Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym."

Transkrypt

1 Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych fluktuacji parametrów obiektu sterowania. Fluktuacje te powoduj a odchylenie aktualnej trajektorii stanu od jej przebiegu optymalnego nominalnego). Celem zniwelowania tego odchylenia wprowadzamy nowe wspó lrzȩdne stanu i sterowania xt) := xt) x o t), ut) := ut) u o t) i określamy korektȩ sterowania optymalnego nominalnego) na podstawie rozwi azania problemu liniowo-kwadratowego sterowania optymalnego LKSO) aproksymuj acego problem wyjściowy w otoczeniu procesu optymalnego nominalnego). Aproksymuj acy problem LKSO dla procesów z czasem ci ag lym polega na minimalizacji kwadratowego wskaźnika jakości Gx, u) =.5x T t 1 )Qxt 1 ).5 t1 przy ograniczeniu w postaci liniowego równania stanu x T t)p t)xt) u T t)rt)ut))dt ẋt) = At)xt) Bt)ut), t [, t 1 ], z zadanym warunkiem pocz atkowym x) = x. Zak ladamy, że Q R n n jest macierz a symetryczn a dodatnio pó lokreślon a, P t) R n n jest macierz a symetryczn a dodatnio pó lokreślon a dla t [, t 1 ], Rt) R n n jest macierz a symetryczn a dodatnio określon a dla t [, t 1 ]. Sk ladnik wskaźnika jakości.5x T t 1 )Qxt 1 ) stanowi miarȩ odchylenia stanu końcowego trajektorii od jego wartości optymalnej nominalnej). Dla Q = I jest to suma kwadratów wspó lrzȩdnych stanu końcowego. Sk ladnik wskaźnika jakości.5 t 1 xt t)p t)xt) stanowi miarȩ odchylenia aktualnej trajektorii stanu od jej przebiegu optymalnego nominalnego) w przedziale sterowania [, t 1 ]. Dla P t) = I jest to ca lka z kwadratu odchylenia aktualnej trajektorii od jej przebiegu optymalnego nominalnego) w przedziale 1

2 sterowania [, t 1 ]. Sk ladnik wskaźnika jakości.5 t 1 ut t)rt)ut) określa koszty sterowania koryguj acego odchylenie aktualnej trajektorii od jej przebiegu optymalnego nominalnego). Sk ladnik ten ogranicza chwilowe wartości sterowania koryguj acego. Równanie stanu jest linearyzacj a wyjściowych, ogólnie bior ac, nieliniowych równań stanu na procesie optymalnym nominalnym). Oznacza to, że At) = f x x o t), u o t), t), Bt) = f u x o t), u o t), t). Określenie korekty sterowania optymalnego nominalnego) w uk ladzie zamkniȩtym nazywa siȩ syntez a optymalnego regulatora stanu. Do rozwi azania tego zadania zastosujemy zasadȩ maksimum. Zapisujemy hamiltonian problemu Hλt), xt), ut), t) =.5x T t)p t)xt)u T t)rt)ut))λ T t)at)xt)bt)ut)) i wydzielamy czȩść hamiltonianu zależn a od sterowania Hλt), xt), ut), t) =.5u T t)rt)ut) λ T t)bt)ut). Maksymalizuj ac hamiltonian wzglȩdem sterowania korzystamy z warunku H u t) = na sterowanie nie s a na lożone ograniczenia chwilowe) oraz ze wzoru na różniczkowanie formy kwadratowej ϕz) =..5z T Kz ϕ z z) =. z T K. Uzyskujemy wiȩc H u t) = u ot t)rt) λ T t)bt) = Rt)u o t) = B T t)λt) u o t) = R 1 t)b T t)λt). Sprawdzamy warunek wystarczaj acy maksimum hamiltonianu drugiego rzȩdu H uu t) = Rt) H uu t) <, co oznacza, że macierz pochodnych cz astkowych hamiltonianu jest ujemnie określona i że wyznaczone rozwi azanie stanowi maksimum. Jest to maksimum globalne, gdyż jest to jedyne rozwi azanie spe lniaj ace warunki optymalności. 2

3 Określamy uk lad równań kanonicznych zasady maksimum niestacjonarnego problemu LKSO ẋt) = H T λ t), x) = x, λt) = H T x t), λ t1 = Qxt 1 ) tj. ẋt) = At)xt) Bt)R 1 t)b T t)λt), t [, t 1 ], x) = x, λt) = A T t)λt) P t)xt), λ t1 = Qxt 1 ). Tak wiȩc warunki konieczne optymalności rozważanego procesu sterowania sprowadzaj a siȩ do uk ladu niestacjonarnych liniowych równań różniczkowych z warunkami dwugranicznymi. Jeden z efektywnych sposobów rozwi azywania tego uk ladu polega na zastosowaniu tzw. niestacjonarnego liniowego podstawienia Riccatiego λt) = Kt)xt), gdzie Kt) R n n jest macierz a Riccatiego wi aż ac a wektor stanu i wektor zmiennych sprzȩżonych niestacjonarnego problemu LKSO. Przewidywanie powi azania tych wektorów w postaci niestacjonarnej liniowej zależności jest uzasadnione przez fakt, że uk lad równań kanonicznych ma postać niestacjonarn a liniow a. Stosujemy podstawienie Riccatiego do uk ladu równań kanonicznych ẋt) = At)xt) Bt)R 1 t)b T t)kt)xt), Kt)xt) Kt)ẋt) = A T t)kt)xt) P t)xt). Pierwsze z tych równań podstawiamy do drugiego Kt)xt)Kt) At)Bt)R 1 t)b T t)kt) ) xt) = A T t)kt)xt)p t)xt). Równanie to bȩdzie spe lnione dla każdego stanu xt), jeśli macierz Kt) bȩdzie spe lniać nastȩpuj ace macierzowe równanie różniczkowe Riccatiego Kt) = Kt)At) A T t)kt) Kt)Bt)R 1 t)b T t)kt) P t) z warunkiem końcowym Kt 1 ) = Q. Ostatni warunek wynika z warunku końcowego dla zmiennej sprzȩżonej λt1 ) = Qxt 1 ) λt 1 ) = Kt 1 )xt 1 ) ) Kt 1 ) = Q. 3

4 Po wyznaczeniu macierzy Kt) określamy rów nanie optymalnego regulatora stanu u o t) = R 1 t)b T t)kt)xt). Jest to liniowe niestacjonarne równanie macierzowe. Uk lad sterowania z warstw a regulacji sterowanie optymalne Optymalny niestacjonarny regulator stanu R 1 t)b T t)kt) 1 korekta sterowania optymalnego Obiekt sterowania xt) czȩste fluktuacje parametru Macierz Riccatiego posiada nastȩpuj ace w lasności: 1. Macierz Kt) jest symetryczna. 2. Macierz Kt) jest ujemnie określona. Aby wykazać symetryczność macierzy Riccatiego porównamy równanie Riccatiego Kt) = Kt)At) A T t)kt) Kt)Bt)R 1 t)b T t)kt) P t), Kt 1 ) = Q i jego transpozycjȩ K T t) = A T t)k T t) K T t)at) K T t)bt)r 1 t)b T t)k T t) P t), K T t 1 ) = Q. Macierz K T t) jest rozwi azaniem tego samego równania różniczkowego co i macierz Kt) z tym samym warunkiem końcowym. Z twierdzenia o istnieniu 4

5 i jednoznaczności rozwi azań równań różniczkowych wynika, że musi zachodzić równość K T t) = Kt), co oznacza, że macierz Kt) jest symetryczna. Aby wykazać ujemn a określoność macierzy Riccatiego zapisujemy na podstawie równania Riccatiego zależność = x T t) P t) A T t)kt) Kt)At) Kt)Bt)R 1 t)b T t)kt) Kt) ) xt) = x T t) P t)kt)bt)r 1 t)b T t)kt) At)Bt)R 1 t)b T t)kt)) T Kt) Kt) Kt)At) Bt)R 1 t)b T t)kt)) ) xt) = x T t)p t)xt) x T t)kt)bt)r 1 t)rt)r 1 t)b T t)kt)xt) ẋ T t)kt)xt) x T t) Kt)xt) x T t)kt)ẋt) = x T t)p t)xt)u T t)rt)ut) ẋ T t)kt)xt)x T t) Kt)xt)x T t)kt)ẋt)) tj. czyli x T t)p t)xt) u T t)rt)ut)) = d dt xt t)kt)xt)). Ca lkuj ac ostatnie wyrażenie w granicach od t 1 do t uzyskujemy t t x T s)p s)xs) u T d s)rs)us))ds = t 1 t 1 ds xt s)ks)xs))ds t1 t x T s)p s)xs)u T s)rs)us))ds = x T t 1 )t 1 )Kt 1 )xt 1 ) x T t)kt)xt) = x T t 1 )Qxt 1 ) x T t)kt)xt) 5

6 i ostatecznie x T t 1 )Qxt 1 ) t1 t x T s)p s)xs) u T s)rs)us))ds = x T t)kt)xt). Ponieważ macierze Q i P t) s a dodatnio pó lokreślone, a macierz Rt) jest dodatnio określona, wiȩc wyrażenie po lewej stronie ostatniego równania jest zawsze dodatnie. Oznacza to, że macierz Kt) po prawej stronie tego wyrażenia jest ujemnie określona dla wszystkich t [, t 1 ]. Równanie Riccatiego rozwi azywane jest metodami numerycznymi jako równanie różniczkowe z zadanym warunkiem końcowym. Symetryczność macierzy Riccatiego jest wykorzystywana do redukcji zmiennych w równaniu Riccatiego - może być to istotne w przypadku uk ladów o dużej liczbie zmiennych stanu. Ujemna określoność macierzy Riccatiego umożliwia jednoznaczne wyznaczenie optymalnego regulatora stanu dla uk ladów stacjonarnych z nieskończonym horyzontem czasowym sterowania. Jeśli fluktuacje parametru obiektu s a stosunkowo rzadkie, to podstaw a do wyznaczenia sterowanie koryguj acego może być rozwi azanie nastȩpuj acego stacjonarnego problemu LKSO: zminimalizować wskaźnik jakości Gx, u) =.5 x T t)p xt) u T t)rut))dt przy ograniczeniach w postaci liniowego stacjonarnego równania stanu ẋt) = Axt) But), t [, ) z zadanym warunkiem pocz atkowym x) = x i końcowym x ) =. Zak ladamy, że macierze P i R s a dodatnio określone. Macierze A i B mog a być uśrednieniami macierzy Jacobiego f x x o, u o t), t), f u x o, u o t), t) wyjściowego równania stanu na procesie optymalnym tj. 1 A = lim τ τ τ f x x o, u o t), t)dt, 6

7 1 τ B = lim f u x o, u o t), t)dt. τ τ Warunek pocz atkowy x stanowi odchylenie pocz atkowe aktualnego stanu od stanu optymalnego nominalnego). Ponieważ z za lożenia zaburzenia stanu s a stosunkowo rzadkie, wiȩc mamy do dyspozycji d lugi horyzont czasowy dla zregulowania zaistnia lego zaburzenia stanu. Przyjmuj ac idealny przypadek nieskończonego horyzontu czasowego regulacji stanu stawiamy wymaganie pe lnej niwelacji zaburzenia stanu x ) =. Dlatego stan końcowy nie pojawia siȩ we wskaźniku jakości. Stacjonarny problem LKSO rozwi ażemy stosuj ac zasadȩ maksimum. Zapisujemy hamiltonian problemu Hλt), xt), ut)) =.5x T t)p xt) u T t)rut)) λ T t)axt) But)) i wydzielamy jego czȩść zależn a od sterowania Hλt), xt), ut)) =.5u T t)rut) λ T t)but). Maksymalizuj ac hamiltonian wzglȩdem sterowania korzystamy z warunku H u t) = na sterowanie nie s a na lożone ograniczenia chwilowe) oraz ze wzoru na różniczkowanie formy kwadratowej Uzyskujemy wiȩc ϕz). =.5z T Kz ϕ z z). = z T K. H u t) = u ot t)r λ T t)b = Ru o t) = B T λt) i st ad u o t) = R 1 B T λt). Sprawdzamy warunek wystarczaj acy optymalności drugiego rzȩdu H uu t) = R H uu t) <, co oznacza, że macierz pochodnych cz astkowych hamiltonianu jest ujemnie określona i że wyznaczone rozwi azanie stanowi maksimum. Jest to maksimum globalne, gdyż jest to jedyne rozwi azanie spe lniaj ace warunki optymalności. Określamy uk lad równań kanonicznych zasady maksimum stacjonarnego problemu LKSO ẋt) = H T λ t), x) = x, x ) =, λt) = H T x t), 7

8 tj. ẋt) = Axt) BR 1 B T λt), t [, t 1 ], x) = x, x ) =, λt) = A T λt) P xt). Tak wiȩc warunki konieczne optymalności rozważanego procesu sterowania sprowadzaj a siȩ do uk ladu stacjonarnych liniowych równań różniczkowych z warunkami dwugranicznymi. Jeden z efektywnych sposobów rozwi azywania tego uk ladu polega na zastosowaniu tzw. stacjonarnego liniowego podstawienia Riccatiego λt) = Kxt), gdzie K R n n jest macierz a Riccatiego wi aż ac a wektor stanu i wektor zmiennych sprzȩżonych stacjonarnego problemu LKSO. Przewidywanie powi azania tych wektorów w postaci stacjonarnej liniowej zaleṅości jest uzasadnione przez fakt, że uk lad równań kanonicznych ma postać stacjonarn a liniow a. Stosuj ac stacjonarne podstawienie Riccatiego do pierwszego równania kanonicznego zasady maksimum uzyskujemy równanie stanu zamkniȩtego uk ladu jego regulacji ẋt) = A BR 1 B T K)xt). Stosuj ac to podstawienie do drugiego równania kanonicznego zasady maksimum uzyskujemy równanie dla określenia macierzy K Kẋt) = A T Kxt) P xt) tj. KA BR 1 B T K)xt) = A T Kxt) P xt), co oznacza, że macierz K powinna spe lniać macierzowe algebraiczne równanie Riccatiego KA A T K KBR 1 B T K P =. W teorii równań macierzowych dowodzi siȩ, że macierzowe algebraiczne równanie Riccatiego posiada wśród wielu rozwi azań jedno i tylko jedno rozwi azanie ujemnie określone K <. To w laśnie rozwi azanie stosujemy do określenia optymalnego stacjonarnego regulatora stanu u o t) = R 1 B T Kxt). 8

9 Uk lad sterowania z warstw a regulacji sterowanie optymalne Optymalny stacjonarny regulator stanu R 1 B T K 1 korekta sterowania optymalnego Obiekt sterowania xt) sporadyczne fluktuacje parametru Przeprowadzimy analizȩ stabilności optymalnego stacjonarnego uk ladu regulacji stanu. W tym celu zdefiniujemy funkcjȩ Lapunowa tego uk ladu w postaci V x) = x T Kx. Ponieważ K <, wiȩc pierwszy i trzeci postulat definicji funkcji Lapunowa jest spe lniony. Celem weryfikacji drugiego postulatu funkcji Lapunowa obliczymy pochodn a tej funkcji wzd luż trajektorii stanu uk ladu V x) = ẋ T Kx x T Kẋ = x T ABR 1 B T K) T Kx x T KABR 1 B T K)x = x T KA A T K KBR 1 B T K KBR 1 B T K)x x T P KBR 1 B T K)x. Macierz P jest z za lożenia dodatnio określona, a wyrażenie x T KBR 1 B T Kx = z T R 1 z jest nieujemnie określone, gdyż macierz R 1 jest dodatnio określona. Jeśli spe lniony jest dodatkowy warunek x z = B T Kx, to ostatnie wyrażenie jest dodatnio określone nawet jeśli macierz P jest tylko nieujemnie określona. Wynika st ad, że optymalny uk lad regulacji stanu jest asymptotycznie stabilny tj. x ) =. Bȩdzie on również asymptotycznie 9

10 stabilny nawet jeśli macierz P jest tylko nieujemnie określona, jeśli wartości w lasne macierzy zamkniȩtego uk ladu regulacji maj a ujemne czȩści rzeczywiste. Przyk lad: Wyznaczyć optymalny regulator stanu jeśli mamy do czynienia z czȩstymi fluktuacjami parametru obiektu i problem LKSO jest postaci Gx, u) =.5x 2 t 1 ).5 t1 u 2 t)dt, ẋt) = xt) ut), x) = x. Zestawiamy dane dla równania Riccatiego A = 1, B = 1, Q = 1, P =, R = 1 i zapisujemy to równanie Kt) = 2Kt) K 2 t), Kt 1 ) = 1. Dla takiego szczególnego przypadku znane jest analityczne rozwi azanie równania Riccatiego Kt) = 2/1 e 2 t t1) ). Tak wiȩc równanie optymalnego niestacjonarnego ma postać u o t) = R 1 B T Kt)xt) u o t) = 2xt)/1 e 2 t t1) ). Przyk lad: Wyznaczyć optymalny regulator stanu jeśli mamy do czynienia ze sporadycznymi fluktuacjami parametru obiektu i problem LKSO jest postaci Gx, u) =.5 x 2 1t) u 2 t))dt ) ) 1 ẋt) = xt) ut), 1 x) = x. Zapisujemy dane dla zestawienia równania Riccatiego ) ) ) ) A = 1 k 1 k 2, B =, Q =, P =, R = 1, K = 1 1 k 2 k 3. 1

11 To macierzowe równanie jest równoważne trzem skalarnym równaniom postaci Zapisujemy macierzowe równanie Riccatiego ) ) ) ) k 1 k 2 1 k 1 k 2 k 2 k 3 1 k 2 k 3 ) ) k 1 k 2 ) ) ) k 1 k = k 2 k 3 1 k 2 k 3 które maj a rozwi azanie tj. k 2 2 = 1, k 1 k 2 k 3 =, 2k 2 k 2 3 =, k 1 = 2, k 2 = 1, k 3 = 2 K = Macierz K jest ujemnie określona, gdyż jej minory g lówne zmieniaj a znak pocz awszy od znaku ujemnego 1 = 1, 2 = 2 1 = 1. Aby sprawdzić, czy zamkniȩty uk lad regulacji stanu jest asymptotycznie stabilny, wyznaczamy równanie stanu tego uk ladu ẋt) = Ãxt), à = A BR 1 B T K) ) tj. ) 1 2 ẋt) = xt), 2 2 a zatem ) si à = s 1 1 s 2 i wartości w lasne uk ladu regulacji stanu s 1,2 = 1 ± j)/ 2 maj a ujemne czȩści rzeczywiste. Optymalny regulator stanu jest wiȩc asymptotycznie stabilny. 11

12 Przyk lad: Minimalizacja zużycia surowca w chemicznym procesie produkcyjnym. W przep lywowym reaktorze chemicznym zachodzi proces przemiany surowca A w produkt użyteczny B i w produkt uboczny C. Wyróżniamy zmienne stanu x 1 t) - stȩżenie surowca A w reaktorze, x 2 t) - stȩżenie produktu użytecznego B w reaktorze, u 1 t) - stȩżenia surowca A w strumieniu wejściowym reaktora, u 2 t) - natȩżenie przep lywu mieszaniny przez reaktor. Należy minimalizować średnie zużycie surowca Gx, u) = 1 τ uwzglȩdniaj ac równania stanu procesu τ u 1 t)u 2 t)dt ẋt) = u 1 t)u 2 t) u 2 t)x 1 t) 3x 2 1t) ax 1 t), ẋt) = u 2 t)x 2 t) 3x 2 1t), ograniczenia technologiczne w postaci zadanego średniego poziomu nieprzereagowanego surowca i średniego poziomu produkcji sk ladnika użytecznego 1 τ τ x i t)dt = 1/3, i = 1, 2, oraz ograniczenia chwilowe stanu i sterowania x i t), u i t) 2, i = 1, 2, przy czym a jest parametrem o nominalnej wartości a = 1, który jednak podlega czȩstym fluktuacjom. Zak ladamy, że proces należy prowadzić na optymalnym poziomie statycznym x o 1, x o 2, ū o 1, ū 2) = 1/3, 1/3, 1, 1). W zwi azku z potrzeb a niwelowania wp lywu fluktuacji parametru a na przebieg procesu formu lujemy problem LKSO stanowi acy podstawȩ syntezy optymalnego niestacjonarnego regulatora stanu: zminimalizować odchylenie procesu aktualnego od procesu optymalnego w skończonym czasie t 1 skorelowanym z czȩstości a fluktuacji parametru x 2 1t 1 ) x 2 2t 1 ) t1 x 2 1t) x 2 2t) u 2 1t) u 2 2t))dt 12

13 uwzglȩdniaj ac liniow a aproksymacjȩ równań stanu ẋt) = i zaburzenie stanu pocz atkowego ) xt) 1 2/3 1/3 ) ut) x) = x. Celem wyznaczenia optymalnego regulatora stanu należy rozwi azać nastȩpuj ace równanie różniczkowe Riccatiego ) ) ) k1 t) k2 t) k 1 t) k 2 t) 4 k 2 t) k3 t) k 2 t) k 3 t) 2 1 k 1 t) k 2 t) ) ) k 2 t) 1 2/3 1 k 3 t) 1/3 2/3 1/3 4 2 ) k 1 t) z zadanym macierzowym warunkiem końcowym 1 k 2 t) ) ) k 1 t 1 ) k 2 t 1 ) 1 =. k 2 t 1 ) k 3 t 1 ) 1 ) k 1 t) k 2 t) ) k 2 t) k 3 t) ) ) k 2 t) 1 = k 3 t) Macierzowe równanie różniczkowe Riccatiego z zadanym warunkiem końcowym rozwi azujemy za pomoc a metod numerycznych np. NDSolve w systemie Mathematica. przy użyciu procedury Jeśli fluktuacje parametru obiektu s a sporadyczne, to podstawȩ do syntezy optymalnego stacjonarnego regulatora stanu stanowi rozwi azanie nastȩpuj acego problemu LKSO: zminimalizować odchylenie procesu aktualnego od procesu optymalnego w nieskończonym czasie t 1 = x 2 1t) x 2 2t) u 2 1t) u 2 2t))dt uwzglȩdniaj ac liniow a aproksymacjȩ równań stanu ẋt) = i zaburzenie stanu pocz atkowego ) xt) 1 2/3 1/3 ) ut) x) = x. 13

14 Celem syntezy optymalnego stacjonarnego regulatora stanu należy rozwi azać nastȩpuj ace macierzowe algebraiczne równanie Riccatiego ) ) ) ) k 1 k k 1 k 2 k 2 k k 2 k 3 ) ) ) ) ) k 1 k 2 1 2/3 1 k 1 k 2 1 = k 2 k 3 1/3 2/3 1/3 k 2 k 3 1 To macierzowe równanie Riccatiego można również rozwi azywać przy użyciu metod numerycznych np. za pomoc a procedury NSolve w systemie Mathematica. 14

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie.

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie. 176 Wtȩp do tatytyki matematycznej trści wynika że H o : p 1 przeciwko hipotezie H 3 1: p< 1. Aby zweryfikować tȩ 3 hipotezȩ zatujemy tet dla frekwencji. Wtedy z ob 45 1 150 3 1 3 2 3 150 0 346. Tymczaem

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan

Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Czym jest AUTOMATYKA? Automatyka to dziedzina nauki i techniki zajmująca się teorią i praktycznym zastosowaniem urządzeń

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe

Bardziej szczegółowo

Zamiast ogólnych wzorów w przestrzeni euklidesowej o dwolnym wymiarze, rozważmy przestrzeń trójwymiarow a. Przypuśćmy, że ktoś podaje nam równanie

Zamiast ogólnych wzorów w przestrzeni euklidesowej o dwolnym wymiarze, rozważmy przestrzeń trójwymiarow a. Przypuśćmy, że ktoś podaje nam równanie S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 4.IV.005 I. ROZMAITOŚCI STOPNIA W PRZESTRZENI EUKLIDESOWEJ Rozmaitość drugiego stopnia w przestrzeni euklidesowej to hiperpowierzchnia opisana warunkiem, który

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

3.3 Budżet nieruchomości. aktualnej ceny przeciȩtnego, nie odbiegaj acego standardem lokalu;

3.3 Budżet nieruchomości. aktualnej ceny przeciȩtnego, nie odbiegaj acego standardem lokalu; 3.3 Budżet nieruchomości 47 aktualnej ceny przeciȩtnego, nie odbiegaj acego standardem lokalu; danych o charakterze demograficznym celem ustalenia liczby potencjalnych nabywców, najemców; tendencji na

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Komputerowe wspomaganie projektowania systemów sterowania z wykorzystaniem teorii gier

Komputerowe wspomaganie projektowania systemów sterowania z wykorzystaniem teorii gier PRACA DOKTORSKA Komputerowe wspomaganie projektowania systemów sterowania z wykorzystaniem teorii gier Michał Ganobis Katedra Automatyki WEAIiE Akademia Górniczo-Hutnicza Promotor pracy prof. dr hab. inż.

Bardziej szczegółowo

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac: SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],

Bardziej szczegółowo

Mathematica - podstawy

Mathematica - podstawy Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica

Bardziej szczegółowo

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji

Bardziej szczegółowo

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA MENEDŻERSKA

EKONOMIA MENEDŻERSKA EKONOMIA MENEDŻERSKA Koszt całkowity produkcji - Jest to suma kosztów stałych całkowitych i kosztów zmiennych całkowitych. K c = K s + K z Koszty stałe produkcji (K s ) to koszty, które nie zmieniają się

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

2.2 Model odsetek prostych 9

2.2 Model odsetek prostych 9 2.2 Model odsetek prostych 9 Uwaga 2.2.2 Komentarza wymaga znaczenie stopy bazowej. Z definicji wynika, że i T = FV PV, co wcale nie oznacza, że wartość indeksu i PV T zależy od wartości pocz atkowej PV.Wskaźnik

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)

Bardziej szczegółowo

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Rys. 1 Otwarty układ regulacji

Rys. 1 Otwarty układ regulacji Automatyka zajmuje się sterowaniem, czyli celowym oddziaływaniem na obiekt, w taki sposób, aby uzyskać jego pożądane właściwości. Sterowanie często nazywa się regulacją. y zd wartość zadana u sygnał sterujący

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa - 4. P t n 1 1 r. (Gdy P t 0 0, P t 1 0,...,P t N 0, to przyjmujemy umownie i P. Gdy t n kn. do równania definiującego.

Matematyka finansowa - 4. P t n 1 1 r. (Gdy P t 0 0, P t 1 0,...,P t N 0, to przyjmujemy umownie i P. Gdy t n kn. do równania definiującego. Matematyka finansowa - 4 Przepływy pieniężne - 2 Wewnętrzna stopa zwrotu Definicja Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR-Internal Rate of Return) dla strumienia przepływów pieniężnych P P t,p t, P t 2,...,P t w

Bardziej szczegółowo

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania.

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Izabela Asiewicz Nr albumu: 305038 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Praca licencjacka na kierunku

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Odtwarzanie rozk ladów za pomoc a danych Monte Carlo Jakub Cholewiński, pod opiek a dr hab. Krzysztofa Woźniaka 31 lipca 2015 r. Jakub Cholewiński, pod

Bardziej szczegółowo

Sterowanie optymalne przy kwadratowym wskaźniku jakości (LQR)

Sterowanie optymalne przy kwadratowym wskaźniku jakości (LQR) Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laboratorium Komputerowych Systemów Sterowania Sterowanie optymalne przy kwadratowym wskaźniku jakości (LQR) 1. Wprowadzenie (a)

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy - zastosowanie teorii sterowania

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy - zastosowanie teorii sterowania Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Piotr Leszczyński Nr albumu: 320155 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy - zastosowanie teorii sterowania Praca licencjacka na kierunku

Bardziej szczegółowo

Tematy prac licencjackich dla studentów indywidualnych Katedra Metod Matematycznych Fizyki

Tematy prac licencjackich dla studentów indywidualnych Katedra Metod Matematycznych Fizyki Tematy prac licencjackich dla studentów indywidualnych Katedra Metod Matematycznych Fizyki Struktury Riemmannowskie w równaniach różniczkowych Zbadamy uk lady równań różniczkowych nieautonomicznych za

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Alfabety i litery Układ logiczny opisywany jest przez wektory, których wartości reprezentowane są przez ciągi kombinacji zerojedynkowych. Zwiększenie stopnia

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa. Marzec Podstawy teorii optymalizacji Oceanotechnika, II stop., sem.

Politechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa. Marzec Podstawy teorii optymalizacji Oceanotechnika, II stop., sem. Politechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa St. II stop., sem. I, Kierunek Oceanotechnika, Spec. Okrętowe Podstawy teorii optymalizacji Wykład 1 M. H. Ghaemi Marzec 2016 Podstawy teorii

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu: Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja procesów sterowania z opóźnieniami

Optymalizacja procesów sterowania z opóźnieniami Optymalizacja prcesów sterwania z późnieniami Prblem sterwania ptymalneg prcesami z późnieniami stanu plega na minimalizacji wskaźnika jakści G(x, u). = t1 t g(x(t), x(t r), u(t), t)dt + h(x(t 1 )) z uwzglȩdnieniem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Elektryczny AUTOREFERAT ROZPRAWY DOKTORSKIEJ Mgr inż. Krzysztof Rogowski Wybrane zagadnienia teorii dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu opisanych modelem Roessera

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo