Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń."

Transkrypt

1 Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego z ograniczeniami chwilowymi sterowania i z uwik lanym sterowaniem w równaniach stanu Rozważmy zadanie optymalnego sterowania docelowego z uwik lanym sterowaniem w równaniach stanu i z ograniczeniami chwilowymi sterowania: zminimalizować wskaźnik jakości G(x, u) = uwzglȩdniaj ac równanie stanu warunki graniczne t1 oraz ograniczenia chwilowe sterowania t 0 g(x(t), u(t), t)dt ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t 0, t 1 ], x(t 0 ) = x 0, x(t 1 ) = x 1 u(t) U, t [t 0, t 1 ]. Za lóżmy chwilowe ograniczenia w postaci u(t) u max, t [t 0, t 1 ]. Wprowadzamy kwadratow a funkcjȩ kary za przekroczenie ograniczeń chwilowych K j (u j (t)) = { 0 gdy u j (t) u max j, ρ j ( u j (t) u max j ) gdy u j (t) > u max j, gdzie ρ j > 0 jest wspó lczynnikiem kary. Wraz ze wzrostem wspó lczynnika kary ρ j + funkcja kary staje siȩ coraz bardziej stroma i tym samym coraz dok ladniejsza. 1

2 Stosuj ac metodȩ funkcyjnych mnożników Lagrange a λ(t) dla równań stanu i funkcjȩ kary K(u(t)). = m j=1 K j(u j (t)) dla ograniczeń chwilowych sterowania w l aczamy te ograniczenia do wskaźnika jakości G(x, λ, u). = t1 t 0 ( g(x(t), u(t), t) + λ T (t)(ẋ(t) f(x(t), u(t), t)) + K(u(t)) ) dt minimalizowanego przy jedynych pozosta lych ograniczeniach jakimi s a warunki graniczne x(t 0 ) = x 0, x(t 1 ) = x 1. Tak wiȩc rozszerzamy zakres zmiennych do postaci wektora zmiennych funkcyjnych (x, λ, u) traktuj ac je jako równoprawne zmienne optymalizacyjne z przestrzeni C 1. Warunki konieczne optymalności określimy definiuj ac funkcjȩ g jak nastȩpuje g(x(t), ẋ(t), λ(t), λ(t), u(t), u(t), t) = g(x(t), u(t), t) + λ T (t)(ẋ(t) f(x(t), u(t), t)) + K(u(t)) i zapisujemy warunki konieczne optymalności w postaci nastȩpuj acego uk ladu równań Eulera-Lagrange a równanie optymalnego kostanu (równanie sprzȩżone) równanie optymalnego stanu g o x(t) d dt gȯ x(t) = 0, t [t 0, t 1 ], ( ) g o λ(t) d dt gȯ λ (t) = 0, t [t 0, t 1 ], ( ) równanie optymalnego sterowania g u(t) o d dt gȯ u(t) = 0, t [t 0, t 1 ], ( ). Jest to uk lad n + m równań różniczkowych dla n + m zmiennych funkcyjnych. Mnożnik funkcyjny λ(t) nazywany jest w zadaniach sterowania optymalnego zmienn a kostanu (wektorem kostanu) lub zmienn a sprzȩżon a (wektorem zmiennych sprzȩżonych). Uk lad tych równań pozwala dla niektórych klas problemów sterowania optymalnego efektywnie sparametryzować sterowanie

3 optymalne, co u latwia jego dookreślenie za pomoc a prostego dodatkowego algorytmu obliczeniowego. Minimalnoczasowe sterowanie docelowe dla uk ladów liniowych Zadanie polega na minimalizacji czasu realizacji procesu docelowego G(x, u) = t1 t 0 dt = t 1 t 0 z uwzglȩdnieniem liniowego stacjonarnego równania stanu uk ladu ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t [t 0, t 1 ], warunków dwugranicznych x(t 0 ) = x 0, x(t 1 ) = x 1 oraz ograniczeń chwilowych sterowania u(t) u max, t [t 0, t 1 ]. Rozszerzamy zestaw zmiennych i zapisujemy zmodyfikowany wskaźnik jakości G(x, λ, u) = t1 t 0 ( 1 + λ T (t)(ẋ(t) Ax(t) Bu(t)) + K(u(t)) ) dt. W tym przypadku funkcja g przybiera postać g(x(t), ẋ(t), λ(t), λ(t), u(t), u(t), t) = 1+λ T (t)(ẋ(t) Ax(t) Bu(t))+K(u(t)). Obliczamy pochodne funkcji g g x = λ T (t)a, gẋ = λ T (t), g λ = (ẋ(t) Ax(t) Bu(t)) T, g λ = 0, g u = λ T (t)b + K u (u(t)), g u = 0. Zapisujemy uk lad równań Eulera-Lagrange a 3

4 równanie optymalnego kostanu równanie optymalnego stanu λ T (t)a λ T (t) = 0, ẋ(t) Ax(t) Bu(t) = 0, równanie optymalnego sterowania λ T (t)b + K u (u(t)) = 0. Ostatnie równanie można przepisać w postaci uk ladu równań skalarnych dla poszczególnych zmiennych steruj acych K j,uj (u j (t)) = n λ i (t)b ij, j = 1,..., m. i=1 Tak wiȩc optymalne przebiegi zmiennych steruj acych określone s a dla zależnościami u o j(t) = u max j sign( n λ i (t)b ij ), j = 1,..., m. Ponieważ charakter rozwi azania równania sprzȩżonego i=1 λ(t) = A T λ(t) zależy od charakteru wartości w lasnych macierzy stanu A, wiȩc również i postać sterowania optymalnego zależy od tych wartości. Jeśli wartości w lasne s 1, s,..., s n macierzy stanu A s a rzeczywiste jednokrotne, to zmienne sprzȩżone s a sumami eksponent λ i (t) = C i1 e s 1t + C i e s t C in e snt, t [t 0, t 1 ], i = 1,..., n. Lemat: Suma n eksponent może zmieniać znak w przedziale [t 0, t 1 ] nie wiȩcej niż n 1 razy. Wniosek: Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladu liniowego, którego macierz stanu posiada wartości w lasne rzeczywiste jednokrotne, przyjmuje wartości +u max j lub u max j i zmienia znak w przedziale [t 0, t 1 ] nie wiȩcej niż n 1 razy. Mówimy, że sterowanie optymalne jest w tym przypadku typu przekaźnikowego lub typu bang- bang. 4

5 Wniosek ten obowi azuje także dla przypadku wielokrotnych rzeczywistych wartości w lasnych macierzy stanu A, gdyż suma n eksponent mnożonych przez funkcje potȩgowe również zmienia znak w przedziale [t 0, t 1 ] nie wiȩcej niż n 1 razy. Przyk lad: Minimalnoczasowe sterowanie tarcz a obrotow a tarcza obrotowa θ(t), Ω(t) U(t) silnik rewersyjny przek ladnia zmienna steruj aca - napiȩcie obwodu steruj acego silnika u(t) = U(t), zmienne stanu - po lożenie k atowe tarczy x 1 (t) = θ(t), prȩdkość k atowa tarczy x (t) = Ω(t). Zadanie minimalnoczasowego sterowania docelowego tarcz a obrotow a polega na minimalizacji wskaźnika jakości G(x, u) = z uwzglȩdnieniem równań stanu ẋ 1 (t) = x (t), ẋ (t) = bu(t), t [0, t 1 ], warunków dwugranicznych x i (0) = x i0, x i (t 1 ) = x i1, oraz ograniczeń amplitudy sterowania u(t) 1, t [0, t 1 ]. W tym przypadku równanie wartości w lasnych det(si A) = 0 przyjmuje postać s = 0, a zatem macierz stanu posiada podwójn a zerow a wartość w lasn a. oznacza to, że sterowanie minimalnoczasowe tarcz a obrotow a jest typu przekaźnikowego i zmienia znak nie wiȩcej niż 1 raz w przedziale [0, t 1 ]. Aby przedstawić algorytm wyznaczania konkretnego przebiegu sterowania minimalnoczasowego dla rozważanego obiektu określimy postać trajektorii stanu dla sterowania optymalnego u o (t) = ±1 przy dowolnych warunkach 5 t1 0 dt

6 pocz atkowych x 1 (0) = x 10, x (0) = x 0 i zerowych warunkach końcowych x 1 (t 1 ) = 0, x (t 1 ) = 0. Ca lkuj ac równania stanu ze sterowaniem u o (t) = ±1 uzyskujemy x (t) = C 1 ± t, x 1 (t) = C + C 1 t ± 0.5t. Z warunków pocz atkowych wynika, że x (0) = C 1 C 1 = x 0, x 1 (0) = C C = x 10. Przebiegi wspó lrzȩdnych stanu w funkcji czasu można zapisać jak nastȩpuje x 1 (t) = 0.5t + x 0 t + x 10, x (t) = ±t + x 0. Eliminujemy czas z tych zależności 0.5x (t) = 0.5(x 0 ± t) = 0.5(x 0 ± x 0 t + t ) = 0.5x 0 ± x 0 t + 0.5t czyli 0.5x (t) 0.5x 0 = 0.5t ± x 0 t i Ponieważ ±0.5x 0.5x 0 = ±0.5t + x 0 t. x 1 (t) x 10 = ±0.5t + x 0 t, wiȩc miȩdzy wspó lrzȩdnymi stanu x 1 i x zachodzi zwi azek x 1 = ±0.5x 0.5x 0 + x 10. Oznacza to, że trajektorie stanu uk ladu ze sterowaniem optymalnym s a parabolami jako funkcje x 1 (x ), przy czym dla sterowania u o (t) = +1 mamy x 1 = 0.5x 0.5x 0 + x 10, a dla sterowania u o (t) = 1 mamy x 1 = 0.5x + 0.5x 0 + x 10. 6

7 Punkt pocz atkowy trajektorii stanu określony jest przez warunki pocz atkowe (x 10, x 0 ). Wyróżnimy nastȩpuj ace trzy charakterystyczne obszary p laszczyzny stanu: krzywa prze l aczeń P jest zbiorem punktów (x 1, x ) spe lniaj acych równanie x 1 = 0.5x sign(x ), obszar nad krzyw a prze l aczeń S jest zbiorem punktów (x 1, x ) spe lniaj acych nierówność x 1 > 0.5x sign(x ), obszar pod krzyw a prze l aczeń S + jest zbiorem punktów (x 1, x ) spe lniaj acych nierówność x 1 < 0.5x sign(x ). Sterowanie minimalnoczasowe w uk ladzie otwartym określane jest w nastȩpuj acy sposób: jeśli punkt pocz atkowy trajektorii stanu znajduje siȩ na krzywej prze l aczeń, to u o (t) = +1, t [0, t 1 ] jeśli x 0 i u o (t) = 1, t [t 0, t 1 ] jeśli x 0, jeśli punkt pocz atkowy trajektorii stanu znajduje siȩ nad krzyw a prze l aczeń, to u o (t) = 1, t [0, t) aż do momentu t osi agniȩcia krzywej prze l aczeń - wtedy nastȩpuje prze l aczenie na u o (t) = +1, t [ t, t 1 ], jeśli punkt pocz atkowy trajektorii stanu znajduje siȩ pod krzyw a prze l aczeń, to u o (t) = +1, t [0, t) aż do momentu t osi agniȩcia krzywej prze l aczeń - wtedy nastȩpuje prze l aczenie na u o (t) = 1, t [ t, t 1 ]. Prosta postać analityczna krzywej prze l aczeń pozwala latwo określić sterowanie minimalnoczasowe w uk ladzie zamkniȩtym jeśli ϑ(x 1, x ) 0, ϑ(x 1, x ) trajektorii stanu znajduje siȩ poza krzyw a prze l aczeń), to. = x x sign(x ) (punkt bież acy u o (x 1, x ) = sign(ϑ(x 1, x )), jeśli ϑ(x 1, x ) = 0 (punkt bież acy trajektorii stanu znajduje siȩ na krzywej 7

8 prze l aczeń), to u o (x 1, x ) = sign(x ). Sterowanie minimalnoczasowe w rozważanym uk ladzie może być realizowane z użyciem programowalnej karty szybkiego przetwarzania (fast processing programmable cards - Industrial Instruments) implementuj acej algorytm sprzȩżenia zwrotnego. Programowalna karta szybkiego przetwarzania sterowanie Obiekt sterowania wyjście US OS 8

9 Jeśli wartości w lasne s 1, s,..., s n macierzy stanu A s a zespolone, to zmienne sprzȩżone s a funkcjami oscylacyjnymi i w zwi azku z tym sterowanie minimalnoczasowe może mieć wiȩcej niż n 1 prze l aczeń. Przyk lad: minimalnoczasowe sprowadzanie oscylatora idealnego do po lożenia równowagi. ściana podstawowa amortyzator sprȩżynowy Obiekt sterowania M si la stabilizuj aca Uk lad o charakterze oscylatora idealnego jest opisywany równaniami stanu ẋ 1 (t) = x (t), ẋ (t) = a 1 x 1 (t) + u(t), t [0, t 1 ], z warunkami granicznymi x i (0) = x i0, x i (t 1 ), i = 1, i z ograniczeniami chwilowymi sterowania u(t) 1, gdzie a 1 jest wspó lczynnikiem amortyzatora sprȩżynowego. Dla celów analizy w lasności matematycznych modelu uk ladu użyteczna jest symetryzacja równań stanu uzyskiwana przez podstawienia ω = a 1, x 1 (t) := x 1 (t)/ω. Równania stanu oscylatora idealnego ze sterowaniem po symetryzacji przybieraj a postać ẋ 1 (t) = ωx (t), ẋ = ωx 1 (t) + u(t), t [0, t 1 ]. W tym przypadku macierze stanu, kostanu i sterowania można zapisać nastȩpuj aco: ( ) ( ) ( ) 0 ω A =, A T 0 ω 0 =, B = ω 0 ω 0 1 9

10 Równanie optymalnego kostanu λ(t) = A T λ T (t) implikuje dla zmiennych sprzȩżonych równania λ 1 (t) = ωλ (t), λ (t) = ωλ 1 (t). Uk lad ten można zredukować do pojedynczego równania drugiego rzȩdu z równaniem charakterystycznym λ 1 (t) = ω λ 1 (t) r = ω, r 1, = ±jω. Oznacza to, że zmienne sprzȩżone s a w tym przypadku okresowymi funkcjami czasu i w szczególności λ (t) = αsin(ωt + β). Z równania optymalnego sterowania uzyskujemy K u (u(t)) = λ (t). Wynika st ad, że przebieg sterowania minimalnoczasowego jest określony zależności a u o (t) = sign(αsin(ωt + β)). Wnioski z równania sterowania minimalnoczasowego: Sterowanie minimalnoczasowe oscylatora idealnego przyjmuje wartości +1 lub 1 (jest typu bang-bang). Czas sta lości sterowania minimalnoczasowego na poziomie +1 lub 1 nie może być d luższy niż π/ω jednostek czasu (okres drgań badanego oscylatora wynosi π/ω, a czas przebiegu po lowy okrȩgu wynosi π/ω). Tylko pierwszy i ostatni przedzia l sta lości sterowania może być mniejszy od π/ω, a wszystkie pośrednie przedzia ly (jeśli wszystkich przedzia lów sta lości sterowania jest wiȩcej niż dwa) musz a być równe π/ω. Liczba prze l aczeń sterowania minimalnoczasowego może nieograniczenie narastać wraz ze wzrostem czȩstotliwości sterowania. 10

11 Kszta lt trajektorii stanu oscylatora idealnego ze sterowaniem u = +1: ẋ 1 (t) = ωx (t), ẋ (t) = ωx 1 (t) + 1 ẍ 1 (t) = ω x 1 (t) + ω x 1 (t) = 1/ω + c 1 cos ωt + (c /ω)sin ωt, x (t) = c 1 ωsin ωt + c cos ωt x 10 = c 1 + 1/ω; x 0 = c ω x 1 (t) = 1/ω + (x 10 1/ω)cos ωt + x 0 sin ωt, x (t) = (x 10 1/ω)sin ωt + x 0 cos ωt ωx 1 (t) 1 = (ωx 10 1)cos ωt + ωx 0 sin ωt, ωx (t) = (ωx 1 (t) 1)sin ωt + ωx 0 cos ωt. Na tej podstawie ustalamy zwi azek miȩdzy zmiennymi x 1 (t) i x (t) podnosz ac do kwadratu ostatnie zależności (ωx 1 1) + (ωx ) = (ωx 10 1) + (ωx 0 ). Stosuj ac analogiczne przekszta lcenia uzyskujemy dla sterowania u = 1 (ωx 1 + 1) + (ωx ) = (ωx 10 1) + (ωx 0 ). Tak wiȩc trajektorie stanu oscylatora idealnego s a, we wspó lrzȩdnych (ωx 1, ωx ), okrȩgami o środku (1, 0) dla sterowania u = +1 i okrȩgami o środku ( 1, 0) dla sterowania u = 1. Promień okrȩgu jest równy ρ = ((ωx10 1) + (ωx 0 ) ). 11

12 ωx ωx 1 ωx ωx 1 1

13 Przyk lad: minimalnoczasowe sprowadzanie oscylatora z t lumieniem w lasnym do po lożenia równowagi. ściana podstawowa amortyzator sprȩżynowy Obiekt sterowania M si la stabilizuj aca t lumik Uk lad o charakterze oscylatora z t lumieniem w lasnym jest opisywany równaniami stanu ẋ 1 (t) = x (t), ẋ (t) = x 1 (t) ξx (t) + u(t), t [0, t 1 ], z warunkami granicznymi x i (0) = x i0, x i (t 1 ), i = 1, i z ograniczeniami chwilowymi sterowania u(t) 1, gdzie ξ (0, 1) jest wspó lczynnikiem t lumienia oscylatora. Dla celów analizy w lasności matematycznych modelu uk ladu dokonujemy symetryzacji równań stanu wprowadzaj ac nowe wspó lrzȩdne stanu za pomoc a przekszta lcenia ( x 1 x ) = ξ 1 ξ ξ 1 ( z 1 z ) czyli ( z 1 z ) = ( ) ( 1 ξ 0 ξ 1 x 1 x ) 13

14 Równania stanu w nowych wspó lrzȩdnych przybior a postać ( ) ( ) ( ) ż 1 (t) 1 ξ = ż (t) ξ 1 1 ξ ξ 1 ξ ξ 1 ( ) ( ) z 1 (t) 0 + u(t) z (t) 1 czyli ( ) ( ) ( ) ( ) ż 1 (t) ξ 1 ξ = ż (t) z 1 (t) 0 + u(t). 1 ξ ξ z (t) 1 Zadanie minimalnoczasowego sterowania dla oscylatora z t lumieniem w lasnym w nowych wspó lrzȩdnych stanu przybierze postać: zminimalizować wskaźnik jakości G(z, u) = t1 uwzglȩdniaj ac ograniczenia w postaci przekszta lconych równań stanu 0 dt ż(t) = Az(t) + Bu(t), t [0, t 1 ], z(0) = z 0, z(t 1 ) = z 1 oraz w postaci maksymalnej dopuszczalnej amplitudy sterowania u(t) 1, t [0, t 1 ], gdzie ( ) ( ) ξ 1 ξ A = 0, B = u(t). 1 ξ ξ 1 Zapisujemy zmodyfikowany funkcjona l Lagrange a G(z, λ, u) = t1 0 oraz równania Eulera-Lagrange a ( 1 + λ T (t)(ż(t) Az(t) Bu(t)) + K(u(t)) ) dt λ(t) = A T λ(t), ż(t) = Az(t) + Bu(t), K u (u(t)) = λ T (t)b, gdzie ( A T ξ = 1 ξ ) 1 ξ ξ 14

15 Z równania optymalnego sterowania wynika, że u o (t) = sign(λ (t)). W zwi azku z tym analizujemy rozwi azanie równań sprzȩżonych przyjmuj acych w zapisie skalarnym postać λ 1 (t) = ξλ 1 (t) + 1 ξ λ (t), λ (t) = 1 ξ λ 1 (t) + ξλ (t). Wyznaczamy rozwi azanie uk ladu równań sprzȩżonych jako uk ladu stacjonarnych jednorodnych równań różniczkowych λ 1 (t) = C 1 e ξt sin( 1 ξ t + C, λ (t) = C 1 e ξt cos( 1 ξ t + C. Tak wiȩc sterowanie minimalnoczasowe określone jest przez znak funkcji typu cosαt (modulowanej przez eksponentȩ) u o (t) = sign(c 1 e ξt cos( 1 ξ t + C ). Wynika st ad, że sterowanie minimalnoczasowe dla oscylatora z t lumieniem w lasnym przyjmuje wartości +1 lub -1 i zachowuje sta l awartość nie d lużej niż π 1 ξ jednostek czasu. Aby określić krzyw a prze l aczeń sterowania minimalnoczasowego zapisujemy równania stanu dla u(t) = ±1: i ich rozwi azanie dla u o = +1 ż 1 (t) = ξz 1 (t) + 1 ξ z (t), ż (t) = ξz 1 (t) ξz (t) ± 1. oraz dla u o = 1 z 1 (t) = 1 ξ + C 1 e ξt cos( 1 ξ t + C ), z (t) = ξ C 1 e ξt sin( 1 ξ t + C ) z 1 (t) = 1 ξ + C 1 e ξt cos( 1 ξ t + C ), 15

16 z (t) = ξ C 1 e ξt sin( 1 ξ t + C ). Wprowadzaj ac wspó lrzȩdna biegunowe uzyskujemy dla u o = +1 ρ(t). = C 1 e ξt, ϕ(t). = 1 ξ t C z 1 (t) 1 ξ = ρ(t)cos ϕ(t), z (t) ξ = ρ(t)sin ϕ(t). Trajektoria stanu opisywana tymi równaniami jest spiral a logarytmiczn a o środku ( 1 ξ, ξ). Natomiast dla u o = 1 uzyskujemy z 1 (t) + 1 ξ = ρ(t)cos ϕ(t), z (t) + ξ = ρ(t)sin ϕ(t). Trajektoria stanu opisywana tymi równaniami jest spiral a logarytmiczn a o środku ( 1 ξ, ξ). Po lowa zwoju każdej ze wskazanych spirali odpowiada π 1 ξ jednostkom czasu. Pierwsze dwa kawa lki krzywej prze l aczeń określone s a spiralami przechodz acymi przez pocz atek uk ladu wspó lrzȩdnych. Kolejne kawa lki krzywej prze l aczeń określane s a przez osi aganie tych pierwszych kawa lków za pomoc a po lowy zwoju spirali jako przebiegu trajektorii stanu uk ladu odpowiadaj acego π 1 ξ jednostkom czasu. Każdemu stanowi pocz atkowemu po lożonemu nad krzyw a prze l aczeń odpowiada sterowanie optymalne u o = 1, a pod krzyw a - sterowanie optymalne u o =

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego

Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Pojȩcie procesu sterowania obejmuje zestaw trajektorii stanu i sterowania (x, u) X U, gdzie X jest przestrzeni a trajektorii stanu, a U jest przestrzeni a sterowania.

Bardziej szczegółowo

Liniowe uk lady sterowania.

Liniowe uk lady sterowania. Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania

Wprowadzenie do teorii sterowania Wprowadzenie do teorii sterowania Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa 1996. T. Kaczorek, Teoria

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Stabilność liniowych uk ladów sterowania

Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje

Bardziej szczegółowo

Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.

Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych.

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. Dr hab. inż. Krystyn Styczeń, prof. PWr Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ http://krystyn.styczen.staff.iiar.pwr.wroc.pl/

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych Politechnika Wroc lawska Wydzia l Elektroniki Katedra K8 Prof. dr hab. inż. Krystyn Styczeń http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:

ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich. 1. Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F

Geometria odwzorowań inżynierskich. 1. Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6F, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych

Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Niech bȩdzie dany uk lad sterowania taki, że nie wszystkie jego zmienne stanu s a bezpośrednio dostȩpne (mierzalne. Uk lad pozwalaj

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego.

Wykład z modelowania matematycznego. Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji

Bardziej szczegółowo

Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu.

Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych z czasem ci ag lym W podstawowym problemie sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

1. Podstawowe pojęcia

1. Podstawowe pojęcia 1. Podstawowe pojęcia Sterowanie optymalne obiektu polega na znajdowaniu najkorzystniejszej decyzji dotyczącej zamierzonego wpływu na obiekt przy zadanych ograniczeniach. Niech dany jest obiekt opisany

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Relacje binarne

Rozdzia l 3. Relacje binarne Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE

MATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia liczby ɛ = fl() B l ad wzglȩdny zaokr aglenia liczby 0 δ = fl() B l ad procentowy zaokr aglenia liczby 0

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:

Bardziej szczegółowo

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................

Bardziej szczegółowo

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi 5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych

Bardziej szczegółowo

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r

Bardziej szczegółowo

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2012/2013. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 06.

Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2012/2013. Forma studiów: Stacjonarne Kod kierunku: 06. Państwowa Wyższa Szko la Zawodowa w Nowym Sa czu Karta przedmiotu Instytut Techniczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2012/2013 Kierunek studiów: Zarządzanie i inżynieria

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Modelowanie układów dynamicznych

Modelowanie układów dynamicznych Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 11 Równania Eulera-Lagrange a Rozważmy układ p punktów materialnych o współrzędnych uogólnionych q i i zdefiniujmy lagranżian

Bardziej szczegółowo

Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego

Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego kwiecień 2012 Sterowanie Teoria Przykład wahadła na wózku Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji

Bardziej szczegółowo

Normy wektorów i macierzy

Normy wektorów i macierzy Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C

Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6C, 1 8. Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa czo lowa wnȩtrza Rys. 6C-01:

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA. Spis pojȩċ teoretycznych

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA. Spis pojȩċ teoretycznych 1 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA Spis pojȩċ teoretycznych 1. Podstawowe pojȩcia: doświadczenie losowe, zdarzenie elementarne, zdarzenie losowe, przestrzeń zdarzeń elementarnych, zbiór zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6A, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzut środkowy i jego niezmienniki Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A

Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z10A, 1 7. Geometria odwzorowań inżynierskich. Zadania 10A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Twierdzenia o rozpadzie linii przenikania W

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zamiast ogólnych wzorów w przestrzeni euklidesowej o dwolnym wymiarze, rozważmy przestrzeń trójwymiarow a. Przypuśćmy, że ktoś podaje nam równanie

Zamiast ogólnych wzorów w przestrzeni euklidesowej o dwolnym wymiarze, rozważmy przestrzeń trójwymiarow a. Przypuśćmy, że ktoś podaje nam równanie S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 4.IV.005 I. ROZMAITOŚCI STOPNIA W PRZESTRZENI EUKLIDESOWEJ Rozmaitość drugiego stopnia w przestrzeni euklidesowej to hiperpowierzchnia opisana warunkiem, który

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1 3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej.

Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej. Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej. Zagadnienie diety. Jak wymieszać wymieszać pszenice, soje i maczk e rybna by uzyskać najtańsza

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 06

Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 06 Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z6, 1 9. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 06 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Przenikanie siȩ figur (bry l) w rzutach Monge a

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1 ALGORYTM SYMPLEKS Model liniowy nazywamy modelem w postaci standardowej jeżeli wszystkie ograniczenia s a w postaci równości i wszystkie zmienne

Bardziej szczegółowo

BADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC

BADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo