Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.

Transkrypt

1 Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji podlega ca lkowy wskaźnik jakości G(x, u). = t 0 g(x(t), u(t), t)dt z uwzglȩdnieniem ograniczeń w postaci równania stanu procesu ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t 0, t 1 ] z zadanym warunkiem pocz atkowym x(t 0 ) = x 0 oraz ograniczeń w postaci dopuszczalnego chwilowego zakresu wartości sterowania u(t) U, t [t 0, t 1 ], gdzie funkcje g : R n R m R R, f : R n R m R R n s a, ogólnie bior ac, nieliniowe. Przyjmujemy nastȩpuj ace za lożenia: 1. Funkcje g i f s a różniczkowalne w sposób ci ag ly wzglȩdem stanu x i ci ag le wzglȩdem sterowania u i czasu t, 2. Sterowania dopuszczalne s a funkcjami przedzia lami ci ag lymi o skończonej liczbie nieci ag lości pierwszego rodzaju, tj. u P C([t 0, t 1 ], R m ). Dla pochodnych funkcji g i f wzglȩdem stanu stosujemy oznaczenia g x (x, u, t), f x (x, u, t). 1

2 Definiujemy funkcjȩ Hamiltona (hamiltonian) w postaci H(λ(t), x(t), u(t), t) = g(x(t), u(t), t) + λ (t)f(x(t), u(t), t). Oznaczaj ac iloczyn skalarny wektorów x y jako x, y możemy zapisać hamiltonian w postaci równoważnej H(λ(t), x(t), u(t), t) = g(x(t), u(t), t) + λ(t), f(x(t), u(t), t). Zasada maksimum Pontriagina jako warunek konieczny optymalności procesu sterowania wierdzenie: Jeśli (x o, u o ) jest optymalnym procesem sterowania dla problemu podstawowego, to istnieje zmienna kostanu (zmienna sprzȩżona) λ o spe lniaj aca równanie kostanu (równanie sprzȩżone) λ o (t) = fx (x o (t), u o (t), t)λ o (t) + gx (x o (t), u o (t), t), t [t 0, t 1 ] z warunkiem końcowym λ o (t 1 ) = 0 i taka, że sterowanie optymalne u o maksymalizuje na zbiorze U (w sensie globalnym) hamiltonian problemu dla prawie wszystkich t [t 0, t 1 ] tj. czyli H(λ o (t), x o (t), u o (t), t) = max u(t) U H(λo (t), x o (t), u(t), t) u o (t) = arg max u(t) U H(λo (t), x o (t), u(t), t). Warunek maksymalizacji hamiltonianu można też zapisać w postaci H(λ o (t), x o (t), u o (t), t) H(λ o (t), x o (t), u(t), t) u U. Dowód: W dowodzie korzystamy z nastȩpuj acych faktów z teorii równań różniczkowych i z analizy matematycznej 1. Jeśli funkcja ϕ(x(t), t) jest różniczkowalna w sposób ci ag ly wzglȩdem x i ci ag la wzglȩdem t w otoczeniu punktu ( x, t), to równanie różniczkowe ẋ(t) = ϕ(x(t), t) posiada jednoznacznie określone rozwi azanie w otoczeniu punktu t, 2

3 2. Jeśli równanie różniczkowe ẋ(t) = ϕ(x(t), t) z funkcj a ϕ różniczkowaln a w sposób ci ag ly wzglȩdem x i przedzia lami ci ag l a wzglȩdem t posiada rozwi azanie w przedziale [ t, t] przy warunku pocz atkowym x( t), to posiada ono również rozwi azanie w tym przedziale przy ma lym zaburzeniu warunku pocz atkowego x( t) + δx( t), 3. Niech x(t, θ) bȩdzie funkcj a ci ag l a wzglȩdem t i różniczkowaln a w sposób ci ag ly wzglȩdem θ i niech funkcja ϕ(x(t, θ), t) bȩdzie funkcj a różniczkowaln a w sposób ci ag ly wzglȩdem x i ograniczon a wzglȩdem t, to uzasadnione jest przejście z różniczkowaniem pod znak ca lki d dθ t 0 ϕ(x(t, θ), t)dt = t 0 d ϕ(x(t, θ), t)dt = dθ t 0 ϕ x (x(t, θ), t) d x(t, θ), dθ 4. granica wartości średnich funkcji ci ag lej w punkcie jest zbieżna do jej wartości w tym punkcie, 1 lim θ 0 θ θ ϕ(t)dt = ϕ(). Za lóżmy, że punkt [t 0, t 1 ] jest punktem ci ag lości sterowania optymalnego u o (t). Niech v U. Zdefiniujemy tzw. wariacjȩ ig low a sterowania optymalnego u o (t): u θ (t) = { u o (t) gdy t [ θ, ), v gdy t [ θ, ), przy czym v jest dowolnym elementem zbioru U. Niech x θ (t) bȩdzie rozwi azaniem równania stanu z warunkiem pocz atkowym x 0 i ze sterowaniem u θ (t). ak wiȩc x θ (t) = x o (t) dla t [t 0, θ]. Równanie różniczkowe ẋ(t) = f(x(t), v, t), t [ θ, ], x( θ) = x o ( θ) jest jednoznacznie rozwi azywalne w ma lym otoczeniu punktu θ, a wiȩc dla dostatecznie ma lego θ rozwi azanie x θ (t) istnieje w ca lym przedziale [ θ, ]. Stany x θ () i x o () dowolnie ma lo różni a siȩ od siebie, gdyż sterowania u θ (t) i u o (t) dowolnie ma lo różni a siȩ od siebie w przedziale [t 0, ]. Oznacza to, że rozwi azanie równania stanu x θ (t) istnieje w przedziale [, t 1 ] jako ma le zaburzenie rozwi azania x o (t) w tym przedziale. Ponieważ punkt jest punktem ci ag lości sterowania optymalnego u o (t), wiȩc u o (t) jest funkcj a ci ag l a w pewnym otoczeniu punktu. Dlatego funkcja 3

4 d dt xo (t) jest również ci ag la w tym otoczeniu i obowi azuje rozk lad w szereg aylora przy czym x o () = x o ( θ) + θ d dt xo ( θ) + o(θ) = x o ( θ) + θf(x o ( θ), u o ( θ), θ) + o(θ), lim o(θ)/θ = 0. θ 0 Podobnie d dt xθ (t) jest funkcj a ci ag l a w przedziale [ θ, ], gdyż sterowanie jest w tym przedziale sta le. Oznacza to, że dla funkcji x θ (t) również obowi azuje rozk lad w szereg aylora Istnieje wiȩc granica x θ () = x o ( θ) + θf(x o ( θ), v, θ) + o(θ). y() = lim θ 0 x θ () x o () θ = f(x o (), v, ) f(x o (), u, ). Ponieważ wielkości x θ () i x o () dowolnie ma lo różni a siȩ od siebie, to rozwi azanie x θ (t) istnieje w przedziale [, t 1 ] jako ma le zaburzenie rozwi azania x o (t) wzglȩdem warunku pocz atkowego zbieżne do rozwi azania x o (t) przy θ 0. Na podstawie ci ag lości i różniczkowalności rozwi azania równania różniczkowego wzglȩdem warunku pocz atkowego w przedziale [, t 1 ] istnieje wyrażenie x θ (t) x o (t) y(t) = lim. θ 0 θ Dla t [, t 1 ] możemy zapisać ca lkowe wersje równań stanu x θ (t) = x θ () + f(x θ (s), u o (s), s)ds, Wynika st ad, że x o (t) = x + f(x o (s), u o (s), s)ds. x θ (t) x o (t) θ = xθ () x o () θ + Przechodz ac do granicy z θ 0 uzyskujemy y(t) = y() + lim θ 0 f(x θ (s), u o (s), s) f(x o (s), u o (s), s) ds. θ f(x θ (s), u o (s), s) f(x o (s), u o (s), s) ds θ 4

5 = y() + d dθ y() + y() + y() + f(x θ (s), u o (s), s)ds θ=0 d dθ f(xθ (s), u o (s), s) θ=0 ds f x (x o (s), u o (s), s) d dθ xθ (s) θ=0 ds f x (x o (s), u o (s), s)y(s)ds. ak wiȩc funkcja y(t) spe lnia w przedziale [, t 1 ] równanie różniczkowe z warunkiem pocz atkowym ẏ(t) = f x (x o (t), u o (t), t)y(t) y() = f(x o (), v, ) f(x o (), u o (), ). W przedziale [, t 1 ] s a spe lnione nastȩpuj ace zależności wynikaj ace z równania sprzȩżonego d λ o (t), y(t) = d dt dt λo (t), y(t) + λ o (t), d dt y(t) = f x (x o (t), u o (t), t)λ o (t), y(t) + g x (x o (t), u o (t), t), y(t) ak wiȩc + λ o (t), f x (x o (t), u o (t), t)y(t) = g x (x o (t), u o (t), t), y(t). sk ad t d λ o (s), y(s) ds = g ds x (x o (s), u o (s), s), y(s) ds, t λ o (t 1 ), y(t 1 ) λ o (t), y(t) = g x (x o (s), u o (s), s), y(s) ds czyli λ o (t), y(t) = g x (x o (s), u o (s), s), y(s) ds. t 5 t

6 W szczególności dla t = uzyskujemy λ o (), y() = λ o (), f(x o (), v, ) f(x o (), u o (), ) = g x (x o (s), u o (s), s), y(s) ds. Ponieważ (x o, u o ) jest z za lożenia optymalnym procesem sterowania, wiȩc zachodzi nierówność Granica ta przyjmuje postać G(x θ, u θ ) G(x o, u o ) lim θ 0 θ 0. 1 lim (g(x θ (t), v, t) g(x o (t), u o, t)) θ 0 θ θ 1 + lim θ 0 θ (g(x θ (t), u o (t), t) g(x o (t), u o, t)) = g(x o (), v, ) g(x o (), u o (), ) + d dθ g(x θ (t), u o (t), t)dt θ=0 = g(x o (), v, ) g(x o (), u o (), ) + Uzyskujemy st ad g x (x o (t), u o (t), t), y(t) dt 0. czyli g(x o (), v, ) g(x o (), u o (), ) g x (x o (t), u o (t), t), y(t) dt g(x o (), v, ) g(x o (), u o (), ) λ o (), f(x o (), v, ) f(x o (), u o (), ), a wiȩc g(x o (), u o (), ) + λ o (), f(x o (), u o (), ) g(x o (), v, ) + λ o (), f(x o (), v, ). Ostatni a nierówność można przepisać w postaci równoważnej 6

7 H(λ o (), x o (), u o (), ) H(λ o (), x o (), v, ) v U. Oznacza to, że sterowanie optymalne maksymalizuje hamiltonian problemu w sensie globalnym (wariacja ig lowa sterowania może przybierać dowoln a wartość ze zbioru U) dla prawie wszystkich [t 0, t 1 ]. Punkt jest z za lożenie punktem ci ag lości sterowania optymalnego, a punktami ci ag lości każdego sterowania z klasy P C([t 0, t 1 ]; R m ) s a prawie wszystkie punkty przedzia lu [t 0, t 1 ]. Warianty zasady maksimum: 1. W problemie z funkcj a celu zależn a od stanu końcowego końcowa zmienna sprzȩżona jest minus pochodn a końcowego sk ladnika funkcji celu G(x, u) = t 0 g(x(t), u(t), t)dt + h(x(t 1 )) λ o (t 1 ) = h x (x o (t 1 )). 2. W problemie z zadanym stanem pocz atkowym i końcowym x o (t 0 ) = x 0, x o (t 1 ) = x 1 pocz atkowe i końcowe zmienne sprzȩżone λ o (t 0 ), λ o (t 1 ) s a swobodne. 3. W problemie z okresowymi warunkami stanu x o (t 0 ) = x o (t 1 ) zmienne sprzȩżone s a również okresowe λ o (t 0 ) = λ o (t 1 ). 4. W problemie ze swobodnym czasem końcowym t 1 spe lniony jest warunek zerowania siȩ hamiltonianu H(λ o (t 1 ), x o (t 1 ), u o (t 1 ), t 1 ) = 0. Dla niektórych problemów zasada maksimum pozwala określić postać sterowania optymalnego na podstawie analizy w lasności równań sprzȩżonych. W ogólnym przypadku wykorzystanie zasady maksimum do wyznaczania sterowania optymalnego polega na redukcji problemu do dwugranicznego uk ladu równań różniczkowych wed lug nastȩpuj acego algorytmu 7

8 1. Wyznaczyć z warunku maksymalizacji hamiltonianu sterowanie w funkcji kostanu, stanu i czasu tj. funkcjȩ u o (λ(t), x(t), t). 2. Zestawić uk lad równań kanonicznych zasady maksimum ẋ(t) = f(x(t), u o (λ(t), x(t), t), t), t [t 0, t 1 ], x(t 0 ) = x 0, λ(t) = fx (x(t), u o (λ(t), x(t), t), t)λ(t)+gx (x(t), u o (λ(t), x(t), t), t), t [t 0, t 1 ], λ(t 1 ) = 0, co w skrócie można zapisać jak nastȩpuje ẋ(t) = Hλ (t), x(t 0 ) = x 0, λ(t) = H x (t), λ(t 1 ) = Rozwi azać uk lad równań kanonicznych wzglȩdem λ(t 0 ) tj. dobrać λ(t 0 ) tak, aby po sca lkowaniu uk ladu równań kanonicznych osi agn ać λ(t 1 ) = 0. Do rozwi azywania tego zadania stosowane s a metody obliczeniowe dwugranicznych zagadnień różniczkowych - g lównie tzw. metoda strza lów. Przyk lad: Optymalne sterowanie procesem nagrzewania indukcyjnego. Zmienne procesowe: (t) - temperatura nagrzewanego obiektu, z (t) - temperatura źród la ciep la. Równanie obiektu: Warunki dwugraniczne: (0) = 0, (t 1 ) = 1, 0 < 1. Ograniczenia chwilowe sterowania: 0 < min z d dt (t) = 4 z (t) 4 (t), t [0, t 1 ]. (t) z max, z min < 0. Kombinowany wskaźnik jakości procesu: G = 1 0 dt c 4 z (t)dt Obiekt należy podgrzać do temperatury 1 minimalizuj ac zarówno czas jak 8

9 i koszty nagrzewania, gdzie c jest wspó lczynnikiem kosztów nagrzewania. Standardowy zapis problemu: x(t) =... (t) - stan obiektu, x 0 = 0, x 1 = 1, u(t) = z 4 (t) - sterowanie, u min. = ( min z ) 4, u max. = ( max z ) 4. Wyznaczyć sterowanie minimalizuj ace wskaźnik jakości procesu równanie stanu obiektu G(x, u) = 0 (1 + cu(t))dt ẋ(t) = u(t) x 4 (t), t [0, t 1 ] z warunkami dwugranicznymi x(0) = x 0, x(t 1 ) = x 1, i z ograniczeniami chwilowymi sterowania u min u(t) u max, t [0, t 1 ]. Zapisujemy hamiltonian problemu H(λ(t), x(t), u(t)) = 1 cu(t) + λ(t)(u(t) x 4 (t)) i wydzielamy czȩść hamiltonianu zależn a od sterowania H(λ(t), x(t), u(t)) = (λ(t) c)u(t). Z warunku maksymalizacji hamiltonianu przez sterowanie optymalne wynika, że jego postać jest określona za pomoc a zmiennych sprzȩżonych w nastȩpuj acy sposób u max gdy λ(t) > c, u o (t) = u min gdy λ(t) < c, (1) u(t) [u min, u max ] gdy λ(t) = c. Równanie sprzȩżone ma postać równania różniczkowego λ(t) = 4x 3 (t)λ(t) 9

10 ze swobodnymi warunkami granicznymi dla λ(0), λ(t 1 ). Za lóżmy, że u o (t) (u min, u max ) na podprzedziale [ 0, 1 ] [0, t 1 ], 0 < 1. Wtedy z warunku maksymalizacji hamiltonianu wynika, że zmienna sprzȩżona jest sta la na tym podprzedziale λ(t) = c, t [ 0, 1 ]. Natomiast z równania sprzȩżonego wynika, że λ(t) = 4x 3 λ(t) = 4x 3 c > 0, a wiȩc zmienna sprzȩżona jest funkcj a rosn ac a ze wzglȩdu na dodatniość pochodnej. Sprzeczność ta dowodzi, że sterowanie optymalne jest typu bang-bang tj. przyjmuje wartości graniczne u max lub u min. Zastosowanie u min na pocz atku procesu oznacza loby ch lodzenie obiektu tj. czynność zużywaj ac a czas i nie podnosz ac a temperatury obiektu. ak wiȩc na pocz atku procesu musi być stosowane sterowanie u o (t) = u max. Wówczas λ(0) > c i z równania sprzȩżonego wynika, że λ(t) > c, t [t 0, t 1 ]. Optymalny czas nagrzewania można wyznaczyć rozwi azuj ac równanie stanu aż do osi agniȩcia przez stan wartości x 1. Przyk lad: Optymalne sterowanie wsadowym procesem produkcyjnym. We wsadowym reaktorze chemicznym realizowany jest proces przemiany A B C, gdzie A jest surowcem, B jest produktem użytecznym, zaś C jest produktem ubocznym. Reaktor wyposażony jest w obwód grzejny umożliwiaj acy sterowanie temperatur a procesu. Należy zmaksymalizować ilość produktu użytecznego w reaktorze w chwili końcowej procesu t 1. Wprowadzamy zmienne procesowe x 1 (t) -stȩżenie surowca A w reaktorze w chwili t, x 2 (t) - stȩżenie produktu B w rektorze w chwili t, u(t) - temperatura w reaktorze w chwili t. Zapisujemy równania stanu ẋ 1 (t) = κ 1 (u(t))x 1 (t), t [0, t 1 ], x 1 (0) = x 10, ẋ 2 (t) = κ 1 (u(t))x 1 (t) κ 2 (u(t))x 2 (t), x 2 (0) = x 20, gdzie wp lyw temperatury na przebieg poszczególnych reakcji określaj a funkcje κ i zgodnie z prawem Arrheniusa κ i (u(t)) =. κ i0 e βi/u(t), i = 1, 2, β 2 > β 1. Formu lujemy cel sterowania: zminimalizować wskaźnik jakości procesu G(x, u) = x 2 (t 1 ). 10

11 W problemie tym zak ladamy, że sterowanie temperaturowe możemy zmieniać w szerokim zakresie i jego ograniczenia chwilowe s a nieistotne. Zapisujemy hamiltonian problemu H(λ(t), x(t), u(t)) = λ 1 (t)( κ 1 (u(t))x 1 (t))+λ 2 (t)(κ 1 (u(t))x 1 (t) κ 2 (u(t))x 2 (t)) i równania sprzȩżone λ 1 (t) = H x1 (t) = (λ 1 (t) λ 2 (t))κ 1 (u(t)), λ 1 (t 1 ) = 0, λ 2 (t) = H x2 (t) = λ 2 (t)κ 2 (u(t)), ; λ 2 (t 1 ) = 1. Warunek maksymalizacji hamiltonianu bez ograniczeń sterowania przybiera postać H u (t) = 0, sk ad uzyskujemy jednoznacznie określone sterowanie w funkcji kostanu, stanu i czasu u o (λ(t), x(t), u(t)) = (β 1 β 2 )/ln κ 10β 1 x 1 (t)(λ 2 (t) λ 1 (t)). κ 20 β 2 x 2 (t)λ 2 (t) Uk lad równań kanonicznych zasady maksimum ẋ 1 (t) = κ 1 (u o (λ(t), x(t), u(t))x 1 (t), x 1 (0) = x 10, ẋ 2 (t) = κ 1 (u o (λ(t), x(t), u(t))x 1 (t) κ 2 (u o (λ(t), x(t), u(t))x 2 (t), x 2 (0) = x 20, λ 1 (t) = (λ 1 (t) λ 2 (t))κ 1 (u o (λ(t), x(t), u(t)), λ 1 (t 1 ) = 0, λ 2 (t) = λ 2 (t)κ 2 (u o (λ(t), x(t), u(t)), λ 2 (t 1 ) = 1. Ca lkuj ac ten uk lad równań różniczkowych z warunkami dwugranicznymi wyznaczamy optymalny profil temperatury. 11