Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Transkrypt

1 Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, Czyli mamy ciąg liczb: 2, 1, 22. Jeżeli liczby,, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to: 2 [Co rozumiemy: drugi (środkowy) wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów pierwszego i trzeciego] Czyli w naszym przypadku: Czyli: Różnicę ciągu liczymy np.: Odpowiedź: 11 lub 9, a różnica ciągu wynosi 12.

2 Zadanie 4 Dla jakich liczby: 3, 3 9, 3 6 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę tego ciągu. Jeżeli liczby,, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to: Czyli w naszym przypadku: Zatem nasz ciąg wygląda następująco: Czyli: , 3 9, 3 6 3, 18, 33 Zatem różnica to: Odpowiedź: 1, a różnica ciągu wynosi 15.

3 Zadanie 5 Dla jakich liczby: 1, log2 1, 25 w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz iloraz tego ciągu. Jeżeli liczby,, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to: Czyli w naszym przypadku: log log log2 1 5 log Czyli nasz ciąg geometryczny jest następujący: 1, 5, 25 lub 1, 5, 25. W pierwszym przypadku iloraz 5. W drugim przypadku iloraz 5. Odpowiedź: Są dwa możliwe rozwiązania: I., a iloraz ciągu jest równy 5 lub II., a iloraz ciągu jest równy 5.

4 Zadanie 6 Liczby: 2, 2, 128, w podanej kolejności, są wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz i wyznacz iloraz ciągu. Jeżeli liczby,, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to: Czyli w naszym przypadku: Czyli nasz ciąg geometryczny jest następujący: 2, 2, 2. Zatem iloraz 2 8 Odpowiedź: 6, a iloraz ciągu wynosi 8.

5 Zadanie 7 Liczby: 4, 3 2, i wyznacz różnicę tego ciągu. w podanej kolejności, są wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz Jeżeli liczby,, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to: Czyli w naszym przypadku: Czyli nasz ciąg arytmetyczny jest następujący: 4, 3 2,. Czyli: 4, 12, 20. Zatem różnica: Odpowiedź: 4, a różnica ciągu wynosi 8.

6 Zadanie 8 Udowodnij, że wykresy funkcji 3 oraz nie mają punktów wspólnych. Wykresy dwóch funkcji mają punkty wspólne dla tych -ów dla których:. Żeby znaleźć wszystkie punkty wspólne wykresów funkcji i trzeba rozwiązać równanie: My musimy udowodnić, że wykresy nie mają punktów wspólnych, zatem musimy pokazać że powyższe równanie nie ma rozwiązania (nie istniej, który je spełnia). No to sprawdzamy: Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, zatem wykresy nie mają punktów wspólnych.

7 Zadanie 9 Napisz wzór funkcji wykładniczej, gdzie 0, wiedząc, że do jej wykresu należy punkt 3,. a) Naszkicuj wykres funkcji 2 1 b) Oblicz miejsce zerowe funkcji. c) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne? Żeby wyznaczyć współczynnik podstawiamy do wzoru funkcji współrzędne punktu : Zatem: a) 2 1 Zatem wykres funkcji jest taki sam jak wykres funkcji, tylko przesunięty o 2 jednostki w lewo i o 1 jednostkę w dół. Zatem: b) Mając wzór funkcji możemy obliczyć miejsce zerowe rozwiązując równanie 0:

8 Odpowiedź: Czyli miejscem zerowym funkcji jest 2. c) Musimy rozwiązać równanie: Teraz przechodzimy do nierówności na wykładnikach, ale ponieważ podstawa funkcji wykładniczej jest mniejsza od 1 1, to zmieniamy znak nierówności: Odpowiedź: Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla 2.

9 Zadanie 10 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji,. a) Oblicz wartość funkcji dla argumentu. b) Oblicz argument dla którego wartość funkcji wynosi c) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 2? d) Napisz wzór i naszkicuj wykres funkcji 3. a) b) Trzeba rozwiązać równanie: Odpowiedź: Funkcja przyjmuje wartość dla argumentu 5. c) Trzeba rozwiązać nierówność:

10 Teraz przechodzimy do nierówności na wykładnikach, ale ponieważ podstawa funkcji wykładniczej jest mniejsza od 1 1, to zmieniamy znak nierówności: Odpowiedź: Funkcja przyjmuje wartości większe od 2 dla argumentów 1. d) Funkcję 3 otrzymujemy w wyniku dwóch przekształceń funkcji. Pierwszym jest symetria względem osi OY, a drugim przesunięcie o 3 jednostki w dół , A wzór funkcji to oczywiście: 2 3 3

11 Zadanie 11 Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe niż funkcja? Musimy stwierdzić kiedy: Czyli kiedy: Teraz przechodzimy do nierówności na wykładnikach, ale ponieważ podstawa funkcji wykładniczej jest mniejsza od 1 1, to zmieniamy znak nierówności: Odpowiedź: Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dla argumentów.

12 Zadanie 12 Wyznacz wartość parametru, jeżeli wiadomo, że dla argumentu 1 funkcje oraz 2 przyjmują tą samą wartość. Dla argumentu 1 funkcje oraz przyjmują tą samą wartość, zatem: Odpowiedź:.

13 Zadanie 13 Naszkicuj wykres funkcji 3 dla dla 0. Na podstawie wykresu funkcji ustal liczbę rozwiązań równania, gdzie, w zależności od wartości parametru. I. Dla 0 rysujemy funkcję 3. II. Dla 0 rysujemy funkcję 2 5, która powstaje przez przesunięcie paraboli o 2 jednostki w prawo i 5 jednostek w górę. W rezultacie otrzymujemy wykres: Aby ustalić liczbę rozwiązań równania, w ilu punktach przecina się wykres funkcji z wykresem funkcji liniowej. Np. dla 1, równanie 1 ma dwa rozwiązania ( 0 oraz 4). Ogólnie mamy: 1. Dla, 1 5, równanie ma 1 rozwiązanie. 2. Dla 1, 5 równanie ma 2 rozwiązania. 3. Dla 1,5 równanie ma 3 rozwiązanie.

14 Zadanie 14 Dana jest funkcja logarytmiczna o wzorze log 3, gdzie jest parametrem. Dziedziną funkcji jest przedział 2,. Podaj wartość parametru, a następnie: a) Oblicz wartość funkcji dla argumentu 18. b) Oblicz argument, dla którego wartość funkcji wynosi 3,5. c) Określ, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Jeżeli mamy dany logarytm log, to musimy założyć, że 0 i 1 oraz 0. W ten sposób określa się dziedzinę logarytmu. Określmy zatem dziedzinę naszej funkcji, w której występuje logarytm: Czyli dziedziną funkcji jest przedział:,. 0 Z treści zadania wiemy, że dziedziną funkcji jest przedział 2,, zatem wynika z tego, że 2. Czyli: log 2 3 a) 18 log log b) Musimy rozwiązać równanie: log 2 3 3,5 log c) Musimy rozwiązać nierówność: log log

15 Zadanie 15 Dana jest funkcja logarytmiczna o wzorze log 1, gdzie jest parametrem. Wartość funkcji dla argumentu 3 wynosi 3. Oblicz wartość parametru, a następnie: a) Wyznacz argument, dla którego wartość funkcji wynosi 6. b) Wyznacz zbiór argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od 1. Wartość funkcji dla argumentu wynosi 3, zatem: log log Zatem: log 1 5 a) Musimy rozwiązać równanie: log log b) Musimy rozwiązać nierówność: 5 3 log log 1 4 Podstawa logarytmu jest mniejsza od 1 1, więc zmieniamy znak nierówności:

16 Zadanie 16 Wyznacz wartości parametrów i we wzorze funkcji log, jeśli wiadomo, że punkty 1, 3 oraz 5, 4 należą do wykresu funkcji. Wyznacz dziedzinę funkcji. Najpierw trzeba ustalić wzór funkcji (czyli wyznaczyć współczynniki i ). W tym celu podstawimy współrzędne punktów i do wzoru funkcji, w konsekwencji czego otrzymamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: 3 log 1 5 log Rozwiązujemy układ równań, np. odejmując równania stronami: Zatem: 0 Czyli otrzymujemy wzór funkcji: log 8 Jeżeli mamy dany logarytm log, to musimy założyć, że 0 i 1 oraz 0. W ten sposób określa się dziedzinę logarytmu. Zatem dziedzina funkcji jest następująca: Odpowiedź: Dziedziną funkcji jest zbiór 0,

17 Zadanie 17 Ustal wartość parametru, jeżeli wiadomo, że funkcja log jest malejąca. Funkcja logarytmiczna log jest rosnąca jeżeli 1, a malejąca jeżeli 0,1. Zatem funkcja log jest malejąca, jeżeli: , 3 3, 2,2 Zatem ostatecznie: 2, 3 3, 2.

18 Zadanie 18 Wykresy funkcji 2 3 oraz log 3 mają z osią ten sam punkt wspólny. Oblicz i podaj współrzędne punktu. Jeżeli wykresy dwóch funkcji mają z osią ten sam punkt wspólny, to znaczy że dla argumentu 0 przyjmują taką samą wartość. Zatem: log log Natomiast punkt 0, Zatem 0,.

19 Zadanie 19 Funkcje 1 oraz log19 mają to samo miejsce zerowe. Oblicz wspólne miejsce zerowe obu funkcji oraz wartość parametru. O funkcji wiemy wszystko (tzn. znamy jej wzór), więc możemy obliczyć jej miejsce zerowe: Zatem szukanym miejscem zerowym obu funkcji jest 3. Wyliczymy teraz parametr. Skoro 3 jest również miejscem zerowym funkcji, zatem: 3 0 log log

20 Zadanie 20 Wiadomo, że liczby i są dodatnie i 6 oraz 2 4. Wykaż, że log 2. Jeżeli mamy dany logarytm log, to musimy założyć, że 0 i 1 oraz 0. Zatem w naszym zadaniu musimy założyć, że: Ponieważ liczby i są dodatnie, zatem żeby zachodziła powyższa nierówność wystarczy, że: Czyli dziedzina zgadza się z tą podaną w treści zadania. Pozostaje teraz rozwiązać daną równość: log Czyli doszliśmy do równości danej w treści zadania, co kończy dowód.