7. Funkcje elementarne i ich własności.

Transkrypt

1 Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji (np. logx) nazywamy funkcjami elementarnymi. Funkcja liniowa Funkcję określoną wzorem nazywamy funkcją liniową. Litery a i b oznaczają liczby dane, a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, b-wyrazem wolnym. Gdy a=0, to funkcja liniowa jest stała, Gdy, to funkcja liniowa jest monotoniczna, dla a>0 rosnąca, a dla a<0 malejąca. Jest ciągła i różnowartościowa. Jeśli funkcje liniowe mają ten sam współczynnik kierunkowy a, to ich wykresy są prostymi równoległymi. Jeśli dwie funkcje liniowe mają współczynniki kierunkowe, których iloczyn jest równy -1, to ich wykresy są prostymi prostopadłymi. Współczynnik a odpowiada za kierunek, zaś współczynnik b za miejsce przecięcia z osią. Funkcją potęgową nazywamy funkcją postaci. Dziedzina tej funkcji zależy od wartości a. Jeżeli a jest liczbą całkowitą dodatnią, to dziedzina tej funkcji jest całym zbiorem liczb rzeczywistych. W przypadku gdy, a jest liczbą całkowitą niedodatnią to dziedziną tej funkcji jest { }. Jeżeli wykładnik a>0, to funkcja jest rosnaca w przedziale ), a jeśli a<0, to jest malejąca w tym przedziale. 1

2 Wykres - przykłady Funkcje są wzajemnie odwrotne. 2

3 WŁASNOŚCI FUNKCJI POTĘGOWEJ Dla a,b>0 oraz mamy:. FUNKCJA WYKLADNICZA nazywamy funkcję opisaną wzorem:, przy czym liczba jest nazywana podstawą funkcji wykładniczej. Dziedziną funkcji wykładniczej jest, a zbiorem wartości przedział Gdy, to funkcja jest malejąca, zaś gdy, to funkcja jest rosnąca. Szczególnym przykładem funkcji wykładniczej, jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Wzór funkcji: 3

4 FUNKCJA LOGARYTMICZNA Definicja logarytmu: Dla taką liczbę że i piszemy Wzory logarytmiczne: Dla oraz x>0 logarytmem przy podstawie a z liczby x nazywamy oraz x,y>0 zachodzą następujące równości: Jak się mają do siebie: Funkcją logarytmiczną przy podstawie a, gdzie, nazywamy funkcję określoną wzorem:. Dziedziną funkcji logarytmicznej jest. Wartościami jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja jest różnowartościowa. Jeżeli to funkcja jest malejąca, a gdy jest rosnąca. Funkcją odwrotną do funkcji logarytmicznej jest funkcja wykładnicza. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Funkcje trygonometryczne kąta ostrego α wyrażają stosunki długości odpowiednich boków w trójkącie prostokątnym mającym kąt α. 4

5 Wykresy funkcji trygonometrycznych Definicja funkcji sinus i cosinus Dla kładziemy: I nazywamy odpowiednio sinusem x oraz cosinusem x. Funkcje nazywamy odpowiednio funkcją sinus i funkcją cosinus i odpowiednio oznaczamy sin i cos. Przy czym szeregi (*) i (**) są zbieżne bezwzględnie dla każdego. Dziedziną funkcji jest Zbiór wartości [-1,1] Okres wynosi 2 f(x)=sinx Dziedziną funkcji jest Zbiór wartości [-1,1] Okres wynosi 2 f(x)=cosx Definicja funkcji tangens i cotangens Niech Liczbę gdy nazywamy tangensem i oznaczamy tg Liczbę gdy nazywamy cotangensem i oznaczamy ctg. Funkcję określoną w zbiorze { } nazywamy funkcją tangens i oznaczamy tg. Funkcję określoną w zbiorze { } nazywamy funkcją cotangens i oznaczamy ctg. 5

6 f(x)=tgx Dziedziną jest bez punktów +k, k jest dow liczbą całkowitą. Zbiorem wartości jest Okres wynosi Jest funkcją rosnącą f(x)=ctgx Dziedziną jest bez punktów k, k jest dow liczbą całkowitą. Zbiorem wartości jest Okres wynosi Jest funkcją malejącą Funkcje trygonometryczne dowolnego kata - Jeżeli dany kąt skierowany ustawimy w układzie współrzędnych tak aby wierzchołek kąta był początkiem układu a oś x (odcięta) była ramieniem początkowym kąta i punkt P leżał na ramieniu końcowym kąta to możemy wyróżnić następujące funkcje tego kąta. Sinusem dowolnego kąta nazywamy stosunek rzędnej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do długości promienia wodzącego tego punktu. Cosinusem dowolnego kąta nazywamy stosunek odciętej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do długości promienia wodzącego tego punktu. Tangensem dowolnego kąta nazywamy stosunek rzędnej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do odciętej tego punktu. Cotangensem dowolnego kąta nazywamy stosunek odciętej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta do rzędnej tego punktu. 6

7 Funkcje sin i cos określone są dla wszystkich kątów. Tg nie jest określony dla kątów, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Ctg nie jest określony dla kątów, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe. PRZYKŁADY Rozwiązać równanie: Równanie to jest równoważne alternatywie równań: W przedziale pierwsze z tych równań ma rozwiązanie a drugie. Zatem rozwiązaniem wyjściowego równania jest każda liczba. FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE Funkcja cyklometryczna jest funkcją odwrotną do funkcji trygonometrycznej. Otrzymujemy ją po zawężeniu funkcji trygonometrycznej do maksymalnego przedzialu, w którym ta funkcja jest różnowartościowa. Wszystkie wykresy funkcji cyklometrycznych uzyskujemy zgodnie z zasadą sporządzania wykresów funkcji odwrotnych, stosując symetrię względem prostej y=x. Funkcję sinus zawężamy do przedziału, funkcję odwrotną do niej oznaczamy f(x) = arcsinx. [ ] ] ] [ ] 7

8 Jej dziedziną jest <-1,1>, a zbiorem wartości. Jest to funkcja: Rosnąca Nieparzysta Odwracalna Ciągła Ograniczona Funkcję cosinus zawężamy do przedziału, funkcję odwrotną do niej oznaczamy f(x)=arccosx Jej dziedziną jest <-1,1>, a zbiorem wartości. Jest to funkcja: malejąca Odwracalna Ciągła Ograniczona ] ] arccosx: ] ] Funkcję tangens zawężamy do przedziału f(x)=arctgx, funkcję odwrotną do niej oznaczamy 8

9 Jej dziedziną jest a zbiorem wartości, proste y= i y= są asymptotami poziomymi wykresu. Jest to funkcja: Rosnąca nieparzysta Odwracalna Ciągła Ograniczona Funkcję cotangens zawężamy do przedziału ( f(x)=arcctgx. ), funkcję odwrotną do niej oznaczamy Jej dziedziną jest a zbiorem wartości, proste y=0 i y=π są asymptotami poziomymi wykresu. Jest to funkcja: malejąca Odwracalna Ciągła Ograniczona OBLICZENIA FUNKCJI CYKLOMETRYCZNYCH 9