Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych.
|
|
- Konrad Brzozowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Dr hab. inż. Krystyn Styczeń, prof. PWr Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. Literatura podstawowa T. Kaczorek, Teoria sterowania, PWN Warszawa t.1,1977, t.2,1981. T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa W. Pe lczewski, Teoria sterowania, WNT, Warszawa K. Ogata, Metody przestrzeni stanów w teorii sterowania, WNT, Warszawa, Literatura uzupe lniaj aca H. Górecki, Optymalizacja systemów dynamicznych, PWN, Warszawa J. Zabczyk, Zarys matematycznej teorii sterowania,pwn, Warszawa R. Vinter, Optimal Control, Birkhauser, Boston J.T. Betts, Practical methods for optimal control and estimation using nonlinear programming, SIAM, Philadelphia, Sterowanie jest to celowe oddzia lywanie cz lowieka lub skonstruowanych przez niego urz adzeń na obiekt sterowania (natury technicznej, biologicznej, ekonomicznej) zapewniaj ace przebiegi procesów w obiekcie zgodne z przebiegami poż adanymi tj. zgodne z zadaniem sterowania. Sterowanie jest realizowane za pomoc a urz adzenia steruj acego. Zespó l urz adzenia steruj acego i obiektu sterowania nazywa siȩ uk ladem 1
2 sterowania lub systemem sterowania. 2
3 Wyróżnia siȩ dwie podstawowe struktury uk ladów sterowania: otwarty uk lad sterowania, w którym urz adzenie steruj ace nie korzysta z informacji o aktualnym przebiegu procesów w obiekcie Urz adzenie steruj ace US sterowanie Obiekt sterowania OS wyjście W otwartym uk ladzie sterowania zak ladana jest dok ladna aprioryczna znajomość modelu obiektu. Na tej podstawie określany jest algorytm sterowania - nie uwzglȩdnia on jednak bież acych zmian w obiekcie i może być ma lo dok ladny. zamkniȩty uk lad sterowania, w którym urz adzenie steruj ace korzysta z informacji o aktualnym przebiegu procesów w obiekcie - w uk ladzie tym wprowadzane jest wiȩc sprzȩżenie zwrotne od obiektu do urz adzenia steruj acego. Urz adzenie steruj ace US sterowanie Obiekt sterowania OS wyjście W uk ladach sterowania badane s a przebiegi wielkości charakteryzuj acych obiekt sterowania i urz adzenie steruj ace. Przebiegi te traktowane s a jako funkcje czasu ci ag lego t [t 0, + ) lub jako funkcje czasu dyskretnego k = k 0, k 0 + 1, k 0 + 2,... 3
4 Model matematyczny obiektu (uk ladu) obejmuje wielkości zwi azane z obiektem (uk ladem) i zależności miȩdzy nimi. Z obiektem sterowania o czasie ci ag lym zwi azane s a nastȩpuj ace charakterystyczne wielkości bȩd ace funkcjami czasu ci ag lego: sterowanie u(t) zak lócenie ξ(t) Obiekt sterowania stan obiektu x(t) wyjście y(t) u(t) = (u 1 (t),..., u j (t),..., u m (t)) T - sterowanie obiektu - wektor wielkości, za pomoc a których urz adzenie steruj ace oddzia luje na obiekt, y(t) = (y 1 (t),..., y p (t),..., y q (t)) T - wyjście obiektu - wektor wielkości mierzonych w obiekcie lub wektor wielkości, za pomoc a których obiekt oddzia luje na inne uk lady, ξ(t) = (ξ 1 (t),..., ξ r (t),..., ξ s (t)) T - zak lócenie obiektu - wektor wielkości niekontrolowanych, za pomoc a których otoczenie oddzia luje na obiekt sterowania; zak lócenia mog a być deterministyczne lub losowe, x(t) = (x 1 (t),..., x i (t),..., x n (t)) T - stan obiektu - najmniejszy liczebnie zespó l wielkości, znajomość którego w danej chwili czasu t wraz ze znajomości a wymuszeń u(t) i ξ(t) pocz awszy od chwili t pozwala jednoznacznie określić zachowanie siȩ obiektu w przysz lości tj. przebiegi x(t) i y(t); stan obiektu charakteryzuje wnȩtrze obiektu i reprezentuje jego pamiȩć, w której gromadzone s a skutki przesz lych oddzia lywań na obiekt; wielkości x i (t) nazywane s a wspó lrzȩdnymi stanu lub zmiennymi stanu. Stan obiektu jest na ogó l wielkości a wektorow a i w zwi azku z tym jest nazywany wektorem stanu obiektu. Przestrzeń n-wymiarowa o wspó lrzȩdnych x 1, x 2,..., x n jest zwana przestrzeni a stanu. Krzywa, wzd luż której przebiega wektor stanu w przestrzeni stanu, jest zwana trajektori a stanu obiektu sterowania. Stan obiektu jest w wielu przypadkach określany przez liczbȩ niezależnych zasobników energii w obiekcie. 4
5 Zależności miȩdzy wielkościami charakteryzuj acymi uk lad sterowania o czasie ci ag lym obejmuj a równanie stanu obiektu, które określa jego ewolucjȩ w czasie przyjmuj ac postać równania różniczkowego (liniowego lub nieliniowego) ẋ(t) = f(x(t), u(t), ξ(t), t), x(t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], f : R n R m R q R R n, równanie wyjścia obiektu, które określa powi azania wielkości mierzonych ze stanem obiektu i wymuszeniami zewnȩtrznymi przyjmuj ac postać dynamicznego równania algebraicznego y(t) = g(x(t), u(t), ξ(t), t), t [t 0, t 1 ], g : R n R m R s R R q, równanie urz adzenia steruj acego, które wi aże sterowanie obiektu z jego wyjściem przyjmuj ac postać dynamicznego równania algebraicznego u(t) = ϕ(y(t), t), t [t 0, t 1 ], ϕ : R q R R m. ϕ : R q R R m. Liniowe autonomiczne stacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu ma postać liniowego stacjonarnego równania różniczkowego ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], gdzie A R n n jest macierz a stanu, a B R n m jest macierz a sterowania, równanie wyjścia obiektu ma postać liniowego stacjonarnego równania algebraicznego y(t) = Cx(t), t [t 0, t 1 ], gdzie C R q n jest macierz a wyjścia, 5
6 równanie urz adzenia steruj acego ma postać liniowego stacjonarnego równania algebraicznego u(t) = Ky(t) + ξ(t), t [t 0, t 1 ], gdzie K R m q jest macierz a sprzȩżenia zwrotnego, a ξ(t) może reprezentować zak lócenie nak ladaj ace siȩ na pȩtlȩ sprzȩżenia zwrotnego. Liniowe autonomiczne niestacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu ma postać liniowego niestacjonarnego równania różniczkowego ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], gdzie A(t) R n n jest niestacjonarn a macierz a stanu, a B(t) R n m jest niestacjonarn a macierz a sterowania równanie wyjścia obiektu ma postać liniowego niestacjonarnego równania algebraicznego y(t) = C(t)x(t), t [t 0, t 1 ], gdzie C(t) R q n jest niestacjonarn a macierz a wyjścia, równanie urz adzenia steruj acego ma postać liniowego niestacjonarnego równania algebraicznego u(t) = K(t)y(t) + ξ(t), t [t 0, t 1 ], gdzie K(t) R m q jest niestacjonarn a macierz a sprzȩżenia zwrotnego. Uwzglȩdnienie opóźnień stanu i sterowania w opisie dynamiki obiektu prowadzi do równań stanu w postaci równań różniczkowych z odchylonym argumentem ẋ(t) = f(x(t), x(t h 1 ), u(t), u(t h 2 ), ξ(t), t), gdzie h 1 jest opóźnieniem stanu, a h 2 jest opóźnieniem sterowania. 6
7 Uwzglȩdnienie przestrzennie roz lożonego stanu i sterowania prowadzi do równań stanu w postaci równań różniczkowych o pochodnych cz astkowych x(t, z) t = f(x(t, z), x(t, z)/ z, u(t, z), t, z), gdzie stan uk ladu x(t, z) jest funkcj a czasu t i zmiennej przestrzennej z (lub zmiennych przestrzennych z 1, z 2, z 3 ). W charakterze ważnych przypadków szczególnych procesów sterowania o parametrach roz lożonych można wymienić procesy z przep lywem t lokowym opisywane równaniami o pochodnych cz astkowych pierwszego rzȩdu x(t, z) t x(t, z) = q(t) + f(x(t, z), u(t, z), t, z), z z prȩdkości a przep lywu q(t) oraz procesy z przep lywem t lokowo-dyfuzyjnym opisywane równaniami o pochodnych cz astkowych pierwszego i drugiego rzȩdu x(t, z) t x(t, z) = q(t) + α 2 x(t, z) + f(x(t, z), u(t, z), t, z), z z 2 ze wspó lczynnikiem dyfuzji α. Stosowany jest też uproszczony zapis pochodnych cz astkowych dla procesów t lokowych x t (t, z) = q(t)x z (t, z) + f(x(t, z), u(t, z), t, z), oraz dla procesów t lokowo-dyfuzyjnych x t (t, z) = q(t)x z (t, z) + αx zz (t, z) + f(x(t, z), u(t, z), t, z). 7
8 Z obiektem sterowania o czasie dyskretnym k = k 0, k 0 + 1, k 0 + 2,... zwi azane s a nastȩpuj ace charakterystyczne wielkości bȩd ace funkcjami czasu dyskretnego: Obiekt sterowania sterowanie u(k) stan obiektu x(k) zak lócenie ξ(k) wyjście y(k) u(k) = (u 1 (k),..., u j (k),..., u m (k)) T - sterowanie obiektu z czasem dyskretnym - wektor wielkości zmienianych w chwilach czasu dyskretnego, za pomoc a których urz adzenie steruj ace oddzia luje na obiekt, y(k) = (y 1 (k),..., y p (k),..., y q (k)) T - wyjście obiektu z czasem dyskretnym - wektor wielkości mierzonych w obiekcie w chwilach czasu dyskretnego, ξ(k) = (ξ 1 (k),..., ξ r (k),..., ξ s (k)) T - zak lócenie obiektu z czasem dyskretnym - wektor wielkości niekontrolowanych, za pomoc a których otoczenie oddzia luje na obiekt sterowania w chwilach czasu dyskretnego, x(k) = (x 1 (k),..., x i (k),..., x n (k)) T - stan obiektu z czasem dyskretnym - najmniejszy liczebnie zespó l wielkości, znajomość którego w danej chwili czasu dyskretnego k wraz ze znajomości a wymuszeń u(k) i ξ(k) pocz awszy od chwili k pozwala jednoznacznie określić zachowanie siȩ obiektu z czasem dyskretnym w przysz lości tj. określić przebiegi x(k) i y(k). Zależności miȩdzy wielkościami charakteryzuj acymi uk lad sterowania o czasie dyskretnym obejmuj a równanie stanu obiektu w postaci równania różnicowego (liniowego lub nieliniowego) x(k + 1) = f(x(k), u(k), ξ(k), k), x(k 0 ) = x 0, k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, f : R n R m R s R R n, 8
9 równanie wyjścia obiektu w postaci dyskretnego równania algebraicznego y(k) = g(x(k), u(k), ξ(k), k), k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, g : R n R m R s R R q, równanie urz adzenia steruj acego w postaci dyskretnego równania algebraicznego u(k) = ϕ(y(k), k), k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, ϕ : R q R R m. ϕ : R q R R m. Liniowe dyskretne autonomiczne stacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu w postaci liniowego stacjonarnego równania różnicowego x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(k 0 ) = x 0, k = k 0, k 0 + 1,...k 1, A R n n, B R n m, równanie wyjścia obiektu w postaci liniowego stacjonarnego dyskretnego równania algebraicznego y(k) = Cx(k), k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, C R q n, równanie urz adzenia steruj acego w postaci liniowego stacjonarnego dyskretnego równania funkcyjnego u(k) = Ky(k) + ξ(k), k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, K R m q, gdzie A - macierz stanu uk ladu dyskretnego, B - macierz sterowania uk ladu dyskretnego, C - macierz wyjścia uk ladu dyskretnego, K - macierz 9
10 sprzȩżenia zwrotnego uk ladu dyskretnego. Liniowe dyskretne autonomiczne niestacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu w postaci liniowego niestacjonarnego równania różnicowego x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k), x(k 0 ) = x 0, k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, A(k) R n n, B(k) R n m, równanie wyjścia obiektu w postaci liniowego niestacjonarnego dyskretnego równania funkcyjnego y(k) = C(k)x(k), k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, C(k) R q n, równanie urz adzenia steruj acego w postaci liniowego niestacjonarnego dyskretnego równania funkcyjnego u(k) = K(k)y(k) + ξ(k), k = k 0, k 0 + 1,..., k 1, K(k) R m q, gdzie A(k) - niestacjonarna macierz stanu uk ladu dyskretnego, B(k) - niestacjonarna macierz sterowania uk ladu dyskretnego, C(k) - niestacjonarna macierz wyjścia uk ladu dyskretnego, K(k) - niestacjonarna macierz sprzȩżenia zwrotnego uk ladu dyskretnego. Podstawowe zadania sterowania zwi azane z realizacj a poż adanych procesów w uk ladach sterowania obejmuj a: zadanie sterowania statycznego - zadanie polega na wyborze sta lego w czasie oddzia lywania na obiekt zapewniaj acego sta ly w czasie przebieg stanu obiektu. Poszukujemy takiego statycznego procesu sterowania, który ma duży zapas stabilności i/lub ma l a wrażliwość na zmiany parametrów. Zadanie to odnosi siȩ do autonomicznych obiektów sterowania funkcjonuj acych na d lugim horyzoncie czasowym przy braku zak lóceń, 10
11 zadanie optymalnego sterowania statycznego - zadanie polega na wyborze takiego optymalnego statycznego procesu sterowania, który zapewnia optymaln a wartość wskaźnika jakości procesu (maksymalny poziom produkcji substancji użytecznej, minimalne zużycie substancji surowcowych niezbȩdnych do prowadzenia procesu produkcyjnego, maksymalna selektywność procesu tj. wzglȩdny poziom substancji użytecznej w odniesieniu do poziomu szkodliwej substancji ubocznej), zadanie sterowania docelowego - zadanie polega na przeprowadzeniu obiektu z zadanego stanu pocz atkowego do zadanego stanu końcowego lub do zadanego zbioru stanów końcowych; poszukujemy takiego dynamicznego procesu sterowania, który ma duży zapas stabilności i/lub ma l a wrażliwość na zmiany parametrów, zadanie optymalnego sterowania docelowego - zadanie polega na tym, aby spośród wszystkich trajektorii stanu przeprowadzaj acych obiekt z zadanego stanu pocz atkowego do zadanego stanu końcowego wybrać trajektoriȩ optymaln a, dla której minimalizowany jest wskaźnik jakości procesu np. czas realizacji procesu (zadanie sterowania minimalnoczasowego) lub straty energetyczne na sterowanie (zadanie sterowania minimalnoenergetycznego), zadanie sterowania okresowego - zadanie polega na zastosowaniu okresowych oddzia lywań steruj acych na obiekt, które zapewniaj a poż adane uśrednione charakterystyki procesów zachodz acych w obiekcie np. kompensuj a okresowe zak lócenia oddzia luj ace na obiekt, zadanie optymalnego sterowania okresowego - zadanie polega na tym, aby spośród wszystkich okresowych oddzia lywań steruj acych wybrać takie, które zapewni optymalny uśredniony wskaźnik jakości procesu np. jego maksymaln a średni a wydajność, zadanie optymalnego sterowania stochastycznego- zadanie polega na tym, aby zminimalizować wartość oczekiwan a wskaźnika jakości dla uk ladu sterowania, na który oddzia luj a zak lócenia przypadkowe, zadanie sterowania adaptacyjnego - zadanie polega na modyfikacji sterowania uwzglȩdniaj acej zmiany parametrów uk ladu, 11
12 zadanie regulacji stanu - zadanie polega na tym, aby na podstawie pomiaru wyjścia obiektu określić tak a korektȩ sterowania, która zniweluje odchylenie aktualnej trajektorii stanu od jej nominalnego przebiegu; zadanie to realizowane jest wiȩc w uk ladzie ze sprzȩżeniem zwrotnym, zadanie optymalnej regulacji stanu - zadanie polega na wyborze optymalnego sterowania koryguj acego przebieg trajektorii stanu, które np. minimalizuje straty energetyczne na sterowanie koryguj ace. Podstawowe zagadnienia zwi azane z realizacj a zadań sterowania to: badanie stabilności uk ladów sterowania tj. badanie wrażliwości nominalnej trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego; zaburzona trajektoria stanu uk ladu niestabilnego może nieograniczenie oddalać siȩ od trajektorii poż adanej powoduj ac awariȩ uk ladu (uszkodzenie mechaniczne wskutek nadmiernego naprȩżenia wa lu silnika, pożar instalacji wskutek nadmiernie narastaj acej temperatury uk ladu, wybuch nadmiernie sprȩżonego sk ladnika chemicznego procesu produkcyjnego), badanie wrażliwości parametrycznej uk ladów sterowania tj. badanie wrażliwości nominalnej trajektorii stanu na zaburzenia parametrów uk ladu, badanie sterowalności uk ladów sterowania tj. badanie istnienia sterowania docelowego przeprowadzaj acego obiekt z zadanego stanu pocz atkowego do zadanego stanu końcowego; w zwi azku z tym określane s a warunki ca lkowitej lub czȩściowej sterowalności uk ladu, badanie obserwowalności uk ladów sterowania tj. określanie warunków, przy których na podstawie znajomości sterowania i wyjścia uk ladu można jednoznacznie określić stan uk ladu; w zwi azku z tym określane s a warunki ca lkowitej lub czȩściowej obserwowalności uk ladu, synteza uk ladów sterowania o zadanych w lasnościach dynamicznych np. synteza uk ladu o zadanych wartościach w lasnych macierzy stanu, dla których uk lad sterowania ma duży zapas stabilności i ma l a oscylacyjność, 12
13 synteza wejściowo-wyjściowych uk ladów sterowania o zadanych zerach i biegunach transmitancji operatorowej zapewniaj acych zarówno duż a dok ladność jak i stabilność uk ladu sterowania, synteza obserwatorów stanu uk ladów sterowania zapewniaj acych dok ladne lub przybliżone odtwarzanie stanu uk ladu, badanie algorytmów sterowania optymalnego tj. określanie warunków ich zbieżności i szybkości ich zbieżności. Metody teorii sterowania stosowane s a do projektowania i optymalizacji uk ladów mechanicznych, elektromechanicznych, chemicznych procesów produkcyjnych, procesów biotechnologicznych i wielu innych. 13
14 Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a i(t) tarcza obrotowa θ(t), Ω(t) U(t) silnik rewersyjny przek ladnia Wielkości fizyczne zwi azane z uk ladem: θ(t) - po lożenie k atowe tarczy w chwili t, Ω(t) - prȩdkość k atowa tarczy w chwili t, i(t) - natȩżenie pr adu obwodu steruj acego silnika w chwili t, U(t) - napiȩcie obwodu steruj acego silnika w chwili t, Z tarcz a zwi azane s a przetworniki w postaci uk ladu mostkowego przetwarzaj acego jej po lożenie k atowe na napiȩcie U 1 (t) oraz pr adnicy tachometrycznej przetwarzaj acej jej prȩdkość k atow a na napiȩcie U 2 (t). Zależności miȩdzy wielkościami fizycznymi uk ladu: pochodna po lożenia k atowego tarczy określa jej prȩdkość k atow a θ(t) = Ω(t), θ(t 0 ) = θ 0, t [t 0, t 1 ], pochodna prȩdkości k atowej tarczy (przyspieszenie tarczy) jest proporcjonalna do natȩżenia pr adu obwodu steruj acego silnika ze wspó lczynnikiem proporcjonalności b Ω(t) = b i(t), Ω(t 0 ) = Ω 0, t [t 0, t 1 ], napiȩcia wyjściowe przetworników s a proporcjonalne do mierzonych wielkości U 1 (t) = c 1 θ(t), U 2 (t) = c 2 Ω(t), t [t 0, t 1 ], gdzie c 1 i c 2 s a wspó lczynnikami proporcjonalności przetworników. Jeśli stosujemy sprzȩżenie zwrotne to wielkości a steruj ac a staje siȩ napiȩcie obwodu steruj acego silnika U(t) powi azane np. liniowo z napiȩciami 14
15 wyjściowymi przetworników U(t) = k 1 U 1 (t) + k 2 U 2 (t), t [t 0, t 1 ], gdzie k 1 i k 2 s a wspó lczynnikami sprzȩżenia zwrotnego. Stosujemy standardowe oznaczenia teorii sterowania: x 1 (t) =. θ(t), x 2 (t) =. Ω(t) - zmienne stanu uk ladu, u(t) =. i(t) - zmienna steruj aca uk ladu, y 1 (t) =. U 1 (t), y 2 (t) =. U 2 (t) - zmienne wyjściowe uk ladu. Zapisujemy równania stanu uk ladu ẋ 1 (t) = x 2 (t), t [t 0, t 1 ], x 1 (t 0 ) = x 10, ẋ 2 (t) = b u(t), t [t 0, t 1 ], x 2 (t 0 ) = x 20 równania wyjścia uk ladu, y 1 (t) = c 1 x 1 (t), y 2 (t) = c 2 x 2 (t), t [t 0, t 1 ], oraz równanie sprzȩżenia zwrotnego u(t) = k 1 y 1 (t) + k 2 y 2 (t), t [t 0, t 1 ]. Celem sterowania może być minimalizacja strat energetycznych na sterowanie lub minimalizacja czasu realizacji zadania sterowania. Wskaźniki jakości procesu sterowania docelowego tarcz a obrotow a tj. procesu przestawiania tarczy z zadanego po lożenia pocz atkowego do zadanego po lożenia końcowego mog a wiȩc przybierać postać: dla sterowania minimalnoenergetycznego Q = t1 t 0 u 2 (t)dt, a dla sterowania minimalnoczasowego Q = t1 t 0 dt = t 1 t 0. Jeśli stosujemy sprzȩżenie zwrotne to sterowanie minimalnoenergetyczne można zrealizować w uk ladzie z liniowym sprzȩżeniem zwrotnym, zaś sterowanie minimalnoenergetyczne - w uk ladzie z nieliniowym sprzȩżeniem zwrotnym. 15
16 nym Przyk lad: Sterowanie statyczne chemicznym procesem produkcyj- Proces syntezy A+B C Do zbiornikowego reaktora chemicznego wprowadzane s a substancje surowcowe A i B. W reaktorze zachodzi proces syntezy A+B C, gdzie C jest produktem użytecznym. Niech c A0 i c B0 oznaczaj a stȩżenia substancji A i B na wejściu reaktora, zaś c A i c B - stȩżenia tych substancji w reaktorze. Statyczne równania stanu procesu wynikaj ace z bilansu masy dla sk ladników A i B przybieraj a postać q 1 c A0 qc A κc p 1 A cp 2 B = 0, q 2 c B0 qc B κc p 1 A cp 2 B = 0, gdzie q 1 jest natȩżeniem dop lywu substancji A do reaktora, q 2 jest natȩżeniem dop lywu substancji B do reaktora, q = q 1 + q 2 jest natȩżeniem wyp lywu mieszaniny reaguj acej z reaktora, κ jest wspó lczynnikiem szybkości reakcji, a p 1 i p 2 s a wspó lczynnikami określaj acymi rz ad reakcji syntezy. Suma stȩżeń sk ladników reakcji jest sta la: c A + c B + c C = 1. Na podstawie tego równania można wyeliminować zmienn a c C = 1 c A c B. Zmienne steruj ace - stȩżenia substancji A i B na wejściu reaktora u 1 = c A0 i u 2 = c B0. Zmienne stanu - stȩżenia substancji A i B w reaktorze x 1 = c A i x 2 = c B. Zmienna wyjściowa - stȩżenie produktu użytecznego w strumieniu wyjściowym y = 1 c A c B. 16
17 Statyczne równania stanu obiektu: Statyczne równanie wyjścia: q 1 u 1 qx 1 κx p 1 1 x p 2 2 = 0, q 2 u 2 qx 2 κx p 1 1 x p 2 2 = 0, y = 1 x 1 x 2. Przedstawiony model opisuje proces sterowania przebiegaj acy w sta lej temperaturze tj. proces izotermiczny. Jeśli reaktor wyposażyć w obwód grzejny wymuszaj acy temperaturȩ T w reaktorze, to wspó lczynnik szybkości szybkości reakcji staje siȩ funkcj a temperatury zgodnie z prawem Arrheniusa κ(t ). = κ 0 e β/t, gdzie κ 0 i β s a dodatnimi parametrami. Zmieniaj ac natȩżenie dop lywu czynnika grzejnego możemy wp lywać na temperaturȩ procesu i traktować j a jako dodatkowe sterowanie u 3 = T. Statyczne równania stanu ze sterowaniem temperaturowym przybior a postać q 1 u 1 qx 1 κ 0 e β/u 3 x p 1 1 x p 2 2 = 0, q 2 u 2 qx 2 κ 0 e β/u 3 x p 1 1 x p 2 2 = 0, Oprócz równań stanu uwzglȩdnić należy także ograniczenia zakresu zmiennych procesowych u i u i u + i, x i x i x + i i = 1, 2, 3. Dla szeregu procesów sterowania statyczne s a ustalone na poziomach wynikaj acych z ograniczonych średnich wydajności źróde l surowców i energii tj. u i = ū i, i = 1, 2, 3. Określeniu podlegaj a wtedy statyczne przebiegi zmiennych stanu. Celem sterowania może być maksymalizacja wydajności procesu tj. minimalizacja wyrażenia x 1 + x 2. 17
18 Przyk lad: Sterowanie wsadowym chemicznym procesem produkcyjnym zbiornikowy reaktor chemiczny t 0, A proces przemiany A B obwód grzejny T t 1, A,B Do zbiornikowego reaktora chemicznego za ladowany zostaje w chwili t 0 substrat A (substancja surowcowa). Ulega on przemianie w produkt użyteczny B pod wp lywem katalizatora K w wyniku egzotermicznej reakcji przemiany A B. Reaktor zostaje roz ladowany w chwili t 1. temperaturȩ procesu można wp lywać za pomoc a obwodu grzejnego zainstalowanego w reaktorze. Wielkości fizyko-chemiczne zwi azane z procesem: c A (t) - stȩżenie substratu A w reaktorze w chwili t, T (t) - temperatura w reaktorze w chwili t, T 0 (t) - temperatura czynnika grzejnego na wejściu reaktora, Zależności miȩdzy wielkościami fizyko-chemicznymi procesu: szybkość zmiany stȩżenia substratu A (i produktu użytecznego B) w reaktorze określona jest przez szybkość reakcji A B zależn a od aktualnego stȩżenia A w reaktorze i temperatury mieszaniny reaguj acej zgodnie z prawem Arrheniusa ċ A (t) = a e b/t (t) c 2 A(t), t [t 0, t 1 ], c A (t 0 ) = c A0, szybkość zmiany temperatury w reaktorze zależy od przebiegu temperatury wejściowej i szybkości poch laniania ciep la przez reakcjȩ T (t) = T 0 (t) c e b/t (t) c 2 A(t), t [t 0, t 1 ], T (t 0 ) = T 0, 18 Na
19 gdzie a, b i c s a parametrami procesu. Jeśli określony jest poż adany przebieg temperatury na wejściu reaktora ˆT 0 (t) i w reaktorze ˆT (t) (np. przebieg optymalny w sensie pewnego wskaźnika jakości), to zaburzenie tego przebiegu może być regulowane za pomoc a sprzȩżenia zwrotnego T 0 (t) = ˆT 0 (t) k(t (t) ˆT (t)), gdzie k jest wspó lczynnikiem sprzȩżenia zwrotnego. Stosujemy standardowe oznaczenia teorii sterowania: u(t) =. T 0 (t) - zmienna steruj aca procesu, x 1 (t) =. c A (t), x 2 (t) = T (t) - zmienne stanu procesu, y(t) =. T (t) - zmienna wyjściowa procesu. Zapisujemy równania stanu procesu ẋ 1 (t) = a e b/x2(t) x 2 1(t), t [t 0, t 1 ], x 1 (t 0 ) = x 10, ẋ 2 (t) = u(t) c a e b/x2(t) x 2 1(t), t [t 0, t 1 ],, x 2 (t 0 ) = x 20 równanie wyjścia procesu, y(t) = x 2 (t), t [t 0, t 1 ], oraz równanie sprzȩżenia zwrotnego procesu u(t) = û(t) k (x 2 (t) ˆx 2 (t), t [t 0, t 1 ]. Wskaźnik jakości procesu sterowania wsadowym chemicznym procesem produkcyjnym może przybierać postać kombinacji kosztów nagrzewania i wartości produktu użytecznego Q = t1 t 0 u(t)dt d (1 x 1 (t 1 )), gdzie d jest wspó lczynnikiem wartości tego produktu. Cel sterowania jest wiȩc równoważny maksymalizacji zysku z prowadzenia procesu. 19
20 Przyk lad: przep lywowym Sterowanie procesem biotechnologicznym w bioreaktorze bioreaktor przep lywowy S 0 (t) proces przemiany S P S(t), P (t) Rozważmy proces sterowania stȩżeniem wejściowym substratu S wprowadzanego do zbiornikowego bioreaktora przep lywowego, gdzie zachodzi jego przemiana w biomasȩ dokonywana przez populacjȩ mikrobiologiczn a P umieszczon a w bioreaktorze (lub przemiana w produkt metabolizmu tej populacji). Substratem może być specjalnie dobrana pożywka dla populacji P (produkcja farmaceutyków), a także ścieki lub odpady (procesy biooczyszczania). t. Wielkościami fizyko-biochemicznymi zwi azanymi z procesem s a: S 0 (t) - stȩżenie substratu S na wejściu bioreaktora w chwili t, S(t) - stȩżenie substratu S w bioreaktorze w chwili t, P (t) - stȩżenie populacji mikrobiologicznej P w bioreaktorze w chwili Zależności miȩdzy wielkościami fizyko-chemicznymi procesu: szybkości zmiany stȩżenia substratu i populacji s a określone przez wielkości dop lywu i odp lywu biosk ladników procesu oraz przez szybkość przetwarzania substratu przez populacjȩ Ṡ(t) = q(s 0 (t) S(t) a P (t) = qp (t) + c S(t) b + S(t) P (t), S(t 0) = S 0, t [t 0, t 1 ], t 1 >> t 0, S(t) b + S(t) P (t), P (t 0) = P 0, t [t 0, t 1 ], gdzie a, b i c s a parametrami funkcji przyrostu populacji, zaś q jest natȩżeniem przep lywu biomieszaniny przez bioreaktor. 20
21 Stosujemy standardowe oznaczenia teorii sterowania: u(t). = S 0 (t) - zmienna steruj aca procesu tj. substratu w chwili t, stȩżenie wejściowe x 1 (t). = S(t), x 2 (t). = P (t) - zmienne stanu procesu tj. stȩżenia substratu i populacji w reaktorze w chwili t, Zapisujemy równania stanu procesu: ẋ 1 (t) = q(u(t) x 1 (t)) a ẋ 2 (t) = qx 2 (t) + c x 1 (t) b + x 1 (t) x 2(t), x 1 (t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], x 1 (t) b + x 1 (t) x 2(t), x 1 (t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ]. Dla niektórych bioprocesów charakterystyczne jest opóźnienie szybkości przyrostu populacji po zmianie stȩżenia substratu. Równania stanu bioprocesu przybieraj a wtedy postać równań różniczkowych z odchylonym argumentem ẋ 1 (t) = q (u(t) x 1 (t)) a ẋ 2 (t) = q x 2 (t) + c x 1 (t) b + x 1 (t) x 2(t), x 1 (t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], x 1 (t h) b + x 1 (t h) x 2(t), x 1 (t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], gdzie h jest opóźnieniem szybkości przyrostu populacji po zmianie stȩżenia substratu. Celem sterowania może być w tym przypadku maksymalizacja sumarycznego uzysku biomasy tj. maksymalizacja wskaźnika jakości procesu postaci t1 t 0 qx 2 (t)dt. 21
22 Przyk lad: Sterowanie mechanicznym oscylatorem ściana podstawowa amortyzator sprȩżynowy Maszyna M si la stabilizuj aca Po lożenie l(t) maszyny M stabilizowane jest w punkcie l = 0 (po lożenie neutralne) za pomoc a si ly stabilizuj acej F (t) i amortyzatora sprȩżynowego o wspó lczynniku sprȩżystości a. Podstawowe równanie ruchu maszyny M odzwierciedla redukcjȩ jej przyspieszenia przez amortyzator proporcjonalnie do jej odchylenia od po lożenia neutralnego i proporcjonalnie do si ly stabilizuj acej F (t). : l(t) = al(t) F (t), l(t 0 ) = l 0, l(t0 ) = l 0, t [t 0, t 1 ]. Równanie ruchu swobodnego maszyny (F (t) = 0) przybiera postać l(t) = al(t), l(t 0 ) = l 0, l(t0 ) = l 0, t [t 0, t 1 ]. Ostatnie równanie posiada równanie charakterystyczne r 2 = ar, którego pierwiastki s a urojone r 1,2 = ±j a. Oznaczaj ac ω =. a możemy zapisać rozwi azanie równania ruchu swobodnego jak nastȩpuje l(t) = C 1 cos ωt + C 2 sin ωt, t [t 0, t 1 ], gdzie sta le C 1 i C 2 s a określone przez warunki poczatkowe. Tak wiȩc ruch swobodny maszyny M ma charakter oscylacyjny. Obiekt sterowania można określić mianem oscylatora mechanicznego. Jeśli uk lad jest wyposażony oprócz amortyzatora sprȩżynowego także w t lumik i wprowadzone s a dwa oddzia lywania zewnȩtrzne - stabilizuj ace F 1 (t) i t lumi ace drgania pochodz ace z otoczenia F 2 (t), to równanie ruchu maszyny przybierze postać l(t) = a 1 l(t) a 2 l(t) F1 (t) F 2 (t), 22
23 l(t 0 ) = l 0, l(t0 ) = l 0, t [t 0, t 1 ], gdzie a 1 jest wspó lczynnikiem sprȩżystości amortyzatora, zaś a 2 - wspó lczynnikiem t lumienia t lumika. Amortyzator może wykazywać dzia lanie nieliniowe stabilizuj ace przy wiȩkszych odchyleniach obiektu od po lożenia równowagi l(t) = a 1 l(t) a 11 l 3 (t) a 2 l(t) F1 (t) F 2 (t), l(t 0 ) = l 0, l(t0 ) = l 0, t [t 0, t 1 ], oraz dzia lanie nieliniowe destabilizuj ace obiekt przy takich odchyleniach (tzw. efekt miȩkkiej sprȩżyny) l(t) = a 1 l(t) + a 11 l 3 (t) a 2 l(t) F1 (t) F 2 (t), l(t 0 ) = l 0, l(t0 ) = l 0, t [t 0, t 1 ], gdzie a11 jest wspó lczynnikiem sprȩżystości nieliniowej sk ladowej amortyzatora. W innych sytuacjach r ownież dzia lanie t lumika ma nieliniowy charakter l(t) = a 1 l(t) a 2 l 2 (t)sign( l(t)) F 1 (t) F 2 (t), l(t 0 ) = l 0, l(t0 ) = l 0, t [t 0, t 1 ], gdzie funkcja znaku sign jest wprowadzona dlatego, aby si la oporu by la zawsze przeciwna do prȩdkości. Zak ladamy, że zarówno po lożenie l(t) maszyny jak i jej prȩdkość l(t) s a mierzone za pomoc a przetworników reprezentuj acych te wielkości w postaci sygna lów napiȩciowych U 1 (t) i U 2 (t) (ze wspó lczynnikami proporcjonalności c 1 i c 2 ), które mog a być wykorzystane w pȩtli sprzȩżenia zwrotnego do generowania si ly stabilizuj acej F (t) w odpowiednim uk ladzie napiȩciowym. Stosujemy oznaczenia standardowe teorii sterowania do modelu oscylatora mechanicznego: x 1 (t) =. l(t), x 2 (t) =. l(t) - zmienne stanu oscylatora, u 1 (t) =. F 1 (t), u 2 (t) =. F 2 (t) - zmienne steruj ace oscylatora, 23
24 y 1 (t) =. U 1 (t), y 2 (t) =. U 2 (t) - zmienne wyjściowe oscylatora, równania stanu liniowego oscylatora mechanicznego ẋ 1 (t) = x 2 (t), x 1 (t 0 = 0, t [t 0, t 1 ], ẋ 2 (t) = a 1 x 1 (t) a 2 x 2 (t) b 1 u 1 (t) b 2 u 2 (t), x 2 (t 0 = 0, t [t 0, t 1 ], gdzie b 1 i b 2 s a wspó lczynnikami normalizacyjnymi sterowania, równania wyjścia oscylatora mechanicznego y 1 (t) = c 1 x 1 (t), t [t 0, t 1 ], y 2 (t) = c 2 x 2 (t), t [t 0, t 1 ], równania stanu oscylatora mechanicznego z nieliniowym amortyzatorem ẋ 1 (t) = x 2 (t), x 1 (t 0 = 0, t [t 0, t 1 ], ẋ 2 (t) = a 1 x 1 (t)±a 11 x1 3 (t) a 2 x 2 (t) b 1 u 1 (t) b 2 u 2 (t), x 2 (t 0 = 0, t [t 0, t 1 ], równania stanu oscylatora mechanicznego z nieliniowym t lumikiem ẋ 1 (t) = x 2 (t), x 1 (t 0 = 0, t [t 0, t 1 ], ẋ 2 (t) = a 1 x 1 (t) a 2 x 2 2(t)sign(x 2 (t)) b 1 u 1 (t) b 2 u 2 (t), x 2 (t 0 = 0, t [t 0, t 1 ]. 24
Wprowadzenie do teorii sterowania
Wprowadzenie do teorii sterowania Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa 1996. T. Kaczorek, Teoria
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych
Politechnika Wroc lawska Wydzia l Elektroniki Katedra K8 Prof. dr hab. inż. Krystyn Styczeń http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoLiniowe uk lady sterowania.
Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa
Bardziej szczegółowoSterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.
Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoSynteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.
Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych
Bardziej szczegółowoliniowych uk ladów sterowania
Sterowalność i obserwowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t),
Bardziej szczegółowoUogólnione modele uk ladów sterowania
Uogólnione modele uk ladów sterowania Różniczkowo-algebraiczne modele uk ladów sterowania Analiza w lasności wielu uk ladów sterowania wymaga uogólnienia modeli procesów zachodz acych w tych uk ladach.
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod sterowania optymalnego
Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Pojȩcie procesu sterowania obejmuje zestaw trajektorii stanu i sterowania (x, u) X U, gdzie X jest przestrzeni a trajektorii stanu, a U jest przestrzeni a sterowania.
Bardziej szczegółowoOpis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk
Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila
Bardziej szczegółowoZasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu.
Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych z czasem ci ag lym W podstawowym problemie sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L Ćwiczenia METODY PRZYBLIŻONE ROZWIA ZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA METODA WARIACYJNA metoda wariacyjna ĤΨ n = E n Ψ n Ψ n ortonormalne Szukamy rozwi azań dla stanu podstawowego,
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoStabilność liniowych uk ladów sterowania
Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoProjektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych
Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Niech bȩdzie dany uk lad sterowania taki, że nie wszystkie jego zmienne stanu s a bezpośrednio dostȩpne (mierzalne. Uk lad pozwalaj
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoAnalityczne metody detekcji uszkodzeń
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 5 Model procesu Rozważmy czasowo-dyskretny model liniowy gdzie: k dyskretny czas, x(k) R n wektor stanu, x(k + 1) = Ax(k)
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne
Sterowanie optymalne Sterowanie Procesami Ciągłymi 2017 Optymalizacja statyczna funkcji Funkcja celu/kryterialna/kosztów Ograniczenie Q(x) min x x = arg min Q(x) x x X, gdzie X zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoProcedura modelowania matematycznego
Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:
Bardziej szczegółowoSterowanie napędów maszyn i robotów
Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014 Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Zadanie przestawiania Postać modalna
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoTematyka egzaminu z Podstaw sterowania
Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................
Bardziej szczegółowostosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv
Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego
Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowow = w i ξ i. (1) i=1 w 1 w 2 :
S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 11.III.2005 1 I. MACIERZ LINIOWEGO ODWZOROWANIA PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Wyobraźmy sobie, że przestrzeń wektorowa W jest zbudowana z kombinacji liniowych n liniowo
Bardziej szczegółowoMetody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego
Metody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego Problem optymalnego sterowania procesem dynamicznym może polegać na polega na minimalizacji wskaźnika jakości obejmuj acego koszty
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoMechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych
Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych 1 Sterowanie procesem oparte na jego modelu u 1 (t) System rzeczywisty x(t) y(t) Tworzenie
Bardziej szczegółowoRegulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego
Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego kwiecień 2012 Sterowanie Teoria Przykład wahadła na wózku Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan
Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Czym jest AUTOMATYKA? Automatyka to dziedzina nauki i techniki zajmująca się teorią i praktycznym zastosowaniem urządzeń
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoSterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model w przestrzeni stanów Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Do zaprojektowania układu regulacji pozycji siłownika pneumatycznego, poszukiwany jest model dynamiki układu w
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA. Spis pojȩċ teoretycznych
1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA Spis pojȩċ teoretycznych 1. Podstawowe pojȩcia: doświadczenie losowe, zdarzenie elementarne, zdarzenie losowe, przestrzeń zdarzeń elementarnych, zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoInżynieria Systemów Dynamicznych (4)
Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ
Bardziej szczegółowoPo wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej:
ROZDZIA L Metoda sympleksowa Motto: Matematyka nie może wype lnić życia ale jej nieznajomość już niejednemu je wype lni la H Steinhaus Tablica sympleksowa Rozważmy ZPL w postaci klasycznej maksymalizować
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowoTransmitancje układów ciągłych
Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowoSZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA
SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 z y 0 x Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 2018 1 1 Projekt trzynasty
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowoZadania o liczbach zespolonych
Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoOddzia lywania miedzycz. jony molekularne lub atomy. edzy A i B:
Notatki do wyk ladu XIII Oddzia lywania miedzycz asteczkowe A i B zamknietopow lokowe czasteczki, jony molekularne lub atomy. Energia oddzia lywania E oddz mi edzy A i B: E oddz = E AB (E A + E B ) ()
Bardziej szczegółowoAnaliza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV
Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Odtwarzanie rozk ladów za pomoc a danych Monte Carlo Jakub Cholewiński, pod opiek a dr hab. Krzysztofa Woźniaka 31 lipca 2015 r. Jakub Cholewiński, pod
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoTrigonometria. Funkcje trygonometryczne
1 Trigonometria. Funkcje trygonometryczne Trigonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trigonometria by lo używane w czasach starożytnych
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
23 kwietnia 2014 Korelacja - wspó lczynnik korelacji 1 Gdy badamy różnego rodzaju rodzaju zjawiska (np. przyrodnicze) możemy stwierdzić, że na każde z nich ma wp lyw dzia lanie innych czynników; Korelacja
Bardziej szczegółowoI. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: SYSTEMY DYNAMICZNE 2. Kod przedmiotu: Esd 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Techniki Komputerowe
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 7 - obiekty regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 7 - obiekty regulacji Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Obiekty regulacji Obiekt regulacji Obiektem regulacji nazywamy proces technologiczny podlegający oddziaływaniu zakłóceń, zachodzący
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoZasada maksimum Pontriagina
25.04.2015 Abstrakt Wiele zagadnień praktycznych dotyczących układów dynamicznych wymaga optymalizacji pewnych wielkości. Jednakże zwykła teoria gładkich układów dynamicznych zajmuje się jednak tylko opisem
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki Zbiór zadań dla studentów II roku AiR oraz MiBM
Aademia GórniczoHutnicza im. St. Staszica w Kraowie Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyi Katedra Automatyzacji Procesów Podstawy Automatyi Zbiór zadań dla studentów II rou AiR oraz MiBM Tomasz Łuomsi
Bardziej szczegółowo{E n ( k 0 ) + h2 2m (k2 k 2 0 )}δ nn + h m ( k k 0 ) p nn. c nn = E n ( k)c nn (1) gdzie ( r)d 3 r
to w pobliżu dna (lub szczytu) pasma (k k 0 ) zależność E(k) jest paraboliczna ale z mas a m m 0 Jeśli pasma nie s a energetycznie dobrze separowalne lub energetycznie zdegenerowane (kwazizdegenerowane)
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia liczby ɛ = fl() B l ad wzglȩdny zaokr aglenia liczby 0 δ = fl() B l ad procentowy zaokr aglenia liczby 0
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Instytut Automatyki i Robotyki. Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny PODSTAWY AUTOMATYKI
Politechnika Warszawska Instytut Automatyki i Robotyki Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny PODSTAWY AUTOMATYKI 12. Regulacja dwu- i trójpołożeniowa (wg. Holejko, Kościelny: Automatyka procesów ciągłych)
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera Arkadiusz Syta A. Syta (Politechnika Lubelska) 1 / 19 Wstęp Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i funkcji Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoSterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi
Bardziej szczegółowoObiekt. Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany).
SWB - Systemy wbudowane w układach sterowania - wykład 13 asz 1 Obiekt sterowania Wejście Obiekt Wyjście Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany). Fizyczny obiekt (proces, urządzenie)
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2017/2018
Bardziej szczegółowou nk = n c nn u n 0 wyznacza siȩ empirycznie (elementy przejść) lub próbuje oszacować w obliczeniach typu ab initio Rachunek zaburzeń Löwdina
Jeśli pasma nie s a energetycznie dobrze separowalne lub energetycznie zdegenerowane (kwazizdegenerowane) to ich wzajemny wp lyw musi być uwzglȩdniony wariacyjnie - w I rzȩdzie RZ dla stanow zdegenerowanych
Bardziej szczegółowoTEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l
TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r
Bardziej szczegółowoAsymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0 2 1 0 3 1 2 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE
Bardziej szczegółowoMetody rzutowania i funkcji barierowych dla problemów sterowania optymalnego
Metody rzutowania i funkcji barierowych dla problemów sterowania optymalnego Problem optymalnego sterowania procesem dynamicznym z ograniczeniami zasobowymi może polegać na polega na minimalizacji wskaźnika
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoSterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi
Bardziej szczegółowo