Wprowadzenie do teorii sterowania
|
|
- Władysław Turek
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wprowadzenie do teorii sterowania Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa T. Kaczorek, Teoria sterowania, PWN Warszawa t.1,1977, t.2,1981. W. Pe lczewski, Teoria sterowania, WNT, Warszawa K. Ogata, Metody przestrzeni stanów w teorii sterowania, WNT, Warszawa, Literatura uzupe lniaj aca H. Górecki, Optymalizacja systemów dynamicznych, PWN, Warszawa J. Zabczyk, Zarys matematycznej teorii sterowania,pwn, Warszawa H. Nijmeijer, A. van der Schaft, Nonlinear Dynamical Control Systems, Springer-Verlag, New York R. Vinter, Optimal Control, Birkhauser, Boston Sterowanie jest to celowe oddzia lywanie cz lowieka lub skonstruowanych przez niego urz adzeń na obiekt sterowania (natury technicznej, biologicznej, ekonomicznej) zapewniaj ace przebiegi procesów w obiekcie zgodne z przebiegami poż adanymi tj. zgodne z zadaniem sterowania. Sterowanie jest realizowane za pomoc a urz adzenia steruj acego. Zespó l urz adzenia steruj acego i obiektu sterowania nazywa siȩ uk ladem sterowania lub systemem sterowania. Wyróżnia siȩ dwie podstawowe struktury uk ladów sterowania: otwarty uk lad sterowania, w którym urz adzenie steruj ace nie korzysta z informacji o aktualnym przebiegu procesów w obiekcie Urz adzenie steruj ace Obiekt sterowania US sterowanie OS wyjście W otwartym uk ladzie sterowania zak ladana jest dok ladna aprioryczna zna- 1
2 jomość modelu obiektu. Na tej podstawie określany jest algorytm sterowania - nie uwzglȩdnia on jednak bież acych zmian w obiekcie i może być ma lo dok ladny. zamkniȩty uk lad sterowania, w którym urz adzenie steruj ace korzysta z informacji o aktualnym przebiegu procesów w obiekcie - w uk ladzie tym wprowadzane jest wiȩc sprzȩżenie zwrotne od obiektu do urz adzenia steruj acego. Urz adzenie steruj ace US sterowanie Obiekt sterowania OS wyjście W uk ladach sterowania badane s a przebiegi wielkości charakteryzuj acych obiekt sterowania i urz adzenie steruj ace. Przebiegi te traktowane s a jako funkcje czasu ci ag lego t [t 0, + ) lub jako funkcje czasu dyskretnego k = k 0, k 0 + 1, k 0 + 2,... Model matematyczny obiektu (uk ladu) obejmuje wielkości zwi azane z obiektem (uk ladem) i zależności miȩdzy nimi. Z obiektem sterowania o czasie ci ag lym zwi azane s a nastȩpuj ace charakterystyczne wielkości bȩd ace funkcjami czasu ci ag lego: Obiekt sterowania sterowanie u(t) zak lócenie z(t) stan obiektu x(t) wyjście y(t) u(t) = (u 1 (t),..., u j (t),..., u m (t)) T - sterowanie obiektu - wektor wielkości, za pomoc a których urz adzenie steruj ace oddzia lywuje na obiekt, y(t) = (y 1 (t),..., y p (t),..., y q (t)) T - wyjście obiektu - wektor wielkości mierzonych w obiekcie lub wektor wielkości, za pomoc a których obiekt oddzia lywuje na inne uk lady, 2
3 z(t) = (z 1 (t),..., z r (t),..., z s (t)) T - zak lócenie obiektu - wektor wielkości niekontrolowanych, za pomoc a których otoczenie oddzia lywuje na obiekt sterowania, x(t) = (x 1 (t),..., x i (t),..., x n (t)) T - stan obiektu - najmniejszy liczebnie zespó l wielkości, znajomość którego w danej chwili czasu t wraz ze znajomości a wymuszeń u(t) i z(t) pocz awszy od chwili t pozwala jednoznacznie określić zachowanie siȩ obiektu w przysz lości tj. przebiegi x(t) i y(t); stan obiektu charakteryzuje wnȩtrze obiektu i reprezentuje jego pamiȩć, w której gromadzone s a skutki przesz lych oddzia lywań na obiekt. Zależności miȩdzy wielkościami charakteryzuj acymi uk lad sterowania o czasie ci ag lym obejmuj a równanie stanu obiektu w postaci równania różniczkowego (liniowego lub nieliniowego) ẋ(t) = f(x(t), u(t), z(t), t), x(t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], f : R n R m R q R R n, równanie wyjścia obiektu w postaci równania funkcyjnego y(t) = g(x(t), u(t), z(t), t), t [t 0, t 1 ], g : R n R m R s R R q, równanie urz adzenia steruj acego w postaci równania funkcyjnego u(t) = ϕ(y(t), t), t [t 0, t 1 ], ϕ : R q R R m. Liniowe autonomiczne stacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu ma postać liniowego stacjonarnego równania różniczkowego ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], A R n n, B R n m, równanie wyjścia obiektu ma postać liniowego stacjonarnego równania funkcyjnego y(t) = Cx(t), t [t 0, t 1 ], C R q n, równanie urz adzenia steruj acego ma postać liniowego stacjonarnego równania funkcyjnego u(t) = Ky(t) + ψ(t), t [t 0, t 1 ], K R m q, 3
4 gdzie A - macierz stanu, B - macierz sterowania, C - macierz wyjścia, K - macierz sprzȩżenia zwrotnego. Liniowe autonomiczne niestacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu ma postać liniowego niestacjonarnego równania różniczkowego ẋ(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t), x(t 0 ) = x 0, t [t 0, t 1 ], A(t) R n n, B(t) R n m, równanie wyjścia obiektu ma postać liniowego niestacjonarnego równania funkcyjnego y(t) = C(t)x(t), t [t 0, t 1 ], C(t) R q n, równanie urz adzenia steruj acego ma postać liniowego niestacjonarnego równania funkcyjnego u(t) = K(t)y(t) + ψ(t), t [t 0, t 1 ], K(t) R m q, gdzie A(t) - niestacjonarna macierz stanu, B(t) - niestacjonarna macierz sterowania, C(t) - niestacjonarna macierz wyjścia, K(t) - niestacjonarna macierz sprzȩżenia zwrotnego. Uwzglȩdnienie opóźnień stanu i sterowania w opisie dynamiki obiektu prowadzi do równań stanu w postaci równań różniczkowych z odchylonym argumentem ẋ(t) = f(x(t), x(t h 1 ), u(t), u(t h 2 ), z(t), t), gdzie h 1 jest opóźnieniem stanu, a h 2 jest opóźnieniem sterowania. 4
5 Uwzglȩdnienie przestrzennie roz lożonego stanu i sterowania prowadzi do równań stanu w postaci równań różniczkowych o pochodnych cz astkowych x(t, s)/ t = f(x(t, s), x(t, s)/ s, u(t, s), t, s), gdzie s jest zmienn a przestrzenn a. Z obiektem sterowania o czasie dyskretnym k = k 0, k 0 +1, k 0 +2,... zwi azane s a nastȩpuj ace charakterystyczne wielkości bȩd ace funkcjami czasu dyskretnego: Obiekt sterowania sterowanie u(k) zak lócenie z(k) stan obiektu x(k) wyjście y(k) u(k) = (u 1 (k),..., u j (k),..., u m (k)) T - sterowanie obiektu z czasem dyskretnym - wektor wielkości zmienianych w chwilach czasu dyskretnego, za pomoc a których urz adzenie steruj ace oddzia lywuje na obiekt, y(k) = (y 1 (k),..., y p (k),..., y q (k)) T - wyjście obiektu z czasem dyskretnym - wektor wielkości mierzonych w obiekcie w chwilach czasu dyskretnego, z(k) = (z 1 (k),..., z r (k),..., z s (k)) T - zak lócenie obiektu z czasem dyskretnym - wektor wielkości niekontrolowanych, za pomoc a których otoczenie oddzia lywuje na obiekt sterowania w chwilach czasu dyskretnego, x(k) = (x 1 (k),..., x i (k),..., x n (k)) T - stan obiektu z czasem dyskretnym - najmniejszy liczebnie zespó l wielkości, znajomość którego w danej chwili czasu dyskretnego k wraz ze znajomości a wymuszeń u(k) i z(k) pocz awszy od chwili k pozwala jednoznacznie określić zachowanie siȩ obiektu z czasem dyskretnym w przysz lości tj. określić przebiegi x(k) i y(k). 5
6 Zależności miȩdzy wielkościami charakteryzuj acymi uk lad sterowania o czasie dyskretnym obejmuj a równanie stanu obiektu w postaci równania różnicowego (liniowego lub nieliniowego) x(k + 1) = f(x(k), u(k), z(k), k), x(k 0 ) = x 0, k [k 0, k 1 ], f : R n R m R s R R n, równanie wyjścia obiektu w postaci dyskretnego równania funkcyjnego y(k) = g(x(k), u(k), z(k), k), k [k 0, k 1 ], g : R n R m R s R R q, równanie urz adzenia steruj acego w postaci dyskretnego równania funkcyjnego u(k) = ϕ(y(k), k), k [k 0, k 1 ], ϕ : R q R R m. Liniowe dyskretne autonomiczne stacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu w postaci liniowego stacjonarnego równania różnicowego x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(k 0 ) = x 0, k [k 0, k 1 ], A R n n, B R n m, równanie wyjścia obiektu w postaci liniowego stacjonarnego dyskretnego równania funkcyjnego y(k) = Cx(k), t [k 0, k 1 ], C R q n, równanie urz adzenia steruj acego w postaci liniowego stacjonarnego dyskretnego równania funkcyjnego u(k) = Ky(k) + ψ(k), k [k 0, k 1 ], K R m q, gdzie A - macierz stanu uk ladu dyskretnego, B - macierz sterowania uk ladu dyskretnego, C - macierz wyjścia uk ladu dyskretnego, K - macierz sprzȩżenia zwrotnego uk ladu dyskretnego. Liniowe dyskretne autonomiczne niestacjonarne uk lady sterowania: równanie stanu obiektu w postaci liniowego niestacjonarnego równania różnicowego x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k), x(k 0 ) = x 0, k [k 0, k 1 ], 6
7 A(k) R n n, B(k) R n m, równanie wyjścia obiektu w postaci liniowego niestacjonarnego dyskretnego równania funkcyjnego y(k) = C(k)x(k), k [k 0, k 1 ], C(k) R q n, równanie urz adzenia steruj acego w postaci liniowego niestacjonarnego dyskretnego równania funkcyjnego u(k) = K(k)y(k) + ψ(k), k [k 0, k 1 ], K(k) R m q, gdzie A(k) - niestacjonarna macierz stanu uk ladu dyskretnego, B(k) - niestacjonarna macierz sterowania uk ladu dyskretnego, C(k) - niestacjonarna macierz wyjścia uk ladu dyskretnego, K(k) - niestacjonarna macierz sprzȩżenia zwrotnego uk ladu dyskretnego. Podstawowe zadania sterowania zwi azane z realizacj a poż adanych procesów w uk ladach sterowania obejmuj a: zadanie sterowania docelowego - zadanie polega na przeprowadzeniu obiektu z zadanego stanu pocz atkowego do zadanego stanu końcowego lub do zadanego zbioru stanów końcowych, zadanie optymalnego sterowania docelowego - zadanie polega na tym, aby spośród wszystkich trajektorii stanu przeprowadzaj acych obiekt z zadanego stanu pocz atkowego do zadanego stanu końcowego wybrać trajektoriȩ optymaln a, dla której minimalizowany jest wskaźnik jakości procesu np. czas realizacji procesu (zadanie sterowania minimalnoczasowego) lub straty energetyczne na sterowanie (zadanie sterowania minimalnoenergetycznego), zadanie sterowania okresowego - zadanie polega na zastosowaniu okresowych oddzia lywań steruj acych na obiekt, które zapewniaj a poż adane uśrednione charakterystyki procesów zachodz acych w obiekcie, zadanie optymalnego sterowania okresowego - zadanie polega na tym, aby spośród wszystkich okresowych oddzia lywań steruj acych wybrać takie, które zapewni optymalny uśredniony wskaźnik jakości procesu np. jego maksymaln a średni a wydajność, zadanie regulacji stanu - zadanie polega na tym, aby na podstawie pomiaru wyjścia obiektu określić tak a korektȩ sterowania, która zniweluje odchylenie aktualnej trajektorii stanu od jej nominalnego przebiegu; zadanie to realizowane jest wiȩc w uk ladzie ze sprzȩżeniem zwrotnym, 7
8 zadanie optymalnej regulacji stanu - zadanie polega na wyborze optymalnego sterowania koryguj acego przebieg trajektorii stanu, które np. minimalizuje straty energetyczne na sterowanie. Podstawowe zagadnienia zwi azane z realizacj a zadań sterowania obejmuj a: badanie stabilności uk ladów sterowania tj. badanie wrażliwości trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego; zaburzona trajektoria stanu uk ladu niestabilnego może nieograniczenie oddalać siȩ od trajektorii poż adanej powoduj ac awariȩ uk ladu (uszkodzenie mechaniczne wskutek nadmiernego naprȩżenia wa lu silnika, pożar instalacji wskutek nadmiernie narastaj acej temperatury uk ladu, wybuch nadmiernie sprȩżonego sk ladnika chemicznego procesu produkcyjnego), badanie sterowalności uk ladów sterowania tj. badanie istnienia sterowania docelowego przeprowadzaj acego obiekt z zadanego stanu pocz atkowego do zadanego stanu końcowego; w zwi azku z tym określane s a warunki ca lkowitej lub czȩściowej sterowalności uk ladu, badanie obserwowalności uk ladów sterowania tj. określanie warunków, przy których na podstawie znajomości sterowania i wyjścia uk ladu można jednoznacznie określić stan uk ladu, synteza uk ladów sterowania o zadanych wartościach w lasnych macierzy stanu, dla których uk lad sterowania ma duży zapas stabilności i ma l a oscylacyjność, synteza wejściowo-wyjściowych uk ladów sterowania o zadanych zerach i biegunach transmitancji operatorowej, synteza obserwatorów stanu uk ladów sterowania, badanie algorytmów sterowania optymalnego tj. określanie warunków 8
9 ich zbieżności i szybkości ich zbieżności. Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a tarcza obrotowa θ(t), Ω(t) U(t) silnik rewersyjny przek ladnia zmienna steruj aca - napiȩcie obwodu steruj acego silnika u(t) = U(t), zmienne stanu - po lożenie k atowe tarczy x 1 (t) = θ(t), prȩdkość k atowa tarczy x 2 (t) = Ω(t), zmienne wyjściowe - pomiar po lożenia k atowego za pomoc a uk ladu mostkowego y 1 (t) = c 1 θ(t), pomiar prȩdkości k atowej za pomoc a pr adnicy tachometrycznej y 2 (t) = c 2 Ω(t). Równania stanu obiektu ẋ 1 (t) = x 2 (t), x 1 (t 0 ) = x 10, ẋ 2 (t) = au(t), x 2 (t 0 ) = x 20. Równania wyjścia y 1 (t) = c 1 x 1 (t), Równanie sprzȩżenia zwrotnego y 2 (t) = c 2 x 1 (2). u(t) = k 1 y 1 (t) + k 2 y 2 (t). Wskaźniki jakości procesu sterowania docelowego tarcz a obrotow a: sterowanie minimalnoczasowe Q = t 1 t 0 dt = t 1 t 0, sterowanie minimalnoenergetyczne Q = t 1 t 0 u 2 (t)dt. Teoria struktur i systemów sterowania jest ilustrowana ćwiczeniami laboratoryjnymi ster1 - ster10 w systemie Mathematica Ćwiczenia s a pod adresami
Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych.
Dr hab. inż. Krystyn Styczeń, prof. PWr Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ http://krystyn.styczen.staff.iiar.pwr.wroc.pl/
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych
Politechnika Wroc lawska Wydzia l Elektroniki Katedra K8 Prof. dr hab. inż. Krystyn Styczeń http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych
Bardziej szczegółowoLiniowe uk lady sterowania.
Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoSterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.
Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania
Bardziej szczegółowoOpis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk
Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila
Bardziej szczegółowoliniowych uk ladów sterowania
Sterowalność i obserwowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t),
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoAnalityczne metody detekcji uszkodzeń
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 5 Model procesu Rozważmy czasowo-dyskretny model liniowy gdzie: k dyskretny czas, x(k) R n wektor stanu, x(k + 1) = Ax(k)
Bardziej szczegółowoZasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu.
Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych z czasem ci ag lym W podstawowym problemie sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoSynteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.
Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych
Bardziej szczegółowoSystemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne
Sterowanie optymalne Sterowanie Procesami Ciągłymi 2017 Optymalizacja statyczna funkcji Funkcja celu/kryterialna/kosztów Ograniczenie Q(x) min x x = arg min Q(x) x x X, gdzie X zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoProjektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych
Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Niech bȩdzie dany uk lad sterowania taki, że nie wszystkie jego zmienne stanu s a bezpośrednio dostȩpne (mierzalne. Uk lad pozwalaj
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoI. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: SYSTEMY DYNAMICZNE 2. Kod przedmiotu: Esd 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Techniki Komputerowe
Bardziej szczegółowoTematyka egzaminu z Podstaw sterowania
Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan
Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Czym jest AUTOMATYKA? Automatyka to dziedzina nauki i techniki zajmująca się teorią i praktycznym zastosowaniem urządzeń
Bardziej szczegółowoProcedura modelowania matematycznego
Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoSterowanie napędów maszyn i robotów
Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014 Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Zadanie przestawiania Postać modalna
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoMechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych
Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych 1 Sterowanie procesem oparte na jego modelu u 1 (t) System rzeczywisty x(t) y(t) Tworzenie
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laborat orium. Zaliczenie na ocenę. egzamin
Wydział Elektroniki PWr KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Metody matematyczne automatyki i robotyki Nazwa w języku angielskim: Mathematical methods of automation and robotics Kierunek studiów: Automatyka
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod sterowania optymalnego
Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Pojȩcie procesu sterowania obejmuje zestaw trajektorii stanu i sterowania (x, u) X U, gdzie X jest przestrzeni a trajektorii stanu, a U jest przestrzeni a sterowania.
Bardziej szczegółowoTransmitancje układów ciągłych
Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2017/2018
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Sterowanie ciągłe. Teoria sterowania układów jednowymiarowych
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Sterowanie ciągłe Teoria sterowania układów jednowymiarowych 1 Informacja o prowadzących zajęcia Studia stacjonarne rok II Automatyka i Robotyka
Bardziej szczegółowoStabilność liniowych uk ladów sterowania
Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje
Bardziej szczegółowoFiltr Kalmana. Struktury i Algorytmy Sterowania Wykład 1-2. prof. dr hab. inż. Mieczysław A. Brdyś mgr inż. Tomasz Zubowicz
Filtr Kalmana Struktury i Algorytmy Sterowania Wykład 1-2 prof. dr hab. inż. Mieczysław A. Brdyś mgr inż. Tomasz Zubowicz Politechnika Gdańska, Wydział Elektortechniki i Automatyki 2013-10-09, Gdańsk Założenia
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOLOGII. Roman Kaula
POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOLOGII Roman Kaula ZASTOSOWANIE NOWOCZESNYCH NARZĘDZI INŻYNIERSKICH LabVIEW oraz MATLAB/Simulink DO MODELOWANIA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH PLAN WYKŁADU Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoInżynieria Systemów Dynamicznych (4)
Inżynieria Systemów Dynamicznych (4) liniowych (układów) Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010 O czym będziemy mówili? 1 2 WE OKREŚLO 3 ASYMPTO 4 DYNAMICZ
Bardziej szczegółowoPodstawy automatyki. Energetyka Sem. V Wykład 1. Sem /17 Hossein Ghaemi
Podstawy automatyki Energetyka Sem. V Wykład 1 Sem. 1-2016/17 Hossein Ghaemi Hossein Ghaemi Katedra Automatyki i Energetyki Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa Politechnika Gdańska pok. 222A WOiO Tel.:
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Instytut Automatyki i Robotyki. Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny PODSTAWY AUTOMATYKI
Politechnika Warszawska Instytut Automatyki i Robotyki Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny PODSTAWY AUTOMATYKI 12. Regulacja dwu- i trójpołożeniowa (wg. Holejko, Kościelny: Automatyka procesów ciągłych)
Bardziej szczegółowoSterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model w przestrzeni stanów Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Do zaprojektowania układu regulacji pozycji siłownika pneumatycznego, poszukiwany jest model dynamiki układu w
Bardziej szczegółowoSterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi
Bardziej szczegółowoWYKŁAD PROF. DR HAB. INŻ. TADEUSZA KACZORKA
W pracy tej zostaną przedstawione: - warunki konieczne i wystarczające cykliczności macierzy A normalności macierzy transmitancji T(s); - warunki istnienia i metody doboru sprzężeń zwrotnych od stanu tak,
Bardziej szczegółowoDyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform
Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem
Bardziej szczegółowoTechnika regulacji automatycznej
Technika regulacji automatycznej Wykład 1 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 30 Plan wykładu Podstawowe informacje Modele układów elektrycznych
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Automatyka Automatics Forma studiów: studia stacjonarne Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoSterowanie Napędów Maszyn i Robotów
Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoObiekt. Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany).
SWB - Systemy wbudowane w układach sterowania - wykład 13 asz 1 Obiekt sterowania Wejście Obiekt Wyjście Obiekt sterowania obiekt, który realizuje proces (zaplanowany). Fizyczny obiekt (proces, urządzenie)
Bardziej szczegółowo1. Podstawowe pojęcia
1. Podstawowe pojęcia Sterowanie optymalne obiektu polega na znajdowaniu najkorzystniejszej decyzji dotyczącej zamierzonego wpływu na obiekt przy zadanych ograniczeniach. Niech dany jest obiekt opisany
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoUogólnione modele uk ladów sterowania
Uogólnione modele uk ladów sterowania Różniczkowo-algebraiczne modele uk ladów sterowania Analiza w lasności wielu uk ladów sterowania wymaga uogólnienia modeli procesów zachodz acych w tych uk ladach.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego
Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,
Bardziej szczegółowoPolitechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Podstawy Automatyki laboratorium
Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest uzyskanie wykresów charakterystyk skokowych członów róŝniczkujących mechanicznych i hydraulicznych oraz wyznaczenie w sposób teoretyczny i graficzny ich stałych czasowych.
Bardziej szczegółowoPo wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej:
ROZDZIA L Metoda sympleksowa Motto: Matematyka nie może wype lnić życia ale jej nieznajomość już niejednemu je wype lni la H Steinhaus Tablica sympleksowa Rozważmy ZPL w postaci klasycznej maksymalizować
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoAiR_TR2_5/9 Teoria Regulacji II Control Theory II. Automatyka i Robotyka I stopień ogólno akademicki studia niestacjonarne
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU AiR_TR2_5/9 Teoria Regulacji II Control Theory II Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki Zbiór zadań dla studentów II roku AiR oraz MiBM
Aademia GórniczoHutnicza im. St. Staszica w Kraowie Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyi Katedra Automatyzacji Procesów Podstawy Automatyi Zbiór zadań dla studentów II rou AiR oraz MiBM Tomasz Łuomsi
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Sterowanie ciągłe. Teoria sterowania układów jednowymiarowych
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Sterowanie ciągłe Teoria sterowania układów jednowymiarowych 1 Informacja o prowadzących zajęcia Studia stacjonarne rok II Automatyka i Robotyka
Bardziej szczegółowoAiR_TR2_5/9 Teoria Regulacji II Control Theory II. Automatyka i Robotyka I stopień ogólno akademicki studia stacjonarne
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU AiR_TR2_5/9 Teoria Regulacji II Control Theory II Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoRegulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego
Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego kwiecień 2012 Sterowanie Teoria Przykład wahadła na wózku Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoMetody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego
Metody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego Problem optymalnego sterowania procesem dynamicznym może polegać na polega na minimalizacji wskaźnika jakości obejmuj acego koszty
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L Ćwiczenia METODY PRZYBLIŻONE ROZWIA ZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA METODA WARIACYJNA metoda wariacyjna ĤΨ n = E n Ψ n Ψ n ortonormalne Szukamy rozwi azań dla stanu podstawowego,
Bardziej szczegółowoSYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD I PSPICE
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 76 Electrical Engineering 2013 Piotr FRĄCZAK* SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy
Automatyka i robotyka ETP2005L Laboratorium semestr zimowy 2017-2018 Liniowe człony automatyki x(t) wymuszenie CZŁON (element) OBIEKT AUTOMATYKI y(t) odpowiedź Modelowanie matematyczne obiektów automatyki
Bardziej szczegółowo1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI
Podstawy automatyki / Józef Lisowski. Gdynia, 2015 Spis treści PRZEDMOWA 9 WSTĘP 11 1. POJĘCIA PODSTAWOWE I RODZAJE UKŁADÓW AUTOMATYKI 17 1.1. Automatyka, sterowanie i regulacja 17 1.2. Obiekt regulacji
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 5 - Stabilność układów dynamicznych Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 43 Plan wykładu Wprowadzenie Stabilność modeli
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Zapoznanie studentów z własnościami
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCHY KOMPETENCJI EFEKTY KSZTAŁCENIA
I. KARTA PRZEDMIOTU. Nazwa przedmiotu: MATEMATYKA STOSOWANA 2. Kod przedmiotu: Ms 3. Jednostka prowadząca: Wydział Nawigacji i Uzbrojenia Okrętowego 4. Kierunek: Nawigacja 5. Specjalność: Nawigacja morska
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Sterowanie ciągłe. Teoria sterowania układów jednowymiarowych
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Sterowanie ciągłe Teoria sterowania układów jednowymiarowych 1 Informacja o prowadzących zajęcia Studia stacjonarne rok II Automatyka i Robotyka
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowow = w i ξ i. (1) i=1 w 1 w 2 :
S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 11.III.2005 1 I. MACIERZ LINIOWEGO ODWZOROWANIA PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Wyobraźmy sobie, że przestrzeń wektorowa W jest zbudowana z kombinacji liniowych n liniowo
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoMetody symulacji komputerowych Modelowanie systemów technicznych
Metody symulacji komputerowych Modelowanie systemów technicznych dr inż. Ryszard Myhan Katedra Inżynierii Procesów Rolniczych Program przedmiotu Lp. Temat Zakres 1. Wprowadzenie do teorii systemów Definicje
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:
Bardziej szczegółowoPodstawy automatyki Bases of automatic
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Podstawy automatyki
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Sterowanie ciągłe. Teoria sterowania układów jednowymiarowych
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Sterowanie ciągłe Teoria sterowania układów jednowymiarowych 1 Informacja o prowadzących zajęcia Studia stacjonarne rok II Automatyka i Robotyka
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań liniowych. Transmitancja. Charakterystyki częstotliwościowe
Zał. nr do ZW 33/01 WYDZIAŁ Informatyki i Zarządzania / STUDIUM KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Modele systemów dynamicznych Nazwa w języku angielskim Dynamic Systems Models. Kierunek studiów (jeśli
Bardziej szczegółowoProblemy optymalizacji układów napędowych w automatyce i robotyce
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Katedra Automatyki Autoreferat rozprawy doktorskiej Problemy optymalizacji układów napędowych
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoAnaliza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV
Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Odtwarzanie rozk ladów za pomoc a danych Monte Carlo Jakub Cholewiński, pod opiek a dr hab. Krzysztofa Woźniaka 31 lipca 2015 r. Jakub Cholewiński, pod
Bardziej szczegółowoRegulator PID w sterownikach programowalnych GE Fanuc
Regulator PID w sterownikach programowalnych GE Fanuc Wykład w ramach przedmiotu: Sterowniki programowalne Opracował na podstawie dokumentacji GE Fanuc dr inż. Jarosław Tarnawski Cel wykładu Przypomnienie
Bardziej szczegółowoSterowanie Serwonapędów Maszyn i Robotów
Wykład 3.1 - Modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje,
Bardziej szczegółowoPAiTM. materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż.
PAiTM materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak Poniższe materiały tylko dla studentów uczęszczających na zajęcia.
Bardziej szczegółowo