Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych"

Transkrypt

1 Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Niech bȩdzie dany uk lad sterowania taki, że nie wszystkie jego zmienne stanu s a bezpośrednio dostȩpne (mierzalne. Uk lad pozwalaj acy odtworzyć na podstawie znajomości sterowania i wyjścia niedostȩpne zmienne stanu nazywa siȩ obserwatorem stanu. Obserwatory stanu znajduj a zastosowanie m.in. do poprawy w lasności stabilnościowych uk ladów sterowania za pomoc a odpowiednio dobranego sprzȩżenia zwrotnego. u(t Obiekt sterowania x(t y(t Obserwator stanu z(t v(t + K o u(t Obiekt sterowania x(t y(t Obserwator stanu z(t v(t K s Do projektowania uk ladów sterowania zastosowanie znajduj a dwie charakterystyczne postaci równań stanu: postać kanoniczna sterowalna i postać kanoniczna obserwowalna. Niech uk lad sterowania bȩdzie opisywany nastȩpuj acymi liniowymi stacjo- 1

2 narnymi równaniami stanu i wyjścia x(t = Ā x(t + bu(t, y(t = c x(t, gdzie Ā jest n-wymiarow a macierz a kwadratow a, b jest n-wymiarowym wektorem kolumnowym, a c jest n-wymiarowym wektorem wierszowym. Uk lad ma postać kanoniczn a sterowaln a jeśli macierze stanu Ā i sterowania b przyjmuj a nastȩpuj ace postaci Ā =, a 0 a 1 a 2 a n 2 a n b =. 0 1 W powyższym zapisie macierz stanu jest macierz a typu Frobeniusa. Sprowadzanie uk ladu sterowania do postaci Frobeniusa Jednowymiarowy wejściowo-wyjściowy uk lad sterowania nie maj acy postaci Frobeniusa można sprowadzić do tej postaci stosuj ac liniowe przekszta lcenie stanu x(t = T x(t, T. = (B AB A n 1 B(B f A f B f A n 1 f B f 1, gdzie A, B s a macierzami stanu i sterowania w uk ladzie pierwotnym, zaś A f, B f s a macierzami stanu i sterowania o postaci Frobeniusa. Po dokonaniu tej transformacji przechodzimy do uk ladu sterowania x(t = T 1 AT x(t + T 1 BU(t maj acym postać Frobeniusa i stosujemy znany algorytm przesuwania biegunów i zer uk ladu o tej postaci. Proste obliczenia pokazuj a, że rank( b Ā b Ā2 b Ā n 1 b = n. 2

3 Oznacza to, że uk lad, którego równanie stanu ma postać kanoniczn a sterowaln a, jest sterowalny. 3

4 Uk lad ma postać kanoniczn a obserwowaln a jeśli macierze stanu Ā i wyjścia c przyjmuj a nastȩpuj ace postaci a a 1 Ā = a 2, a n a n 1 ( c = W powyższym zapisie macierz stanu jest również macierz a typu Frobeniusa. Proste obliczenia pokazuj a, że rank c cā cā2 CĀn 1 = n Oznacza to, że uk lad, którego równanie stanu ma postać kanoniczn a obserwowaln a, jest obserwowalny. Przekszta lcanie uk ladu sterowania do postaci kanonicznej sterowalnej Niech bȩdzie dany uk lad sterowania z równaniem stanu w ogólnej postaci liniowej ẋ(t = Ax(t + bu(t. Uzyskiwanie postaci kanonicznej sterowalnej polega na zastosowaniu przekszta lcenia liniowego wektora stanu x(t = Mx(t, gdzie nieosobliwa macierz M wi aże wektor stanu x(t uk ladu danego z wektorem stanu x(t uk ladu w postaci kanonicznej sterowalnej. Stosuj ac przekszta lcenie M do uk ladu danego otrzymujemy x(t = Mẋ(t = MAx(t + Mbu(t = MAM 1 x(t + Mbu(t, 4

5 co oznacza, że dla uk ladu przekszta lconego uzyskujemy równanie stanu x(t = Ā x(t + bu(t, gdzie Ā = MAM 1, b = Mb. Macierze Ā i A s a podobne, a zatem ich wielomiany charakterystyczne s a identyczne. Zbadamy powi azanie sterowalności uk ladu przekszta lconego i uk ladu danego. W tym celu stosuj ac przekszta lcenie M określimy zależność miȩdzy macierzami sterowalności uk ladu przekszta lconego i uk ladu danego Q = ( b Ā b Ā2 b Ā n 1 b Ponieważ a zatem = (Mb MAM 1 Mb (MAM 1 2 Mb (MAM 1 n 1 Mb (MAM 1 k = MAM } 1 MAM{{ 1 MAM 1 } = MA k M 1, k razy Q = (Mb MAM 1 Mb MA 2 MM 1 b MA n 1 M 1 Mb = M(b Ab A 2 b A n 1 b = MQ, gdzie Q jest macierz a sterowalności uk ladu danego. Rzȩdy macierzy Q i Q s a równe ze wzglȩdu na nieosobliwość przekszta lcenia M. Zastosowanie tego przekszta lcenia nie wp lywa na sterowalność uk ladu. Wynika st ad także wniosek, że postać kanoniczn a sterowaln a uk ladu można uzyskać tylko dla uk ladu sterowalnego. Za lożymy wiȩc, że uk lad dany jest sterowalny. Zapiszemy wielomian charakterystyczny uk ladu danego w postaci det(si A = s n + a n 1 s n a 2 s 2 + a 1 s + a 0. Dla określenia prostego algorytmu sprowadzania uk ladu do postaci kanonicznej sterowalnej celowo jest pos lużyć siȩ odwrotności a W macierzy M tj. W = M 1. Dla macierzy W uzyskujemy zależność W Ā = AW. 5

6 Wydzielimy kolumny macierzy W w nastȩpuj acy sposób W = (w n 1 w 2 w 1 w 0 Na podstawie tego zapisu uzyskujemy równości ( W Ā = w n 1 w 2 w 1 w a 0 a 1 a 2 a n 2 a n 1 = ( a 0 w 0 w n 1 a 1 w 0 w 1 a n 1 w 0 oraz AW = A (w n 1 w n 2 w 1 w 0 == (Aw n 1 Aw n 2 Aw 1 Aw 0 Przyrównuj ac do siebie wyrażenia uzyskane dla W Ā i AW uzyskujemy uk lad równań a 0 w 0 = Aw n 1 w n 1 a 1 w 0 = Aw n 2 w 2 a n 2 w 0 = Aw 1 w 1 a n 1 w 0 = Aw 0 Uzyskana zależność pozwala na rekurencyjne obliczanie kolumn w i : dla zadanej wartości pocz atkowej w 0 obliczamy kolejno w 1 = a n 1 w 0 + Aw 0 w 2 = a n 2 w 0 + Aw 1 w n 2 = a 2 w 0 + Aw n 3 6

7 w n 1 = a 1 w 0 + Aw n 2 Pozosta la, nie wykorzystana zależność a 0 w 0 = Aw n 1, jest spe lniona, bo po prostych przekszta lceniach przyjmuje ona postać Aw n 1 + a 0 w 0 = A(a 1 w 0 + Aw n 2 + a 0 w 0 = = A(a 1 w 0 + A(a 2 w 0 + Aw n 3 + a 0 w 0 = (a 0 I + a 1 A + a 2 A 2 w 0 + A 3 w n 3 = = = = (a 0 I + a 1 A + a 2 A a n 1 A n 1 + A n w 0 = 0, a wyrażenie w nawiasie wyzerowuje siȩ na podstawie twierdzenia Cayleya- Hamiltona: każda macierz spe lnia swoje równanie charakterystyczne. Poszukiwana macierz W powinna także zapewniać za lożon a postać macierzy sterowania, co oznacza, że W b = b czyli 0 0 (w n 1 w 1 w 0 = = b 0 1 Wynika st ad, że w 0 = b i obliczanie wierszy macierzy W możemy przeprowadzić rekurencyjnie w 0 = b w 1 = a n 1 b + Aw 0 w 2 = a n 2 b + Aw 1 w n 1 = a 1 b + Aw n 2 Daje to w wyniku w 0 = b 7

8 gdzie w 1 = Ab + a n 1 b w 2 = A 2 b + a n 1 Ab + a n 2 b w n 1 = A n 1 b + + a 3 A 2 b + a 2 Ab + a 1 b Przyk lad. Niech liniowy uk lad sterowania bȩdzie opisywany równaniami ẋ(t = Ax(t + bu(t, A = , b = Zbadamy czy dany uk lad sterowania jest sterowalny. Do tego celu wykorzystamy macierz sterowalności a wiȩc ranks=4, co oznacza, że rozpatrywany uk lad sterowania jest sterowalny. S = ( b Ab A 2 b A 3 b W wyniku kolejnych obliczeń otrzymujemy Badamy rz ad macierzy S S = dets = det = Wielomian charakterystyczny macierzy A ma postać 1 8

9 s s 1 0 det(si A = det 0 1 s 1 + s s Zapiszemy ten wielomian w postaci det(si A = s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 gdzie a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0, a 0 = 0. Wyznaczymy macierz przekszta lcenia liniowego pozwalaj acego uzyskać postać kanoniczn a sterowaln a uk ladu. Algorytm wyznaczania wierszy macierzy M przybiera dla rozpatrywanego przyk ladu nastȩpuj a postać w 0 = b w 1 = a 3 b + Aw 0 w 2 = a 2 b + Aw 1 w 3 = a 1 b + Aw 2 W wyniku obliczeń otrzymujemy W = oraz M = Natomiast postać kanoniczna sterowalna uk ladu bȩdzie nastȩpuj aca ẋ(t = = 0 0 u(t

10 Postać kanoniczna obserwowalna liniowego uk ladu sterowania Aby określić prosty i realizowalny algorytm projektowania obserwatora stanu o poż adanych w lasnościach wprowadzimy uzależnienie procesu odtwarzania wektora stanu od rezultatów tego procesu i zastosujemy przekszta lcenie opisu uk ladu do tzw. postaci kanonicznej obserwowalnej. Wspomniane uzależnienie procesu odtwarzania wektora stanu od rezultatów tego procesu uzyskuje si drog a wyznaczenia różnicy wyjść uk ladu y(t i obserwatora v(t. Dla uk ladu sterowania ẋ(t = Ax(t + Bu(t, y(t = Cx(t dzia lanie proponowanego obserwatora można opisać równaniem ż(t = Az(t + Bu(t + K(v(t y(t, v(t = Cz(t. Odejmuj ac stronami powyższe równania uzyskuje siȩ ż(t ẋ(t = A(z(t x(t + KC(z(t x(t. Zatem b l ad ė(t =. z(t x(t odtworzenia wektora stanu spe lnia równanie ė(t = (A + KCe(t. Warunkiem zanikania tego b lȩdu jest wymaganie, aby wartości w lasne macierzy A+KC by ly po lożone w lewej pó lp laszczyniezmiennej zespolonej. Aby obserwator móg l realizować swoje zadanie, należy dla zadanych macierzy A i C dobrać macierz K sprzȩżenia uk ladu i jego obserwatora tak, aby wspomniany warunek by l spe lniony. Wykażemy, że jest to możliwe dla obserwowalnych uk ladów sterowania. Co wicej wykażemy, że moṅa tak dobrać macierz sprzeȩżenia K uk ladu i obserwatora, aby wartości w lasne macierzy A+KC mia ly z góry zadane po lożenia. Tak wiȩc proces zanikania b lȩdu bȩdzie mia l zadane w lasności dynamiczne - w szczególności bȩdzie mia l określony czas zanikania b lȩdu i określone parametry oscylacji odpowiedzi. 10

11 Za lożymy, że uk lad sterowania ma postać kanoniczn a obserwowaln a ẋ(t = Ax(t + Bu(t, y(t = cx(t, gdzie a a 1 A = a 2, c = a n 2 ( a n 1 Macierz A w powyższej postaci kanonicznej obserwowalnej uk ladu nazywa siȩ również macierz a Frobeniusa. Postać kanoniczna obserwowalna jest użyteczna przy rozwi azywaniu zadania doboru macierzy K sprzȩżenia obserwatora i uk ladu. Zdefiniujemy macierz K jako macierz kolumnow a Otrzymujemy wtedy K = a n 1 k 0 k 1 k n 2 k n 1. Ã = A + Kc = a 0 k a 1 k a 2 1 ( k n a n 2 k n a 0 + k ã a 1 + k ã 1 = a 2 + k 2 = ã 2, a n 2 + k n ã n a n 1 + k n ã n 1 11

12 . gdzie ã i = ai k i. Tak wiȩc po przekszta lceniach uzyskaliśmy macierz stanu znowu w postaci Frobeniusa. Jak wiadomo wielomiany charakterystyczne dla macierzy Frobeniusa A i à zapisuj a siȩ w postaci det(si A = s n + a n 1 s n a 2 s 2 + a 1 s + a 0, det(si à = sn + ã n 1 s n ã 2 s 2 + ã 1 s + ã 0. Wspó lczynniki ã i wynikaj a z zadanych wartości w lasnych obserwatora. Tak wiȩc elementy macierzy sprzȩżenia uk ladu i obserwatora można latwo wyznaczyć z zależności k i = a i ã i, i = 0, 1, 2,, n 1. Latwość wyznaczenia obserwatora uk ladu w jego postaci kanonicznej obserwowalnej przes adza o dużej użyteczności praktycznej tej postaci. Pojawia siȩ jednak problem sprowadzania ogólnego liniowego uk ladu sterowania do postaci kanonicznej obserwowalnej. Rozpatrzymy problem wyznaczania postaci kanonicznej obserwowalnej uk ladu. Niech uk lad bȩdzie opisywany liniowym równaniem stanu ẋ(t = Ax(t + Bu(t i równaniem wyjścia y(t = cx(t. postać kanoniczn a obserwowaln a uk ladu otrzymamy stosuj ac przekszta lcenie liniowe wektora stanu x(t = Mx(t, gdzie M jest macierz a nieosobliw a. Podstawienie tego przekszta lcenia do równania stanu pozwala zapisać ci ag równości x(t = Mẋ(t = MAx(t + MBu(t = MAM 1 x(t + MBu(t. Tak wiȩc dla uk ladu przekszta lconego uzyskujemy równanie stanu x(t = à x(t + Bu(t, przy czym à =. MAM 1 i B = MB. Natomiast równanie wyjścia uk ladu przekszta lconego przybierze postać y(t = c x(t, 12

13 gdzie c =. cm 1. Zbadamy, czy zastosowanie liniowego przekszta lcenia wektora stanu nie wp lywa na obserwowalność uk ladu. W tym celu porównamy odpowiednie macierze obserwowalności Q = c ca ca n 2 ca n 1 oraz c cã Q =. W wyniku obliczeń otrzymujemy cãn 1 tj. Q = c cã cãn 1 = cm 1 = (cm 1 (MAM 1 (cm 1 (MAM 1 (MAM 1 (MAM 1 }{{} n 1 razy cm 1 cam 1 ca n 1 M 1 = c ca ca n 1 Q = QM 1. M 1 = QM 1 Ponieważ M jest macierz a nieosobliw a, wiȩc rzȩdy macierzy Q i macierzy Q s a równe. Zatem rzeczywiście zastosowanie przekszta lcenia liniowego wektora stanu nie wp lywa na obserwowalność uk ladu. Wynika st ad także wniosek, że postać kanoniczn a obserwowaln a uk ladu można uzyskać tylko dla uk ladu obserwowalnego. 13

14 Rozwi ażemy zadanie dobrania macierzy przekszta lcenia M tak, aby uzyskać po przekszta lceniu oraz a a 1 Ã = a a n a n 1 c = Dla macierzy M mamy zależność ( ÃM = MA. Wydzielimy wiersze macierzy M w nastȩpuj acy sposób M = m n 1 m 2 m 1 m 0 Na podstawie tego zapisu uzyskujemy równości a a 1 ÃM = a a n a n 1 oraz m n 1 m 2 m 1 m 0 m n 1 m n 1 A m n 2 m n 2 A MA = m 2 A = m 1 m 1 A m 0 A m 0 14 a 0 m 0 m n 1 a 1 m 0 = m n 2 a 2 m 0 m 1 a n 1 m 0

15 Przyrównuj ac do siebie wyrażenia uzyskane dla ÃM i MA uzyskujemy uk lad równań a 0 m 0 = m n 1 A m n 1 a 1 m 0 = m n 2 A m n 2 a 2 m 0 = m n 3 A m 1 a n 1 m 0 = m 0 A Uzyskana zależność pozwala na rekurencyjne obliczanie wierszy m i : dla zadanej wartości pocz atkowej m 0 obliczamy kolejno m 1 = a n 1 m 0 + m 0 A m 2 = a n 2 m 0 + m 1 A m n 2 = a 2 m 0 + m n 3 A m n 1 = a 1 m 0 + m n 2 A Pozosta la, nie wykorzystana zależność a 0 m 0 = m n 1 A, jest spe lniona, bo po prostych przekszta lceniach przyjmuje ona postać a 0 m 0 + m n 1 A = a 0 m 0 + (a 1 m 0 + m n 2 AA = = a 0 m 0 + (a 1 m 0 + (a 2 m 0 + m n 3 AAA = m 0 (a 0 + a 1 A + a 2 A 2 + m n 3 A 3 = = = m 0 (a 0 I + a 1 A + a 2 A a n 1 A n 1 + A n = 0, a wyrażenie w nawiasie wyzerowuje siȩ na podstawie twierdzenia Cayleya- Hamiltona: każda macierz spe lnia swoje równanie charakterystyczne. Poszukiwana macierz M powinna także zapewniać za lożon a postać równania wyjścia, co oznacza, że cm = c czyli 15

16 ( = m n 1 m n 2 m 1 m 0 = c Wynika st ad, że m 0 = c i obliczanie wierszy macierzy M możemy przeprowadzić rekurencyjnie m 0 = c m 1 = a n 1 c + m 0 A m 2 = a n 2 c + m 1 A m n 1 = a 1 c + m n 2 A Daje to w wyniku gdzie m 0 = c m 1 = ca + a n 1 c m 2 = ca 2 + a n 1 ca + a n 2 c m n 1 = ca n a 3 ca 2 + a 2 ca + a 1 c Przyk lad. Niech liniowy uk lad sterowania bȩdzie opisywany równaniami ẋ(t = Ax(t + bu(t, y(t = cx(t, A = , b = 1 ( 0, c = Zbadamy czy dany uk lad sterowania jest obserwowalny. Do tego celu wykorzystamy macierz 1 16

17 C CA Q = CA 2 CA 3 W wyniku kolejnych obliczeń otrzymujemy Zatem ( ( CA = = ( CA ( = = CA 3 = ( Badamy rz ad macierzy Q ( = C CA Q = CA 2 = CA detq = det = a wiȩc rankq=4, co oznacza, że rozpatrywany uk lad sterowania jest obserwowalny. Tak wiȩc mimo tego, że dostȩpna do pomiaru jest tylko jedna spośród czterech wspó lrzȩdnych stanu, istnieje możliwość otworzenia ca lego wektora stanu. 17

18 Wielomian charakterystyczny macierzy A ma postać s s 0 1 det(si A = det 0 0 s 1 s s Zapiszemy ten wielomian w postaci det(si A = s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 gdzie a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0, a 0 = 0. Wyznaczymy macierz przekszta lcenia liniowego pozwalaj acego uzyskać postać kanoniczn a obserwowaln a uk ladu. Algorytm wyznaczania wierszy macierzy M przybiera dla rozpatrywanego przyk ladu nastȩpuj a postać W wyniku obliczeń otrzymujemy m 0 = c m 1 = a 3 c + m 0 A m 2 = a 2 c + m 1 A m 3 = a 1 c + m 2 A m 0 = c = ( ( ( m 1 = a 3 c + m 0 A = = ( ( ( m 2 = a 2 c+m 1 A = =

19 ( ( m 3 = a 1 c + m 2 A = = Macierz przekszta lcenia M jest wiȩc nastȩpuj aca M = Uk lad przekszta lcony ma postać kanoniczn a obserwowaln a x(t = x(t + 0 ( 1 u(t, y(t = x(t Wyznaczymy poszukiwany obserwator stanu na podstawie porównania wielomianów charakterystycznych uk ladu wyjściowego i obserwatora. Dla uk ladu wyjściowego mamy det(si A = s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0, gdzie a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0, a 0 = 0. Dla obserwatora zadajemy wielomian charakterystyczny w postaci det(si à = (s + 54 = s 4 + ã 3 s 3 + ã 2 s 2 + ã 1 s + ã 0, gdzie ã 3 = 20, ã 2 = 150, ã 1 = 500, ã 0 = 625. Wymagania postawione w stosunku do obserwatora oznaczaj a, że proces zanikania b lȩdu odtwarzania powinien być nieoscylacyjny z szybkości a zanikania co najmniej Ct 3 e 5t. Obliczamy pomocnicze wspó lczynniki k i = a i ã i, i = 0, 1, 2, 3 19

20 i uzyskujemy macierz sprzȩżenia obserwatora uk ladu przekszta lconego do postaci kanonicznej obserwowalnej k k 1 K = k 2 = k 3 20 Stosuj ac macierz przekszta lcenia M przejdziemy od macierzy stanu obserwatora uk ladu przekszta lconego do macierzy stanu obserwatora uk ladu wyjściowego à + K c = MAM 1 + MKcM 1 = M(A + KcM 1, co oznacza, że powrót do macierzy stanu obserwatora uk ladu wyjściowego zapewnia zwi azek miȩdzy macierzami sprzȩżenia zwrotnego tych uk ladów postaci K = M 1 K. Z zależności tej wyznaczamy macierz sprzȩżenia zwrotnego obserwatora stanu uk ladu wyjściowego K = M K = = = Tak wiȩc dla uk ladu sterowania opisywanego równaniami ẋ(t = Ax(t + Bu(t, y(t = cx(t określiliśmy obserwator stanu opisywany równaniami ż(t = Az(t + Bu(t + K(v(t y(t, v(t = cz(t, gdzie macierz sprzȩżenia zwrotnego miȩdzy uk ladem wyjściowym i obserwatorem zosta la wyznaczona z wykorzystaniem transformacji uk ladu wyjściowego do postaci kanonicznej obserwowalnej z macierz a stanu typu macierzy Frobeniusa. 20

21 Inaczej mówi ac z wyjściowym uk ladem sterowania ẋ(t = x(t u(t, y(t = ( x(t wi ażemy obserwator stanu opisywany równaniami ż(t = z(t u(t (v(t z(t, v(t = 1 ( z(t, który zapewnia odtwarzanie wektora stanu x(t uk ladu wyjściowego przez wektor stanu obserwatora z(t z szybkości a zanikania b lȩdu e(t = z(t x(t Ct 3 e 5t. 21

22 Zastosowanie obserwatora stanu do stabilizacji uk ladu przez sprzȩżenie zwrotne od odtworzonego wektora stanu Stabilizacjȩ uk ladów sterowania można w wielu przypadkach osi agn ać poprzez zastosowanie sprzȩżenia zwrotnego od wektora stanu. Jeśli jednak nie wszystkie zmienne stanu s a dostȩpne, to taka stabilizacja może nie być skuteczna. W tym przypadku nasuwa siȩ pomys l wykorzystania obserwatora stanu. Ponieważ odtworzony wektor stanu obarczony jest b lȩdem, wiȩc należy sprawdzić skuteczność tej ostatniej stabilizacji. W uk ladzie stabilizacji z obserwatorem stanu dla sterowania uk ladu wyjściowego zapisujemy zależność u(t = Kz(t, przy czym K jest macierz a sprzȩżenia zwrotnego od odtworzonego wektora stanu w odróżnieniu od macierzy K sprzȩżenia obserwatora. Tak wiȩc równanie stanu uk ladu wyjściowego przybierze postać ẋ(t = Ax(t + BKz(t. Natomiast równanie stanu obserwatora zapiszemy w postaci ż(t = Az(t + Bu(t + K(v(t y(t = Az(t + Bu(t + KC(z(t x(t. Wykorzystuj ac b l ad odtwarzania e(t = z(t x(t przedstawimy powyższe równania jako równania stanu dla wektora (x T (t, e T (t T ẋ(t = Ax(t + BKz(t = Ax(t + BK(e(t + x(t = (A + BKx(t + BKe(t, ė(t = ż(t ẋ(t = Az(t+Bu(t+KC(z(t x(t (Ax(t+Bu(t = (A+KCe(t. L aczny zapis tych równań daje w wyniku ( ( ( ẋ(t A + BK BK x(t = u(t ė(t 0 A + KC e(t Oznacza to, że równanie charakterystyczne uk ladu stabilizacji z obserwatorem jest nastȩpuj ace det(si (A + BKdet(sI (A + KC = 0. 22

23 Zgodnie z otrzyman a zależności a zbiór pierwiastków wielomianu charakterystycznego uk ladu stabilizacji z obserwatorem sk lada siȩ z pierwiastków wielomianu charakterystycznego macierzy A + BK oraz z pierwiastków wielomianu charakterystycznego macierzy A + KC. Dla uk ladu sterowalnego i obserwowalnego możemy za pomoc a doboru macierzy K i K uzyskać zadane po lożenie pierwiastków rozpatrywanych wielomianów w lewej pó lp laszczyźnie zmiennej zespolonej. Wtedy jedynym punktem równowagi uk ladu stabilizacji z obserwatorem jest punkt zerowy i jest on asymptotycznie stabilny. Tak wiȩc uk lad realizuje zadanie stabilizacji zerowego punktu równowagi uk ladu wyjściowego i równocześnie zapewnia zanikanie b lȩdu odtwarzania jego wektora stanu. 23

24 Obserwator uk ladu sterowania przy zak lóceniach o znanych statystykach Rozważmy liniowy niestacjonarny uk lad sterowania poddany zak lóceniom w postaci bia lego szumu, opisany równaniami Ẋ(t = A(tX(t + B(tU(t + W 1 (t, ( Y (t = C(tX(t + W 2 (t, przy czym X(t jest n-wymiarowym wektorem stanu, U(t jest m-wymiarowym wektorem sterowania, Y (t jest p-wymiarowym wektorem wyjść, a W 1 (t i W 2 (t s a wektorowymi bia lymi szumami o wymiarach odpowiednio n i p. Niech ( W 1 (t W (t =. W 2 (t Za lożymy, że szumy W 1 (t i W 2 (t s a nieskorelowane, a ich macierz intensywności jest postaci V (t = ( V 1 (t O O V 2 (t gdzie V 1 (t, V 2 (t s a odpowiednio intensywnościami W 1 (t i W 2 (t. Za lożymy, że V 2 (t jest macierz a dodatnio określon a tj. V 2 (t > 0, t 0. Niech m X0 oznacza wartość oczekiwan a wektora stanu X(t w chwili pocz atkowej t 0 : m X0 = E[X(t 0 ], i niech W X0 oznacza macierz wariancji tego wektora: W X0 = E{[X(t 0 m X0 ][X(t 0 m X0 ] T }. Do danego uk ladu do l aczamy obserwator opisany niestacjonarnym równaniem stanu Ż(t = A 0 (tz(t + B 0 (tu(t + B 1 (ty (t, 24

25 przy czym Z(t jest n-wymiarowym wektorem stanu obserwatora, a A 0 (t, B 0 (t, B 1 (t s a macierzami o wymiarach odpowiednio n n, n m, n p. Macierze te dobierzemy na podstawie równości A 0 (t = A(t K(tC(t, B 0 (t = B(t, B 1 (t, przy czym K(t jest dowoln a macierz a niestacjonarn a. Uwzglȩdniaj ac te zależności przekszta lcamy równanie obserwatora do postaci Ż(t = A(tZ(t + B(tU(t + K(t(y(t CX(t. ( Niech E(t = X(t Z(t bȩdzie b lȩdem (uchybem odtwarzania wektora stanu X(t przez rozpatrywany obserwator. Jakość odtwarzania wektora stanu przez obserwator oceniać bȩdziemy za pomoc a wskaźnika jakości o postaci J. = E[E T (tq(te(t], przy czym Q(t jest dodatnio określon a macierz a wag, zaś E jest operatorem wartości oczekiwanej. Zadanie doboru obserwatora formu lujemy w ten sposób, że należy określić stan pocz atkowy obserwatora Z(t 0 oraz macierz K(t tak, aby wskaźnik jakości J osi aga l minimum. Twierdzenie: Stan pocz atkowy obserwatora Z(t 0 i macierz K(t obserwatora zapewniaj ace minimum wskaźnika jakości J s a określone zależnościami Z(t 0 = m X0, K(t = W E (tc T (tv 1 2 (t (t t 0, przy czym pomocnicza macierz W E (t jest rozwi azaniem równania Riccatiego o postaci Ẇ E (t = A(tW E (t+w E (ta T (t W E (tc T (tv 1 2 (tc(tw E (t+v 1 (t (t t 0, z warunkiem pocz atkowym W E (t 0 = W X0. 25

26 Dowód: Przepiszemy równanie obserwatora w postaci Ż(t = A(tZ(t + B(tU(t + K(t(C(tX(t + W 2 (t C(tZ(t i odejmiemy je od równania danego uk ladu Ẋ(t = A(tX(t + B(tU(t + W 1 (t uzyskuj ac Ẋ(t Ż(t = (A(t K(tC(t(X(t Z(t + W 1(t K(tW 2 (t. Oznacza to, że b l ad odtwarzania wektora stanu spe lnia równanie różniczkowe Ė(t = (A(t K(tC(tE(t + (I K(tW (t z warunkiem pocz atkowym E(t 0 = X(t 0 Z(t 0. Wykażemy, że wskaźnik jakości odtwarzania wektora stanu można przekszta lcić do postaci J = E{E T (tq(te(t} = m T E(tQ(tm E (t + tr( W E (tq(t, przy czym m E (t jest wartości a oczekiwan a E(t, W E (t jest macierz a wariancji E(t, a tr oznacza ślad macierzy. Oznaczaj ac E(t = E 0 (t + m E (t, E 0 (t = E(t m E (t, możemy przekszta lcić wyrażenie dla wskaźnika jakości jak nastȩpuje J = E{(E 0 (t + m E (t T Q(t(E 0 (t + m E (t} = E{E0 T (tq(te 0 (t} + m T E(tQ(tE{E 0 (t}+ E{E0 T (t}q(tm E (t + E{m T E(tQ(tm E (t} = E{E0 T Q(tE 0 (t} + m T E(tQ(tm E (t, gdyż E{E 0 (t} = 0, E{m T E(tQ(tm E (t} = m T E(tQ(tm E (t. 26

27 Niech q ij (t oznacza element macierzy Q(t po lożony w i-tym wierszu i j- tej kolumnie, a E 0i (t - i-t a sk ladow a wektora E 0 (t. Stosuj ac te oznaczenia możemy napisać n E{E0 T (tq(te 0 (t} = E{q ij (te 0i (te 0j (t} i,j=1 n n q ij (te{e 0i (te 0j (t} = q ij (t W Eij (t = tr( W E (tq(t, i,j=1 i,j=1 przy czym W Eij (t = E{E 0i (te 0j (t} jest (i, j-tym elementem macierzy W E (t. Tak wiȩc wskaźnik jakości jest sum a dwóch sk ladowych J = J 1 + J 2, gdzie J 1 = m T E(tQ(tm E (t, J 2 = tr( W E (tq(t. Sk ladowa J 1 jako dodatnio określona forma kwadratowa osi aga minimum dla m E (t = 0. Wykażemy, że zachodzi to w przypadku, gdy Z(t 0 = m X0. Równanie różniczkowe dla uchybu odtwarzania stanu poddamy dzia laniu operatora wartości oczekiwanej uzyskuj ac ṁ E (t = (A(t K(tC(tm E (t, gdyż E{ṁ E (t} = ṁ E (t, E{W (t} = 0. Z definicji uchybu odtwarzania stanu E(t = X(t Z(t wynika, że m E (t 0 = m X0 m X0 = 0. Wielkość m E (t = 0 również dla t > 0, ponieważ jest ona rozwi azaniem liniowego autonomicznego równania różniczkowego z zerowym warunkiem pocz atkowym. Do minimalizacji sk ladnika J 2 zastosujemy znan a z teorii procesów stochastycznych w lasność macierzy wariancji procesu stochastycznego X(t bȩd acego rozwi azaniem równania różniczkowego Ẋ(t = A(tX(t + B(tW (t. Macierz wariancji W X (t procesu X(t spe lnia równanie różniczkowe o postaci Ẇ X (t = A(tW X (t + W X (t + W X (ta T (t + B(tV (tb T (t 27

28 z warunkiem pocz atkowym W X (t 0 = W X0. Z zastosowania tego twierdzenia do równania różniczkowego dla uchybu odtwarzania stanu wynika, że macierz wariancji W E (t uchybu E(t spe lnia równanie różniczkowe W E (t = (A(t K(tC(t W E (t + W E (t(a(t K(tC(t T + ( + I ( ( V 1 (t O I K(t O V 2 (t K T (t = = (A(t K(tC(t W E (t+ W E (t(a(t K(tC(t T +V 1 (t+k(tv 2 (tk T (t z warunkiem pocz atkowym W E (t 0 = W X0. Bior ac pod uwagȩ, że (A(t K(tC(t = (A T (t C T K T (t T, dokonuj ac zamiany t na t t i podstawiaj ac W E (t = P (t t (t = t 0 + t k. możemy równanie dla wariancji uchybu napisać w postaci P (t = (A T (t t C T (t tk T (t t T P (t+ P (t(a T (t t C T (t tk T (t t+ +V 1 (t t + K(t tv 2 (t tk T (t t (t t k, a warunek pocz atkowy zast apić warunkiem końcowym P (t k = W X0. Wykażemy, że forma kwadratowa F (t = x T (t P (tx(t określona za pomoc a macierzy P (t bȩd acej rozwi azaniem ostatniego równania różniczkowego przybiera wartość minimaln a, gdy K T (t t = V 1 2 (t tc(t tp (t, 28

29 przy czym P (t jest rozwi azaniem równania Riccatiego o postaci P (t = P (ta T (t t + A(T tp (t + V 1 (t t P (tc T (t tv 1 2 (t tc(t tp (t (t T k, z warunkiem końcowym P (t k = W X0. Rozważmy obiekt opisany równaniem stanu ẋ(t = A T (t tx(t + C T (t tu(t objȩty ujemnym sprzȩżeniem zwrotnym u(t = K T (t tx(t oraz wskaźnik jakości o postaci I(t = tk t (x T (τv 1 (t tx(τ + u T (τv 2 (t tu(τdτ + x T (t k W X0 x(t k. Dla obiektu ze sprzȩżeniem zwrotnym równanie stanu przybierze postać ẋ(t = (A T (t t C T (t tk T (t tx(t, a wskaźnik jakości można zapisać jako I(t = tk t (x T (τ(v 1 (t t+k(t tv 2 (t tk T (t tx(τdτ+x T (t k W X0 x(t k. Wykażemy, że wskaźnik jakości I(t jest równy formie kwadratowej F (t bȩd acej rozwi azaniem równania różniczkowego dla P (t z zadanym warunkiem końcowym. Różniczkuj ac wskaźnik jakości I(t otrzymujemy I(t = x T (t(v 1 (t t + K(t tv 2 (t tk T (t tx(t. Z kolei różniczkuj ac formȩ kwadratow a F (t uzyskujemy F (t = ẋ T (t P (tx(t + x T P (tx(t + x T (t P (tẋ(t = = x T (t ( (A T (t t C T (t tk T (t t T P (t+ P (t + P (t(a T (t t C T (t tk T (t t x(t. 29

30 Przyrównuj ac do siebie powyższe pochodne, a co za tym idzie formy kwadratowe po prawej stronie równań uzyskujemy równanie różniczkowe dla P (t, a warunek końcowy dla tej wielkości wynika z wyrażenia dla I(t k. Z określenia pomocniczego obiektu sterowania i jego wskaźnika jakości wynika, że optymalne rozwi azanie problemu LKSO dla tego obiektu jest reprezentowane przez macierz K T (t t, a co za tym idzie przez macierz P (t bȩd ac a rozwi azaniem równania Riccatiego przy zadanym warunku końcowym. Równanie różniczkowe dla P (t po podstawieniu zależności dla K T (t t przybiera postać równania dla P (t. Wynika st ad, że P (t P (t (t [t 0, t k ]. Podobnie z porównania równań dla W (t i W E (t wynika, że W E (t W E (t (t [t 0, t k ], tr( W E (tq(t tr(w E (tq(t. Oznacza to, że macierz K(t określona w twierdzeniu zapewnia minimum wskaźnika jakości J. Z powyższych rozważań wynika nastȩpuj acy algorytm syntezy optymalnego obserwatora przy zak lóceniach o znanych statystykach: 1 Maj ac dane macierze A(t, C(t, V 1 (t, V 2 (t i W X0 określamy równanie Riccatiego dla W E (t z zerowym warunkiem pocz atkowym. 2 Stosuj ac jedn a z numerycznych metod rozwi azywania równań różniczkowych Riccatiego wyznaczamy macierz W E (t. 3 Określamy macierz K(t optymalnego obserwatora z zależności K(t = W E (tc T (tv 1 2 (t. Przyk lad: Niech bȩdzie dany liniowy obiekt sterowania opisany równaniami stanu i wyjścia ( ( ( Ẋ(t = X(t + U(t + W 1 (t, Y (t = ( 1 0 X(t + W 2 (t, gdzie W 1 (t i W 2 (t s a skalarnymi nieskorelowanymi bia lymi szumami o tej samej sta lej niezależnej od czasu intensywności V. Określamy równanie Riccatiego dla pomocniczej macierzy W E (t 30

31 ( ( ( ( Ẇ E (t = W E (t+w E (t + W E (t V (1 1 0 W E (t, V 1 przy czym oraz W E (t = ( w 11 (t w 21 (t W E (0 = 0. w 12 (t w 22 (t W tym przypadku macierz K(t optymalnego obserwatora redukuje siȩ do macierzy kolumnowej ( w 11 (t K(t = V 1. w 21 (t 31

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.

Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych

Bardziej szczegółowo

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania

Wprowadzenie do teorii sterowania Wprowadzenie do teorii sterowania Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa 1996. T. Kaczorek, Teoria

Bardziej szczegółowo

Liniowe uk lady sterowania.

Liniowe uk lady sterowania. Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Stabilność liniowych uk ladów sterowania

Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

Normy wektorów i macierzy

Normy wektorów i macierzy Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych.

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. Dr hab. inż. Krystyn Styczeń, prof. PWr Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ http://krystyn.styczen.staff.iiar.pwr.wroc.pl/

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE

MATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia liczby ɛ = fl() B l ad wzglȩdny zaokr aglenia liczby 0 δ = fl() B l ad procentowy zaokr aglenia liczby 0

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych Politechnika Wroc lawska Wydzia l Elektroniki Katedra K8 Prof. dr hab. inż. Krystyn Styczeń http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F

Bardziej szczegółowo

[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)

[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3) . WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1.. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.1. Tensory macierzy Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (.1) Macierz transformowana jest równa macierzy

Bardziej szczegółowo

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1 3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci 56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD PROF. DR HAB. INŻ. TADEUSZA KACZORKA

WYKŁAD PROF. DR HAB. INŻ. TADEUSZA KACZORKA W pracy tej zostaną przedstawione: - warunki konieczne i wystarczające cykliczności macierzy A normalności macierzy transmitancji T(s); - warunki istnienia i metody doboru sprzężeń zwrotnych od stanu tak,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu.

Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych z czasem ci ag lym W podstawowym problemie sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)

Bardziej szczegółowo

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi 5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego.

Wykład z modelowania matematycznego. Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji

Bardziej szczegółowo