 3a)(x + 4a) = b 4. Wskazówka. Spróbuj postąpić podobnie jak w poprzednim zadaniu. Zad. 8.. Rozłóż wielomian na czynniki liniowe a) x 3 6x + x 6, b) x 3 5x 7x +, c) x 4 0x +. Zad (*) Wielomian W (x) = x rozłóż na dwa czynniki, będące trójmianami kwadratowymi o współczynnikach całkowitych. Zad (*) Wielomian W (x) = x rozłóż na trzy czynniki, będące trójmianami kwadratowymi o współczynnikach całkowitych. Zad Znajdź wszystkie liczby całkowite będące rozwiązaniami nierówności wielomianowej Zad Rozwiąż nierówność x 4 3x 3 x + 3 < 0 (x + )(x 3) (x 4)(x 7) (x ) < 0 Zad (*) Określ dla jakich wartości parametru p jedno z rozwiązań równania x 3 7x + p = 0 jest równe podwojonej wartości drugiego rozwiązania. Zad Wykonując odpowiednie podstawienie rozwiąż równanie a) (x 6x) (x 3) = 8, b) 6x 4 3x 3 + x 3x + 6 = 0 Zad Znajdź resztę z dzielenia wielomianu P (x) = x 3 + x x + 5 przez wielomian Q(x) = x, nie wykonując operacji dzielenia. 0

21 9. Funkcja wymierna Zad. 9.. Rozwiąż równania: a) x+ 4x = x b) x x x = x x+ x +x c) x+ x = d) x +8x x +x 8 + x = x+ x+4 x e) x+ x+ x x+3 = 5 f) x 3 6x = x+3 g) x x+3 + x+ = x+6 x +5x+6 h) x 3 + 4x x+ = 3 i) x+ x 3 + x x+ = x +x+ x x 3 j) x+ x x 4 x = 9 Zad. 9.. Rozwiąż nierówności a) x+3 x+ + 8 x 5 < x 3 x 4x 5 b) x+ x x + x x 3 + c) x x x 6 3 x +3x+ x+ d) x 4 x+ Zad Wykonaj następujące działania. Pamiętaj o koniecznych założeniach (wyznaczeniu dziedziny) a wynik przedstaw w postaci nieksracalnego ułamka algebraicznego: a) b) c) x x + 3 x x + x + x x 3 x x + 6x + 5 x + x + x + 3x x 3 + x + 6x + 3 : 4x 4x + 4x + Zad Niech A oznacza zbiór rozwiązań równania 3x 3 4x 7x + 36 = 0, natomiast B zbiór rozwiązań równania 3x x 4 = 0. Wypisz elementy zbiorów A i B. Wyznacz zbiory: x + x + A B, A B, A \ B, B \ A. Zad Niech A oznacza zbiór rozwiązań nierówności 3x + x x 3, natomiast B zbiór x rozwiązań nierówności. Wypisz elementy zbiorów A i B. Wyznacz zbiory: A B, A B, x A \ B, B \ A.

22 Zad Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = 3 dla x x 0. Wykres ten przesunięto o jednostki w górę wzdłuż osi Oy. Otrzymano w ten sposób wykres funkcji g o wzorze g(x) = 3 + dla x 0. x a) Narysuj wykres funkcji g. b) Oblicz największą wartość funkcji g w przedziale <, 3 >. c) Podaj, o ile jednostek wzdłuż osi Ox należy przesunąć wykres funkcji g, aby otrzymać wykres funkcji przechodzący przez początek układu współrzędnych. Zad Funkcja f(x) = ax+b jest monotoniczna w przedziałach (, 3), (3, + ). Zbiorem x+c wartości funkcji f. jest zbiór R \ {} a jej miejscem zerowym jest liczba. a) Wyznacz wartości a, b i c. b) Podaj zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja osiąga wartości nieujemne. c) Rozwiąż nierówność f(x) > x+ x 3. Zad Wyznacz te wartości parametru m, dla których dane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: x + 8x + m = 0. x + 3 Zad Funkcja homograficzna f jest określona wzorem f(x) = px 3, gdzie p R jest x p parametrem i p 3. a) Dla p = zapisz wzór funkcji w postaci f(x) = a + b, gdzie a, b R. x b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których w przedziale (p, + ) funkcja f jest malejąca. Zad Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem f(m) = x x, gdzie x, x są różnymi pierwiastkami równania gdzie m R \ { }. (m + )x (m + ) x + 3m + = 0,

23 Zad. 9.. Samochód przebył w pewnym czasie 0 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 0 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód. 3

24 0. Trygonometria Zad. 0.. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta α = 5. Zad. 0.. Oblicz: a) sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 tg 40, b) sin 0 cos 0 cos 40. Zad Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami: a) tg α = sin α sin α sin α+sin α, b) tg ( π 4 α) = sin α, +sin α c) sin α + cos α + sin 3α + cos 3α = cos α sin ( π 4 + α), d) tg α+tg β tg(α+β) + tg α tg β tg(α β) + tg α = cos α. Zad Kąty x i y są takimi kątami ostrymi, że Czy stąd wynika, że x = y? sin x + sin y = 4 3 i cos x + cos y = 5 3. Zad Wyznacz wszystkie wartości parametru α [0, π] takie, dla których równanie ma rozwiązania. Zad Rozwiąż równania: a) sin x = 0, b) cos 3x =, c) tg 4x = 3. Zad Rozwiąż równania: a) cos x sin x =, b) tg x + cos x +sin x =, c) tg x + ctg x = 4 3. Zad Rozwiąż równania: a) sin 5x = ( cos 3x sin 3x b) sin x + sin α = sin(x + α), c) tg(x + ) ctg(x ) =, (x sin α y ) + (x y sin α ) 4 = 0 ), 4

25 d) sin x + sin x cos x + 3 cos x = 3, e) cos x + cos 3x + cos 4x = 0, f) sin x sin 7x = sin 3x sin 5x. Zad Rozwiąż nierówności w przedziale [0, π]: a) cos x 3, b) sin x + cos x 0, c) sin x + sinx <, d) tg x > ctg x. Zad (*) Niech α, β, γ bedą kątami pewnego trójkąta. Wykaż, że sin α + sin β + sin γ = 4 cos α cos β cos γ. Zad. 0.. (*) Wykaż, że jeżeli kąty α i β pewnego trójkąta spełniają zależność to trójkąt ten jest prostokątny. + cos (α + β) = cos α + cos β, Zad. 0.. (*) Wykaż, że jeżeli kąty α, β, γ pewnego trójkąta spełniają zależność to trójkąt ten jest równoramienny. Zad (*) Oblicz sumę: cos α = cos γ cos β, S n = sin x + sin x + sin 3x + + sin nx. Zad (*) Rozwiąż nierówności w przedziale [ π, π]: a) cos x 5 sin x 3, b) sin 3x cos 3x, c) sin 3x + sin x 4 sin 3 x, d) cos x+cos x cos x sin x, e) sin x + sin(π 8x) > cos 3x. 5

26 . Funkcje logarytmiczne i wykładnicze Zad... Wyznacz dziedziny funkcji a) y = x+, b) y = x, c) y = x, d) y = (x ) x+5 7 x Zad... Zapisz liczby w kolejności od najmniejszej do największej a) ( ), 3 4, ( ), 0 b) 3 π, 3 3 4, 9 3 c) *( ) 3 4, ( ) 3, ( ), ( ) 5 4 Zad..3. Posługując się wykresem funkcji y = x naszkicuj wykresy funkcji: a) y = x, b) y = x +, c) y x+, d) y = x, *e) y = x, *f) y = x *g) x, *h) y = x Zad..4. (*) Sporządź wykresy funkcji a) y = 3 x x b) y = x. Zad..5. Wykres funkcji y = ( 3 )x przekształcamy przez a) symetrię względem osi OX b) symetrię względem osi OY c) symetrię względem punktu (0, 0). Podaj wzór funkcji, której wykresem będzie otrzymana w każdym z tych przekształceń krzywa. Zad..6. Rozwiąż równania a) 3 5x 8 = 9 x 3, 6

27 b) 7 x 4 = ( 7) 3x, c) 0, 5 4 x 3 = ( 8 ) x, d) 6 x 5 36 x+ = 36 Zad..7. Rozwiąż równania a) 5 x 5 3 x = 0, b) 49 x 6 7 x + 5 = 0, *c) 3 3 x 3 3 x =, 5, *d) 3x 7 x = 4 x+, *e) 8 x + 8 x 7 x = 0. Zad..8. Rozwiąż nierówności a) x < 3, b) 3 x 8, c) x+ > 56, d) ( 5 ) x+ ( 5 )x, *e) 3 x+5 x 7 < 0, 5 8 x+7 x 3, *f) x < x, *g) (x 6x + 9) x+3 <, *h) (3 x) 3x 5 3 x < dla x < 3. Zad..9. Oblicz a) log 6, b) log 0 0, 0, c) log 3 3 3, 9 d) log, 5. 3 Zad..0. Znajdź liczbę x jeżeli a) log x = 3, b) log 0, x =, c) log x = 4, d) log x 8 = 4, e) log x 65 = 3 4, 7

28 f) log x 0, 5 =. Zad... Oblicz a) log 3, b) 49 log 7, c) 0 + log 0 7, d) 8 log 3 Zad... (*) Uprość wyrażenie log 3 log 3 4 log 4 5 log 5 6 Zad..3. Określ dziedzinę funkcji i naszkicuj jej wykres a) y = log (x + ), b) y = log (x ) 3, 3 *c) y = log ( x + ), *d) y = log 3 (x + ). Zad..4. (*) Wyznacz dziedziny funkcji a) y = log [ log (x 5x + 6)], b) y = log c) y = x, x log x (3 x) Zad..5. Rozwiąż równania a) log(0, 5 + x) = log(0, 5) log x, b) log(x ) log(4 x) = log(3 x), c) log 4 { log 3 [ + log ( + log x)]} =, d) log x log(5x 4) =, e) log x + log(6 x ) = 0, f) 5 4 log x + 4 +log x = 3, g) log 3 x log 3 x 3 + = 0, h) log 6 x + log 4 x + log x = 7, i) x log x = 00x, j) log( x + 4 x ) log 8 = log( x 4 ) Zad..6. Rozwiąż nierówności a) log (x + ) > 3, 8

29 b) log (x 5) < 4, c) log x 3 <, 4 d) log x 7 > 3, e) log x x x >, f) log [log 3 4 (x 5)] > 0, g) 3 log x <, h) log x 3 (3x 7x + 3) <. 9

30 . Ciągi Zad... Wypisz pięć początkowych wyrazów ciągu opisanego wzorem a) a n = n + 3n, b) b n = 3n n, c) c n = 3 n + 3 n, d) d n = 3n ( )n n, e) e n = n. Zad... Narysuj wykres ciągu określonego wzorem a) a n = n 3, n N +, b) b n = n+ n, n N+, n < 6, c) c n = ( ) n+, n N +, n {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Zad..3. Kolejne wyrazy ciągu (a n ) wyznacza się stosując pewną regułę. Znajdź ją i zapisz wzorem n-ty wyraz ciągu (a n ) o początkowych wyrazach a),, 4, 6,..., b), 9, 5, 49,..., c),, 3,, 5,.... Zad..4. Wyznacz a n+, a n, a n dla ciągów a) a n = n 3 n, b) a n = ( n)(n + ), c) a n = n 3 n. Zad. {.5. Napisz wzór na { n-ty wyraz ciągu (a n ), określonego wzorem rekurencyjnym a = a = 3 a) a n+ = b) a n a n+ = a { { n a = 3 a = c) a n+ = a d) 5 n a n+ = ( ) log an. Zad..6. Wykaż, że ciąg a n = 3 ( ) n +5 n spełnia równanie rekurencyjne a = 7, a = 3, a n+ = a n+ + a n. Zad..7. Zbadaj monotoniczność ciągu określonego wzorem a) a n = 9 n, b) b n = 3 + n+, c) c n = n 3 n+3, d) d n = n+ 3 n, 30

31 e) e n = log(log 0.3 (n + 6)). Zad..8. Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągów a n = n+5 n+, b n = n +n+7 n +n+8. Zad..9. Oblicz ile wyrazów a) nieujemnych ma ciąg a n = 4n + 9n + 3, b) ujemnych ma ciąg b n = 3n 7n + 0, c) niedodatnich ma ciąg c n = n + 44, d) mniejszych od 55 ma ciąg d n = 5 n e) równych co najmniej i niewiększych od 3 ma ciąg f n = n +. Zad..0. Ciąg określony jest wzorem a n = n+8 n. Który z wyrazów ciągu (a n) jest równy 3? Podaj wszystkie wyrazy ciągu (a n ), które są liczbami naturalnymi. Zad... Który z wyrazów ciągu a n = n jest równy 7? Czy istnieje wyraz tego ciągu równy 00? Zad... Oblicz czwarty wyraz ciągu (a n ), którego suma n-początkowych wyrazów S n jest dana a) S n = 3n(n + ), b) S n = 5( n ). Zad..3. Napisz wzór na n-ty wyraz ciągu (a n ), którego suma n początkowych wyrazów określona jest wzorem a) S n = n(3n+) 3, b) S n = 9 n. Zad..4. Wykaż, że ciąg (a n ) określony wzorem a n = ( ) n + ( ) n, jest stały. Zad..5. Sprawdź, czy ciąg (a n ) jest arytmetyczny. Jeśli tak, to określ jego monotoniczność, gdy a) a n = n + 4, b) a n = 3, c) a n = 3n. Zad..6. Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego (a n ), gdy a) a 4 = 5, a 8 = 3, b) a 6 a 3 = 5 i a a 5 = 50, c) a 3 + a 5 = 6 i a 3 + a 7 = 5, d) S = i a 0 a 6 =. Zad..7. Oblicz ile jest liczb naturalnych 3

32 a) podzielnych przez 6 w przedziale [7; 35], b) trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 5. Zad..8. Oblicz x, wiedząc że kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego są, x +3, x+0. Zad..9. Między liczby i 4 wstaw cztery liczby tak, by łącznie z danymi tworzyły ciąg arytmetyczny. Zad..0. Suma n początkowych liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez 3 jest równa 900. Oblicz ile jest tych liczb. Zad... Rozwiąż równanie przyjmując, że jego lewa strona jest sumą kolejnych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego a) x = 648, b) n 3 = 55 3, n N +, c) (3x ) + (3x 5) (3x 8) = 44. Zad... Oblicz sumę pięćdziesięciu wyrazów ciągu (a n ) określonego wzorem a n = 4 n. Zad..3. Liczby: log ( ), log x ( ), log x ( ) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a n ). Oblicz x. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a n ). Oblicz dziewiąty wyraz tego x ciągu i sumę dziewięciu początkowych jego wyrazów. Zad..4. Wykaż, że jeżeli liczby,,, gdzie (a + b)(a + c)(b + c) 0, są kolejnymi a+b a+c b+c wyrazami ciągu arytmetycznego, to liczby a, b, c są również wyrazami ciągu arytmetycznego. Zad..5. (*) Ciąg (a n ) jest określony w sposób rekurencyjny: a = m, a = m,..., a n+ = a n a n, n, gdzie m jest liczbą naturalną. Wykaż, że każda liczba całkowita większa od 0 i podzielna przez m jest wyrazem tego ciągu. Zad..6. Które z poniższych ciągów są geometryczne? a) a n = 4 n, b) b n = ( )n n, c) c n = n, d) d n = 3( 5 )n, e) e n = n n, f) f n = n+ n, g) g n = 3 n. Odpowiedź uzasadnij. Zad..7. Wyznacz ciąg geometryczny (a n ), wiedząc, że: a) a + a 5 = 85 i a a 4 = 6400, b) S 9 = 4088 i q =, 3

33 c) a =, a n = 458 i S n = 86. Zad..8. Między liczby 8 i ciągu geometrycznego. 7 wstaw sześć liczb takich, by łącznie z danymi były wyrazami Zad..9. Wykaż, że dla ciągu geometrycznego zachodzi b + b 4 + b b m = Zad..30. (*) Wykaż, że jeśli a, b, c, d tworzą ciąg geometryczny, to a) (a + b + c)(a b + c) = a + b + c b) (a + b + c )(b + c + d ) = (ab + bc + cd) q +q S m. Zad..3. Trzy liczby x, y, 6 tworzą ciąg geometryczny (a n ), natomiast x, y, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego (b n ). Wyznacz te liczby. Zad..3. Malejący ciąg geometryczny (a n ) oraz malejący ciąg arytmetyczny (b n ) mają pierwsze wyrazy równe 8. Trzecie wyrazy tych ciągów są także równe. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o większy od drugiego wyrazu ciągu geometrycznego. Wyznacz te ciągi. Zad..33. Trzy liczby, których suma jest równa, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a n ). Jeśli od pierwszego wyrazu ciągu (a n ) odejmiemy, od drugiego odejmiemy, zaś trzeci wyraz pozostawimy bez zmian, to otrzymane liczby utworzą ciąg geometryczny (b n ). Oblicz wyrazy ciągu arytmetycznego (a n ). Zad..34. Trzy liczby, których suma jest równa 39, są trzema początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego (a n ). Te same liczby tworzą pierwszy, trzeci i dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (b n ). Oblicz wyrazy ciągu geometrycznego (a n ). Zad..35. (*) Wykaż, że jeżeli ciąg o wyrazach a, b, c jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to a = b = c. Zad..36. (*) Wykaż, że jeżeli liczby b, c, b a są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to liczby ab, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Zad..37. (*) Wykaż, że jeżeli ciąg (a n ) jest ciągiem arytmetycznym, to ciąg określony wzorem b n = ( 3) a n+ jest geometryczny. Zad..38. (*) Wykaż, że jeżeli trzy liczby dodatnie a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to logarytmy tych liczb są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Zad..39. (*) Oblicz sumy a) (x + x ) + (x + x ) (x n + x n ) b) (a + b) + (a + ab + b ) (a n + a n b ab n + b n ) **c) }{{} n 33