W jaki sposób użyć tych n bitów do reprezentacji liczb całkowitych

Transkrypt

1 Arytmetyka komputerowa Wszelkie liczby zapisuje się przy użyciu bitów czyli cyfr binarnych: 0 i 1 Ile różnych liczb można zapisać używajac n bitów? n liczby n-bitowe ile ich jest? n n istnieje n różnychliczbn-bitowych Arytmetyka komputerowa Wykład 8 ARYTMETYKA KOMPUTEROWA, str W jaki sposób użyć tych n bitów do reprezentacji liczb całkowitych żeby zapisać zarówno liczby dodatnie jak ujemne, żeby każdy układ bitów odpowiadał dokładnie jednej liczbie, żeby łatwo wykonywało się podstawowe operacje arytmetyczne Zapis stałopozycyjny liczb: ciągbitówb n 1 b 1 b 0 reprezentujeliczbę ( n i=0 b i i ) b n 1 n 1 =b 0 0 +b b n n b n 1 n 1

2 Arytmetyka komputerowa zapis stałopozycyjny Załóżmy, że liczby są 3-bitowe Wtedy: 000 = = = = = = 011 = = = = 101 = = = = 111 = = 1 Wykład 8 ARYTMETYKA KOMPUTEROWA, str Arytmetyka reszt(arytmetyka modulo n) Sklejamy liczby całkowite: n 1= 1 n=0 n+1=1 Inaczej: każdą liczbę m zastępujemy przezm%n resztęzdzieleniamprzezn Arytmetyka liczb całkowitych na komputerze jest arytmetyką reszt (patrz niżej)

3 Arytmetyka reszt(arytmetyka modulo n) Niechn DEFINICJA: (relacja modulo n) MDwieliczbycałkowitepiqsąrównemodulon,jeślirównesąresztyzich dzielenia przez n: p n q def p%n=q%n Fakt: Mp n q p qjestpodzielneprzezn Fakt: MRelacja n jestrelacjąrównoważnościna Z;tznjest zwrotna: p n p symetryczna: jeśli p n q to q n p przechodnia: jeśli p n q i q n r to p n r Relacja równoważności pozwala podzielić zbiór Z na klasy abstrakcji: do każdej klasy wchodzą liczby o tej samej reszcie z dzielenia przez n Wykład 8 ARYTMETYKA KOMPUTEROWA, str 6 Arytmetyka reszt(arytmetyka modulo n) Sklejenie modulo jest rozdzielne względem dodawania, odejmowania i mnożenia liczb całkowitych: (m+k)%n = (m%n+k%n)%n (13+)%8=(13%8+%8)%8 =(5+)%8=9%8=1 (m k)%n = (m%n k%n)%n (13 6)%8=(13%8 6%8)%8 =(5 )%8=3%8=3 (m k)%n = (m%n k%n)%n (13 6)%8=(13%8 6%8)%8 =(5 )%8=10%8= Sklejenie modulo jest kongruencją względem tych działań

4 Arytmetyka komputerowa ujemne dodatnie arytmetyka 3-bitowa, czyli modulo 3 =8 Arytmetyka liczb całkowitych w języku C w moim komputerze jest czterobajtowa;toznaczymodulo( 8 ) = 8 = 3 Dlategowgniego = bo 65536= 16 ( 16 ( 16 1))% 3 =( 3 16 )% 3 = 16 % 3 Wykład 8 ARYTMETYKA KOMPUTEROWA, str 8 Arytmetyka komputerowa działania Ist10rodzludzi:ci,corozumiejąliczbybinarneici,conierozumieją Binarne dodawanie stałopozycyjne 1+7=? 1= = przeniesienie: składnik 1: 1 czyli: składnik : 7 czyli: suma: czyli 6 + =68

5 Arytmetyka komputerowa działania Ist10rodzludzi:ci,corozumiejąliczbybinarneici,conierozumieją Binarne dodawanie stałopozycyjne 1+( 7)=? zakładamy,żenaliczbęcałkowitąprzypada8bitów 1= =56 7=9= przeniesienie: składnik 1: 1 czyli: składnik: -7czyli: suma: czyli =1 Wykład 8 ARYTMETYKA KOMPUTEROWA, str 10 Arytmetyka komputerowa działania Binarne mnożenie stałopozycyjne 1 7=? zakładamy,żenaliczbęcałkowitąprzypada8bitów 1= = przeniesienie: czynnik 1: 1 czyli: czynnik : 7 czyli: suma: czyli =83

6 Arytmetyka komputerowa zapis zmiennopozycyjny zapis zapis zapis komputerowy tradycyjny przyrodniczy stałopozycyjny 501E E Liczby bardzo duże lub bardzo małe zapisuje się w postaci gdzie 1 mantysa<10 i cecha Z(liczba całkowita) znak mantysa 10 cecha Wewnętrzna komputerowa reprezentacja różni się tym, żepodstawąniejest10tylko Wykład 8 ARYTMETYKA KOMPUTEROWA, str 1 Arytmetyka komputerowa zapis zmiennopozycyjny 1Przedstawićliczbęrzeczywistąxwpostacix=z m c,gdzie znakzjestalbo 1albo1, mantysa m jest liczbą rzeczywistą taką że: m=0lub1 m<, ( ] [ ) cecha c jest liczbą całkowitą O jednoznaczności takiego przedstawienia patrz dalej Cechę zapisujemy binarnie w zwykły sposób(to jest liczba całkowita) 3Mantysęzapisujemypodobnie,zapodstawębiorącjednak 1 zamiast:ciąg m 0 m 1 m reprezentujeliczbę + i=0 (m 0 =1 zawsze) m i i = m 0 0 +m 1 1 +m + każdem itoalbo0albo1 Ucinamynieskończonyciągm 0 m 1 m zależnieodliczbybitówprzeznaczonych na mantysę liczby

7 Arytmetyka komputerowa zapis zmiennopozycyjny MZałóżmy, że poświęcamy: nacechę:8bitów; namantysę:7bitów; naznakliczby:1bit Jakprzedstawićliczbę 1 7? 1 7 = = 7 1 = 7 = ( ) 3 6 znak cecha mantysa /7 Wykład 8 ARYTMETYKA KOMPUTEROWA, str 1 Arytmetyka komputerowa zapis zmiennopozycyjny MZałóżmy, że poświęcamy: nacechę:8bitów; namantysę:7bitów; naznakliczby:1bit Liczba : 61 3 = = 61 8 ( ) znak cecha mantysa /8

8 Arytmetyka komputerowa zapis zmiennopozycyjny MZałóżmy, że poświęcamy: nacechę:8bitów; namantysę:7bitów; naznakliczby:1bit znak cecha mantysa /6 ( ) 7 6 Jaką liczbę przedstawia poniższy układ bitów? = = = Wykład 8 ARYTMETYKA KOMPUTEROWA, str 16 Arytmetyka komputerowa zapis zmiennopozycyjny Własności: x=( 1) s m c Jeślicechacmakbitów,to k 1 c< k 1,więc k 1 c < k 1 (npdlak=8: 1 18 c < ) Im więcej bitów ma cecha, tym większy zakres przedstawianych liczb Jeślimantysammanbitów,toliczbymożnaprzedstawićzdokładnością do 1 n 1 c (npdlan=7dokładnośćdook c ) Im więcej bitów ma mantysa, tym większa dokładność(mniejsze ziarno ) przedstawianych liczb Dokładność jest większa dla liczb bliskich zeru

9 Arytmetyka komputerowa zapis zmiennopozycyjny Im więcej bitów ma cecha, tym większy zakres przedstawianych liczb Im więcej bitów ma mantysa, tym większa dokładność(mniejsze ziarno ) przedstawianych liczb Jeśli przeznaczymy bitynacechę(wartościcechy:, 1,0,1)i 3bitynamantysę (wartościmantysy:0,, 5, 6, 7 ), to potrafimy przedstawić następujące liczby nieujemne: c= c= 1 {}}{{}}{ c=0 {}}{ c=1 {}}{ tylesamopoujemnejstroniezera Wykład 8 ARYTMETYKA KOMPUTEROWA, str 18 Arytmetyka komputerowa zapis zmiennopozycyjny TWIERDZENIE: (jednoznaczność zapisu zmiennopozycyjnego) MZałóżmy,że: 1c 1,c Z(lcałkowite),m 1,m R(lrzeczywiste), 1 m 1 <i1 m <, 3m 1 c 1 =m c Wtedym 1 =m ic 1 =c Dowód twierdzenia o jednoznaczności: Z??wynika 1= m 1 c 1 m c = m 1 m c 1 c Jeślic 1 =c,to c 1 c =1im 1 =m,koniecdowodu Jeślic 1 <c,toc 1 c 1,to c 1 c 1,to1 m 1 Aletoniemożliwe,bom 1 <im 1 m 1,to m 1 m

10 Arytmetyka komputerowa działania Binarne mnożenie zmiennopozycyjne (m 1 c 1 ) (m c )=(m 1 m ) c 1+c M =(17 3 ) (19 9 ) =(17 19) 6 =33 6 (normalizacjawyniku) = =067 Wykład 8 ARYTMETYKA KOMPUTEROWA, str 0 Arytmetyka komputerowa działania Binarne dodawanie zmiennopozycyjne (m 1 c 1 )+(m c )=(m 1 c 1 )+((m c c 1 ) c 1 ) =(m 1 +m c c 1 ) c 1 Dodawanie wymaga przeskalowania jednego składnika; to jest skomplikowane i prowadzi do utraty precyzji M = =19 9 +(17 1 ) 9 = =( ) 9 =

11 Arytmetyka komputerowa działania Utrata precyzji przy dodawaniu MZałóżmy, że poświęcamy na cechę: 8 bitów; na mantysę: 8 bitów ( )+( )=( )+((15 00 ) 100 ) =( ) 100 Ale15 00 wmantysietodwabityprzesuniętewprawoo00pozycji; amantysamaichtylko8;więcpotymprzesunięciuwychodzi0takwięc ( )+( )= chociaż