TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l"

Transkrypt

1 TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l

2 PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera

3 Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r 2,σ 2,...) zależnej od 3N wspó lrzȩdnych przestrzennych i N wspó lrzȩdnych spinowych poszukujemy funkcji gȩstości ρ(x, y, z) zależnej od trzech wspó lrzȩdnych przestrzennych ρ(r) = N 1 2 dτ 2 dτ 3...dτ N Ψ(r,σ 1,r 2,σ 2,...,r N,σ N ) 2 σ 1 = 1 2

4 I twierdzenie Hohenberga i Kohna Gȩstość elektronowa stanu podstawowego ρ o wyznacza potencja l zewnȩtrzny uk ladu (z dok ladności a do sta lej). Gȩstość elektronowa potencja l zewnȩtrzny V hamiltonian Ĥ funkcja falowa Ψ o ρ o = Ĥ = Ψ o = E o

5 Gȩstość elektronowa cz asteczki C 2 H 4 (przekrój w p laszczyźnie cz asteczki) Lucjan Piela, Idee chemii kwantowej, PWN, Warszawa 2003.

6 II twierdzenie Hohenberga i Kohna Istnieje funkcjona l daj acy najniższ a energiȩ uk ladu, czyli energiȩ stanu podstawowego, tylko wtedy gdy funkcja gȩstości elektronowej jest dok ladn a funkcj a gȩstości stanu podstawowego ρ o.

7 Zastosowanie II Twierdzenia HK Metoda Kohna-Shama: Wyznaczanie (spin)orbitali molekularnych (atomowych) Równania Kohna-Shama

8 Hamiltonian uk ladu Ĥ = 1 2 N i=1 2 i N i=1 K α=1 Z α r iα + N i>j=1 1 r ij + K α>β=1 Z α Z β r αβ sta la Ĥ = ˆT e + ˆV ej + ˆV ee + ˆV jj

9 Naj latwiej przedstawić metodȩ DFT w ujȩciu Kohna-Shama odnosz ac j a do metody Hartree-Focka.

10 METODA HARTREE-FOCKA Funkcja falowa: wyznacznik Slatera Ψ HF = 1 N! φ 1 (1) φ 1 (2) φ 1 (N) φ 2 (1) φ 2 (2) φ 2 (N).... φ N (1) φ N (2) φ N (N) φ i spinorbitale Hartree-Focka wyznaczone w oparciu o kryterium wariacyjne daj ace najniższ a energiȩ dla jednowyznacznikowej funkcji falowej

11 Gȩstość elektronowa ρ w metodzie Hartree-Focka Dla funkcji falowej zapisanej poprzez wyznacznik Slatera ρ(r) = N i φ HF i (r) 2 φ HF i spinorbitale molekularne (atomowe)

12 Czy możemy mówić o funkcji falowej w metodzie DFT? Ściśle bior ac nie, bo metoda DFT pos luguje siȩ wy l acznie funkcj a gȩstości. PROBLEM Z WYZNACZENIEM ENERGII KINETYCZNEJ: E kin ρ3 5 bardzo z le przybliżenie. Pomys l Kohna i Shama Wprowadźmy orbitale daj ace dok ladn a gȩstość ρ(r) = N i=1 φ KS i (r) 2 Jeżeli utworzymy z nich wyznacznik to bȩdzie to,,pseudofunkcja falowa, albo funkcja falowa dla tzw. elektronów nieoddzia luj acych.

13 METODA DFT Ψ KS wyznacznikowa funkcja falowa dla elektronów nieoddzia luj acych Ψ KS = 1 N! φ 1 (1) φ 1 (2) φ 1 (N) φ 2 (1) φ 2 (2) φ 2 (N).... φ N (1) φ N (2) φ N (N) E kin = Ψ KS 1 2 φ i spinorbitale Kohna-Shama i 2 i Ψ KS znacznie lepsze przybliżenie

14 Ogólny zapis równań HF ( V eff )φ i = ǫ i φ i V eff potencja l efektywny Hartree-Focka

15 Ogólny zapis równań KS ( V KS )φ i = ǫ i φ i V KS potencja l zewnȩtrzny dobrany tak by uk lad N nieoddzia luj acych elektronów wykazywa l dok ladn a gȩstość elektronow a.

16 RÓWNANIA HARTREE-FOCKA F(i)φ p (i) = ǫ p φ p (i) p = 1, 2,...N F(i) operator Focka φ p spinorbitale

17 RÓWNANIA KOHNA-SHAMA F(i)φ p (i) = ǫ p φ p (i) p = 1, 2,...N F(i) operator Kohna-Shama φ p spinorbitale

18 Metoda Hartree-Focka Operator Focka F(i) = h(i) + N q=1 J q (i) N q=1 K q (i) h(i) operator jednoelektronowy J q (i) operator kulombowski K q (i) operator wymienny

19 Metoda Kohna-Shama Operator Kohna-Shama F(i) = h(i) + N q=1 J q (i)+v xc (i) h(i) operator jednoelektronowy J q (i) operator kulombowski V xc (i) operator korelacyjno-wymienny

20 Metoda Hartree-Focka Operator jednoelektronowy h(i) = i K α=1 Z α r iα Z α ladunek j adra α r iα odleg lość elektron-j adro

21 Metoda Kohna-Shama Operator jednoelektronowy h(i) = i K α=1 Z α r iα Z α ladunek j adra α r iα odleg lość elektron-j adro

22 Metoda Hartree-Focka Operator kulombowski J q (i)φ p (i) = [ φ q(j) 1 r ij φ q (j)dτ j ]φ p (i) Operator wymienny K q (i)φ p (i) = [ φ q(j) 1 r ij φ p (j)dτ j ]φ q (i)

23 Metoda Kohna-Shama Operator kulombowski J q (i)φ p (i) = [ φ q(j) 1 r ij φ q (j)dτ j ]φ p (i) Operator korelacyjno-wymienny V xc (i) potencja l korelacyjno-wymienny (zależny od typu funkcjona lu)

24 Metoda Hartree-Focka(-Roothaana) φ i = r c ri χ r χ r funkcje bazy c ri wspó lczynniki kombinacji liniowej FC = SCE F macierz Focka C macierz wspó lczynników S macierz ca lek nak ladania

25 Metoda Kohna-Shama φ i = r c ri χ r χ r funkcje bazy c ri wspó lczynniki kombinacji liniowej FC = SCE F macierz Kohna-Shama C macierz wspó lczynników S macierz ca lek nak ladania

26 Definicje ca lek S rs = χ r χ s T rs = χ r χ s V rs = χ r α Z α r iα χ s rs tu = χ r(1)χ s(2) 1 r 12 χ t (1)χ u (2)dr 1 dr 2

27 Metoda Hartree-Focka(-Roothaana) F rs = h rs + J rs +K rs h rs = χ r h χ s = T rs + V rs J rs = tu K rs = tu p tu rt su p tu rt us p tu = N i=1 c ti c ui elementy macierzy gȩstości

28 Metoda Kohna-Shama F rs = h rs + J rs +V xc rs h rs = χ r h χ s = T rs + V rs J rs = tu p tu rt su V xc rs = χ r V xc χ s p tu = N i=1 c ti c ui elementy macierzy gȩstości

29 Rozwi azywanie równań HFR 1. Wybór bazy funkcyjnej: χ r 2. Wyznaczenie ca lek: S rs, T rs, V rs, rs tu 3. Ortogonalizacja bazy funkcyjnej: S Przyjȩcie startowych wartości dla macierzy gȩstości w przyjȩtej bazie funkcyjnej > 5. Konstrukcja macierzy Focka: F rs = h rs + J rs + K rs J rs = tu p tu rt su K rs = tu p tu rt us 6. Przejście do bazy zortogonalizowanej: F = S 1 2FS Diagonalizacja macierzy F : C 8. Wyznaczenie macierzy C : C = S 1 2C 9. Wyznaczenie macierzy gȩstości p rs 10. Jeżeli kryterium zbieżności nie jest spe lnione idź do punktu 5

30 Rozwi azywanie równań KS 1. Wybór bazy funkcyjnej: χ r 2. Wyznaczenie ca lek: S rs, T rs, V rs, rs tu 3. Ortogonalizacja bazy funkcyjnej: S Przyjȩcie startowych wartości dla macierzy gȩstości w przyjȩtej bazie funkcyjnej > 5. Konstrukcja macierzy Kohna-Shama: F rs = h rs + J rs + V xc rs J rs = tu p tu rt su V xc rs potencia l korelacyjno-wymienny 6. Przejście do bazy zortogonalizowanej: F = S 1 2FS Diagonalizacja macierzy F : C 8. Wyznaczenie macierzy C : C = S 1 2C 9. Wyznaczenie macierzy gȩstości p rs 10. Jeżeli kryterium zbieżności nie jest spe lnione idź do punktu 5

31 Funkcjona l vs. potencja l V xc = δe xc δρ Przyk lad: LDA Funkcjona l: E x [ρ] = C x ρ 4 3(r)dr Potencja l w punkcie r: V x (r) = 4 3 C xρ 1 3(r)

32 Funkcjona l dzielimy na czȩść wymienn a i czȩść korelacyjn a: E xc = E x + E c Podobnie potencja l: V xc = V x + V c

33 Ogólny podzia l funkcjona lów Zależne od gȩstości Zależne od gȩstości i gradientu gȩstości (GGA) Pozosta le (meta-gradientowe, hybrydowe,...)

34 Zależne od gȩstości wymienny: LDA (Local Density Approximation) = C x ρ3(r)dr 4 E LDA x V LDA x = 4 3 C xρ 1 3(r) gdzie C x = 3 4 (3 π )1 3 korelacyjny: VWN (Vosko, Wilk, Nusair) E V WN c - wyznaczony na drodze symulacji Monte Carlo

35 Zależne od gȩstości i gradientu gȩstości Generalized Gradient Approximation GGA E GGA xc = f xc (ρ(r), ρ(r))dr Gradient gȩstości: wyznaczenie pochodnych funkcji bazowych f xc : funkcja analityczna zawieraj aca parȩ liczb dopasowanych parametrów

36 GGA Funkcjona ly wymienne PWx86 (Perdew, Wang) B88 (Becke) PWx91 (Perdew, Wang) PBE (Perdew, Burke, Ernzerhof).

37 GGA Funkcjona ly korelacyjne Pc86 (Perdew) LYP (Lee, Yang, Parr) PWc91 (Perdew, Wang) PBE (Perdew, Burke, Ernzerhof) B96 (Becke).

38 Funkcjona ly hybrydowe B3LYP (Becke3LYP) Czȩść wymienna zawiera sk ladnik HF i sk ladnik DFT: E B3LY P xc = E LSDA xc + a o (E HF x Ex LSDA ) + a x Ex B88 + a c E LY P c gdzie: a o = 0.2, a x = 0.7, a c = 0.8

Teoria funkcjona lu g Density Functional Theory (DFT)

Teoria funkcjona lu g Density Functional Theory (DFT) Teoria funkcjona lu g estości Density Functional Theory (DFT) Cz eść slajdów tego wyk ladu pochodzi z wyk ladu wyg loszonego przez dra Lukasza Rajchela w Interdyscyplinarnym Centrum Modelowania Matematycznego

Bardziej szczegółowo

Notatki do wyk ladu IV (z 27.10.2014)

Notatki do wyk ladu IV (z 27.10.2014) Dla orbitalnego momentu p edu (L): Notatki do wyk ladu IV (z 7.10.014) ˆL ψ nlm = l(l + 1) ψ nlm (1) ˆL z ψ nlm = m ψ nlm () l + 1 możliwych wartości rzutu L z na wyróżniony kierunek w przestrzeni (l -liczba

Bardziej szczegółowo

Rozdział 23 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Rozdział 23 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 3 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA 3.1 Wstęp Metoda ta umożliwia opis układu złożonego z wielu jonów i elektronów w stanie podstawowym. Hamiltonian układu

Bardziej szczegółowo

Struktura elektronowa czasteczek. przybliżenie Borna-Oppenheimera. równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader

Struktura elektronowa czasteczek. przybliżenie Borna-Oppenheimera. równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader Notatki do wyk ladu VII Struktura elektronowa czasteczek przybliżenie Borna-Oppenheimera rozwiazanie równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader przybliżenie jednoelektronowe metoda

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI 22.1 Wstęp Definiujemy dla gazu elektronowego operatory anihilacji ψ σ (r) i kreacji ψ σ(r) pola fermionowego ψ σ

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia, drugi Sylabus modułu: Chemia teoretyczna (023) 1. Informacje ogólne koordynator modułu dr hab. Monika Musiał, prof. UŚ rok akademicki

Bardziej szczegółowo

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji

Bardziej szczegółowo

Metoda oddzia lywania konfiguracji (CI)

Metoda oddzia lywania konfiguracji (CI) Metoda oddzia lywania konfiguracji (CI) Spinorbitale: obsadzone φ a i wirtualne φ r : ɛ a ɛ HOMO, ɛ r ɛ LUMO ê r a wykonuje podstawienie φ a φ r, np. ê 7 2 φ 1 φ 2 φ 3... φ N = φ 1 φ 7 φ 3... φ N Operator

Bardziej szczegółowo

Modelowanie molekularne

Modelowanie molekularne Modelowanie molekularne metodami chemii kwantowej Dr hab. Artur Michalak Zakład Chemii Teoretycznej Wydział Chemii UJ Wykład 4 http://www.chemia.uj.edu.pl/~michalak/mmod2007/ Podstawowe idee i metody chemii

Bardziej szczegółowo

Notatki do wyk ladu V (z ) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka)

Notatki do wyk ladu V (z ) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka) Notatki do wyk ladu V (z 03.11.014) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka) Metoda wariacyjna, w której przyjmuje sie, że przybliżona funkcja falowa, opisujaca stan uk ladu n-elektronowego ma postać wyznacznika

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia, pierwszy poziom Sylabus modułu: Chemia kwantowa 021 Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): 1. Informacje ogólne koordynator modułu

Bardziej szczegółowo

JEDNOSTKI ATOMOWE =1, m e =1, e=1, ; 1 E 2 h = 4, J. Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych:

JEDNOSTKI ATOMOWE =1, m e =1, e=1, ; 1 E 2 h = 4, J. Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych: do wyk ladu z 1.10.13 Atom wodoru i jon wodoropodobny Ze - ladunek jadra, e - ladunek elektronu, µ - masa zredukowana µ = mem j m e+m j ( µ m e ) M j - masa jadra, m e - masa elektronu, ε 0 - przenikalność

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Oddzia lywania miedzycz. jony molekularne lub atomy. edzy A i B:

Oddzia lywania miedzycz. jony molekularne lub atomy. edzy A i B: Notatki do wyk ladu XIII Oddzia lywania miedzycz asteczkowe A i B zamknietopow lokowe czasteczki, jony molekularne lub atomy. Energia oddzia lywania E oddz mi edzy A i B: E oddz = E AB (E A + E B ) ()

Bardziej szczegółowo

Oddzia lywania miedzycz. jony molekularne lub atomy. edzy A i B:

Oddzia lywania miedzycz. jony molekularne lub atomy. edzy A i B: Notatki do wyk ladu XIII Oddzia lywania miedzycz asteczkowe A i B zamknietopow lokowe czasteczki, jony molekularne lub atomy. Energia oddzia lywania E oddz mi edzy A i B: E oddz = E AB (E A + E B ) ()

Bardziej szczegółowo

Modelowanie molekularne

Modelowanie molekularne Modelowanie molekularne metodami chemii kwantowej Dr hab. Artur Michalak Zakład Chemii Teoretycznej Wydział Chemii UJ Wykład 4 http://www.chemia.uj.edu.pl/~michalak/mmod2007/ Podstawowe idee i metody chemii

Bardziej szczegółowo

Podstawowe metody i przybliżenia: metoda wariacyjna, rachunek zaburzeń

Podstawowe metody i przybliżenia: metoda wariacyjna, rachunek zaburzeń Wyk lad 6 Podstawowe metody i przybliżenia: metoda wariacyjna, rachunek zaburzeń Uk lady modelowe czastka swobodna czastka na barierze potencja lu czastka w pudle oscylator harmoniczny oscylator Morse

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: Chemia. Drugi. Sylabus modułu: Chemia kwantowa i modelowanie molekularne (0310-CH-S2-B-062)

Kierunek i poziom studiów: Chemia. Drugi. Sylabus modułu: Chemia kwantowa i modelowanie molekularne (0310-CH-S2-B-062) Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia. Drugi. Sylabus modułu: Chemia kwantowa i modelowanie molekularne (0310-CH-S2-B-062) 1. Informacje ogólne koordynator modułu dr

Bardziej szczegółowo

Symbol termu: edu (sumy ca lkowitego orbitalnego momentu edu i ca lkowitego spinu) Przyk lad: 2 P 3. kwantowa

Symbol termu: edu (sumy ca lkowitego orbitalnego momentu edu i ca lkowitego spinu) Przyk lad: 2 P 3. kwantowa Notatki do wyk ladu VI (z 18.11.2013) Symbol termu: 2S+1 L (1) L -liczba kwantowa ca lkowitego orbitalnego momentu pedu Duże litery S, P, D, F, itd. dla L=0, 1, 2, 3, itd. 2S+1 - multipletowość; S - liczba

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe ab initio w fizyce struktur atomowych. Wykład 1: Wstęp

Metody obliczeniowe ab initio w fizyce struktur atomowych. Wykład 1: Wstęp Metody obliczeniowe ab initio w fizyce struktur atomowych. Wykład 1: Wstęp dr inż. Paweł Scharoch, dr Jerzy Peisert Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej, 03.02.2005r. Streszczenie: wyjaśnienie pojęcia

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Dynamika molekularna - gaz van der Waalsa

Dynamika molekularna - gaz van der Waalsa Hamiltonian uk ladu Dynamika molekularna - gaz van der Waalsa Sk lada siȩ z N atomów u, oddzia luj acych parami miȩdzy sob a oraz ze ściankami sferycznego naczynia. Oddzia lywania opisuje potencja l Lennarda-

Bardziej szczegółowo

Modelowanie molekularne

Modelowanie molekularne k08 Modelowanie molekularne metodami chemii kwantowej Dr hab. Artur Michalak Zakład hemii Teoretycznej Wydział hemii UJ Wykład 1 http://www.chemia.uj.edu.pl/~michalak/mmod2007/ Theoretical chemistry Quantum

Bardziej szczegółowo

Stany atomu wieloelektronowego o określonej energii. być przypisywane elektrony w tym stanie atomu.

Stany atomu wieloelektronowego o określonej energii. być przypisywane elektrony w tym stanie atomu. Notatki do wyk ladu VI Stany atomu wieloelektronowego o określonej energii. Konfiguracja elektronowa atomu - zbiór spinorbitali, wykorzystywanych do konstrukcji funkcji falowej dla danego stanu atomu;

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 9 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZABURZEŃ. Monika Musiał

RACHUNEK ZABURZEŃ. Monika Musiał RACHUNEK ZABURZEŃ Monika Musiał Rachunek zaburzeń jest podstawową obok metody wariacyjnej techniką obliczeniową stosowaną do rozwiązywania równania Schrödingera. Idea metody zaburzeniowej sprowadza się

Bardziej szczegółowo

Rotacje i drgania czasteczek

Rotacje i drgania czasteczek Rotacje i drgania czasteczek wieloatomowych Gdy znamy powierzchnie energii potencjalnej V( R 1, R 2,..., R N ) to możemy obliczyć poziomy energetyczne czasteczki. Poziomy te sa w ogólności efektem: rotacji

Bardziej szczegółowo

Modelowanie, wybór i budowa modelu procesu. Modelowanie matematyczne. Maszyny matematyczne. Modelowanie fizyczne. Energia w reakcjach.

Modelowanie, wybór i budowa modelu procesu. Modelowanie matematyczne. Maszyny matematyczne. Modelowanie fizyczne. Energia w reakcjach. Modelowanie, wybór i budowa modelu procesu. Modelowanie służy do poznania danego procesu, po przez zastąpienie go uproszczonym układem, który odzwierciedla jedynie wybrane cechy procesu. Analizę informacji

Bardziej szczegółowo

Dotyczy to zarówno istniejących już związków, jak i związków, których jeszcze dotąd nie otrzymano.

Dotyczy to zarówno istniejących już związków, jak i związków, których jeszcze dotąd nie otrzymano. Chemia teoretyczna to dział chemii zaliczany do chemii fizycznej, zajmujący się zagadnieniami związanymi z wiedzą chemiczną od strony teoretycznej, tj. bez wykonywania eksperymentów na stole laboratoryjnym.

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Podstawy chemii obliczeniowej

Podstawy chemii obliczeniowej Podstawy chemii obliczeniowej Anna Kaczmarek Kędziera Katedra Chemii Materiałów, Adsorpcji i Katalizy Wydział Chemii UMK, Toruń Elementy chemii obliczeniowej i bioinformatyki 2015 Plan wykładu 15 godzin

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Chemia kwantowa makroczasteczek dla III roku biofizyki; kurs WBt-ZZ28

Chemia kwantowa makroczasteczek dla III roku biofizyki; kurs WBt-ZZ28 Chemia kwantowa makroczasteczek konspekt wyk ladu dla III roku biofizyki; kurs WBt-ZZ28 Mariusz Radoń (ostatnia aktualizacja: 5 czerwca 2017) Z uwagi na roboczy charakter niniejszych notatek moga sie w

Bardziej szczegółowo

Wykład 16: Atomy wieloelektronowe

Wykład 16: Atomy wieloelektronowe Wykład 16: Atomy wieloelektronowe Funkcje falowe Kolejność zapełniania orbitali Energia elektronów Konfiguracja elektronowa Reguła Hunda i zakaz Pauliego Efektywna liczba atomowa Reguły Slatera Wydział

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Załącznik Nr 5 do Zarz. Nr 33/11/12

Załącznik Nr 5 do Zarz. Nr 33/11/12 Załącznik Nr 5 do Zarz. Nr 33/11/12 Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: CHEMIA TEORETYCZNA 2. Kod przedmiotu: - 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:

Bardziej szczegółowo

Car-Parrinello Molecular Dynamics

Car-Parrinello Molecular Dynamics Car-Parrinello Molecular Dynamics Praktyczne wprowadzenie Łukasz Walewski ljw@icm.edu.pl Interdyscyplinarne Centrum Modelowania Matematycznego i Komputerowego Zakład Biofizyki, Wydział Fizyki Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

Właściwości fizyczne l-alaniny jako elementu biosensora promieniowania jonizującego

Właściwości fizyczne l-alaniny jako elementu biosensora promieniowania jonizującego POLITECHNIA WROCŁAWSA WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNII INSTYTUT INŻYNIERII BIOMEDYCZNEJ I POMIAROWEJ Właściwości fizyczne l-alaniny jako elementu biosensora promieniowania jonizującego mgr Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

W poszukiwaniu kszta ltów kulistych

W poszukiwaniu kszta ltów kulistych W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch

Bardziej szczegółowo

13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe)

13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe) Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 13 UKŁADY KILKU CZĄSTEK W MECHANICE KWANTOWEJ 13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe) Zajmiemy się kwantowym opisem atomu He

Bardziej szczegółowo

{E n ( k 0 ) + h2 2m (k2 k 2 0 )}δ nn + h m ( k k 0 ) p nn. c nn = E n ( k)c nn (1) gdzie ( r)d 3 r

{E n ( k 0 ) + h2 2m (k2 k 2 0 )}δ nn + h m ( k k 0 ) p nn. c nn = E n ( k)c nn (1) gdzie ( r)d 3 r to w pobliżu dna (lub szczytu) pasma (k k 0 ) zależność E(k) jest paraboliczna ale z mas a m m 0 Jeśli pasma nie s a energetycznie dobrze separowalne lub energetycznie zdegenerowane (kwazizdegenerowane)

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej.

Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej. Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej. Zagadnienie diety. Jak wymieszać wymieszać pszenice, soje i maczk e rybna by uzyskać najtańsza

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Symetria w obliczeniach molekularnych

Symetria w obliczeniach molekularnych Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ 15 marca 2005 1 2 Możliwości przyspieszenia obliczeń 3 GAMESS 2004 4 Zastosowania symetrii Zmniejszenie zapotrzebowania na zasoby (procesor, pami eć, dysk) Utrzymanie

Bardziej szczegółowo

5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej

5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej Kiedy może być potrzebne numeryczne wyznaczenie pierwszej lub wyższej pochodnej funkcji jednej zmiennej? mamy f(x), nie potrafimy znaleźć analitycznie jej pochodnej, nie znamy postaci f(x), mamy stablicowane

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie w lasności molekularnych w stanach wzbudzonych oraz w uk ladach skoniugowanych.

Wyznaczanie w lasności molekularnych w stanach wzbudzonych oraz w uk ladach skoniugowanych. Uniwersytet Śl aski Wydzia l Matematyki Fizyki i Chemii Piotr Zerzucha Wyznaczanie w lasności molekularnych w stanach wzbudzonych oraz w uk ladach skoniugowanych. Praca doktorska wykonana w Zak ladzie

Bardziej szczegółowo

Magnetyczne metale i izolatory od antycznych odkryć do wspó lczesnej teorii

Magnetyczne metale i izolatory od antycznych odkryć do wspó lczesnej teorii Magnetyczne metale i izolatory od antycznych odkryć do wspó lczesnej teorii Krzysztof Byczuk Instytut Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Warszawski, Polska Instytut Fizyki, Uniwersytet Augsburski, Niemcy

Bardziej szczegółowo

Układy wieloelektronowe

Układy wieloelektronowe Układy wieloelektronowe spin cząstki nierozróżnialność cząstek a symetria funkcji falowej fermiony i bozony przybliżenie jednoelektonowe wyznacznik Slatera konfiguracje elektronowe atomów ciało posiadające

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C

Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6C, 1 8. Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa czo lowa wnȩtrza Rys. 6C-01:

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

5. Wykazać, że swobodny elektron nie może poch lon ać fotonu.

5. Wykazać, że swobodny elektron nie może poch lon ać fotonu. 1. Zbadać rozpraszanie cz astki na ladowanej na potencjale kulombowskim. Wyprowadzić wzór Rutherforda na przkrój czynny.. Jak a temperaturȩ ma czarna kula o średnicy 10 cm, która emituje promieniowanie

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

Korelacja elektronowa

Korelacja elektronowa Korelacja elektronowa oraz metody jej uwzgl edniania oparte na funkcji falowej Mariusz Radoń 04.04.2017 11.04.2017 Wymiana i korelacja kulombowska W metodzie HF Elektrony o jednakowych spinach nie moga

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Korelacja elektronowa w metodzie elongacji

Korelacja elektronowa w metodzie elongacji March 28, 2006 1 2 3 4 5 6 Waskie gard la metody jednowyznacznikowe wyznaczanie ca lek dwuelektronowych potrzebnych do budowy macierzy Focka: formalnie O(N 4 ), asymptotycznie O(N 2 ) diagonalizacja macierzy

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Metoda Hückla. edzy elektronami π. Ĥ ef (i) (1) i=1. kinetyczna tego elektronu oraz energie

Metoda Hückla. edzy elektronami π. Ĥ ef (i) (1) i=1. kinetyczna tego elektronu oraz energie Notatki do wyk ladu X (z 08.12.2014) Metoda Hückla Uproszczona wersja metody orbitali molekularnych (MO) w przybliżeniu liniowej kombinacji orbitali atomowych (LCAO) stosowana do opisu struktury elektronowej

Bardziej szczegółowo

Podstawy chemii obliczeniowej

Podstawy chemii obliczeniowej Podstawy chemii obliczeniowej Anna Kaczmarek Kędziera Katedra Chemii Materiałów, Adsorpcji i Katalizy Wydział Chemii UMK, Toruń Elementy chemii obliczeniowej i bioinformatyki 2015 Plan wykładu 15 godzin

Bardziej szczegółowo

MONIKA MUSIAŁ POSTULATY

MONIKA MUSIAŁ POSTULATY CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIAŁ POSTULATY Ćwiczenia Literatura Lucjan Piela, Idee chemii kwantowej, PWN, Warszawa 2003. Włodzimierz Kołos, Chemia kwantowa, PWN, Warszawa 1978. Alojzy Gołębiewski, Elementy

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, BO -Wyk lad 5, Optymalizacja sieciowa 1

A. Kasperski, M. Kulej, BO -Wyk lad 5, Optymalizacja sieciowa 1 A. Kaperki, M. Kulej, BO -Wyk lad, Opymalizacja ieciowa 1 Zagadnienie makymalnego przep lywu (MP). Przyk lad. W pewnym mieście inieje fragmen wodoci agów zadany w poaci naȩpuj acej ieci: 1 Luki oznaczaj

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,

Bardziej szczegółowo

Struktura, widma elektronowe i fotofizyka N-tlenków 2-alkiloamino-4-nitropirydyny. Badania metodami chemii kwantowej

Struktura, widma elektronowe i fotofizyka N-tlenków 2-alkiloamino-4-nitropirydyny. Badania metodami chemii kwantowej INSTYTUT FIZYKI POLSKIEJ AKADEMII NAUK W WARSZAWIE Praca doktorska Artur Makarewicz Struktura, widma elektronowe i fotofizyka N-tlenków 2-alkiloamino-4-nitropirydyny. Badania metodami chemii kwantowej

Bardziej szczegółowo

Pawe l G ladki. Problem przetargu.

Pawe l G ladki. Problem przetargu. 1 Problem przertargu Pawe l G ladki Problem przetargu. Co to jest przetarg w potocznym znaczeniu wyjaśniać chyba nie trzeba. W ujȩciu eknomicznym, za przetarg uważamy takie sytuacje, jak negocjacje handlowe

Bardziej szczegółowo

O spl ataniu kwantowym s lów kilka

O spl ataniu kwantowym s lów kilka O spl ataniu kwantowym s lów kilka Krzysztof Byczuk Instytut Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Warszawski http://www.physik.uni-augsburg.de/theo3/kbyczuk/index.html 30 styczeń 2006 Rozważania Einsteina,

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Liniowe uk lady sterowania.

Liniowe uk lady sterowania. Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa

Bardziej szczegółowo

METODA SPRZȨŻONYCH KLASTERÓW. Monika Musia l

METODA SPRZȨŻONYCH KLASTERÓW. Monika Musia l METODA SPRZȨŻONYCH KLASTERÓW Monika Musia l Jednym z ważniejszych zadań chemii kwantowej jest opracowywanie nowych metod obliczeniowych umożliwiaj acych bardzo dok ladne wyznaczanie e- nergii korelacji

Bardziej szczegółowo

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1 3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ

Bardziej szczegółowo

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Termodynamika i właściwości fizyczne stopów - zastosowanie w przemyśle

Termodynamika i właściwości fizyczne stopów - zastosowanie w przemyśle Termodynamika i właściwości fizyczne stopów - zastosowanie w przemyśle Marcela Trybuła Władysław Gąsior Alain Pasturel Noel Jakse Plan: 1. Materiał badawczy 2. Eksperyment Metodologia 3. Teoria Metodologia

Bardziej szczegółowo

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Odtwarzanie rozk ladów za pomoc a danych Monte Carlo Jakub Cholewiński, pod opiek a dr hab. Krzysztofa Woźniaka 31 lipca 2015 r. Jakub Cholewiński, pod

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe ab initio w fizyce struktur atomowych

Metody obliczeniowe ab initio w fizyce struktur atomowych Metody obliczeniowe ab initio w fizyce struktur atomowych Paweł Scharoch, Jerzy Peisert (skrypt w opracowaniu) Spis treści 1 Wstęp.......................................... 2 2 Teoria podstawowa...................................

Bardziej szczegółowo

Wykład Budowa atomu 3

Wykład Budowa atomu 3 Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6A, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzut środkowy i jego niezmienniki Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6

Bardziej szczegółowo

Tekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. Być może dojda

Tekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. Być może dojda Tekst poprawiony 27 XII, godz. 7:56. Być może dojda naste pne zadania Definicja 7. krzywej) Niech P oznacza dowolny przedzia l niezdegenerowany. Przekszta lcenie r: P IR k nazywamy krzywa. Jeśli r jest

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo