Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego"

Transkrypt

1 Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Pojȩcie procesu sterowania obejmuje zestaw trajektorii stanu i sterowania (x, u) X U, gdzie X jest przestrzeni a trajektorii stanu, a U jest przestrzeni a sterowania. Optymalizacja uk ladów sterowania oznacza poszukiwanie takiego sposobu prowadzenia procesu sterowania, który zapewnia ekstremum wskaźnika jakości procesu (wydajność procesu, koszt prowadzenia procesu, zysk z prowadzenia procesu) i jest dopuszczalny tj. spe lnia ograniczenia odzwierciedlaj ace warunki prowadzenia procesu (ograniczone zużycie surowców i energii, ograniczenia wartości chwilowych zmiennych procesowych). Dopuszczalny proces sterowania ekstremalizuj acy wskaźnik jakości nazywa siȩ optymalnym procesem sterowania, a zwi azane z nim sterowanie nazywa siȩ sterowaniem optymalnym. Różne potrzeby praktyczne prowadz a do wyróżnienia szczególnych zadań sterowania optymalnego np. zadania optymalnego sterowania docelowego, zadania optymalnego sterowania okresowego, czy też zadania optymalnego sterowania stochastycznego.. Niech u(t) = u 1 (t) 2 + u 2 (t) u m (t) 2 oznacza normȩ euklidesow a sterowania chwilowego. optymalnego przestrzeń sterowania określana jest jako unormowany zbiór funkcji ci ag lych W zależności od rodzaju zadania sterowania U. = C([, t 1 ]; R m ), u. = max t [,t 1 ] u(t) ; jako unormowany zbiór funkcji przedzia lami ci ag lych U =. P C([, t 1 ]; R m ), u =. sup t [,t 1 ] u(t) ; jako unormowany zbiór funkcji przedzia lami sta lych U =. P S([, t 1 ]; R m ), u =. max u k ; k 0 k k 1 ] jako unormowany zbiór funkcji istotnie ograniczonych U =. L ([, t 1 ]; R m ), u =. esssup u(t) ; t [,t 1 ] jako unormowany zbiór funkcji ca lkowalnych z kwadratem U =. L 2 ([, t 1 ]; R m ), u =. u(t) 2 dt; jako unormowany zbiór funkcji ca lkowalnych z kwadratem w obszarze wielowymiarowym Ω. = [, t 1 ] [0, 1] 1

2 U. = L 2 (Ω; R m ), u. = Ω u(t, z) 2 dz dt. Na podstawie wyboru przestrzeni sterowania określana jest przestrzeń trajektorii stanu jako unormowany zbiór funkcji różniczkowalnych w sposób ci ag ly X =. C 1 ([, t 1 ], R n ), x =. max x(t) + max ẋ(t) ; t [,t 1 ] t [,t 1 ] jako unormowany zbiór funkcji przedzia lami różniczkowalnych w sposób ci ag ly X =. P C 1 ([, t 1 ], R n ), x =. sup t [,t 1 ] x(t) + sup t [,t 1 ] ẋ(t) ; jako unormowany zbiór funkcji o pochodnej istotnie ograniczonej U =. W1 ([, t 1 ]; R m ), u =. esssup x(t) + esssup ẋ(t) ; t [,t 1 ] t [,t 1 ] jako unormowany zbiór funkcji o pochodnej ca lkowalnej z kwadratem X =. W1 2 ([, t 1 ], R n ), x =. ( x(t) 2 + ẋ(t) 2 )dt; jako unormowany zbiór funkcji o pochodnej ca lkowalnej z kwadratem w obszarze Ω. = [, t 1 ] [0, 1] X. = W 2 1 (Ω, R n ), x. = Ω ( x(t, z) 2 + ẋ(t, z) 2 ) dz dt. Ważn a klas a zadań sterowania optymalnego s a zadania optymalnego sterowania docelowego formu lowane w odniesieniu do procesów mechanicznych, elektromechanicznych, metalurgicznych, chemicznych, biotechnologicznych i wielu innych. Podstawowe zadanie optymalnego sterowania docelowego polega na minimalizacji ca lkowego wskaźnika jakości G(x, u) = g(x(t), u(t), t)dt z uwzglȩdnieniem równania stanu procesu ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [, t 1 ], warunków dwugranicznych x( ) = x 0, x(t 1 ) = x 1, oraz ograniczeń chwilowych sterowania u(t) U, t [, t 1 ], 2

3 gdzie x 0, x 1 R n, U R m, zaś u P C([, t 1 ]; R m ), x P C 1 ([, t 1 ]; R n ) lub u C([, t 1 ]; R m ), x C 1 ([, t 1 ]; R n ). Przyk lad. Minimalnoenergetyczne nagrzewanie zbiornika z ciecz a: zminimalizować straty energetyczne G(x, u) = 1 0 u 2 (t)dt procesu nagrzewania opisywanego równaniem stanu ẋ(t) = ax(t) + bu(t), t [0, 1] z warunkami dwugranicznymi x(0) = x 0, x(1) = x 1, gdzie x(t) jest temperatur a cieczy w zbiorniku w chwili t, x 0 jest jego zadan a temperatur a pocz atkow a, x 1 jest jego zadan a temperatur a końcow a, u(t) jest natȩżeniem pr adu obwodu grzejnego, a jest wspó lczynnikiem stygniȩcia cieczy, zaś b jest wspó lczynnikiem nagrzewania cieczy. Przyk lad. Minimalnoenergetyczne sterowanie tarcz a obrotow a: zminimalizować straty energetyczne G(x, u) = u 2 (t)dt procesu przestawiania tarczy obrotowej opisywanej równaniami stanu z warunkami dwugranicznymi ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = bu(t), t [, t 1 ], x i ( ) = x i (0), x i (t 1 ) = x i (1) (i = 1, 2), gdzie x 1 (t) oznacza po lożenie k atowe tarczy, x 2 (t) oznacza prȩdkość k atow a tarczy, zaś u(t) jest napiȩciem obwodu steruj acego silnika. W zadaniach tych pominiȩto ograniczenia chwilowe sterowania zak ladaj ac, że postać wskaźnika jakości automatycznie ograniczy chwilow a wartość sterowania. 3

4 Przyk lad. Minimalnoczasowa stabilizacja oscylatora: sprowadzić oscylator do po lożenia równowagi w minimalnym czasie G(x, u) = z uwzglȩdnieniem równań stanu oscylatora dt = t 1 ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = ax 1 (t) + bu(t), t [, t 1 ], warunków dwugranicznych x i ( ) = x i0, x i (t 1 ) = x i1, i = 1, 2, oraz ograniczeń chwilowych sterowania u(t) 1, t [, t 1 ], gdzie x 1 (t) jest po lożeniem oscylatora w chwili t, x 2 (t) jest prȩdkości a oscylatora, u(t) jest jego si l a stabilizuj ac a, a jest wspó lczynnikiem amortyzatora sprȩżynowego, zaś b jest wspó lczynnikiem oddzia lywania si ly stabilizuj acej. Przyk lad. Minimalnoczasowa stabilizacja oscylatora z t lumieniem w lasnym: sprowadzić oscylator do po lożenia równowagi w minimalnym czasie G(x, u) = dt = t 1 z uwzglȩdnieniem równań stanu oscylatora ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = a 1 x 1 (t) a 2 x 2 (t) + bu(t), t [, t 1 ], warunków dwugranicznych x i ( ) = x i0, x i (t 1 ) = x i1, i = 1, 2, oraz ograniczeń chwilowych sterowania u(t) 1, t [, t 1 ], gdzie x 1 (t) jest po lożeniem oscylatora w chwili t, x 2 (t) jest prȩdkości a oscylatora, u(t) jest jego si l a stabilizuj ac a, a 1 jest wspó lczynnikiem amortyzatora sprȩżynowego, a 2 jest wspó lczynnikiem t lumika, zaś b jest wspó lczynnikiem oddzia lywania si ly stabilizuj acej. 4

5 Do rozwi azywania zadań optymalnego sterowania docelowego zastosować można klasyczne metody rachunku wariacyjnego, metody analizy funkcjonalnej oraz zaawansowane metody nieliniowego programowania. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych dla przypadku jednowymiarowego. Rozważymy w pierwszej kolejności przypadek jednowymiarowy pojedynczej krzywej (n = 1, m = 1). Za lóżmy, że równanie stanu pozwala jednoznacznie określić sterowanie u(t) w funkcji stanu x(t), pochodnej stanu ẋ(t) oraz czasu t tj. ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) u(t) = F (x(t), ẋ(t), t). Podstawiaj ac uzyskane wyrażenie do wskaźnika jakości sprowadzamy problem optymalnego sterowania docelowego do zadania rachunku wariacyjnego: zminimalizować funkcjona l zależny od krzywej x, jej pochodnej ẋ i czasu t G(x) = g(x(t), ẋ(t), t)dt z wiȩzami ustalaj acymi po lożenie pocz atkowe i końcowe krzywej x( ) = x 0, x(t 1 ) = x 1. Zadanie wariacyjne polega wiȩc na wyborze krzywej x l acz acej punkty (, x 0 ) oraz (t 1, x 1 ) i minimalizuj acej funkcjonal G(x). Aby określić warunki konieczne optymalności krzywej w zadaniu wariacyjnym zak ladamy, że krzywa jest elementem przestrzeni funkcji różniczkowalnych w sposób ci ag ly tj. x C 1 ([, t 1 ]; R n ), x =. max x(t) + max ẋ(t) t [,t 1 ] t [,t 1 ] Definicja: Funkcjona l G(x) osi aga na krzywej ˆx lokalne s labe ekstremum, jeżeli istnieje takie ɛ > 0, że ( x ˆx ɛ) ( G(x) G(ˆx))) tj. dla wszystkich krzywych z C 1 -otoczenia krzywej ˆx wartości funkcjona lu G(x) nie s a mniejsze od G(ˆx). 5

6 Mówimy w tym przypadku o s labym ekstremum, gdyż rozwi azanie ekstremalne porównujemy z s asiednimi krzywymi różniczkowalnymi w sposób ci ag ly (czyli z krzywymi z C 1 -otoczenia) w odróżnieniu od porównania z s asiednimi krzywymi ci ag lymi (czyli z krzywymi z C-otoczenia). Niech ˆx + αδx C 1 ([, t 1 ]; R n ) bȩdzie zaburzeniem krzywej ekstremalnej ˆx spe lniaj acym równania wiȩzów (warunki graniczne) δx( ) = 0, δx(t 1 ) = 0, przy czym α R jest parametrem rzeczywistym. Funkcjona l G(x) traktowany jako funkcja parametru α przybierze postać G(α) = g(ˆx(t) + αδx(t), ˆx(t) + αδẋ(t), t)dt. Ponieważ funkcja G z za lożenia osi aga dla α = 0 ekstremum, to d G dα α=0 = 0. Zak ladaj ac, że funkcja g ma ci ag le pochodne cz astkowe g x i gẋ uzyskujemy oraz d G(α) t1 dα = ( gx (ˆx + αδx(t), ˆx(t) + αδẋ(t), t)δx(t)+ gẋ(ˆx(t) + αδx(t), ˆx(t) + αδẋ, t)δẋ(t) ) dt gdzie d G(α) t1 dα α=0 = (ˆ g x (t)δx(t) + ˆ gẋ(t)δẋ(t) ) dt, ˆ g x (t). = g x (ˆx(t), ˆx(t), t), ˆ gẋ(t). = gẋ(ˆx(t), ˆx(t), t). Zastosowanie wzoru na ca lkowanie przez czȩści i uwzglȩdnienie wiȩzów krzywej prowadzi do zależności ˆ gẋ(t)δẋ(t)dt = ˆ gẋ(t)δx(t) t 1 t0 = ˆ gẋ(t 1 )δx(t 1 ) ˆ gẋ(t)δx( ) = d dt ˆ gẋ(t)δx(t)dt. d dt ˆ gẋ(t)δx(t)dt d dt ˆ gẋ(t)δx(t)dt 6

7 Mamy wiȩc d G(α) t1 dα α=0 = (ˆ g x (t) d dt ˆ gẋ(t) ) δx(t)dt = 0. Aby ostatnie wyrażenie by lo równe zeru dla dowolnych wariacji δx(t) krzywej ˆx(t) wyrażenie w nawiasie musi być równe zeru tj. spe lnione musi być równanie Eulera-Lagrange a ˆ g x (t) d dt ˆ gẋ(t) = 0, t [, t 1 ]. Twierdzenie: Warunkiem koniecznym s labego lokalnego ekstremum funkcjona lu G(x) na zbiorze krzywych x C 1 z wiȩzami x( ) = x 0, x(t 1 ) = x 1 jest spe lnienie równania Eulera-Lagrange a na krzywej ekstremalnej ˆx. Krzywe spe lniaj ace równanie Eulera-Lagrange a nazywamy ekstremalami. Aby stwierdzić czy dana ekstremala stanowi minimum funkcjona lu (a nie maksimum lub punkt przegiȩcia) stosujemy warunki optymalności wyższych rzȩdów. W szczególności warunki optymalności drugiego rzȩdu uzyskujemy obliczaj ac drug a pochodn a = d 2 G(α) dα 2 α=0 (ˆ g xx (t)δx 2 (t) + 2ˆ g xẋ (t)δx(t)δẋ(t) + ˆ gẋẋ (t)δẋ 2 (t) ) dt. Ponieważ zawsze można dobrać wariacjȩ δx(t) krzywej ˆx(t) ma l a co do modu lu lecz z dowolnie duż a pochodn a, wiȩc o znaku drugiej pochodnej decyduje wyrażenie ˆ gẋẋ (t). Wynika st ad, że warunkiem koniecznym drugiego rzȩdu osi agania minimum przez ekstremalȩ ˆx jest nierówność Legendre a ˆ gẋẋ (t) 0, t [, t 1 ]. Warunkiem dostatecznym drugiego rzȩdu osi agania minimum przez ekstremalȩ ˆx jest ostra nierówność Legendre a ˆ gẋẋ (t) > 0, t [, t 1 ], pod warunkiem, że ekstremala nie posiada tzw punktów sprzȩżonych. 7

8 Dla zadania z przyk ladu 1 z parametrami a = 2, b = 1 i wiȩzami x(0) = 1, x(1) = 2 uzyskujemy u(t) = ẋ(t) + 2x(t) i sprowadzamy zadanie optymalnego sterowania docelowego do zadania wariacyjnego postaci: zminimalizować funkcjona l G(x) = uwzglȩdniaj ac wiȩzy krzywej 1 0 (ẋ(t) + 2x(t)) 2 dt x(0) = 1, x(1) = 2. W tym przypadku g(x(t), ẋ(t), t) = (ẋ(t)+2x(t)) 2 i równanie Eulera-Lagrange a przybiera postać ˆ g x (t) d dt ˆ gẋ(t) = 4(ẋ + 2x(t)) d 2(ẋ(t) + 2x(t)) dt = 4ẋ(t) + 8x(t) 2ẍ(t) 4ẋ(t) = 2ẍ(t) + 8x(t) = 0 czyli ẍ(t) 4x(t) = 0. Tak wiȩc równanie Eulera-Lagrange a ma dla badanego przyk ladu postać liniowego stacjonarnego równania różniczkowego, którego rozwi azanie określamy wyznaczaj ac pierwiastki równania charakterystycznego r 2 4 = 0 r 1,2 = ±2 ˆx(t) = c 1 e 2t + c 2 e 2t û(t) = 2c 1 e 2t 2c 2 e 2t + 2c 1 e 2t + 2c 2 e 2t = 4c 1 e 2t. Sterowanie optymalne jest wiȩc dla rozważanego procesu nagrzewania funkcj a eksponencjaln a. Sta le c i określamy z warunków granicznych uzyskuj ac ostatecznie û(t) = 8e2 4 e 4 1 e2t. Sprawdzamy warunek optymalności drugiego rzȩdu ˆ gẋẋ (t) = 2(ẋ(t) + 2x(t)) = 2 > 0. ẋ 8

9 Wyznaczone sterowanie jest wiȩc lokalnym minimum. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych dla przypadku wielowymiarowego. Uzyskane warunki optymalności uogólniamy bezpośrednio na przypadek zadania wielowymiarowego n > 1, m > 1. Zak ladamy, że wektorowe sterowanie u(t) R m można jednoznacznie określić z równań stanu w funkcji stanu x(t), jego pochodnej ẋ(t) i czasu t. Przechodzimy nastȩpnie do wielowymiarowego zadania wariacyjnego: zminimalizować funkcjona l zależny od wielowymiarowej krzywej x z wiȩzami G(x) = gdzie x(t) R n, x 0, x 1 R n. g(x(t), ẋ(t), t)dt, x( ) = x 0, x(t 1 ) = x 1, W tym przypadku badamy wariacje wektorowej trajektorii stanu ˆx i (t) + α i δx i (t), δx i ( ) = 0, δx i (t 1 ) = 0, i = 1,..., n, gdzie α i R jest parametrem wariacji i-tej wspó lrzȩdnej stanu. Wskaźnik jakości zadania wariacyjnego przybierze postać funkcji n skalarnych argumentów α 1,..., α n tj. G(α 1,..., α n ). = g(ˆx 1 (t) + α 1 δx 1 (t), ˆx 1 (t) + α 1 δẋ 1 (t),..., ˆx n (t) + α n δx n (t), ˆx n (t) + α n δẋ n (t), t)dt. Ponieważ funkcja G(α1,..., α n ) osi aga z za lożenia minimum, wiȩc musz a być spe lnione warunki konieczne optymalności pierwszego rzȩdu funkcji wielu zmiennych tj. G (0) = 0, i = 1,..., n. α i Uzyskujemy st ad po zastosowaniu wzoru na ca lkowanie przez czȩści G t1 (0) = (ˆ g xi (t)δx i (t) + ˆ gẋi (t)δẋ i (t) ) dt α i = (ˆ g xi (t) d dt ˆ gẋi (t) ) δx i (t) = 0. 9

10 Warunek konieczny optymalności pierwszego rzȩdu krzywej wielowymiarowego zadania wariacyjnego można wiȩc zapisać w postaci uk ladu równań Eulera- Lagrange a ˆ g xi (t) d dt ˆ gẋi (t) = 0, t [, t 1 ], i = 1,..., n. Celem określenia czy krzywa ekstremalna wyznaczona na podstawie warunków optymalności rzȩdu pierwszego stanowi minimum funkcjona lu G(x) (a nie jego maksimum lub punkt przegiȩcia) stosujemy warunki optymalności drugiego rzȩdu tj. badamy macierz pochodnych cz astkowych drugiego rzȩdu funkcjona lu G(x). Pochodne te przybieraj a postać 2 G(α) t1 α=0 = (ˆ g xi x α i α j (t)δx i (t)δx j (t) j +2ˆ g xi ẋ j (t)δx i (t)δẋ j (t) + ˆ gẋi ẋ j (t)δẋ i (t)δẋ j (t) ) dt. Warunki optymalności drugiego rzȩdu sprowadzaj a siȩ do badania dodatniej pó lokreśloności lub dodatniej określoności macierzy pochodnych cz astkowych drugiego rzȩdu ( 2 G(α) α i α j α=0 ) i,j=1,...,n. Stosuj ac analogiczne rozumowanie jak w przypadku warunków drugiego rzȩdu dla krzywej jednowymiarowej wnioskujemy, że o dodatniej (pó l)określoności analizowanej macierzy decydować bȩdzie macierz drugich pochodnych cz astkowych postaci (ˆ gẋiẋj (t) ) i,j=1,...,n 0 (> 0). Przyk lad. Minimalnoenergetyczne nagrzewanie uk ladu dwóch zbiorników z ciecz a: zminimalizować sumaryczne straty energetyczne G(x, u) = 1 0 (u 2 1(t) + u 2 2(t))dt procesu nagrzewania opisywanego za pomoc a równań stanu z warunkami granicznymi ẋ i (t) = a i x i (t) + u i (t), t [0, 1], i = 1, 2 x i (0) = 1, x i (1) = 2, i = 1, 2. 10

11 Sprowadzamy zadanie do postaci wariacyjnej a wiȩc oraz 1 2 u i (t) = x i (t) + a i x i (t), G(x) = (ẋ i (t) + a i x i (t)) 2 dt, 0 i=1 2 g = (ẋ i (t) + a i x i (t)) 2, g xi = 2a i (ẋ i (t) + a i x i (t)) i=1 gẋi = 2(ẋ i (t) + a i x i (t)). Zestawiamy uk lad równań Eulera-Lagrange a 2a i (ẋ i (t) + a i x i (t)) d dt 2(ẋ i(t) + a i x i (t)) = 0, i = 1, 2. St ad i a i ẋ i (t) + a 2 i (t)x i (t) ẍ i (t) a i ẋ i (t) = 0 ẍ i (t) = a 2 i x i (t), r 2 i = a 2 i, r i,1,2 = ±a i. Optymalna trajektoria stanu ma wiȩc postać ˆx i (t) = c i1 e ait + c i2 e ait, zaś sterowanie optymalne jest określone jak nastȩpuje û i (t) = 2a i c i1 e ait, t [0, 1], i = 1, 2, przy czym sta le c i1, c i2 określamy z warunków granicznych. Warunki optymalności drugiego rzȩdu sprowadzaj a siȩ do badania macierzy ) ( ) (ˆ gẋ1 ẋ 1 gẋ1 ẋ = ˆ gẋ2 ẋ 1 gẋ2 ẋ Wyznaczone rozwi azanie jest rozwi azaniem minimalizuj acym, ponieważ minory g lówne tej macierzy s a dodatnie. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych z pochodnymi wyższych rzȩdów. W niektórych przypadkach z równań stanu ẋ i (t) = f i (x(t), u(t), t), i = 1,..., n 11

12 można jednoznacznie wyznaczyć sterowanie w funkcji pewnego podwektora x(t) R k (k < n) wektora stanu x(t) R n i jego pochodnych ẋ(t), ẍ(t),..., x (n) (t) oraz czasu t tj. u(t) = F (x(t), ẋ(t), ẍ(t),..., x (n) (t), t), przy czym warunki graniczne wektora stanu x(t) implikuj a odpowiednie warunki graniczne podwektora stanu x(t) x i (t κ ) = x iκ (i = 1..., n; κ = 0, 1) x (l) (t κ ) = x (l) κ (l = 0, 1,..., n 1; κ = 0, 1). Rozpatrzmy przypadek k = 1, n > 1 i funkcjona l zadania wariacyjnego w postaci G(x) = i wariacjȩ krzywej z parametrem α R g(x(t), ẋ(t),..., x (n) (t), t)dt ˆx(t) + αδx(t), δx (l) (t κ ) = 0 (l = 0, 1,..., n 1; κ = 0, 1). Przechodzimy do α-parametryzacji funkcjona lu G(x) tj. do funkcji G(α) = ( g(ˆx(t) + αδx(t), ˆx(t) + αδẋ(t),..., ˆx (n) (t) + αδx (n) (t), t)dt. Zapisujemy warunek konieczny optymalności rzȩdu pierwszego funkcji G(α) czyli d G(α) dα = 0 (ˆ g x (t)δx(t) + g ˆx (t)δẋ(t) ˆ g x (n)(t)δx (n) (t) ) dt = 0. Do wyrażeń typu t 1 ˆ g x (l)(t)δx (l) (t)dt stosujemy l-krotnie wzór na ca lkowanie przez czȩści z uwzglȩdnieniem zerowania siȩ wariacji krzywej w wiȩzach, co prowadzi do wyrażenia ( (ˆ g x (t) d dt ˆ gẋ(t) + d2 dt 2 ˆ gẍ(t) ( 1) n dn dt n ˆ g x (n)(t))δx(t) ) dt 12

13 Uzyskujemy w ten sposób warunek konieczny optymalności pierwszego rzȩdu dla s labego ekstremum zadania wariacyjnego z pochodnymi wyższych rzȩdów w postaci równania Eulera-Poissona ˆ g x (t) d dt ˆ gẋ(t) + d2 dt 2 ˆ gẍ(t) ( 1) n dn dt n ˆ g x (n)(t) = 0, t [, t 1 ]. Warunki optymalności drugiego rzȩdu przybieraj a w tym przypadku postać ˆ g x (n) x (n) (t) 0 (> 0). Przyk lad. Minimalnoenergetyczne sterowanie tarcz a obrotow a: zminimalizować straty energetyczne G(x, u) = 1 0 u 2 (t)dt procesu przestawiania tarczy obrotowej opisywanej równaniami stanu z warunkami dwugranicznymi ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = bu(t), t [0, 1], x i (1) = 1, x i (1) = 0 (i = 1, 2), gdzie x 1 (t) oznacza po lożenie k atowe tarczy, x 2 (t) oznacza prȩdkość k atow a tarczy, zaś u(t) jest napiȩciem obwodu steruj acego silnika. Przeprowadzamy redukcjȩ problemu zadania wariacyjnego z pochodn a drugiego rzȩdu. Wyróżniamy podwektor wektora stanu w postaci x(t). = x 1 (t) i z równań stanu uzyskujemy ẍ(t) = ẋ 2 (t) = u(t). Zadanie wariacyjne przyjmuje postać: zminimalizować funkcjona l określony na krzywej x o postaci G(x) = z uwzglȩdnieniem wiȩzów krzywej 1 0 ẍ 2 (t)dt x(0) = 1, ẋ(0) = 1, x(1) = 0, ẋ(1) = 0. W tym przypadku g = ẍ 2, g x = 0, gẋ = 0, gẍ = 2ẍ i równanie Eulera-Poissona przybiera postać d 2 dt g 2 ẍ = 0 2 d4 x(t) = 0. dt4 13

14 Równanie charakterystyczne różniczkowego równania Eulera-Poissona zapisujemy jako r 4 = 0. Posiada ono czterokrotny pierwiastek zerowy. Rozwi azanie tego równania jest postaci ˆx(t) = c 0 + c 1 t + c 2 t 2 + c 3 t 3 sk ad û(t) = 6c 3 t + 2c 2. Sta le wyznaczamy z wiȩzów krzywej uzyskuj ac c 2 = 5, c 3 = 3 oraz û(t) = 18t 10, t [0, 1]. Warunek optymalności drugiego rzȩdu daje w wyniku gẍẍ = 2 > 0, a wiȩc wyznaczone rozwi azanie jest poszukiwanym minimum. Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego z ograniczeniami chwilowymi sterowania i z uwik lanym sterowaniem w równaniach stanu Rozważmy zadanie optymalnego sterowania docelowego z uwik lanym sterowaniem w równaniach stanu i z ograniczeniami chwilowymi sterowania: zminimalizować wskaźnik jakości G(x, u) = uwzglȩdniaj ac równanie stanu g(x(t), u(t), t)dt ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [, t 1 ], warunki graniczne x( ) = x 0, x(t 1 ) = x 1 14

15 oraz ograniczenia chwilowe sterowania u(t) U, t [, t 1 ]. Niech chwilowe ograniczenia sterowania bȩd a postaci u(t) u max, t [, t 1 ]. Wprowadzamy funkcjȩ kary za przekroczenie ograniczeń chwilowych { 0 gdy u j (t) u max j K j (u j (t)) = ρ j u j (t) u max j 2 gdy u j (t) > u max j gdzie ρ j > 0 jest wspó lczynnikiem kary. Wraz ze wzrostem wspó lczynnika kary ρ j + funkcja kary staje siȩ coraz bardziej stroma i tym samym coraz dok ladniejsza. Stosuj ac metodȩ funkcyjnych mnożników Lagrange a λ(t) dla równań stanu i funkcjȩ kary K(u(t)). = m j=1 K j(u j (t)) dla ograniczeń chwilowych sterowania w l aczamy te ograniczenia do wskaźnika jakości modyfikuj ac go do postaci G(x, λ, u). = ( g(x(t), u(t), t) +λ T (t)(ẋ(t) f(x(t), u(t), t)) + K(u(t)) ) dt minimalizowanego przy jedynych pozosta lych ograniczeniach jakimi s a warunki graniczne x( ) = x 0, x(t 1 ) = x 1. Tak wiȩc rozszerzamy zakres zmiennych do postaci wektora zmiennych funkcyjnych (x, λ, u) traktuj ac je jako równoprawne zmienne optymalizacyjne z przestrzeni C 1. Warunki konieczne optymalności określimy definiuj ac funkcjȩ g jak nastȩpuje g(x(t), ẋ(t), λ(t), λ(t), u(t), u(t), t) = g(x(t), u(t), t) + λ T (t)(ẋ(t) f(x(t), u(t), t)) + K(u(t)) i zapisujemy warunki konieczne optymalności w postaci nastȩpuj acego uk ladu równań Eulera-Lagrange a ˆ g x (t) d dt ˆ gẋ(t) = 0, t [, t 1 ], ( ) 15

16 ˆ g λ (t) d dt ˆ g λ(t) = 0, t [, t 1 ], ( ) ˆ g u (t) d dt ˆ g u (t) = 0, t [, t 1 ], ( ). Jest to uk lad 2n + m równań różniczkowych dla 2n + m zmiennych funkcyjnych. Mnożnik funkcyjny λ(t) nazywany jest także zmienn a sprzȩżon a lub zmienn a kostanu (wektorem kostanu). Równanie (*) nazywane jest równaniem sprzȩżonym lub równaniem kostanu optymalnego, równanie (**) jest równaniem stanu optymalnego, zaś (***) jest równaniem sterowania optymalnego. Uk lad tych równań pozwala dla niektórych klas problemów sterowania optymalnego efektywnie sparametryzować sterowanie optymalne, co u latwia jego dookreślenie za pomoc a prostego dodatkowego algorytmu obliczeniowego. Minimalnoczasowe sterowanie docelowe dla uk ladów liniowych Zadanie polega na minimalizacji czasu realizacji procesu docelowego G(x, u) = dt = t 1 z uwzglȩdnieniem liniowego stacjonarnego równania stanu uk ladu ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t [, t 1 ], warunków dwugranicznych x( ) = x 0, x(t 1 ) = x 1 oraz ograniczeń chwilowych sterowania u(t) u max, t [, t 1 ]. Rozszerzamy zestaw zmiennych i zapisujemy zmodyfikowany wskaźnik jakości G(x, λ, u) = ( 1 + λ T (t)(ẋ(t) Ax(t) Bu(t)) + K(u(t)) ) dt. Mamy wiȩc g x (t) = λ T (t)a, gẋ(t) = λ T (t), 16

17 g λ (t) = (ẋ(t) Ax(t) Bu(t)) T, g λ(t) = 0, g u (t) = λ T (t)b + K u (u(t)), g u (t) = 0. Uk lad równań Eulera-Lagrange a przyjmie postać równanie kostanu optymalnego λ T (t)a λ T (t) = 0, równanie stanu optymalnego ẋ(t) Ax(t) Bu(t) = 0, równanie sterowania optymalnego λ T (t)b + K u (u(t)) = 0. Przyk lad. Minimalnoczasowe sprowadzanie oscylatora idealnego do po lożenia równowagi, jeśli jest on opisywany równaniami stanu ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = x 1 (t) + u(t), t [0, t 1 ], z warunkami granicznymi x i (0) = x i0, x i (t 1 ) = 0, i = 1, 2 i z ograniczeniami chwilowymi sterowania u(t) 1. Schemat rozważanego uk ladu przedstawiony jest na rysunku ściana podstawowa amortyzator sprȩżynowy Maszyna M si la stabilizuj aca W tym przypadku ( ) ( ) 0 1 A =, A T 0 1 =

18 Oznacza to, że zmienne kostanu spe lniaj a równania λ 1 (t) = λ 2 (t), λ2 (t) = λ 1 (t), λ 1 (t) = λ 1 (t), r 2 = 1, r 1,2 = ±j, λ 1 (t) = c 1 sin(t + c 2 ), λ 2 (t) = c 1 cos(t + c 2 ), K u (u(t)) = λ 2 (t). Ostatnie równanie jest równaniem sterowania minimalnoczasowego oscylatora idealnego. Implikuje ono, że sterowanie to przyjmuje wy l acznie wartości û(t) = ±1. Podstawienie tego sterowania do równań stanu pozwala określić kszta lt trajektorii stanu dla sterowania minimalnoczasowego. ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = x 1 (t) ± 1 ẍ 1 (t) = x 1 (t) ± 1 x 1 (t) = c 1 cos t + c 2 sin t ± 1, x 2 (t) = c 1 sin t + c 2 cos t, x 10 = c 1 ± 1; x 20 = c 2 x 1 (t) = (x 10 1)cos t + x 20 sin t ± 1; x 2 (t) = (x 10 1)sin t + x 20 cos t. Na tej podstawie ustalamy zwi azek miȩdzy zmiennymi x 1 (t) i x 2 (t) podnosz ac do kwadratu ostatnie zależności (x 1 (t) 1) 2 = (x 10 1) 2 cos 2 t + x 2 20sin 2 t +2(x 10 1)cos t x 20 sin t, x 2 2(t) = (x 10 1) 2 sin 2 t + x 2 20cos 2 t 2(x 10 1)cos t x 20 sin t czyli (x 1 1) 2 + x 2 2 = (x 10 1) 2 + x Tak wiȩc trajektorie stanu oscylatora s a okrȩgami o środku (1, 0) dla sterowania û(t) = +1 i okrȩgami o środku ( 1, 0) dla sterowania û(t) = 1. Promień okrȩgu jest równy ρ = ( ) 1/2. (x 10 1) 2 + x 20 18

19 Trajektorie stanu oscylatora idealnego dla sterowania û(t) = +1 x 2 1 x 1 19

20 Trajektorie stanu oscylatora idealnego dla sterowania û(t) = 1 x 2-1 x 1 Wnioski z równania sterowania optymalnego: Sterowanie minimalnoczasowe przyjmuje wartości +1 lub 1 (jest typu bang-bang). Czas sta lości sterowania minimalnoczasowego na poziomie +1 lub 1 nie może być d luższy niż π jednostek czasu (okres drgań badanego oscylatora wynosi 2π, a czas przebiegu po lowy okrȩgu wynosi π). Tylko pierwszy i ostatni przedzia l sta lości sterowania może być mniejszy od π, a wszystkie pośrednie przedzia ly (jeśli wszystkich przedzia lów sta lości sterowania jest wiȩcej niż dwa) musz a być równe π. Przyk lad 7. Minimalnoczasowe sprowadzanie oscylatora idealnego do po lożenia 20

21 równowagi z dowoln a czȩstotliwości a drgań w lasnych ściana podstawowa amortyzator sprȩżynowy Maszyna M si la stabilizuj aca Uk lad o charakterze oscylatora idealnego jest opisywany równaniami stanu ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = a 1 x 1 (t) + u(t), t [0, t 1 ], z warunkami granicznymi x i (0) = x i0, x i (t 1 ) = 0, i = 1, 2 i z ograniczeniami chwilowymi sterowania u(t) 1, gdzie a 1 jest wspó lczynnikiem amortyzatora sprȩżynowego. Dla celów analizy w lasności matematycznych modelu uk ladu użyteczna jest symetryzacja równań stanu uzyskiwana przez podstawienia ω = a 1, x 1 (t) := x 1 (t)/ω. Równania stanu oscylatora idealnego ze sterowaniem po symetryzacji przybieraj a postać ẋ 1 (t) = ωx 2 (t), ẋ 2 = ωx 1 (t) + u(t), t [0, t 1 ]. W tym przypadku macierze stanu, kostanu i sterowania można zapisać nastȩpuj aco: ( ) ( ) ( ) 0 ω A =, A T 0 ω 0 =, B = ω 0 ω 0 1 Równanie optymalnego kostanu λ(t) = A T λ T (t) 21

22 implikuje dla zmiennych sprzȩżonych równania λ 1 (t) = ωλ 2 (t), λ2 (t) = ωλ 1 (t). Uk lad ten można zredukować do pojedynczego równania drugiego rzȩdu z równaniem charakterystycznym λ 1 (t) = ω 2 λ 1 (t) r 2 = ω 2, r 1,2 = ±jω. Oznacza to, że zmienne sprzȩżone s a w tym przypadku okresowymi funkcjami czasu i w szczególności λ 2 (t) = αsin(ωt + β). Z równania optymalnego sterowania uzyskujemy K u (u(t)) = λ 2 (t). Wynika st ad, że przebieg sterowania minimalnoczasowego jest określony zależności a û(t) = sign(αsin(ωt + β)). Wnioski z równania sterowania minimalnoczasowego: Sterowanie minimalnoczasowe oscylatora idealnego przyjmuje wartości +1 lub 1 (jest typu bang-bang). Czas sta lości sterowania minimalnoczasowego na poziomie +1 lub 1 nie może być d luższy niż π/ω jednostek czasu (okres drgań badanego oscylatora wynosi 2π/ω, a czas przebiegu po lowy okrȩgu wynosi π/ω). Tylko pierwszy i ostatni przedzia l sta lości sterowania może być mniejszy od π/ω, a wszystkie pośrednie przedzia ly (jeśli wszystkich przedzia lów sta lości sterowania jest wiȩcej niż dwa) musz a być równe π/ω. Liczba prze l aczeń sterowania minimalnoczasowego może nieograniczenie narastać wraz ze wzrostem czȩstotliwości sterowania. Kszta lt trajektorii stanu oscylatora idealnego ze sterowaniem û(t) = +1: ẋ 1 (t) = ωx 2 (t), ẋ 2 (t) = ωx 1 (t)

23 ẍ 1 (t) = ω 2 x 1 (t) + ω x 1 (t) = 1/ω + c 1 cos ωt + (c 2 /ω)sin ωt, x 2 (t) = c 1 ωsin ωt + c 2 cos ωt x 10 = c 1 + 1/ω; x 20 = c 2 ω x 1 (t) = 1/ω + (x 10 1/ω)cos ωt + x 20 sin ωt, x 2 (t) = (x 10 1/ω)sin ωt + x 20 cos ωt ωx 1 (t) 1 = (ωx 10 1)cos ωt + ωx 20 sin ωt, ωx 2 (t) = (ωx 1 (t) 1)sin ωt + ωx 20 cos ωt. Na tej podstawie ustalamy zwi azek miȩdzy zmiennymi x 1 (t) i x 2 (t) podnosz ac do kwadratu ostatnie zależności (ωx 1 1) 2 + (ωx 2 ) 2 = (ωx 10 1) 2 + (ωx 20 ) 2. Stosuj ac analogiczne przekszta lcenia uzyskujemy dla sterowania u = 1 (ωx 1 + 1) 2 + (ωx 2 ) 2 = (ωx 10 1) 2 + (ωx 20 ) 2. Tak wiȩc trajektorie stanu oscylatora idealnego s a, we wspó lrzȩdnych (ωx 1, ωx 2 ), okrȩgami o środku (1, 0) dla sterowania û(t) = +1 i okrȩgami o środku ( 1, 0) dla sterowania û(t) = 1. Promień okrȩgu jest równy ρ = ((ωx10 1) 2 + (ωx 20 ) 2). 23

24 ωx 2 ωx 1 ωx 2 ωx 1 24

25 Przyk lad. Minimalnoczasowe sprowadzanie oscylatora z t lumieniem w lasnym do po lożenia równowagi. ściana podstawowa amortyzator sprȩżynowy Obiekt sterowania M si la stabilizuj aca t lumik Uk lad o charakterze oscylatora z t lumieniem w lasnym jest opisywany równaniami stanu ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = x 1 (t) 2ξx 2 (t) + u(t), t [0, t 1 ], z warunkami granicznymi x i (0) = x i0, x i (t 1 ) = 0, i = 1, 2 i z ograniczeniami chwilowymi sterowania u(t) 1, gdzie ξ (0, 1) jest wspó lczynnikiem t lumienia oscylatora. Dla celów analizy w lasności matematycznych modelu uk ladu dokonujemy symetryzacji równań stanu wprowadzaj ac nowe wspó lrzȩdne stanu za pomoc a przekszta lcenia ( x 1 x 2 ) = ξ 2 1 ξ ξ 1 2 ( z 1 z 2 ) czyli ( z 1 z 2 ) = ( ) ( 1 ξ 2 0 ξ 1 x 1 x 2 ) 25

26 Równania stanu w nowych wspó lrzȩdnych przybior a postać ( ) ( ) ( ) ż 1 (t) 1 ξ = ż 2 (t) ξ 1 1 2ξ ξ 2 1 ξ ξ 1 2 ( ) z 1 (t) z 2 (t) ( ) u(t) czyli ( ) ( ) ( ) ( ) ż 1 (t) ξ 1 ξ 2 = ż 2 (t) z 1 (t) 0 + u(t). 1 ξ 2 ξ z 2 (t) 1 Zadanie minimalnoczasowego sterowania dla oscylatora z t lumieniem w lasnym w nowych wspó lrzȩdnych stanu przybierze postać: zminimalizować wskaźnik jakości G(z, u) = uwzglȩdniaj ac ograniczenia w postaci przekszta lconych równań stanu ż(t) = Az(t) + Bu(t), t [0, t 1 ], z(0) = z 0, z(t 1 ) = z 1 oraz w postaci maksymalnej dopuszczalnej amplitudy sterowania u(t) 1, t [0, t 1 ], gdzie ( ) ( ) ξ 1 ξ 2 A = 0, B = u(t). 1 ξ 2 ξ 1 Zapisujemy zmodyfikowany funkcjona l Lagrange a G(z, λ, u) = oraz równania Eulera-Lagrange a 0 0 dt ( 1 + λ T (t)(ż(t) Az(t) Bu(t)) + K(u(t)) ) dt λ(t) = A T λ(t), ż(t) = Az(t) + Bu(t), K u (u(t)) = λ T (t)b, gdzie ( A T ξ = 1 ξ 2 26 ) 1 ξ 2 ξ

27 Z równania optymalnego sterowania wynika, że û(t) = sign(λ 2 (t)). W zwi azku z tym analizujemy rozwi azanie równań sprzȩżonych przyjmuj acych w zapisie skalarnym postać λ 1 (t) = ξλ 1 (t) + 1 ξ 2 λ 2 (t), λ 2 (t) = 1 ξ 2 λ 1 (t) + ξλ 2 (t). Wyznaczamy rozwi azanie uk ladu równań sprzȩżonych jako uk ladu stacjonarnych jednorodnych równań różniczkowych λ 1 (t) = C 1 e ξt sin( 1 ξ 2 t + C 2, λ 2 (t) = C 1 e ξt cos( 1 ξ 2 t + C 2. Tak wiȩc sterowanie minimalnoczasowe określone jest przez znak funkcji typu cosαt (modulowanej przez eksponentȩ) û(t) = sign(c 1 e ξt cos( 1 ξ 2 t + C 2 ). Wynika st ad, że sterowanie minimalnoczasowe dla oscylatora z t lumieniem w lasnym przyjmuje wartości +1 lub -1 i zachowuje sta l awartość nie d lużej niż π 1 ξ 2 jednostek czasu. Aby określić krzyw a prze l aczeń sterowania minimalnoczasowego zapisujemy równania stanu dla u(t) = ±1: i ich rozwi azanie dla û = +1 ż 1 (t) = ξz 1 (t) + 1 ξ 2 z 2 (t), ż 2 (t) = ξz 1 (t) ξz 2 (t) ± 1. oraz dla û = 1 z 1 (t) = 1 ξ 2 + C 1 e ξt cos( 1 ξ 2 t + C 2 ), z 2 (t) = ξ C 1 e ξt sin( 1 ξ 2 t + C 2 ) z 1 (t) = 1 ξ 2 + C 1 e ξt cos( 1 ξ 2 t + C 2 ), 27

28 z 2 (t) = ξ C 1 e ξt sin( 1 ξ 2 t + C 2 ). Wprowadzaj ac wspó lrzȩdna biegunowe uzyskujemy dla û(t) = +1 ρ(t). = C 1 e ξt, ϕ(t). = 1 ξ 2 t C 2 z 1 (t) 1 ξ 2 = ρ(t)cos ϕ(t), z 2 (t) ξ = ρ(t)sin ϕ(t). Trajektoria stanu opisywana tymi równaniami jest spiral a logarytmiczn a o środku ( 1 ξ 2, ξ). Natomiast dla û(t) = 1 uzyskujemy z 1 (t) + 1 ξ 2 = ρ(t)cos ϕ(t), z 2 (t) + ξ = ρ(t)sin ϕ(t). Trajektoria stanu opisywana tymi równaniami jest spiral a logarytmiczn a o środku ( 1 ξ 2, ξ). Po lowa zwoju każdej ze wskazanych spirali odpowiada π 1 ξ jednostkom 2 czasu. Pierwsze dwa kawa lki krzywej prze l aczeń określone s a spiralami przechodz acymi przez pocz atek uk ladu wspó lrzȩdnych. Kolejne kawa lki krzywej prze l aczeń określane s a przez osi aganie tych pierwszych kawa lków za pomoc a po lowy zwoju spirali jako przebiegu trajektorii stanu uk ladu odpowiadaj acego π 1 ξ 2 jednostkom czasu. Każdemu stanowi pocz atkowemu po lożonemu nad krzyw a prze l aczeń odpowiada sterowanie optymalne û(t) = 1, a pod krzyw a - sterowanie optymalne û(t) =

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania

Bardziej szczegółowo

Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.

Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji

Bardziej szczegółowo

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego

Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Wprwadzenie d metd sterwania ptymalneg Literatura pdstawwa T. Kaczrek i inni, Pdstawy terii sterwania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczrek, Teria sterwania i systemów, PWN, Warszawa 1996. T. Kaczrek, Teria

Bardziej szczegółowo

Liniowe uk lady sterowania.

Liniowe uk lady sterowania. Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja

Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać

Bardziej szczegółowo

Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.

Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag

Bardziej szczegółowo

Stabilność liniowych uk ladów sterowania

Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje

Bardziej szczegółowo

Metody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego

Metody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego Metody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego Problem optymalnego sterowania procesem dynamicznym może polegać na polega na minimalizacji wskaźnika jakości obejmuj acego koszty

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji

Bardziej szczegółowo

liniowych uk ladów sterowania

liniowych uk ladów sterowania Sterowalność i obserwowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t),

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania

Wprowadzenie do teorii sterowania Wprowadzenie do teorii sterowania Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa 1996. T. Kaczorek, Teoria

Bardziej szczegółowo

Sterowanie optymalne

Sterowanie optymalne Sterowanie optymalne Sterowanie Procesami Ciągłymi 2017 Optymalizacja statyczna funkcji Funkcja celu/kryterialna/kosztów Ograniczenie Q(x) min x x = arg min Q(x) x x X, gdzie X zbiór rozwiązań dopuszczalnych

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia.   mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L Ćwiczenia METODY PRZYBLIŻONE ROZWIA ZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA METODA WARIACYJNA metoda wariacyjna ĤΨ n = E n Ψ n Ψ n ortonormalne Szukamy rozwi azań dla stanu podstawowego,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

Po wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej:

Po wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej: ROZDZIA L Metoda sympleksowa Motto: Matematyka nie może wype lnić życia ale jej nieznajomość już niejednemu je wype lni la H Steinhaus Tablica sympleksowa Rozważmy ZPL w postaci klasycznej maksymalizować

Bardziej szczegółowo

Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas

Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?

ANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych.

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. Dr hab. inż. Krystyn Styczeń, prof. PWr Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ http://krystyn.styczen.staff.iiar.pwr.wroc.pl/

Bardziej szczegółowo

Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu.

Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych z czasem ci ag lym W podstawowym problemie sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

na p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s 1. (1.1) s 0 + t 1 t 0

na p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s 1. (1.1) s 0 + t 1 t 0 Chapter 1 Interpolacja 1.1 Interpolacja liniowa Zacznijmy opis pojȩcia inter-polacji od prostego przyk ladu. Przyk lad 1.1 Oblicz ile kilometrȯw przejecha l samochȯd po 3 godzinach jazdy, jeżeli po jednej

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x

Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0 2 1 0 3 1 2 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:

Bardziej szczegółowo

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE.

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE. 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 1 0 3 1 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 018 1 1 Projekt dziesi aty Contents

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych Politechnika Wroc lawska Wydzia l Elektroniki Katedra K8 Prof. dr hab. inż. Krystyn Styczeń http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych

Bardziej szczegółowo

ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x

ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia

Matematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej

Bardziej szczegółowo

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 z y 0 x Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 2018 1 1 Projekt trzynasty

Bardziej szczegółowo

w = w i ξ i. (1) i=1 w 1 w 2 :

w = w i ξ i. (1) i=1 w 1 w 2 : S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 11.III.2005 1 I. MACIERZ LINIOWEGO ODWZOROWANIA PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Wyobraźmy sobie, że przestrzeń wektorowa W jest zbudowana z kombinacji liniowych n liniowo

Bardziej szczegółowo

Trigonometria. Funkcje trygonometryczne

Trigonometria. Funkcje trygonometryczne 1 Trigonometria. Funkcje trygonometryczne Trigonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trigonometria by lo używane w czasach starożytnych

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.

Bardziej szczegółowo

g liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek

g liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek . Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

czastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw adres strony www, na której znajda

czastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami:   karpinw adres strony www, na której znajda Zadania z równań różniczkowych czastkowych Za l aczam adres strony www, na której znajda Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: http://math.uni.lodz.pl/ karpinw Zadanie 1. Znaleźć wszystkie rozwiazania

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice

Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja

P (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja 19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem

Bardziej szczegółowo

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.

1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych

Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Niech bȩdzie dany uk lad sterowania taki, że nie wszystkie jego zmienne stanu s a bezpośrednio dostȩpne (mierzalne. Uk lad pozwalaj

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6A, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzut środkowy i jego niezmienniki Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne

Programowanie matematyczne dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag

Bardziej szczegółowo

Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej

Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej

Bardziej szczegółowo

Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego

Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego kwiecień 2012 Sterowanie Teoria Przykład wahadła na wózku Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem

Bardziej szczegółowo

Monika Musia l. METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe)

Monika Musia l. METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe) Monika Musia l METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe) ĤΨ i = E i Ψ i W metodzie mieszania konfiguracji wariacyjna funkcja falowa, jest liniow a kombinacj a

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

Cia la i wielomiany Javier de Lucas

Cia la i wielomiany Javier de Lucas Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma

Bardziej szczegółowo

Metody rzutowania i funkcji barierowych dla problemów sterowania optymalnego

Metody rzutowania i funkcji barierowych dla problemów sterowania optymalnego Metody rzutowania i funkcji barierowych dla problemów sterowania optymalnego Problem optymalnego sterowania procesem dynamicznym z ograniczeniami zasobowymi może polegać na polega na minimalizacji wskaźnika

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R

Bardziej szczegółowo

Definicja problemu programowania matematycznego

Definicja problemu programowania matematycznego Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe drugiego rze

Równania różniczkowe liniowe drugiego rze Przyk lad 14.1 Omówimy jeszcze jeden przyk lad zagadnienia prowadza cego do równania pierwszego rze. Za lóżmy, że spadochroniarz wyskoczy l z samolotu na wysokości 1500 m i że spada swobodnie aż do wysokości

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA. Spis pojȩċ teoretycznych

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA. Spis pojȩċ teoretycznych 1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA Spis pojȩċ teoretycznych 1. Podstawowe pojȩcia: doświadczenie losowe, zdarzenie elementarne, zdarzenie losowe, przestrzeń zdarzeń elementarnych, zbiór zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych I Newton sformu lowa l podstawowe zasady dynamiki Druga zasada dynamiki ma postać wzoru F = m a F oznacza tu si le dzia laja ca na cia lo o masie m, a oznacza przyspieszenie tego cia la Przyspieszenie

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki arytmetyczne n a

Pierwiastki arytmetyczne n a Chapter 1 Pierwiastki arytmetyczne n a Operacja wyci aganie pierwiastka stopnia n z liczby a jest odwrotn a operacj a do potȩgowania, jeżeli operacja odwrotna jest wykonalna w liczbach rzeczywistych. Zacznijmy

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Systemów Dynamicznych (4)

Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ

Bardziej szczegółowo

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy

Bardziej szczegółowo

Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.

Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y

Bardziej szczegółowo

Zamiast ogólnych wzorów w przestrzeni euklidesowej o dwolnym wymiarze, rozważmy przestrzeń trójwymiarow a. Przypuśćmy, że ktoś podaje nam równanie

Zamiast ogólnych wzorów w przestrzeni euklidesowej o dwolnym wymiarze, rozważmy przestrzeń trójwymiarow a. Przypuśćmy, że ktoś podaje nam równanie S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 4.IV.005 I. ROZMAITOŚCI STOPNIA W PRZESTRZENI EUKLIDESOWEJ Rozmaitość drugiego stopnia w przestrzeni euklidesowej to hiperpowierzchnia opisana warunkiem, który

Bardziej szczegółowo

Normy wektorów i macierzy

Normy wektorów i macierzy Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,

Bardziej szczegółowo