Zapis zmiennopozycyjny, arytmetyka, błędy numeryczne
|
|
- Kornelia Czech
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zapis zmiennopozycyjny, arytmetyka, błędy numeryczne Plan wykładu: 1. zapis zmiennopozycyjny 2. arytmetyka zmiennopozycyjna 3. reprezentacja liczb w standardzie IEEE błędy w obliczeniach numerycznych 5. definicje 1
2 Własności zapisu zmiennopozycyjnego Liczbę rzeczywistą w komputerze reprezentuje liczba zmiennoprzecinkowa: F = M E gdzie: M znacznik ( mantysa ) jest liczbą ułamkową ze znakiem stanowi bazę reprezentacji i jest liczbą całkowitą (np.: 2, 10, 16) E wykładnik ( cecha ) jest znakowaną liczbą całkowitą Powyższy zapis jest niejednoznaczny: F = M E = M i E+i = i = m; : : : ; 1; 0; 1; : : : ; m m jest liczbą pozycji znacznika w bazie. Można odróżnić k = mlog 2 różnych reprezentacji tej samej liczby. Ograniczeniem znacznika jest jmj < ale problem nadal pozostaje. (M i ) E+i Jednoznaczność osiągamy dla warunku wtedy dla dowolnego i 0 mamy w praktyce stosuje się Znaczniki spełniające powyższy warunek nazywamy znormalizowanymi (liczby znormalizowane). Nie ma liczb znormalizowanych w tym 0. Tworzą one osobną grupę zwana liczbami zdenormalizowanymi p 1 jmj < p p i 1 jmj i < p Znormalizowane wartości dla jmj i =2 [ p 1 ; p) p = 0; 1 jf j < p 1 E min = 2; p = 0 2
3 Podstawowe operacje arytmetyczne. Wykonujemy operacje na dwóch znormalizowanych liczbach Czy przeprowadzenie 4 podstawowych operacji da znormalizowany wynik? Mnożenie F 1 = M 1 E1 ; F 1 F 2 = M 1 E1 M 2 E2 F 2 = M 2 E2 = (M 1 M 2 ) E1+E 2 = M W W sprawdzamy czy nie wystąpił nadmiar (E W >E max ) lub niedomiar (E W <E min ) zmiennopozycyjny. Jeśli wartość znacznika wychodzi poza dozwolony zakres tj.: 2p 2 jm W j = jm 1 M 2 j < p 1 to wykonujemy postnormalizację Dzielenie F 1 =F 2 = (M 1 E1 )=(M 2 E2 ) ponieważ = (M 1 =M 2 ) E1 E 2 jm W j = M 1 =M 2 2 ( 1 ; ) konieczna jest postnormalizacja ilorazu do postaci F 1 =F 2 = ( p " M 1 =M 2 ) E1 E 2 p+" 1 jm W j < 1 =) " = 0 1 jm W j < =) " = 1 Dodatkowo należy zapewnić obsługę liczb zdenormalizowanych, dzielenia przez 0 oraz próby dzielenia 0/0. F 1 F 2 = (M 1 M 2 p+" ) E1+E 2 +p " " = 0; 1 3
4 Dodawanie i odejmowanie Wymagane jest wstępne wyrównanie wykładników. Powoduje to denormalizację operandu z mniejszym wykładnikiem i utratę dokładności (na najmniej znaczących pozycjach znacznika). Załóżmy a) jeśli oraz to wówczas normalizacja doprowadzi do nadmiaru. b) jeśli oraz E 1 E 2 F 1 F 2 = (M 1 E1 ) (M 2 E2 ) = (M 1 M 2 (E 1 E 2 ) ) E1 E 1 = E max p jm W j < 2 p jm W j < i p 1 E 1 (p i) E min Jeśli spełniony jest warunek p i jmlog 2j wówczas może dojść do wyzerowania wszystkich znaczących pozycji znacznika sumy lub różnicy. Wybór reprezentacji Liczbę zmiennopozycyjną zapisujemy na n pozycjach, z czego: a) 1 pozycję przeznaczamy na znak liczby b) t pozycji na zapis znacznika c) d pozycji na zapis wykładnika n = 1 + d + t à tx! x = s m i i i=1 E s s : : : m 1 m : : : : : : : : : e e 0 e 1 e d 1 2 m t to wystąpi niedomiar. znak wykładnik znacznik 4
5 Dokładność reprezentacji Jeśli liczba zmiennopozycyjna jest reprezentowana przez skończoną liczbę bitów to dokładność reprezentacji określa liczba bitów znacznika a zakres reprezentowanych liczb zależy od liczby bitów wykładnika. Jeśli zachodzi warunek M E x (M + ulp) E; (ulp najmniej znacząca pozycja znacznika) wówczas zaokrąglając liczbę x do bliższej reprezentacji dostajemy błąd bezwzględny jfl(x) xj 1 2 ulp E x 2 R gdzie fl(x) oznacza reprezentację liczby x w zapisie zmiennopozycyjnym. 0 Wartość błędu bezwzględnego wynika z nierównomiernego rozłożenia liczb w reprezentacji zmiennopozycyjnej p 3 p 2 p 1 p Błąd względny j"(x)j = jfl(x) xj x rośnie ze zmniejszaniem znacznika aż do wartości MRRE maximum relative representation error. 1 ulp E 2 M E M = ulp 2M MRRE = max j"(x)j = 1 ulp p 1 2 M 5
6 Dobór zakresu wykładnika Jednym z wymagań jest aby dla każdej znormalizowanej liczby x możliwe było obliczenie jej odwrotności. Wykładnik kodowany jest na d pozycjach z czego pozycji musimy zarezerwować na 0 oraz wielkości nieznormalizowane (nieskończoności itp.). Rozpiętość wykładnika wynosi s = E max E min = 2 d i aby istniały znormalizowane reprezentacje odwrotności małych liczb. Dla =2, -1=1 i p=0 najmniejszy znacznik ma wartość 0, a największy 0, najbardziej znaczący bit nie musi być kodowany (bit ukryty). Pominięcie go prowadzi do pełnego wykorzystania przestrzeni kodowej znacznika (100%). W innych przypadkach liczby znormalizowane zajmują jedynie (1-1/ )100% przestrzeni. Bit ukryty jest odtwarzany w trakcie operacji arytmetycznych. Schematy zaokrąglania liczb Podczas wykonywania operacji arytmetycznych może dojść do zwiększenia się liczby bitów wynikowych, np. przy mnożeniu dwóch znaczników m w = 2m Aby zapisać wynik należy uciąć ostanie m bitów. Eliminacja nadmiarowych bitów nazywana jest zaokrąglaniem. Reguły zaokrąglania x y ) fl(x) fl(y) x 2 fl ) fl(x) = x F 1 = M E x (M + ulp) E = F 2 {z } x=f 1 _x=f 2 6
7 Odcięcie (najprostsze) M x < M + ulp, T (x) = M Jeśli m - liczba pozycji znacznika d - liczba uciętych bitów x = M + i2 d ulp; 0 i 2 d 1 i standaryzowanym błędem losowym obcinania znacznika jest T (x) x ulp = i2 d Dla równomiernego rozkładu wartości x w przedziale [M, M+ulp] miarą średniego standaryzowanego błędu obcinania jest ± T = 1 2X d 1 2 d ( i)2 d < 0 i=0 Błąd ten jest zawsze ujemny estymator T(x) jest ujemnie obciążony. Skutek obcinania: niedoszacowanie. Zaokrąglanie do najbliższej wartości Reguły zaokrąglania R(x) = ½ M; M + ulp; Ten typ zaokrąglania powoduje, że średnia wartość błędu standaryzowanego jest bliska 0, ale estymator R(x) jest obciążony dodatnio. Zaokrąglanie symetryczne Reguły zaokrąglania S(x) = 8 < : x M < ulp 2 x M ulp 2 M ulp; ulp x M < 1 2 ulp M; 1 2 ulp x M ulp M + ulp; ulp x M < +ulp Średnia wartość błędu standaryzowanego wynosi 0, a estymator S(x) jest niebciążony. Wadą zwykłego zaokrąglania oraz zaokrąglania symetrycznego jest konieczność wykonania 2mpozycyjnego dodawania. 7
8 Reprezentacja liczb w standardzie IEEE754 Formaty liczb zmiennopozyjcyjnych: 1) zwykły pojedynczej precyzji - single (real) 2) rozszerzony pojedynczej precyzji - single extended 3) zwykły podwójnej precyzji - double 4) rozszerzony podwójnej precyzji - double extended Wykładnik jest reprezentowany w kodzie z obciążeniem, a znacznik w kodzie znakmoduł. Wartość liczby w IEEE754 F = ( 1) s 2 E B B (1; f) gdzie: E B - wykładnik, B przesunięcie (dzięki niemu nie musimy pamietać znaku), (E=E B -B - prawdziwy wykładnik) (1,f) wartość modułu znacznika Jeśli d oznacza liczbę bitów wykładnika to wielkością przemieszczenia jest B = 2 d 1 Bez przesunięcia, najmniejszą wartością wykładnika jest E B =E min +B= a największą E B =E max +B= Zakres wykładnika jest ograniczony z obawy przed uzyskaniem nadmiaru podczas obliczania odwrotności liczb. Liczby zdenormalizowane z zakresu [-2 Emin,+2 Emin ] łącznie z zerami można zapisać F = ( 1) s 2 E min (0; f) 8
9 Rozmiar formatu Rozmiar znacznika Rozmiar wykładnika symbol single double n m 23(+1) 52(+1) d 8 11 obciążenie B Zakres wykładnika dokładność E [-126,127] [-1022,1023] ulp 2 23 ¼ ¼ Zakres formatu RNG ¼ ¼ 3; ¼ ¼
10 Nie-liczby Pojawiają się podczas wykonywania operacji np.: 0=0; p jxj Bez ich obsługi program przerywałby działanie. Obsługa nie-liczb pozwala je wykryć i np. zrestartować schemat iteracyjny z innym parametrem. Wyjątki w IEEE754 Standard zapewnia obsługę specyficznych wyników operacji: 1. nadmiar (F max, nieskończonośc) 2. niedomiar (F min, l. denormalizowane) 3. dzielenie przez 0 4. niepoprawna operacja (NAN) 5. niedokładność (zaokrąglenie wyniku) Znakowane zero Po co? Dla liczb rzeczywistych mamy 1= 1 = 0; 1=(1= 1) = +1 zatem relacja 1=(1=x) = x nie jest spełniona. Dla znakowanego 0 mamy x = 1; 1=x = 0 1=(1=x) = 1= 0 = 1 = x 10
11 Błędy numeryczne Najprostszy podział: 1. błędy wejściowe 2. błędy zaokrągleń 3. błędy obcięcia Błędy wejściowe Występują gdy dane liczbowe wprowadzane do pamięci komputera odbiegają od wartości dokładnych. Kiedy występują? - gdy wprowadzane dane pomiarowe są obarczone błędami pomiarowymi (np. pomiar wielkości fizycznych takich jak oporu czy napięcia) - gdy ze względu na skończoną długość słowa binarnego dochodzi do wstępnego zaokrąglenia liczb (ułamki dziesiętne lub zaokrąglanie liczb niewymiernych jak np.: e, ) Przykład zapis 8 bitowy Liczba ma reprezentację x (10) = 3:25 x (z2) = (0)1101 (0)10 {z } {z } M W Ale dla liczby x=0.2 pojawia się problem x (2) = 0:0011(0011):::: po zaokrągleniu wyniku do najbliższej liczby x 0 (z2) = (0)1100(1)10 x 0 (2) = 0: x 0 (10) = 0:1875 co daje błąd bezwzględny równy i błąd względny na poziomie 6.25%. 11
12 Błędy obcięcia - powstają podczas zmniejszania liczby działań np.: a)przy obliczaniu wartości szeregów (ucięcie szeregu) b)wyznaczaniu granic (obliczanie wartości całki) c)zastępowaniu pochodnej funkcji ilorazem różnicowym Przykład Chcemy wyznaczyć wartość e x, więc korzystamy z rozwinięcia e x = 1X n=0 x n n! ; 1 < x < +1 ale numerycznie lepiej zrobić to tak e x = e E(x) e q gdzie: E(x) jest częścią całkowitą liczby x, q jest częścią ułamkową Pierwszy wyraz jest potęgą a drugi liczymy wg rozwinięcia. Do wyznaczenia pozostaje tylko błąd obcięcia. Szereg ucinamy na n-tym wyrazie. 0 x < 1 Reszta szeregu: R n (x) = eµq (n + 1)! qn+1 ; 0 < µ < 1 szacujemy maksymalny błąd obcięcia tj. µ ¼ 1; q ¼ 1 0 R n (q) < 3 (n + 1)! qn+1 widzimy że szereg jest więc szybko zbieżny. Dokładniejsze oszacowanie R n (q) = q n+1 (n + 1)! + qn+2 (n + 2)! + qn+3 (n + 3)! + : : : µ = qn q (n + 1)! n q 2 < qn+1 (n + 1)! Ã 1 + q n (n + 2)(n + 3) + : : : µ 2 q + : : :! n
13 Stosując wzór na sumę szer. geom. dla oraz R n (q) < qn+1 (n + 1)! dostajemy warunek gdzie 0 q < 1 n + 2 n + 1 < n + 1 n 1 1 q n+2 q 0 < R n (q) < u n n ; 0 < q < 1 u n = qn n! jest ostatnim wyrazem użytym przy sumowaniu elementów. Wyrażenie na e x (małe x)przyjmuje postać: e x = u 0 + u 1 + u 2 + : : : + R n (x) gdzie u 0 = 1; u k = xu k 1 k Wówczas schemat iteracyjny obliczania wartości sumy jest następujący u k = x k u k 1 z warunkami s k = s k 1 + u k k = 0; 1; 2; : : : ; n ; k = 1; 2; 3; : : : ; n u 0 = 1; s 1 = 0; s 0 = 1 Załóżmy, że " jest maksymalną wartością błędu obcięcia szeregu. 13
14 Proces sumowania przerywamy gdy spełniony będzie poniższy warunek p e np. obliczmy wartość z dokładnością 2.5x10-6 jr n (x)j R n (jxj) < jxjn+1 (n + 1)! 1 1 jxj n+2 < 2jxjn+1 (n + 1)! = 2jxj n + 1 jxjn n! < ju n j " Ostatecznie warunek ten przyjmuje bardziej przystępną postać ju n (x)j < " wynik u 0 = 1 u 1 = 0: u 2 = 0: u 3 = 0: u 4 = 0: u 5 = 0: u 6 = 0: u 7 = 0: p e = 1:
15 Błędy zaokrągleń Pojawiają się podczas wykonywania operacji arytmetycznych. Wynikają z ograniczonej reprezentacji liczb zmiennopozycyjnych. Wielkość błędów zależy od: a) dokładności reprezentacji b) sposobu zaokrąglania wyniku c) rodzaju przeprowadzanej operacji Lemat Wilkinsona błędy zaokrągleń powstające podczas wykonywania działań zmiennopozycyjnych są równoważne zastępczemu zaburzeniu liczb, na których wykonujemy działania. Błędy względne zaokrągleń: mnożenia fl(x)fl(y) xy = (1 + " x )(1 + " y ) 1 = xy = " x + " y + " x " y ¼ " x + " y dzielenia fl(x)=fl(y) x=y x=y dodawania i odejmowania fl(x) fl(y) (x y) x y = 1 + " x 1 + " y 1 = = " x " y 1 " y ¼ " x " y = x" x y" y x y = x x y " x = y x y " y Po przeprowadzeniu operacji dostajemy fl(x) = x(1 + " x ); fl(y) = y(1 + " y ) Zwłaszcza przy odejmowaniu możemy dostać duży błąd, gdy x ¼ y; " x ¼ " y 15
16 Wykonywanie kolejnych operacji na wynikach poprzednich operacji prowadzi do kumulacji błędów zaokrągleń. Można je zmniejszyć ustalając odpowiednio sposób i kolejność wykonywanych działań lub zwiększając precyzję obliczeń (nie zawsze można). 16
17 Szacowanie błędów zaokrągleń a) Sumowanie liczb (jedna z częściej wykonywanych operacji) oznaczenie s = Zgodnie z lematem Wilkinsona: nx i=1 x i s k = fl s k 1 + x k = s 0 k 1 + x0 k Indeks s - suma indeks x - wartość Obliczona wartość sumy: 17
18 Obliczona suma jest sumą zaburzonych składników. Wielkość zaburzeń zależy od kolejności wykonywania sumowania. Nie znamy wielkości poszczególnych mnożników, ale możemy oszacować maksymalne dopuszczalne zmiany składników: x 1;min = x 1 (1 ") n x i;min = x i (1 ") n+1 i x 1;max = x 1 (1 + ") n x i;max = x i (1 + ") n+1 i Najmniej zaburzony jest składnik ostatni bo tylko (1+ ) lub (1- ) razy. Można stąd wysunąć wniosek odnośnie sumowania: liczby należy sumować od najmniejszej do największej wg wartości bezwzględnej - trzeba zmienić algorytm na dokładniejszy. 18
19 b) Obliczanie wartości wielomianu w(x) = x n + a 1 x n 1 + a 2 x n a n 1 x + a n W tradycyjny ale nieoptymalny sposób: w(x) = xx x {z } n +a 1 x {z x } + + a n 1 x + a n n 1 Wykonujemy: -M operacji mnożenia - D operacji dodawania M = D = n (n 1)(n + 2) 2 Optymalny sposób obliczania wartość wielomianu zapewnia Schemat Hornera µ w(x) = x x ³x x + a 1 + a2 + + a n 1 + a n Wykonujemy tylko M=n-1 mnożeń i D=n dodawań. Uwaga: Wyniki uzyskane wg powyższych algorytmów mogą się różnić. Natomiast oszacowana największa możliwa wartość błędu w obu przypadkach jest taka sama. 19
20 Zadanie numeryczne to jasny i niedwuznaczny opis powiązania funkcjonalnego między danymi wejściowymi i danymi wyjściowymi. Dane te składają się ze skończonej liczby wielkości rzeczywistych. Algorytm numeryczny dla zadania numerycznego to opis poprawnie określonych operacji (arytmetycznych lub logicznych), które należy wykonać aby przekształcić wektor danych wejściowych na wektor danych wyjściowych. Przykład Określić największy pierwiastek rzeczywisty równania a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 dla wektora danych wejściowych (a 0 ; a 1 ; a 2 ; a 3 ) jest to zadanie numeryczne. Daną wyjściową jest szukany pierwiastek. Algorytm dla tego zadania metoda Newtona, schemat iteracyjny, wzory Cardana. Uwarunkowanie zadania dla danych poszukujemy wyniku czyli Jeśli niewielkie względne zmiany danych zadania powodują duże względne zmiany rozwiązania, to zadanie takie jest źle uwarunkowane. Wskaźnikiem uwarunkowania zadania nazywamy wielkość charakteryzującą wpływ zaburzeń danych na zaburzenie rozwiazania. Zadanie jest: d = (d 1 ; d 2 ; : : : ; d n ) 2 R n w = (w 1 ; w 2 ; : : : ; w m ) 2 R m w = '(d); ' : R n! R m k'(d) '( ~ d ~ d~ d)k = cond('; d)kd ~ d ~ d~ dk cond('; d) ¼ 1 cond('; d) À 1 cond('; d)! +1 -dobrze uwarunkowane -źle uwarunkowane -źle postawione 20
21 Przykład Jakie jest uwarunkowanie obliczania iloczynu skalarnego? S = nx a i b i 6= 0 i=1 zaburzamy dane wejściowe a i ( ) = a i (1 + i ) b i ( ) = b i (1 + i) i i ¼ 0 i liczmy względną zmianę wyniku P n i=1 a i(1 + i )b i (1 + i) P n P i=1 a ib i n i=1 a ib i ¼ max i P n ¼ i=1 a ib i ( i + i) P n i=1 a ib i à n! X nx j i + ij ja i b i j= a i b i i=1 i=1 Za wskaźnik uwarunkowania przyjmujemy dla cond(a; b) = P n i=1 ja ib i j j P n i=1 a ib i j ja i b i j = a i b i! cond(a; b) = 1 czyli zadanie jest dobrze uwarunkowane. Algorytmy numerycznie poprawne Są to algorytmy numerycznie najwyższej jakości, dla których obliczone rozwiązanie jest nieznacznie zaburzonym rozwiązaniem dla nieznacznie zaburzonych danych. nieznaczne zaburzenie zaburzenie na poziomie reprezentacji (rd(d), rd(w)) kd rd(d)k ½ d kdk kw rd(w)k ½ w kwk 21
22 Algorytmy numerycznie stabilne - dokładne rozwiązanie: w = '(d); - dane zaburzone na poziomie reprezentacji: b d - dokładny wynik dla danych : bw = '( b d); kd b d b db dk ½d kdk - zaburzony wynik dla zaburzonych danych: b d kbw ewk ½ w k bwbwbwk ew = fl (bw) algorytm A jest numerycznie stabilny, jeśli dla każdego d 2 D istnieje stała K (ograniczenie od góry) i dla dostatecznie silnej arytmetyki zachodzi k'(d) fl(a(d))k K P (d; ') fl(a(d)) - realizacja odwzorowania przez algorytm A w arytmetyce zmiennopozycyjnej Dostajemy oszacowanie kw ewewewk kw bwbwbwk + k bwbwbw ewewewk gdzie (1 + ½ w )P (d; ') Wskaźnik stabilności K powinien być jak najmniejszy jego wielkość może służyć do oceny algorytmu. Stabilność numeryczna jest własnością jakiej powinniśmy oczekiwać od algorytmu. P (d; ') = ½ w kwk + max k'(d) '( b d b db d)k jest optymalnym poziomem błędu rozwiązania w danej arytmetyce (fl). 23
23 Złożoność obliczeniowa rozważamy problem w = '(d); ' : D ½ R n! R m Minimalną liczbę działań potrzebnych do obliczenia wyniku definiujemy jako z('; D) = sup z('; D) d2d Wielkość z(,d) nazywamy złożoności obliczeniową zadania. Jeśli zadanie ma n danych istotnych tj. _ ^ _ d + ±e j 2 D ) '(d) 6= '(d + ±e j ) d2d 1 j n ± e j = (0; : : : ; 0; 1; 0 : : : ; 0) T wówczas z('; D) n=2 i liczba istotnych danych określa oszacowanie z dołu złożoności obliczeniowej. Analiza algorytmów numerycznych powinna zawierać oprócz analizy dokładności metody również analizę jej złożoności obliczeniowej (pozwala oszacować koszt metody). 24
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łan Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 2 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Arytmetyka zmiennopozycyjna
Bardziej szczegółowoKod IEEE754. IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci
Kod IEEE754 IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci (-1) s 1.f
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)?
METODY NUMERYCZNE Wykład 2. Analiza błędów w metodach numerycznych Met.Numer. wykład 2 1 Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? Przykład 1. W jaki sposób można zapisać
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennoprzecinkowe i błędy
i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 5 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne Wykład 4
Technologie Informacyjne Wykład 4 Arytmetyka komputerów Wojciech Myszka Jakub Słowiński Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Wydział Mechaniczny Politechnika Wrocławska 30 października 2014 Część
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci:
Reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze. Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: k = m * 2 c gdzie: m częśd ułamkowa,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61
Metody numeryczne I Dokładność obliczeń numerycznych. Złożoność obliczeniowa algorytmów Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61 ... the purpose of
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.
Metody numeryczne Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/2002 23:02 p.1/63 Plan wykładu 1. Dokładność w obliczeniach numerycznych 2. Złożoność
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 2. Analiza błędów w metodach numerycznych. Met.Numer. wykład 2 1
METODY NUMERYCZNE Wykład. Analiza błędów w metodach numerycznych Met.Numer. wykład 1 Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? Przykład 1. W jaki sposób można zapisać liczbę
Bardziej szczegółowoLICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE
LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Bardziej szczegółowoPrzedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński
Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Postać zmiennoprzecinkowa liczby. dr Artur Woike. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa. Uwarunkowanie zadania.
Ćwiczenia nr 1 Postać zmiennoprzecinkowa liczby Niech będzie dana liczba x R Mówimy, że x jest liczbą zmiennoprzecinkową jeżeli x = S M B E, gdzie: B N, B 2 (ustalona podstawa systemu liczbowego); S {
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład VI
Pracownia Komputerowa wykład VI dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby całkowite : Operacja modulo % reszta z dzielenia: 125%2=62 reszta 1
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Bardziej szczegółowoReprezentacja stałoprzecinkowa. Reprezentacja zmiennoprzecinkowa zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej
Informatyka, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki /, Wykład nr 4 /6 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział lektryczny lektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych. Krzysztof Patan
Wprowadzenie do metod numerycznych Krzysztof Patan Metody numeryczne Dział matematyki stosowanej Każde bardziej złożone zadanie wymaga opracowania indywidualnej metody jego rozwiązywania na maszynie cyfrowej
Bardziej szczegółowoEMN. dr Wojtek Palubicki
EMN dr Wojtek Palubicki Zadanie 1 Wyznacz wszystkie dodatnie liczby zmiennopozycyjne (w systemie binarnym) dla znormalizowanej mantysy 3-bitowej z przedziału [0.5, 1.0] oraz cechy z zakresu 1 c 3. Rounding
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne
Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Informatyki
Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji
Bardziej szczegółowoLICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE
LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia
Bardziej szczegółowoBŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Bardziej szczegółowoDr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI
Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI Ćwiczenia i laboratorium 2 Kolokwia zaliczeniowe - 1 termin - poniedziałek, 29 stycznia 2018 11:30
Bardziej szczegółowoZapis liczb binarnych ze znakiem
Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów
Architektura komputerów Wykład 4 Jan Kazimirski 1 Reprezentacja danych 2 Plan wykładu Systemy liczbowe Zapis dwójkowy liczb całkowitych Działania arytmetyczne Liczby rzeczywiste Znaki i łańcuchy znaków
Bardziej szczegółowoKod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych.
Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych. Jeśli bit znaku przyjmie wartość 0 to liczba jest dodatnia lub posiada wartość 0. Jeśli bit
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Bardziej szczegółowoSamodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoArytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa
Arytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa Michał Rudowicz 171047 Łukasz Sidorkiewicz 170991 Piotr Lemański 171009 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska 26 października 2011 Spis Treści 1 Reprezentacja
Bardziej szczegółowo3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)
3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym
Bardziej szczegółowoZwykle liczby rzeczywiste przedstawia się w notacji naukowej :
Arytmetyka zmiennoprzecinkowa a procesory cyfrowe Prawa algebry stosują się wyłącznie do arytmetyki o nieograniczonej precyzji x=x+1 dla x będącego liczbą całkowitą jest zgodne z algebrą, dopóki nie przekroczymy
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q
LABORAORIUM PROCESORY SYGAŁOWE W AUOMAYCE PRZEMYSŁOWEJ Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q 1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej. Kody stałopozycyjne mają ustalone
Bardziej szczegółowoSystemy zapisu liczb.
Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do informatyki - ć wiczenia
Stałoprzecinkowy zapis liczb wymiernych dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb wymiernych Stałoprzecinkowa bez znaku ze znakiem Zmiennoprzecinkowa pojedynczej
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 3 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Wykład 3 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 1948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoDane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna
Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wyk ad VI
Pracownia Komputerowa wyk ad VI dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby ca kowite
Bardziej szczegółowoSystem liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.
2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja
Bardziej szczegółowoDokładność obliczeń numerycznych
Dokładność obliczeń numerycznych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2016 MOTYWACJA Komputer czasami produkuje nieoczekiwane wyniki >> 10*(1-0.9)-1 # powinno być 0 ans = -2.2204e-016 >>
Bardziej szczegółowoStan wysoki (H) i stan niski (L)
PODSTAWY Przez układy cyfrowe rozumiemy układy, w których w każdej chwili występują tylko dwa (zwykle) możliwe stany, np. tranzystor, jako element układu cyfrowego, może być albo w stanie nasycenia, albo
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne
System binarny Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności October 7, 26 Pojęcie bitu 2 Systemy liczbowe 3 Potęgi dwójki 4 System szesnastkowy 5 Kodowanie informacji 6 Liczby ujemne
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Bardziej szczegółowoPodstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych
1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych Wykład 1 Przybliżenia
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 1 Przybliżenia Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Poprawność obliczeń komputerowych 2
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
2. Arytmetyka komputerowa Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Maciej Trzebiński Mikołaj Biel
Bardziej szczegółowoZestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1
Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 Zapis znak - moduł (ZM) Zapis liczb w systemie Znak - moduł Znak liczby o n bitach zależy od najstarszego bitu b n 1 (tzn. cyfry o najwyższej pozycji): b
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Wykład 2. Reprezentacja liczb w komputerze
Podstawy Informatyki Wykład 2 Reprezentacja liczb w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Bardziej szczegółowoNaturalny kod binarny (NKB)
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2 1 0 wartość 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 wartość 128 64 32 16 8 4 2 1 bity b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 System
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do informatyki - ć wiczenia
Kod uzupełnień do 2 (U2) dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb całkowitych Jak kodowany jest znak liczby? Omó wimy dwa sposoby kodowania liczb ze znakiem:
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki
Wstęp do Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 4 1 / 1 DZIELENIE LICZB BINARNYCH Dzielenie
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł
Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY
Bardziej szczegółowoArytmetyka binarna - wykład 6
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Arytmetyka binarna - wykład 6 Adam Szmigielski aszmigie@pjwstk.edu.pl SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 2 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoPrefiksy binarne. kibibit (Kibit) mebibit (Mibit) gibibit (Gibit) tebibit (Tibit) pebibit (Pibit) exbibit (Eibit) zebibit (Zibit) yobibit (Yibit)
Podstawy Informatyki Wykład 2 Reprezentacja liczb w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład V
Pracownia Komputerowa wykład V dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny system
Bardziej szczegółowoPozycyjny system liczbowy
Arytmetyka binarna Pozycyjny system liczbowy w pozycyjnych systemach liczbowych wkład danego symbolu do wartości liczby jest określony zarówno przez sam symbol, jak i jego pozycję w liczbie i tak np. w
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M
SYSTEMY LICZBOWE SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski):,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M System pozycyjno wagowy: na przykład liczba 444 4 4 4 4 4 4 Wagi systemu dziesiętnego:,,,,...
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoPowtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *
Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoW jaki sposób użyć tych n bitów do reprezentacji liczb całkowitych
Arytmetyka komputerowa Wszelkie liczby zapisuje się przy użyciu bitów czyli cyfr binarnych: 0 i 1 Ile różnych liczb można zapisać używajac n bitów? n liczby n-bitowe ile ich jest? 1 0 1 00 01 10 11 3 000001010011100101110111
Bardziej szczegółowoKod U2 Opracował: Andrzej Nowak
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 3 1 / 42 Reprezentacja liczb całkowitych
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 2
MATEMATYKA 1 Wstęp do informatyki- wykład 2 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy
Bardziej szczegółowoKod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie:
Wykład 3 3-1 Reprezentacja liczb całkowitych ze znakiem Do przedstawienia liczb całkowitych ze znakiem stosowane są następujące kody: - ZM (znak-moduł) - U1 (uzupełnienie do 1) - U2 (uzupełnienie do 2)
Bardziej szczegółowoArytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Bardziej szczegółowoBardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 2
Obliczenia naukowe Wykład nr 2 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowoArytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI
Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne,
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. O arytmetyce komputerów, Czyli jak nie dać się zaskoczyć. Bartek Wilczyński 29.
Obliczenia Naukowe O arytmetyce komputerów, Czyli jak nie dać się zaskoczyć Bartek Wilczyński bartek@mimuw.edu.pl 29. lutego 2016 Plan semestru Arytmetyka komputerów, wektory, macierze i operacje na nich
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Sposoby reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych patrz wykład z Teoretycznych Podstaw
Bardziej szczegółowoARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH
ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok
Bardziej szczegółowoKodowanie informacji. Kody liczbowe
Wykład 2 2-1 Kodowanie informacji PoniewaŜ komputer jest urządzeniem zbudowanym z układów cyfrowych, informacja przetwarzana przez niego musi być reprezentowana przy pomocy dwóch stanów - wysokiego i niskiego,
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27
Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim
Bardziej szczegółowo