TRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych

Transkrypt

1 TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości przeciwprostokątnej. sin α = a c DEFINICJA. Cosinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przeciwprostokątnej. cos α = b c DEFINICJA. Tangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości drugiej przyprostokątnej. tg α = a b DEFINICJA. Cotangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej. ctg α = b a Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta można zdefiniować przy użyciu okręgu jednostkowego, gdzie α jest kątem skierowanym pomiędzy osią OX a wektorem wodzącym punktu P na okręgu: y P (cos α, sin α) sin α α cos α

2 Dziedzina Dziedziną funkcji sinus i cosinus jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R; Dziedziną funkcji tangens jest jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R z wyłączeniem liczb postaci + k, gdzie k jest liczbą całkowitą (k Z); Dziedziną funkcji cotangens jest jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R z wyłączeniem liczb postaci k, gdzie k Z. Zakres wartości funkcji trygonometrycznych Zbiorem wartości funkcji sinus i cosinus jest przedział [ ; ] ; Zbiorem wartości funkcji tangens i cotangens jest zbiór liczb rzeczywistych R. Okresowość Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi o okresach podstawowych wynoszących odpowiednio dla funkcji sinus i cosinus, oraz dla tangensa i cotangensa. Zatem sin = sin( + k) tg = tg( + k) cos = cos( + k) ctg = ctg( + k) k Z. Parzystość i nieparzystość Funkcje sinus, tangens i cotangens są nieparzyste, natomiast funkcja cosi- sin( ) = sin cos( ) = cos tg( ) = tg ctg( ) = ctg nus jest parzysta: f() f() = sin Rysunek : Wykres funkcji f() = sin. f() f() = cos Rysunek : Wykres funkcji f() = cos.

3 f() f() = tg Rysunek : Wykres funkcji f() = tg. f() f() = ctg Rysunek : Wykres funkcji f() = ctg.. Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych wartości katów stopnie radiany 5 sin cos + tg ctg nieokreślony nieokreślony. Wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kata Wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta oblicza się według następujących reguł: Jeżeli kąt jest większy od, to funkcje sprowadzamy do funkcji kąta pomiędzy a według następujących wzorów: sin(n + α) = sin α tg(n + α) = tg α cos(n + α) = cos α ctg(n + α) = ctg α Jeżeli kąt jest ujemny, to funkcję sprowadzamy do funkcji kąta dodatniego według wzorów:

4 sin( α) = sin α tg( α) = tg α cos( α) = cos α ctg( α) = ctg α Jeżeli < α <, to funkcję sprowadzamy do funkcji kąta ostrego według poniższych wzorów redukcyjnych: 9 β 9 + β 8 β 8 + β 7 β 7 + β β α β + β β + β β + β β sin α cos β cos β sin β sin β cos β cos β sin β cos α sin β sin β cos β cos β sin β sin β cos β tg α ctg β ctg β tg β tg β ctg β ctg β tg β ctg α tg β tg β ctg β ctg β tg β tg β ctg β Przykład : Przedstawić liczbę sin 7 lub jako wartość funkcji trygonometrycznej miary kąta ostrego. sin 7 = sin( + ) = cos = sin 7 = sin( ) = sin =. Podstawowe tożsamości trygonometryczne Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego kąta nazywane są tożsamościami trygonometrycznymi. Funkcje jednego kata sin α + cos α = tg α = sin α cos α (α + k, k Z) ctg α = cos α sin α (α k, k Z) tg α ctg α = Przykład : Wiedząc, że cos = i ( ; ) oblicz sin, tg oraz ctg. sin + cos = sin = ± cos = ± ( ) = ± 7 ale dla ( ; ) wartości funkcji sinus są dodatnie, zatem sin = 7. tg = sin cos = 7 tg ctg = ctg = (tg ) = = 7 ( ) 7 = 7 = 7 7

5 Funkcje sumy i różnicy katów sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β tg α ± tg β tg(α ± β) = tg α tg β ctg α ctg β ctg(α ± β) = ctg β ± ctg α Przykład : Obliczyć sin 5. sin 5 = sin( + ) = sin cos + cos sin = + = + Funkcje katów wielokrotnych sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α = cos α = sin α sin α = sin α sin α cos α = cos α cos α tg α = tg α tg α ctg α = ctg α ctg α Przykład : Obliczyć sin jeśli sin =, i cos =, 8: Sposób pierwszy bezpośrednio ze wzoru na sinus potrojonego kąta: sin = sin sin =, (, ) =, 9 Sposób drugi ze wzoru na sinus sumy kątów oraz wzoru na sinus i cosinus podwojonego kąta: sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ale sin = sin cos =,, 8 =, 9 cos = cos sin = (, 8) (, ) =, 8 więc sin =, 9, 8 +, 8, =, 9 Suma i różnica funkcji trygonometrycznych sin α ± sin β = sin α ± β cos α + cos β = cos α + β cos α cos β = sin α + β cos α β cos α β sin α β 5

6 Przykład 5: Obliczyć sin( 5 + ) + sin( ). sin( 5 + ) + sin( ) = sin cos( + ) = cos( + ) = Funkcje kata połówkowego sin α = cos α cos α = + cos α cos α tg α = + cos α = cos α = sin α sin α + cos α + cos α ctg α = cos α = + cos α = sin α sin α cos α f() f() = sin 5 f() = sin f() = sin Rysunek 5: Wykresy funkcji f() = sin, f() = sin i f() = sin. Należy zauważyć, że wartość okresu funkcji typu sin(a) wynosi a, tj. zmniejsza się a-razy w porównaniu do okresu funkcji sin(). Analogicznie zachowują się wartości okresów funkcji typu cos(a), tg(a) i ctg(a). Iloczyn funkcji cos(α β) cos(α + β) sin α sin β = cos(α β) + cos(α + β) cos α cos β = sin(α β) + sin(α + β) sin α cos β = 5. Równania i nierówności trygonometryczne Równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje wyłącznie jako argument funkcji trygonometrycznych. Podstawowe rozwiązania: Równanie postaci sin = a ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci = + k lub = + k, gdzie k Z i sin = a, przy założeniu, że a ;.

7 Równanie postaci cos = a ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci = + k lub = + k, gdzie k Z i cos = a, przy założeniu, że a ;. Równania postaci tg = a i ctg = a mają nieskończenie wiele rozwiązań postaci = + k, gdzie k Z oraz tg = a lub ctg = a. Każde inne równanie trygonometryczne można sprowadzić do jednego z podstawowych równań opisanych powyżej. Przykład : Należy rozwiązać równanie sin =. = sin = = + k = + k lub = + k = ( ) + k = 5 + k gdzie k Z Rozwiązaniem równania sin = są liczby postaci = + k oraz = 5 + k (k Z). Przykład 7: Należy rozwiązać równanie sin( 5 ) =. sin( 5 ) = 5 = + k = + k = + k lub 5 = 7 Rozwiązaniem równania sin( 5 ) = są liczby postaci = + k = + k = + k + k oraz = + k (k Z). Nierównościa trygonometryczna nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje wyłącznie jako argument funkcji trygonometrycznych. Nierówności trygonometryczne rozwiązuje się w oparciu o wykresy funkcji trygonometrycznych oraz rozwiązania odpowiadających im równań trygonometrycznych. Przykład 8: Należy rozwiązać nierówność sin >. W poprzednim przykładzie wykazaliśmy, że rozwiązaniem równania sin = są liczby postaci = + k oraz = 5 + k (gdzie k Z). Poprzez analizę rysunku można wykazać, że rozwiązaniami nierówności trygonometrycznej sin > są liczby ( + k; 5 + k) (gdzie k Z). Przykład 9: Należy rozwiązać nierówność sin + sin <. 7

8 f() 5 f() = sin Rysunek : Rozwiązanie nierówności sin >. Nierówność jest kwadratowa ze względu na sin. Możemy użyć zmiennej pomocniczej u = sin. Wtedy: u +u < ; = ( ) = ; u =, u = ; < u < < sin < Ponieważ przeciwdziedziną funkcji sinus są liczby z zakresu ;, więc nierówność < sin < sprowadza się do nierówności sin <. Poprzez analizę wykresu funkcji y = sin można wykazać, że rozwiązaniami nierówności trygonometrycznej sin < są liczby ( 5 + k; + k) (gdzie k Z). Takie jest też rozwiązanie nierówności sin + sin <.. Zadania Zadanie Korzystając z rysunków - wskazać kilka przedziałów, w których każda z następujących funkcji z osobna sin, cos, tg i ctg wzrasta i maleje. Zadanie Naszkicować wykresy funkcji: f() = cos, f() = cos, Zadanie (a) sin (b) tg (c) ctg Wiedząc, że cos = i (; 5 ) obliczyć: (e) cos( ) (f) tg( ) (d) sin( ) (g) ctg( 7 + ) Zadanie Wiedząc, że sin = i (; + ) obliczyć: (a) cos (b) tg (c) ctg (d) cos( + ) 8 (e) cos( + ) (f) sin( 7 + ) (g) tg( )

9 Zadanie 5 Obliczyć sin( + y) i cos( + y) wiedząc, że: (a) cos =, (; ), cos y =, y (; ) (b) sin =,, ( ; ), cos y =,, y (; ) Zadanie Obliczyć sin( y) i cos( y) wiedząc, że: (a) sin =, (; ), cos y =, y ( ; ) (b) sin =, (; ), tg y =, y ( ; ) Zadanie 7 Obliczyć sin, cos, sin, cos wiedząc, że: (a) sin =,, ( ; ) (b) cos =,, (; ) Zadanie 8 Rozwiązać równania trygonometryczne: (a) sin = (b) cos = (d) tg + ctg = (c) cos = (e) sin cos cos sin = Zadanie 9 Rozwiązać nierówności trygonometryczne: (a) cos <, 5 (c) sin < (b) tg > 7. Odpowiedzi Zadanie (a) (e) (b) (c) (f) (d) (g) Zadanie (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) 9

10 Zadanie 5 (a) sin( + y) = i cos( + y) = (b) sin( + y) =, 98 i cos( + y) =,, 99 Zadanie (a) sin( y) = i cos( y) = (b) sin( y) = + i cos( y) = Zadanie 7 (a) sin =, 9, cos =, 8, sin =, 9, cos =, 5 (b) sin =, 9, cos =, 8, sin =, 5, cos =, 9 Zadanie 8 (a) = + k oraz = + k, (k Z) (d) = + k, (k Z) (b) = + k oraz = + k, (k Z) (c) = k, (k Z) (e) { 8 + k }, (k Z) Zadanie 9 (a) ( + k; + k), (k Z) (b) ( k ; + k), (k Z) (c) R\{ + k}, (k Z)