Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Transkrypt

1 23 kwietnia 2014

2 Korelacja - wspó lczynnik korelacji 1 Gdy badamy różnego rodzaju rodzaju zjawiska (np. przyrodnicze) możemy stwierdzić, że na każde z nich ma wp lyw dzia lanie innych czynników;

3 Korelacja - wspó lczynnik korelacji 1 Gdy badamy różnego rodzaju rodzaju zjawiska (np. przyrodnicze) możemy stwierdzić, że na każde z nich ma wp lyw dzia lanie innych czynników; 2 Wydaje sie oczywiste, że badanie zwiazków pomiedzy badanymi zjawiskami jest przedmiotem badań statystycznych;

4 Korelacja - wspó lczynnik korelacji Przyk lady - z życia 1 Ilość wypalanych papierosów przeż kobiete w trakcie ciaży a waga urodzeniowa noworodka; Ważne pytania

5 Korelacja - wspó lczynnik korelacji Przyk lady - z życia 1 Ilość wypalanych papierosów przeż kobiete w trakcie ciaży a waga urodzeniowa noworodka; 2 ilość punktów z kolokwium a ilość punktów z egzaminu koncowego; Ważne pytania

6 Korelacja - wspó lczynnik korelacji Przyk lady - z życia 1 Ilość wypalanych papierosów przeż kobiete w trakcie ciaży a waga urodzeniowa noworodka; 2 ilość punktów z kolokwium a ilość punktów z egzaminu koncowego; 3 szybkość chodzenia a pozycja spo leczna; Ważne pytania

7 Korelacja - wspó lczynnik korelacji Przyk lady - z życia 1 Ilość wypalanych papierosów przeż kobiete w trakcie ciaży a waga urodzeniowa noworodka; 2 ilość punktów z kolokwium a ilość punktów z egzaminu koncowego; 3 szybkość chodzenia a pozycja spo leczna; 4 d lugość snu w ciagu doby a masa cia la. Ważne pytania

8 Korelacja - wspó lczynnik korelacji Przyk lady - z życia 1 Ilość wypalanych papierosów przeż kobiete w trakcie ciaży a waga urodzeniowa noworodka; 2 ilość punktów z kolokwium a ilość punktów z egzaminu koncowego; 3 szybkość chodzenia a pozycja spo leczna; 4 d lugość snu w ciagu doby a masa cia la. Ważne pytania 1 Czy istnieja jakiekolwiek zależności pomiedzy wynienionymi charakterystykami?

9 Korelacja - wspó lczynnik korelacji Przyk lady - z życia 1 Ilość wypalanych papierosów przeż kobiete w trakcie ciaży a waga urodzeniowa noworodka; 2 ilość punktów z kolokwium a ilość punktów z egzaminu koncowego; 3 szybkość chodzenia a pozycja spo leczna; 4 d lugość snu w ciagu doby a masa cia la. Ważne pytania 1 Czy istnieja jakiekolwiek zależności pomiedzy wynienionymi charakterystykami? 2 A jeśli tak to jak mierzyć taka zależność?

10 Korelacja - wspó lczynnik korelacji Uwaga Zależność pomiedzy takimi charakterystykami nazywamy zwiazkiem korelacyjnym albo korelacja.

11 korelacja - wspó lczynnik korelacji Zależność funkcyjna - czyli co pami etamy ze szko ly Tajemnicza funkcja matematyczna może opisywać zależność pomi edzy zadanymi charakterystykami. Weźmy nasze ulubione ze szko ly: y = f (x), y = ax + b, y = x 2, y = a n x n + a n 1 x n Przyk ladów ze szko ly jest bardzo dużo.

12 korelacja - wspó lczynnik korelacji Zależność funkcyjna - czyli co pami etamy ze szko ly Tajemnicza funkcja matematyczna może opisywać zależność pomi edzy zadanymi charakterystykami. Weźmy nasze ulubione ze szko ly: y = f (x), y = ax + b, y = x 2, y = a n x n + a n 1 x n Przyk ladów ze szko ly jest bardzo dużo. Pytanie Czy nasze zjawisko da si e opisać choćby w przybliżeniu przy pomocy funkcji?

13 korelacja - wspó lczynnik korelacji zależność liniowa dodatnia zależność liniowa ujemna brak zależności zależność nieliniowa

14 Próbkowy wspó lczynnik korelacji Definicja Wspó lczynnikiem korelacji próbkowej nazywamy zmienna losowa: r = 1 n 1 n ( X i X S i=1 nx 1 )( Y i Ȳ ) S ny 1

15 W lasności próbkowego wspó lczynnika korelacji 1 Próbkowy wspó lczynnik korelacji jest zmienna losowa ograniczona przez liczby 1 i 1; Uwaga,Uwaga,... Wartość r = 0 nie świadczy o braku zależności mi edzy zmiennymi.

16 W lasności próbkowego wspó lczynnika korelacji 1 Próbkowy wspó lczynnik korelacji jest zmienna losowa ograniczona przez liczby 1 i 1; 2 Znak wspó lczynnika informuje o kierunku zależności (liniowa ujemna lub liniowa dodatnia); Uwaga,Uwaga,... Wartość r = 0 nie świadczy o braku zależności mi edzy zmiennymi.

17 W lasności próbkowego wspó lczynnika korelacji 1 Próbkowy wspó lczynnik korelacji jest zmienna losowa ograniczona przez liczby 1 i 1; 2 Znak wspó lczynnika informuje o kierunku zależności (liniowa ujemna lub liniowa dodatnia); 3 Wartość bezwgl edna r informuje o sile korelacji liniowej; Uwaga,Uwaga,... Wartość r = 0 nie świadczy o braku zależności mi edzy zmiennymi.

18 W lasności próbkowego wspó lczynnika korelacji 1 Próbkowy wspó lczynnik korelacji jest zmienna losowa ograniczona przez liczby 1 i 1; 2 Znak wspó lczynnika informuje o kierunku zależności (liniowa ujemna lub liniowa dodatnia); 3 Wartość bezwgl edna r informuje o sile korelacji liniowej; 4 W szczególnym przypadku, gdy r = 1 mamy do czynienia z dok ladnie liniowa zależnościa. Uwaga,Uwaga,... Wartość r = 0 nie świadczy o braku zależności mi edzy zmiennymi.

19 Jak oszukać wspó lczynnik korelacji y Jak dziecko we mgle Wartość wspó lczynnika korelacji w tym przypadku wynosi r =

20 Pu lapka - korelacje pozorne Wyniki analizy korelacji liniowej dla 17 krajów europejskich (dane z 1990 roku) pomiedzy powierzchnia, liczba mieszkańców, liczba urodzeń a liczba bocianów: powierzchnia liczba bocianów liczba mieszkańców liczba urodzeń powierzchnia liczba bocianów liczba mieszkańców liczba urodzeń

21 Pu lapka - korelacje pozorne Wyniki analizy korelacji liniowej dla 17 krajów europejskich (dane z 1990 roku) pomiedzy powierzchnia, liczba mieszkańców, liczba urodzeń a liczba bocianów: powierzchnia liczba bocianów liczba mieszkańców liczba urodzeń powierzchnia liczba bocianów liczba mieszkańców liczba urodzeń I jak tu nie wierzyć w bociana.

22 Regresja liniowa Poniżej na wykresie zosta ly umieszczone wyniki kolokwium zaliczeniowego i egzaminu z pewnego przedmiotu dla studentów studiujacych matematyke. Zależność pomiedzy wynikiem z kolokwium a wynikiem z egzaminu można przedstawić graficznie wykres rozproszenia

23 Regresja liniowa - Wykres rozproszenia egzamin kolokwium

24 Regresja liniowa Zauważmy, że w naszym przyk ladzie dużym (odpowiednio ma lym) wartościom wyniku kolokwium odpowiadaja z regu ly duże (ma le) wartości egzaminu końcowego. Mówimy w takim przypadku o zależności dodatniej miedzy zmiennymi, w odróżnieniu od zależności ujemnej, gdy duże wartości jednej zmiennej odpowiadaja w wiekszości przypadków ma lym wartościom drugiej zmiennej (zależnść ujemna).

25 Regresja liniowa - terminologia Zmienna Y bed ac a wynikiem doświadczenia bedziemy nazywali zmienna objaśniana w odróżnieniu od X zmiennej objaśniajacej ( za pomoca zmian X chcemy objaśnić zmiany zmiennej Y ).

26 Regresja liniowa - zależność funkcyjna Powstaje pytanie - Czy przedstawiona na tym wykresie chmura punktów ma choćby w przybliżeniu zależność funkcyjna? To znaczy czy punkty z wykresu uk ladaja sie wzd luż wykresu pewnej funkcji?

27 Regresja liniowa - zależność funkcyjna egzamin kolokwium

28 Wspó lczynnik korelacji W naszym przypadku (kolokwia, egzamin) wspó lczynnik korelacji wynosi co świadczy o silnej dodatniej zależności pomi edzy tymi zmiennymi.

29 Regresja liniowa - prosta regresji Zadanie Wyznaczenie prostej reprezentujacej w sposób adekwatny chmure punktów z wykresy rozproszenia.

30 Regresja liniowa - prosta regresji Zadanie Wyznaczenie prostej reprezentujacej w sposób adekwatny chmure punktów z wykresy rozproszenia. Rozwiazanie Jeżeli przyjmiemy, że funkcja liniowa ma przybliżać chmure punktów, to wartość: y i = ax i + b można interpretować jako wartość przewidywana y i na podstawie rozpatrywanej prostej. B l ad oszacowania wynosi wtedy yi y i (wartość resztowa rezyduum).

31 Regresja liniowa - metoda najmniejszych kwadratów Niech S(a, b) = Definicja n (y i yi ) 2. i=1 Prosta regresji oparta na metodzie najmniejszych kwadratów nazywamy prosta y = ax + b, dla której wartość S(a, b) jest minimalna.

32 Regresja liniowa - przydatne wzory 1 b = ȳ a x; Pytanie Jak te wzory uzyskano?

33 Regresja liniowa - przydatne wzory 1 b = ȳ a x; 2 a = r Sn X S ny. Pytanie Jak te wzory uzyskano?

34 Regresja liniowa - przydatne wzory Ca lkowita suma kwadratów n SST = (y i ȳ) 2 i=1 Suma kwadratów b l edów n SSE = (y i yi ) 2 i=1 Regresyjna suma kwadratów n SSR = (yi ȳ) 2 i=1

35 Wspó lczynnik determinacji iloraz R 2 = SSR SST nazywamy wspó lczynnikiem determinacji. W lasności R 2 1 R 2 jest miara stopnia dopasowania funkcji regresji do danych empirycznych;

36 Wspó lczynnik determinacji iloraz R 2 = SSR SST nazywamy wspó lczynnikiem determinacji. W lasności R 2 1 R 2 jest miara stopnia dopasowania funkcji regresji do danych empirycznych; 2 W naszym przypadku R 2 = r 2.

37 Wspó lczynniki prostej regresji Call: lm(formula = y ~ x) Coefficients: (Intercept) x

38 Bardziej szczegó lowy wydruk Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ** x e-12 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 17 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 17 DF, p-value: 2.555e-12