Matematyka kompendium 2
|
|
- Patryk Adamczyk
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka kompendium 2 Spis treści Trygonometria Funkcje trygonometryczne Kąt skierowany Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o Związki między funkcjami trygonometrycznymi Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta Podstawowe tożsamości trygonometryczne Funkcje trygonometryczne kątów 30 0, 45 0, 60 0 wartości na wykresach Wzory redukcyjne Wzory trygonometryczne Podstawowe wzory: Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego Funkcje trygonometryczne połowy kąta Sumy funkcji trygonometrycznych Różnice funkcji trygonometrycznych Parzystość i nieparzystość funkcji Miara łukowa kata Zamiana katów z miary stopniowej na łukową i odwrotnie Kąt jako miara obrotu Wykresy funkcji trygonometrycznych: sin(x), cos(x), tg(x), cos(x) Zależności między funkcjami trygonometrycznymi Pole trójkąta gdy dane 2 boki i kąt między nimi Rodzaje kątów, miara łukowa Obliczenie długości łuku Miara łukowa kąta Zamiana katów z miary stopniowej na łukową i odwrotnie Kąt jako miara obrotu Wyznaczenie współrzędnych punktu i narysowanie końcowego ramienia kata Znaki wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta Parzystość funkcji trygonometrycznych Wzory redukcyjne Okresowość funkcji trygonometrycznych Przekształcanie funkcji trygonometrycznych Równania trygonometryczne Funkcje trygonometryczne
2 Funkcje trygonometryczne kąta ostrego Sinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a : c = a/c Cosinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta α do długości przeciwprostokątnej: cos α = b : c = b / c Tangens kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta: tg α = a : b = a / b = tan α Cotangens kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α: ctg α = b : a = b / a b / a = ctg α = 1 : (a/b) = 1 : tg α = 1 / tg α Kąt skierowany Kąt skierowany kąt płaski z ustalonym uporządkowaniem ramion. Pierwsze ramię kąta nazywamy ramieniem początkowym, drugie ramieniem końcowym. Kąt skierowany oznaczamy łukiem zakończonym strzałką, wskazującą ramię końcowe.
3 Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych
4 Kąt skierowany jest umieszczony w układzie współrzędnych, jeśli jego wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych Kąt skierowany zerowy kąt 0 o Kąt skierowany pełny 360 o Kąt α o dowolnej mierze stopniowej można przedstawić w postaci: γ = k*360 o + α, gdzie 0 α < 360 o oraz k C Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o Kąt α [ o ] 30 o 45 o 60 o sin α ½ 2 / 2 3 / 2 cos α 3 / 2 2 / 2 ½ tg α 3 / ctg α / 3 Związki między funkcjami trygonometrycznymi sin 2 α + cos 2 α = 1 (jedynka trygonometryczna) 1/tg α = ctg α sin α / cos α = tg α cos α / sin α = ctg α sin α = cos (90 o α) cos α = sin (90 o α) tg α = 1 / (tg 90 o α) tg α = sin α / cos α sin (180 o α ) = sin α cos (180 o α) = -cos α tg (180 o α) = -tg α ctg (180 o α) = -ctg α sin α = (1 cos 2 α) = tg α / ( (1 + tg 2 α) = 1/ ( (1 +ctg 2 α) cos α = (1 sin 2 α) = 1 / ( (1 + tg 2 α) = ctg/ ( (1 +ctg 2 α) tg α = sin α / (1 sin 2 α) = (1 sin 2 α) / cos α = 1 / ctg α) ctg α = (1 sin 2 α)/ sin α = cos α / (1 cos 2 α) = 1 / tg α) Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
5 sin α = y/r, cos α = x/r, gdzie r = (x 2 + y 2 ) tg α = y/x, gdy x 0 ctg α = x/y, gdy y 0 Podstawowe tożsamości trygonometryczne sin α = cos (90 o α) cos α = sin (90 o α) tg α = ctg (90 o α) ctg α = tg (90 o α) tg α = 1 / tg(90 o α) ctg α = 1/ tg (90 o α) sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α = sin α / cos α sin (90º + α) = cos α tg (90 + α) = - 1/tg α sin (180 α) = sin α tg (180 α) = - tg α jedynka trygonometryczna tg (90 o α) = cos α / sin α cos (90 + α ) = - sin α cos (180 α) = - cos α ctg (180 α) = - ctg α sin (α o ) = sin α cos (α o ) = cos (α o ) tg (α o ) = tg α ctg (α o ) = ctg α sin(-α) = -sin α cos (-α) = cos α tg(-α) = -tg α ctg (-α) = -ctg α Funkcje trygonometryczne kątów 30 0, 45 0, 60 0 wartości na wykresach Funkcje sinus i cosinus kątów 30 o i 60 o - bezpośrednio z wykresu sin 30 o = ½ : 1 = ½ cos 30 o = 3/2 sin 60 o = 3/2 cos 60 o = ½ : 1 = ½ Funkcje tangens i cotangens kątów 30 o i 60 o z obliczeń tg 30 o = ½ : 3/2 = 1/ 3 = 3/3 ctg 30 o = 3/2 : ½ = 3 tg 60 o = 3/2 : ½ = 3 ctg 60 o = ½ : 3/2 = 1/ 3 = 3/3 Wartości funkcji tg 30 o i ctg 60 o - bezpośrednio z wykresu tg 30 o = 3/3/1 = 3/3 ctg 60 o = 3/3/1 = 3/3 o o
6 Przeliczenie wartości funkcji trygonometrycznych kąta 0-90 o podana wartość jednej funkcji, obliczenie pozostałych Obliczenie wartości funkcji trygonometrycznych, gdy dana wartość jednej funkcji
7
8 Dana wartość jednej funkcji w postaci ilorazu lub jednej liczby zastąpienie ilorazem liczby przez 1 Znaki funkcji trygonometrycznych Ćwiartka układu sin α cos α tg α ctg α I (0 o - 90 o ) II (90 o -180 o ) III (180 o -270 o ) IV (270 o -360 o ) Wierszyk dotyczący znaków funkcji trygonometrycznych: W pierwszej wszystkie są dodatnie w drugiej tylko sinus
9 w trzeciej a w czwartej tangens i cotangens cosinus Wartości funkcji trygonometrycznych dla wielokrotności kata 90 o 0 o 90 o 180 o 270 o 360 o sin α cos α tg α 0 - ( ) 0 - ( ) 0 ctg α - ( ) 0 - ( ) 0 - ( ) Wzory redukcyjne φ 90 o - α 90 + α α α α α α sin φ cos α cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α cos φ sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α cos α tg φ ctg α -ctg α -tg α tg α ctg α -ctg α -tg α ctg φ tg α -tg α -ctg α ctg α tg α -tg α -ctg α Wzory trygonometryczne Podstawowe wzory sin 2 α + cos 2 α =1 tg α = sin α / cos α ctg α = cos α / sin α jedynka trygonometryczna dla α π/2 + kπ i k C dla α kπ i k C tg α = 1/ ctg α dla α kπ/2 i k C ctg α = 1/ tg α dla α kπ/2 i k C tg α * ctg α = 1 Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β cos (α + β) = cos α *cos β sinα * sin β tg (α + β) = (tg α + tgβ) / (1 tgα * tgβ) ctg (α + β) = ( ctg α * ctg β - 1) / (ctg α + ctg β) sin (α - β) = sin α * cos β cos α * sin β cos (α - β) = cos α * cos β + sin α * sin β tg (α - β) = (tg α tg β) / (1 + tg α * tg β) ctg(α-β) = (ctg α * ctgβ + 1) / (ctg β ctg α)
10 Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego sin2α = 2* sin α * cosα = 2*tgα / (1+tg 2 α) cos2α = cos 2 α - sin 2 α = 1-2*sin 2 α = (1-tg 2 α)/(1+tg 2 α) tg2α = 2* tgα / (1 - tg 2 α) = 2/(ctgα tgα) ctg2α = (ctg 2 α -1/(2*ctgα) = (ctgα tgα).2 Funkcje trygonometryczne połowy kąta sin(α/2) = ± ((1-cosα)/2) cos(α/2) = ± ((1+cosα)/2) α/2) tg(α/2) = ±(1-cosα)/sinα = sinα/(1+cosα) = (1-cosα)/sinα ctg(α/2) =± (1+cosα)/sinα = (1+cosα)/sinα = sinα/(1-cosα) (bierzemy znak + lub - w zależności od tego, do której ćwiartki należy Sumy funkcji trygonometrycznych sinα+sinβ = 2 * sin((α+β)/2) * cos(α-β)/2) cosα+cosβ = 2*cos((α+β)/2) * cos(α-β)/2) tgα+tgβ = sin(α+β) / (cosα*cosβ) ctgα+ctgβ = sin(α+β) / (sinα*sinβ) Różnice funkcji trygonometrycznych sinα - sinβ = 2 * sin((α-β)/2) * cos(α+β)/2) cosα - cosβ = -2*sin((α-β)/2) * sin(α+β)/2) tgα - tgβ = sin(α-β) / (cosα*cosβ) ctgα - ctgβ = sin(β-α) / (sinα*sinβ) Parzystość i nieparzystość funkcji cos(-x) = cos(x) sin(-x) = -sin(x) tg(-x) = -tg(x) ctg(-x) = -ct(x) Miara łukowa kata długość łuku wyciętego przez kąt o promieniu 1 i środku w wierzchołku kąta
11 Miarą łukową kąta środkowego nazywamy liczbę α, równą stosunkowi długości łuku L okręgu, na którym jest oparty ten kąt, do długości promienia r tego okręgu, czyli α = l / r Jeśli r = 1 to α = L / 1 = L Miara łukowa kąta miara kąta wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu Gdzie α rozpatrywany kąt,
12 l długość łuku, r promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk. Jednostką miary łukowej kąta jest radian (1 rad). Radian miara kata środkowego opartego na łuku równym promieniowi r okręgu Wymiarem radiana jest jedność [rad] = 1 1 rad = 180º / π =~ 57 o 17 44,81 Zamiana kątów α = α [rad] = α [ o ] * π / 180 o α [ o ] = α * 180 o / π Wykresy funkcji trygonometrycznych: sin(x), cos(x), tg(x), cos(x) Sinusoida Dziedzina : D f = R Zbiór wartości: Y f = [-1; 1] Miejsca zerowe: f(x) = 0 dla x = k* π, k C Funkcja nieparzysta: cos(-x) = cos(x) Funkcja okresowa o okresie T=2π = 360 o Funkcja rośnie w przedziałach (-π/2 + 2kπ, 3/2*π + 2kπ), k C Punkt O = (0, 0) jest środkiem symetrii sinusoidy sin(-x) = - sin(x) Liczba 2π jest okresem podstawowym funkcji sinus, czyli sin (x + 2kπ) = sin(x), gdy x <0, 2π ) i k C
13 Cosinusoida Dziedzina : D f = R Zbiór wartości: Y f = [-1; 1] Miejsca zerowe: f(x) = 0 dla x = π/2 + k* π, k C Funkcja parzysta: cos(-x) = cos(x) Funkcja okresowa o okresie podstawowym T=2π = 360 o Funkcja rośnie w przedziałach (π + 2k π, 2π + 2kπ), k C Funkcja maleje w przedziałach (2k π, π + 2kπ), k C Oś y jest osią symetrii cosinusoidy, czyli cos(-x) = cos (x) Liczba 2π jest okresem podstawowym funkcji cosinus, czyli cos (x + 2kπ) = cos(x), gdy x <0, 2π ) i k C Tangensoida Dziedzina : D f = R \ {x: x = π/2 + k* π, k C}
14 Zbiór wartości: R Miejsca zerowe: f(x) = 0 dla x = k* π, k C Funkcja nieparzysta: tg(-x) = -tg(x) Funkcja okresowa o okresie T = π = 180 o Funkcja jest przedziałami mononiczna, rośnie przedziałami w (-π/2 + kπ, π/2 +kπ) k C Funkcja tangens nie jest określona gdy x = π/2 + k * π, gdzie k k C Funkcja nie jest różnowartościowa Liczba π jest okresem podstawowym funkcji tangens, czyli tg (x + kπ) = tg(x), gdy x (-π/2, π/2 ) i k C Cotangensoida Dziedzina : Df = R \ {x: x = k* π, k C} Zbiór wartości: R Miejsca zerowe: f(x) = 0 dla x = π/2 + k* π, k C Funkcja nieparzysta: ctg(-x) = -ctg(x) Funkcja okresowa o okresie podstawowym T = π = 180 o Funkcja maleje przedziałami w (kπ, π+kπ) k C Funkcja nieparzysta Funkcja nie jest różnowartościowa
15 Zależności między funkcjami trygonometrycznymi Pole trójkąta gdy dane 2 boki i kąt między nimi
16 Rodzaje kątów, miara łukowa Obliczenie długości łuku Ł/(2 πr) = α o /360 o Ł = πrα/180 o = α o / (180/π) * r = α o *(π / 180) * r = α ł * r
17 Miara łukowa kąta Miarą łukową kąta środkowego nazywamy liczbę α, równą stosunkowi długości łuku L okręgu, na którym jest oparty ten kąt, do długości promienia r tego okręgu, czyli α = l / r Jednostką miary łukowej kąta jest radian (1 rad). Radian miara kata środkowego opartego na łuku równym promieniowi r okręgu rad symbol radiana 1 rad = 180º / π =~ 57 o 17 44,81 = 200[grad]/ π = Kąt ma miarę 1 radiana (1 rad), jeśli łuk wyznaczony przez ten kąt na okręgu jednostkowym ma długość 1 Zamiana katów z miary stopniowej na łukową i odwrotnie α = α [rad] = α [ o ] * π / 180 o α [ o ] = α * 180 o / π Wyprowadzenie wzorów na zamianę kątów α o / 360º = α /(2* π) α o / 180º = α / π α o kąt w stopniach, α kat w mierze łukowej
18 α o = α * (180 o / π) = α * ρ o =~ α * 57, o α = α o * (π/180º) = α o / ρ o = α o / 57, o 1 rad = 180º / π =~ 57 o 17 44,81 1 o = π / 180 o 2π [rad] = 360º π [rad] = 180º π/2 [rad] = 90º π/3 [rad] = 60º π/4 [rad] = 45º π/6 [rad] = 30º α [grad] = α * 200/ π = α * α = α [grad]* π / 200 = α [grad]* Miara stopniowa 360 o 180 o 90 o 60 o 45 o 30 o Miara gradowa 400 g 200 g 100 g 66,(6) 50 g 33,(3) g Miara łukowa 2π π π/2 π/3 π /4 π/6 Kąt jako miara obrotu Jeśli określimy kolejność ramion kąta α, czyli wyróżnimy ramię początkowe i końcowe, to kąt taki nazywamy skierowanym. Kąt skierowany oznaczamy łukiem zakończonym strzałką. Kąt skierowany wskazany łukiem o zwrocie przeciwnym do ruchu wskazówek zegara nazywamy kątem skierowanym dodatnio. Kąt skierowany wskazany łukiem o zwrocie zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest kątem skierowanym ujemnie.
19 Miarę każdego kąta skierowanego można przedstawić w postaci: k* α, gdzie 0 0 <= α < k jest pewną ustaloną liczbą całkowitą k*2π + α, gdzie 0 <= α < 2π czyli α < 0; 2π) i k jest ustaloną liczbą całkowitą Miara α jest nazywana miarą główną kąta skierowanego. Jeżeli ramiona kątów skierowanych się pokrywają, to ich miary główne są równe. Kąty przeciwne to kąty, których miary są liczbami przeciwnymi. Kąty w ćwiartkach układu współrzędnych Ćwiartka I II III IV Kąt w stopniach 0 o < α < 90 o 90 o < α < 180 o 180 o < α < 270 o 270 o < α < 360 o Kąt w radianach 0 < α < π/2 π/2 < α < π π < α < 3/2 *π 3/2*π < α < 2 *π Kąt w gradach 0 g < α < 100 g 100 g < α < 200 g 200 g < α < 300 g 300 g < α < 400 g Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta sin α = y/r cos α = x/r
20 tg α = y/x x 0 ctg α = x/y y 0 ctg α = 1/ (y/x) = 1/tg α x 0, y 0 Wyznaczenie współrzędnych punktu i narysowanie końcowego ramienia kata Jeśli punkt P leży na końcowym ramieniu kata α i jego promień wodzący jest równy 1 to P = (1*cos α, 1*sin α) = (cos α, sin α) Wyznaczenie punktu P i kąta α, gdy dany jest kąt α. - nanosimy wartości współrzędnych punktu P: x P = cos α oraz y P = sin α i kreślimy ramię kąta OP α = 30 o cos α = 3/2 ~= 0,8660 = x P sin α = 1/2 = y p Wyznaczenie ramienia kąta α, gdy dany jest tg α tg α = y/x = t/1 = 2t/2 = 3t/3 itd. Przyjmujemy za współrzędne punktu P wartości (t, 1) lub (2t, 2) itp. Wyznaczamy punkty na podstawie współrzędnych i rysujemy ramię kata OP Przykład: dany tg α = 4
21 tg α = -4 = y/x = -4/1 = -1/4 Przyjmujemy P1 = A = (1, -4) lub P2 = B = (-1, 4) α = 104,04 o lub α = o Gdy dany jest tg α w postaci a/b to można przyjąć za x wartość b, a za y wartość a lub ich wielokrotności. Dany cos α Przykład: cos α = -2/3 Dany sin α
22 Przykład: sin α = -1/3 sin α = -1/3 = y/r y/r = -1/3 = -2/6 Przyjmujemy: y = -1, r = 3 α1 = o α2 = 340,52 o Wartości funkcji trygonometrycznych wielokrotności kata π/2 0 o 90 o = π/2 180 o =π 270 o =3/2*π =2 sin α cos α tg α 0 (nie istnieje) 0 (nie istnieje) 0 ctg α = 1/tg α (nie istnieje) 0 (nie istnieje) 0 (nie istnieje) Znaki wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta Punkt P = (x, y) leży w ćwiartce: I gdy x >0 i y > 0 sin α > 0, cos α > 0, tg α > 0, ctg α > 0 II gdy x < 0 i y > 0 sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0, ctg α < 0 III gdy x < 0 i y > 0 sin α < 0, cos α < 0, tg α > 0, ctg α > 0 IV gdy x > 0 i y < 0 sin α < 0, cos α > 0, tg α < 0, ctg α < 0 Parzystość funkcji trygonometrycznych Funkcje nieparzyste: sinus, tangens i cotangens Funkcja parzysta: cosinus sin (-α) = -sin α cos (-α) = cos α tg (-α) = -tg α ctg (-α) = -ctg α
23 Wzory redukcyjne sin (180 o α) = sin α sin (π α) = sin α II ćwiartka cos (180 o α) = -cos α cos (π α) = -sin α tg (180 o α) = -tg α tg (π α) = - sin α ctg (180 o α) = -ctg α ctg (π α) = tg α sin (180 o + α) = -sin α = π III ćwiartka cos (180 o + α) = -cos α tg (180 o + α) = tg α ctg (180 o + α) = ctg α sin (360 o - α) = -sin α π = IV ćwiartka cos (360 o - α) = cos α tg (360 o - α) = -tg α ctg (360 o - α) = -ctg α sin (90 o - α) = cos α 90 0 = π/2 cos (90 o - α) = sin α tg (90 o - α) = ctg α = 1/ (tg α) ctg (90 o - α) = tg α Analogicznie dla funkcji 90º + α oraz α funkcje zmieniają się w kofunkcje (sin cos, tg ctg) W osi x (0, 180, 360) we wzorach redukcyjnych funkcje się nie zmieniają w kofunkcje, a ewentualnie zmieniają się znaki, w zależności od ćwiartek. W osy y (90 0, ) we wzorach redukcyjnych funkcje zmieniają się w kofunkcje, z uwzględnieniem znaków w zależności od ćwiartki układu współrzędnych. Okresowość funkcji trygonometrycznych sin (k*360 o + α) = sin α cos (k*360 o + α) = cos α k C tg (k*180 o + α) = tg α ctg (k*180 o + α) = ctg α sin (k*2π + α) = sin α cos (k*2π + α) = cos α tg (k*π + α) = tg α ctg (k*π + α) = ctg α Liczbę 360 o = 2π dla funkcji sinus i cosinus nazywa się okresem podstawowym tych funkcji. Liczbę 180 o = π dla funkcji tangens i cotangens nazywa się okresem podstawowym tych funkcji. Okres podstawowy funkcji najmniejsza dodatnia liczba, która dodana do (odjęta od) argumentu funkcji nie zmienia jej wartości, np. sin 1000 o = sin 640 o = sin = sin (-80 0 ) Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta sin 2 α + cos 2 α = 1 - jedynka trygonometryczna tg α = sin α / cos α, gdy cos α 0 ctg α = 1/(tg α = (cos α) / (sin α), gdy sin α 0
24 Tożsamość trygonometryczna każde równanie wyrażające zależności między funkcjami trygonometrycznymi zachodzące dla wszystkich katów, dla których wartości tych funkcji istnieją. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β cos (α + β) = cos α * cos β sinα * sin β sin (α - β) = sin α * cos β cosα * sin β cos (α - β) = cos α * cos β + sinα * sin β tg (α + β) = (tg α + tg β) / (1 tg α * tg β) ctg (α + β) = (ctg α * ctg β - 1) / (ctg α + ctg β) tg (α - β) = (tg α tg β) / (1 + tg α * tg β) ctg (α - β) = (ctg α * ctg β + 1) / (ctg β ctg α) cos 2 α = cos 2 α sin 2 α cos 2 α = 2 cos 2 α 1 cos 2 α = 1 sin 2 α sin 2 α = 2 * sin α * cos α tg 2 α = 2*tg α / (1 tg 2 α), gdy cos α 0 i cos 2 α 0 Suma i różnica funkcji trygonometrycznych sin α + sin β = 2 * sin (α + β) /2 * cos (α β) /2 cos α + cos β = 2 * cos (α + β) /2 * cos (α β) /2 sin α - sin β = 2 * sin (α - β) /2 * cos (α + β) /2 cos α - cos β = 2 * sin (α + β) /2 * sin (α β) /2 Przekształcanie funkcji trygonometrycznych g(x) = - f(x) - symetria względem osi x Np. Wykres y = -sin(x) powstaje przez odbicie względem osi x wykresu funkcji y = sin(x)
25 y = f(x) + q przesunięcie o q jednostek w górę czyli o wektor [0, q] Np. Wykres y = sin(x) + 1 powstaje przez przesunięcie o 1 do góry wykresu y = sin(x) y = k*f(x) do wykresu funkcji należą punkty (x, k*f(x) - rozciągnięcie lub ściągnięcie funkcji y = f(x) w pionie, zgodnie ze współczynnikiem k Gdy k > 1 rozciągnięcie, k < 1 ściągnięcie Np. Wykres y = 2*cos(x) rozciągnięcie w pionie wykresu y = cos(x) o mnożnik 2 y = -2*sin(x)
26 y = g (k*x) Do wykresu funkcji y należą punkty (1/k *x, f(x) y = cos( ½ * x) - wykres rozszerzony po osi x 1 stosunku (1 : ½ = 2) y = sin(2*x) wykres ścieśniony w kierunku poziomym po osi x w stosunku 1:2 y = f(x-p) przesunięcie funkcji f(x) o wektor [p. 0] y = f(x+p) przesunięcie funkcji f(x) o wektor [-p. 0] Np. y = cos(x-π) - wykres przesunięty o π w prawo wektor [0, π]
27 Wykres funkcji y = 2*cos( x + π/2) - przesunięcie wykresu funkcji y = 2*cos(x) o π/2 w lewo (wektor [0, -π/2
28 y = 2*cos( x + π/2) - wykres cos(x), Wykres funkcji ½*tgx -2 - tgx, ½*tg x, ½*tg x - 2
29 Wykres funkcji 3*sin(x) -1 Równania trygonometryczne Równanie trygonometryczne równanie, w którym niewiadoma występuje wyłącznie pod znakiem funkcji trygonometrycznych Przykłady równań trygonometrycznych: sin(x) = 0,5, sin(x) = 3 / 2 sin x + cos x = 1, sin(3x) = cos(5x) tg 2 x + cos x = 1 Natomiast równania typu: x + cos x = 0 2x - ctg x + sin x = 1 nie są równaniami trygonometrycznymi. Rozwiązując równania trygonometryczne, staramy się je doprowadzić do równań elementarnych (tzn. bardzo podstawowych) postaci, np. sin x = a
30 Rozwiązania równania sin x = a, gdy a <=1; 1> Rozwiązaniami podstawowymi są pierwiastki, które należą do dowolnego przedziału o długości 2π Jeśli x 0 jest jednym z rozwiązań podstawowych równania: sin x = a i x <0; 2 π>, to drugim rozwiązaniem jest π x 0 sin x 0 = sin (π x 0) = a Rozwiązaniami podstawowymi są więc: x 1 = x 0, x 2 = π x 1 Rozwiązania ogólne: x1 = x 1 + 2kπ; x2 = x 2 + 2kπ; Jeżeli a = 0, to sin x = a ma 3 rozwiązania: x 1 = 0, x 2 = π, x 3 = 2π Rozwiązanie ogólne: x = k*π Rozwiązania równania cos x = a, gdy a <=1; 1> Rozwiązaniami podstawowymi są pierwiastki, które należą do dowolnego przedziału o długości 2π Jeśli x 0 jest jednym z rozwiązań podstawowych równania: cos x = a i x <0; 2 π>, to drugim rozwiązaniem jest x 0 cos x 0 = sin ( x 0) = a Rozwiązaniami podstawowymi są więc: x 1 = x 0, x 2 = -x 1 Rozwiązania ogólne: x1 = x 1 + 2kπ; x2 = x 2 + 2kπ; Jeżeli a = 0, to cos x = a ma 2 podstawowe rozwiązania: x 1 = π/2, x 2 = 3/2 * π Rozwiązanie ogólne: x = π/2 + k*π sin α = sin β, gdy α = β + 2kπ lub α = π β + 2kπ; β = x 0, π β = π x 0 cos x 0 = cos (-x 0) cos α = cos β, gdy α = β + 2kπ lub α = - β + 2kπ; Rozwiązanie równania tg x = a, gdzie a R tg x = a, gdzie a R oraz x (-π/2; π/2) jest spełnione i ma rozwiązanie podstawowe, gdy x = x 0 tg x = a, gdzie a R oraz x R jest spełnione, gdy x = x 0 + k π, gdzie k C
31 Rozwiązanie ogólne: x = x 0 + k π, gdzie k C
Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Sinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a : c = a/c Cosinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o Kąt α [ o ] 30 o 45 o 60 o sin α ½ 2 / 2 3 / 2 cos α 3 / 2 2 / 2 ½ tg α 3 / 3 1 3 ctg α 3 1 3 / 3 Związki między funkcjami
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 8 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych
TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowo8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.
WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO
TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Piotr Rzonsowski Teoria Definicja. Sinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej sin α = b c. Cosinusem kąta ostrego
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Piotr Rzonsowski Teoria Definicja. Sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej sin = b c. Cosinusem kąta ostrego nazywamy
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicjach Sinus Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej
Bardziej szczegółowo1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2.
Funkcje trygonometryczne. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC =..Rozwiążtrójkątprostokatnymającdaneprzyprostokątne
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowo7. Funkcje elementarne i ich własności.
Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
Bardziej szczegółowoTrigonometria. Funkcje trygonometryczne
1 Trigonometria. Funkcje trygonometryczne Trigonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trigonometria by lo używane w czasach starożytnych
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoCzęść całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Sprawdzian nr 2: 25..204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -48) Sprawdzian nr 3: 9.2.204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -88) Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN
ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 2 1. TRYGONOMETRIA STOPIEŃ UMIEJĘTNOŚCI UCZNIA Dopuszczający Zna i
Bardziej szczegółowo2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6
Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 6 i przyprostokątnej sinus większego z kątów ostrych ma wartość: C) Zadanie Krótsza przekątna rombu o długości tworzy z bokiem rombu kąt 60 0. Bok
Bardziej szczegółowoFunkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska
Dr Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska Definicja Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy relację, która każdemu elementowi x X przyporzadkowuje dokładnie jeden element y Y.
Bardziej szczegółowoKLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowo1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)
Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoOstatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.
Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna
Bardziej szczegółowo? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne. sinus (sin) cosinus (cos) tangens (tg) kotangens (ctg) secans (sec) cosecans (cosec)
Matematyka to nauka o naszych wspólnych urojeniach. Ale urojenia jak to urojenia, jak się je nieco usystematyzuje to stają się rzeczywistością. To już druga część słynnego kompendium czyli funkcje trygonometryczne,
Bardziej szczegółowoFunkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Bardziej szczegółowoZakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY
MATEMATYKA Klasa TMB Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY (zakres rozszerzony - czcionką pogrubioną) Hasła programowe Wymagania
Bardziej szczegółowoSkrypt 19. Trygonometria: Opracowanie L3
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 19 Trygonometria: 9. Proste
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoFunkcją sinus kąta α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, i opisujemy jako:
1. Trygonometria 1.1Wprowadzenie Jednym z podstawowych działów matematyki który wykorzystywany jest w rozwiązywaniu problemów technicznych jest trygonometria. W szkole średniej wprowadzone zostały podstawowe
Bardziej szczegółowoZagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f (x) = ax Przesunięcie wykresu funkcji f(x) = ax o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności trygonometryczne
Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie
Bardziej szczegółowo=, =, =, = Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego określa się wzorami:
Matematyka to nauka o naszych wspólnych urojeniach. Ale urojenia jak to urojenia, jak się je nieco usystematyzuje to stają się rzeczywistością. To już druga część słynnego kompendium czyli funkcje trygonometryczne,
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2
Bardziej szczegółowoMatematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN Z 1. SEMESTRU KLASY 2 ROZSZ
www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI SPRWZIN Z 1. SEMESTRU KLSY 2 ROZSZ ZNIE 1 (5 PKT) Funkcja f określona jest wzorem f (x) = (3m 5)x 2 (2m 1)x + 0, 25(3m 5). Wyznacz te wartości
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoW tym rozdziale przypomnimy wiadomości o funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.
ONOMETRYCZNE A B FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO W tym rozdziale przypomnimy wiadomości o funkcjach trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 1. Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5)
Lista nr 1 LICZBY RZECZYWISTE Zad.1 Udowodnij równość: 5 3 10 27 = 10 3 5 9. Zad.2 Wartość wyrażenia (3 1 3 27 2 3 9 1 ) 3 4 zapisz w postaci pierwiastka z liczby wymiernej. Zad.3 Oblicz wartość wyrażenia:
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY TRZECIEJ M. zakres rozszerzony
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY TRZECIEJ M. zakres rozszerzony Trygonometria. wie, co to jest miara łukowa kąta; potrafi stosować miarę łukową i stopniową kąta
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY DRUGIEJ M. zakres rozszerzony
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY DRUGIEJ M. zakres rozszerzony Funkcje i ich własności. -podać przykład funkcji; -rozpoznać funkcję, wskazać jej dziedzinę i zbiór
Bardziej szczegółowoDefinicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
1 Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY
Nr zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr Etapy rozwiązania zadania czynności Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Bardziej szczegółowoPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1
Nr zadania Nr czynności. Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR Etapy rozwiązania zadania POZIOM PODSTAWOWY Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych
Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Okrąg Okrąg jest szczególną krzywą stożkową. Wyznacza nam koło, które jest podstawą
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM
ZADANIA PRZED EGZAMINEM KLASA I LICEUM + 7. Równanie = 0 : + A. ma tylko jedno rozwiązanie równe 7 B. ma tylko jedno rozwiązania równe 7 C. ma tylko jedno rozwiązanie równe D. nie ma rozwiązań.. Do przedziału,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej Temat ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. TRYGONOMETRIA (15 h )
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta
Bardziej szczegółowoWzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)
Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Mateusz Kowalski www.kowalskimateusz.pl 19.07.01 Streszczenie Wzory funkcji cyklometrycznych wraz z wyprowadzeniami. 1 A co to za funkcje? Funkcje cyklometryczne
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2019
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2019 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoPLAN RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II (zakres rozszerzony)
DZIAŁ PROGRAMOWY JEDNOSTKA LEKCYJNA 1 Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 5 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 160 PLAN RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W
Bardziej szczegółowoZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY
ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoPrzygotowanie do poprawki klasa 1li
Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz
Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowo