Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)

Transkrypt

1 Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Mateusz Kowalski Streszczenie Wzory funkcji cyklometrycznych wraz z wyprowadzeniami. 1 A co to za funkcje? Funkcje cyklometryczne lub inaczej kołowe są to funkcje odwrotne do trygonometrycznych. W literaturze trudno znaleźć te wzory jeśli już są to nie zawsze z właściwymi założeniami. Wzory.1 Funkcje cyklometryczne przeciwnego argumentu. arcsin( x) = arcsin x (1) arccos( x) = arccos x + π () arc tg( x) = arc tg x (3). Tożsamości funkcji cyklometrycznych. arc tg x + arc ctg x = π arcsin x + arccos x = π (4) (5).3 Funkcja trygonometryczna z funkcji cyklometrycznej. sin(arcsin x) = x, bo x [ 1, 1] (6) cos(arccos x) = x, bo x [ 1, 1] (7) tan(arc tg x) = x, bez ograniczeń na x (8) Czyli nic podejrzanego, bo definicja arcsin czy arccos narzuca ograniczenie na x 1

2 .4 Funkcja cyklometryczna z funkcji trygonometrycznej. x arcsin(sin x) = ( 1) γ (x γπ) γ = π + 1 (9) Rysunek 1: wykres funkcji f(x) = arcsin(sin x) δ x arccos(cos x) = ( 1) δ (x π) δ = π (10) Rysunek : wykres funkcji f(x) = arccos(cos x) x arc tg(tg x) = x γ π γ = π + 1 (11) Rysunek 3: wykres funkcji f(x) = arc tg(tg x) Gdzie: x To odpowiednio podłoga, czyli zaokrąglanie do liczby całkowitej w dół. x To odpowiednio sufit, czyli zaokrąglanie do liczby całkowitej w górę.

3 .5 Wzory na zmianę funkcji. { arcsin 1 x arccos x =, dla x 0 π arcsin 1 x, dla x 0 { arccos 1 x arcsin x =, dla x 0 arccos 1 x, dla x 0 arcsin x 1+x, dla x 0 arc tg x = π arcsin x 1+x, dla x 0 (1) (13) (14).6 Wzory sumę funkcji cyklometrycznych. arcsin x + arcsin y = π arcsin(x 1 y + y 1 x ), dla y < 1 x x, y < 0 = arcsin(x 1 y + y 1 x ), dla pozostałych π arcsin(x 1 y + y 1 x ), dla y > (15) 1 x x, y > 0 arccos x + arccos y = { arccos(xy (1 x )(1 y )), dla x + y > 0 π arccos(xy (1 x )(1 y )), dla x + y < 0 (16) π + arc tg x+y 1 xy, dla xy > 1 x, y < 0 arc tg x+y 1 xy, dla xy < 1 arc tg x + arc tg y = π + arc tg x+y 1 xy, dla xy > 1 x, y > 0 π, dla xy = 1 (17) 3

4 3 Wyprowadzenia 3.1 Wzór 1 Wyjdźmy od: α = arcsin( x) Wiadomo przy tym α [ π, π ] z własności funkcji arcsin. Obkładając powyższe równanie funkcja sinus na mocy wzoru 6 Teraz obkładając funkcją arcsin Dostajemy wzór sin α = x sin( α) = x α = arcsin x arcsin( x) = arcsin(x) Albo wprost z tego, że funkcja jest nieparzysta 3. Wzór Wyjdźmy od α = arccos( x) Wiadomo przy tym α [0, π] z własności funkcji arccos działając funkcją cos na równanie dostaniemy cos α = x cos α = x korzystając ze wzoru redukcyjnego z trygonometrii Działając funkcją arccos A stąd wynika już nasz wzór cos(π α) = x π α = arccos x arccos( x) = arccos x + π Albo inne podejście funkcja arccos po obniżeniu o π będzie nieparzysta, zatem (arccos x π ) = (arccos( x) π ) skąd natychmiast dostajemy nasz wzór. 4

5 3.3 Wzór 3 Wprost z tego że jest to funkcja nieparzysta 3.4 Wzór 4 Wprost z definicji funkcji. Funkcja arc ctg po obniżeniu π przeciwna do funkcji arc tg x. jest nieparzysta i arc tg x π = arc ctg x skąd wynika wprost tożsamość. 3.5 Wzór 5 Oznaczmy przez arcsin x + arccos x =? α = arcsin x β = arccos x Stąd możemy napisać na mocy wzorów 6 7, że: x = sin α x = cos β Korzystając z jedynki trygonometrycznej. cos α = 1 x cos α = 1 x sin β = 1 x sin β = 1 x Wychodząc z wzoru trygonometrycznego sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β Podstawiając sin(α + β) = x + ( 1 x ) α + β = arcsin 1 α + β = π arcsin x + arccos x = π co należało pokazać. Albo z definicji funkcji arcsin i arccos obniżając funkcję arccos o π będzie odwrotnością funkcji arcsin tzn. arccos x π = arcsin x 5

6 3.6 Wzór 6 Wprost z własności funkcji sin oraz arcsin, które są odwrotne względem siebie dla kąta z zakresu [ π, π ] 3.7 Wzór 7 Wprost z własności funkcji cos oraz arccos, które są odwrotne względem siebie dla kąta z zakresu [0, π] 3.8 Wzór 8 Wprost z własności funkcji tg oraz arc tg, które są odwrotne względem siebie dla kąta z zakresu ( π, π ) 3.9 Wzór 9... (x 3π), dla x [ 5π, 7π ) γ = 3 x π, dla x [ 3π, 5π ) γ = (x π), dla x [ π, 3π ) γ = 1 arcsin(sin x) = x, dla x [ π, π ) γ = 0 (x + π), dla x [ 3π, π ) γ = 1 x + π, dla x [ 5π, 3π ) γ = (x + 3π), dla x [ 7π, 5π ) γ = 3... Znak minus jest na zmianę więc wykorzystamy czynnik ( 1) p. Dopasowując by p dla odpowiednich przedziałów było parzyste, a dla innych nieparzyste (uwzględniając przypadek 0 jako parzyste). Należy znaleźć odpowiednie przyporządkowanie przedziału do liczby całkowitej. Można to zrobić poprzez wykorzystanie podłogi lub sufitu z ewentualnym przesunięciem. Długość przedziału wynosi π więc podzielenie x π unormuje do długości 1. A właśnie co 1 następuje zmiana w funkcji dokonując przesunięcia w odpowiednią stronę o 1 mamy: x γ = π + 1 czynnik ( 1) γ, pasuje znakiem do przedziałów czyli p = γ. możemy napisać wzór: x arcsin(sin x) = ( 1) γ (x γπ) γ = π

7 3.10 Wzór 10 rozwińmy... (x + π), dla x ( 3π, π) δ = 3 δ = 1 x + π, dla x ( π, π) δ = δ = 1 x, dla x ( π, 0) δ = 1 δ = 0 arccos(cos x) = x, dla x (0, π) δ = 0 δ = 0 (x π), dla x (π, π) δ = 1 δ = 1 x π, dla x (π, 3π) δ = δ = 1... Tutaj mamy trochę trudniej. Gdyż mamy podwójne zmiany o π. Można to wyrazić takim wzorem δ x arccos(cos x) = ( 1) δ (x π) δ = π 3.11 Wzór x π, dla x ( 5π, 3π ) γ = x π, dla x ( 3π, π ) γ = 1 arc tg(tg x) = x, dla x ( π, π ) γ = 0 x + π, dla x ( π, 3π ) γ = 1 x + π, dla x ( 3π, 5π ) γ =... Postępujemy analogicznie co w wyprowadzeniu we wzorze 9 dochodząc do x γ = π + 1 a wzór się sam nasuwa x arc tg(tg x) = x γ π γ = π Wzór 1 Zaczynamy od arccos x = α 7

8 Stąd wiadomym jest α [0, π] działając obustronnie na równanie funkcją cos x = cos α Z jedynki trygonometrycznej sin α = 1 cos α sin α = 1 x Ze względu na, że sin α 0 dla α [0, π] zatem Stąd sin α = 1 x α = arcsin 1 x, dla α [ π, π ] α = π arcsin 1 x, dla α [ π, 3π ] Z uwzględnieniem założenia α [0, π] oraz wnioskowania α [0, π ] x 0 Dostajemy wzór 3.13 Wzór 13 Zacznijmy od arccos y = przy czym mamy, że α [ π, π ] α [ π, π] x 0 { arcsin 1 x, dla x 0 π arcsin 1 x, dla x 0 arcsin x = α x = sin α cos α = 1 sin α cos α = 1 sin α Skoroα [ π, π ], to dla takiej α cos α 0 cos α = 1 x 8

9 α = arccos 1 x, dla α [0, π] α = arccos 1 x, dla α [ π, 0] Z uwzględnieniem założenia α [ π, π ] mamy Uzyskujemy więc wzór 3.14 Wzór 14 arcsin x = α [ π, 0] x 0 α [0, π ] x 0 { arccos 1 x, dla x 0 arccos 1 x, dla x 0 arc tg x = α, dla α ( π, π ) Teraz działając na równanie funkcją tg mamy: Z jedynki trygonometrycznej cos α = x = tg α x = sin α cos α 1 sin α ze względu na zakres α możemy opuścić wartość bezwzględną. cos α = 1 sin α Podstawiając za cos uzyskamy x = sin α 1 sin α Pytanie jednak brzmi α =?. Podnosimy zatem równanie do kwadratu. x = sin α 1 sin α sin α(1 + x ) = x x sin α = 1 + x 9

10 Teraz mamy dwie sytuację 1 α [0, π ) x 0 x sin α = 1 + x x α = arcsin 1 + x formalnie jeszcze tak α = π arcsin( x 1+x ), ale to odpada, bo po zakresem. α ( π, 0) x < 0, które odpada, ale mamy jeszcze x sin α = 1 + x x α = arcsin 1 + x x π arcsin 1 + x Możemy teraz sformułować wzór: arcsin x 1+x, dla x 0 arc tg x = π arcsin x 1+x, dla x < Wzór 15 Szukamy wzoru: Oznaczmy przez arcsin x + arcsin y =? α = arcsin x β = arcsin y Stąd możemy napisać na mocy wzoru 6, że: Z jedynki trygonometrycznej x = sin α y = sin β sin α + cos α =

11 mamy, że cos α = 1 x Z definicji funkcji arcsin wynika, że α, β [ π, π ]. Zatem cos α 0 więc opuszczamy wartość bezwzględna cos α = 1 x i analogicznie uzyskujemy cos β = 1 y. Wychodząc ze wzoru trygonometrycznego podstawiając uzyskujemy sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α + β) = x 1 y + 1 x y Teraz Uwaga α + β [ π, π] co jest szerszym przedziałem, niż przedział wartości funkcji arcsin [ π, π ] zatem π arcsin(x 1 y + y 1 x ), dla α + β [ 3π, π ] α + β = arcsin(x 1 y + y 1 x ), dla α + β [ π, π ] π arcsin(x 1 y + y 1 x ), dla α + β [ π, 3π ] Co sprowadza się do, bo jeszcze raz α + β [ π, π] π arcsin(x 1 y + y 1 x ), dla α + β [ π, π ] α + β = arcsin(x 1 y + y 1 x ), dla α + β [ π, π ] π arcsin(x 1 y + y 1 x ), dla α + β [ π, π] Jednak wygląda to dosyć osobliwie. Należy zatem warunki wyrazić od x Rysunek 4: Odwzorowanie pary(α, β) w parę (x, y) i y. α + β > π wynika stąd dodatkowo α, β > 0, bo żadna z nich nie jest większa od π a to zaś oznacza x, y > 0, gdyż funkcja arcsin jest rosnąca i nieparzysta. β > α + π arcsin y > arcsin x + π 11

12 Sprowadzając problem do znalezienia granicy. arcsin y = arcsin x + π na mocy wzoru 6 mamy y = sin( arcsin x + π ) y = sin(arcsin x π ) y = ( cos(arcsin x)) teraz obkładając wzór numer 13 funkcją cos uzyskujemy y = 1 x. Wracając do nierówności. spełniona jest ona, gdy y > 1 x, Wynika to chociażby z tego, że funkcja arcsin jest rosnąca i nieparzysta. Pamiętając ponadto o tym iż x, y > 0. Analogicznie postępując z nierównością β < α π dojdziemy do y < 1 x oraz x, y < 0 A teraz możemy zapisać nasz wzór już z warunkami na x i y. (a) f(x, y) = arcsin x + arcsin y (b) f(x, y) = arcsin(x 1 y + y 1 x ) Rysunek 5: Porównanie wygenerowanych wykresów funkcji π arcsin(x 1 y + y 1 x ), dla y < 1 x x, y < 0 arcsin x+arcsin y = arcsin(x 1 y + y 1 x ), dla pozostałych π arcsin(x 1 y + y 1 x ), dla y > 1 x x, y > 0 1

13 3.16 Wzór 16 Szukamy wzoru: Oznaczmy przez arccos x + arccos y =? α = arccos x β = arccos y Stąd możemy napisać na mocy wzoru 7, że: Z jedynki trygonometrycznej x = cos α y = cos β sin α + cos α = 1 mamy, że sin α = 1 x. Z definicji funkcji arccos wynika, że α, β [0, π]. Zatem sin α 0, więc opuszczamy wartość bezwzględna sin α = 1 x i analogicznie uzyskujemy sin β = 1 y Wychodząc ze wzoru trygonometrycznego cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β podstawiając uzyskujemy cos(α + β) = xy (1 x )(1 y ) Teraz Uwaga α + β [0, π] co jest szerszym przedziałem, niż przedział wartości funkcji arccos [0, π] zatem { arccos(xy (1 y )(1 x ), dla α + β [0, π] α + β = π arccos(xy (1 y )(1 x ), dla α + β [π, π] Jednak wygląda to dosyć osobliwie. Należy zatem warunki wyrazić od x i y. Weźmy na początek warunek α + β > π β > α + π arccos y > arccos x + π Sprowadzając problem do znalezienia granicy. na mocy wzoru 7 mamy arccos y = arccos x + π y = cos( arccos x + π) y = cos( arccos x) y = cos(arccos x)) 13

14 Rysunek 6: Odwzorowanie pary(α, β) w parę (x, y) teraz na mocy wzoru 7 uzyskujemy y = x. Wracając do nierówności. spełniona jest ona, gdy y < x, Wynika to chociażby z tego, że funkcja arccos jest malejąca. Analogicznie postępując z nierównością odwrotną β < α + π dojdziemy do y > x. Teraz możemy zapisać nasz wzór już z warunkami na x i y. arccos x + arccos y = { arccos(xy (1 x )(1 y )), dla x + y > 0 π arccos(xy (1 x )(1 y )), dla x + y <

15 (a) f(x, y) = arccos x + arccos y (b) f = arccos(xy (1 y )(1 x )) Rysunek 7: Porównanie wygenerowanych wykresów funkcji 3.17 Wzór 17 Szukamy wzoru: Oznaczmy przez arc tg x + arc tg y =? α = arc tg x β = arc tg y Stąd możemy napisać na mocy wzoru 8, że: x = tg α y = tg β Wychodząc ze wzoru trygonometrycznego podstawiając uzyskujemy tg(α + β) = tg α+tg β 1 tg α tg β tg(α + β) = x + y 1 xy 15

16 Teraz Uwaga postępujemy jak z klsaycznym równaniem trygonometrycznym γ = arc tg x + y 1 xy α + β = γ + k π, gdzie k Z Skoro α, β ( π, π ) zatem α + β ( π, π) zatem mamy takie możliwości π + arc tg x+y 1 xy, dla α + β ( 3π, π ) α + β = arc tg x+y 1 xy, dla α + β ( π, π ) π + arc tg x+y 1 xy, dla α + β ( π, 3π ) a teraz uściślając i uwzględniając sytuację gdy xy = 1 π + arc tg x+y 1 xy, dla α + β ( π, π ) arc tg x+y 1 xy α + β =, dla α + β ( π, π ) π + arc tg x+y 1 xy, dla α + β ( π, π) π, dla α + β = π Teraz, aby wyglądało to bardziej elegancko wystarczy warunki wyrazić od Rysunek 8: Odwzorowanie pary(α, β) w parę (x, y) x i y Weźmy na początek przypadek.. Ponadto zauważmy, że α + β > π α, β > 0 x, y > 0, bo α, β ( π, π ) 16

17 Rozpatrując najpierw równanie. β > α + π β = α + π Wracając do nierówności mamy, że: arc tg y = arc tg x + π y = tg( arc tg x + π ) y = ctg( arc tg x) 1 y = tg(arc tg x) y = 1 x y > 1 x x, y > 0 czyli Analogicznie z nierównością xy > 1 x, y > 0 Dojdziemy do α + β < π y < 1 x x, y < 0 mnożąc przez ujemny x, znak się zmieni i mamy: xy > 1 x, y < 0 W trzecim przypadku zaś mamy warunek α + β < π co sprowadza się do dwóch nierówności. Odwrotnych niż analizowane wcześniej. α + β < π α β > π a to zaś do xy < 1 x, y R Teraz możemy ostateczni napisać wzór π + arc tg x+y 1 xy, dla xy > 1 x, y < 0 arc tg x+y 1 xy, dla xy < 1 arc tg x + arc tg y = π + arc tg x+y 1 xy, dla xy > 1 x, y > 0 π, dla xy =

18 (a) f(x, y) = arc tg x + arc tg y (b) f(x, y) = arc tg x+y 1 xy Rysunek 9: Porównanie wygenerowanych wykresów funkcji 18