Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym."

Transkrypt

1 Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych fluktuacji parametrów obiektu sterowania. Fluktuacje te powoduj a odchylenie aktualnej trajektorii stanu od jej przebiegu optymalnego nominalnego). Celem zniwelowania tego odchylenia wprowadzamy nowe wspó lrzȩdne stanu i sterowania xt) := xt) x o t), ut) := ut) u o t) i określamy korektȩ sterowania optymalnego nominalnego) na podstawie rozwi azania problemu liniowo-kwadratowego sterowania optymalnego LKSO) aproksymuj acego problem wyjściowy w otoczeniu procesu optymalnego nominalnego). Aproksymuj acy problem LKSO dla procesów z czasem ci ag lym polega na minimalizacji kwadratowego wskaźnika jakości Gx, u) =.5x T t 1 )Qxt 1 ).5 t1 przy ograniczeniu w postaci liniowego równania stanu x T t)p t)xt) u T t)rt)ut))dt ẋt) = At)xt) Bt)ut), t [, t 1 ], z zadanym warunkiem pocz atkowym x) = x. Zak ladamy, że Q R n n jest macierz a symetryczn a dodatnio pó lokreślon a, P t) R n n jest macierz a symetryczn a dodatnio pó lokreślon a dla t [, t 1 ], Rt) R n n jest macierz a symetryczn a dodatnio określon a dla t [, t 1 ]. Sk ladnik wskaźnika jakości.5x T t 1 )Qxt 1 ) stanowi miarȩ odchylenia stanu końcowego trajektorii od jego wartości optymalnej nominalnej). Dla Q = I jest to suma kwadratów wspó lrzȩdnych stanu końcowego. Sk ladnik wskaźnika jakości.5 t 1 xt t)p t)xt) stanowi miarȩ odchylenia aktualnej trajektorii stanu od jej przebiegu optymalnego nominalnego) w przedziale sterowania [, t 1 ]. Dla P t) = I jest to ca lka z kwadratu odchylenia aktualnej trajektorii od jej przebiegu optymalnego nominalnego) w przedziale 1

2 sterowania [, t 1 ]. Sk ladnik wskaźnika jakości.5 t 1 ut t)rt)ut) określa koszty sterowania koryguj acego odchylenie aktualnej trajektorii od jej przebiegu optymalnego nominalnego). Sk ladnik ten ogranicza chwilowe wartości sterowania koryguj acego. Równanie stanu jest linearyzacj a wyjściowych, ogólnie bior ac, nieliniowych równań stanu na procesie optymalnym nominalnym). Oznacza to, że At) = f x x o t), u o t), t), Bt) = f u x o t), u o t), t). Określenie korekty sterowania optymalnego nominalnego) w uk ladzie zamkniȩtym nazywa siȩ syntez a optymalnego regulatora stanu. Do rozwi azania tego zadania zastosujemy zasadȩ maksimum. Zapisujemy hamiltonian problemu Hλt), xt), ut), t) =.5x T t)p t)xt)u T t)rt)ut))λ T t)at)xt)bt)ut)) i wydzielamy czȩść hamiltonianu zależn a od sterowania Hλt), xt), ut), t) =.5u T t)rt)ut) λ T t)bt)ut). Maksymalizuj ac hamiltonian wzglȩdem sterowania korzystamy z warunku H u t) = na sterowanie nie s a na lożone ograniczenia chwilowe) oraz ze wzoru na różniczkowanie formy kwadratowej ϕz) =..5z T Kz ϕ z z) =. z T K. Uzyskujemy wiȩc H u t) = u ot t)rt) λ T t)bt) = Rt)u o t) = B T t)λt) u o t) = R 1 t)b T t)λt). Sprawdzamy warunek wystarczaj acy maksimum hamiltonianu drugiego rzȩdu H uu t) = Rt) H uu t) <, co oznacza, że macierz pochodnych cz astkowych hamiltonianu jest ujemnie określona i że wyznaczone rozwi azanie stanowi maksimum. Jest to maksimum globalne, gdyż jest to jedyne rozwi azanie spe lniaj ace warunki optymalności. 2

3 Określamy uk lad równań kanonicznych zasady maksimum niestacjonarnego problemu LKSO ẋt) = H T λ t), x) = x, λt) = H T x t), λ t1 = Qxt 1 ) tj. ẋt) = At)xt) Bt)R 1 t)b T t)λt), t [, t 1 ], x) = x, λt) = A T t)λt) P t)xt), λ t1 = Qxt 1 ). Tak wiȩc warunki konieczne optymalności rozważanego procesu sterowania sprowadzaj a siȩ do uk ladu niestacjonarnych liniowych równań różniczkowych z warunkami dwugranicznymi. Jeden z efektywnych sposobów rozwi azywania tego uk ladu polega na zastosowaniu tzw. niestacjonarnego liniowego podstawienia Riccatiego λt) = Kt)xt), gdzie Kt) R n n jest macierz a Riccatiego wi aż ac a wektor stanu i wektor zmiennych sprzȩżonych niestacjonarnego problemu LKSO. Przewidywanie powi azania tych wektorów w postaci niestacjonarnej liniowej zależności jest uzasadnione przez fakt, że uk lad równań kanonicznych ma postać niestacjonarn a liniow a. Stosujemy podstawienie Riccatiego do uk ladu równań kanonicznych ẋt) = At)xt) Bt)R 1 t)b T t)kt)xt), Kt)xt) Kt)ẋt) = A T t)kt)xt) P t)xt). Pierwsze z tych równań podstawiamy do drugiego Kt)xt)Kt) At)Bt)R 1 t)b T t)kt) ) xt) = A T t)kt)xt)p t)xt). Równanie to bȩdzie spe lnione dla każdego stanu xt), jeśli macierz Kt) bȩdzie spe lniać nastȩpuj ace macierzowe równanie różniczkowe Riccatiego Kt) = Kt)At) A T t)kt) Kt)Bt)R 1 t)b T t)kt) P t) z warunkiem końcowym Kt 1 ) = Q. Ostatni warunek wynika z warunku końcowego dla zmiennej sprzȩżonej λt1 ) = Qxt 1 ) λt 1 ) = Kt 1 )xt 1 ) ) Kt 1 ) = Q. 3

4 Po wyznaczeniu macierzy Kt) określamy rów nanie optymalnego regulatora stanu u o t) = R 1 t)b T t)kt)xt). Jest to liniowe niestacjonarne równanie macierzowe. Uk lad sterowania z warstw a regulacji sterowanie optymalne Optymalny niestacjonarny regulator stanu R 1 t)b T t)kt) 1 korekta sterowania optymalnego Obiekt sterowania xt) czȩste fluktuacje parametru Macierz Riccatiego posiada nastȩpuj ace w lasności: 1. Macierz Kt) jest symetryczna. 2. Macierz Kt) jest ujemnie określona. Aby wykazać symetryczność macierzy Riccatiego porównamy równanie Riccatiego Kt) = Kt)At) A T t)kt) Kt)Bt)R 1 t)b T t)kt) P t), Kt 1 ) = Q i jego transpozycjȩ K T t) = A T t)k T t) K T t)at) K T t)bt)r 1 t)b T t)k T t) P t), K T t 1 ) = Q. Macierz K T t) jest rozwi azaniem tego samego równania różniczkowego co i macierz Kt) z tym samym warunkiem końcowym. Z twierdzenia o istnieniu 4

5 i jednoznaczności rozwi azań równań różniczkowych wynika, że musi zachodzić równość K T t) = Kt), co oznacza, że macierz Kt) jest symetryczna. Aby wykazać ujemn a określoność macierzy Riccatiego zapisujemy na podstawie równania Riccatiego zależność = x T t) P t) A T t)kt) Kt)At) Kt)Bt)R 1 t)b T t)kt) Kt) ) xt) = x T t) P t)kt)bt)r 1 t)b T t)kt) At)Bt)R 1 t)b T t)kt)) T Kt) Kt) Kt)At) Bt)R 1 t)b T t)kt)) ) xt) = x T t)p t)xt) x T t)kt)bt)r 1 t)rt)r 1 t)b T t)kt)xt) ẋ T t)kt)xt) x T t) Kt)xt) x T t)kt)ẋt) = x T t)p t)xt)u T t)rt)ut) ẋ T t)kt)xt)x T t) Kt)xt)x T t)kt)ẋt)) tj. czyli x T t)p t)xt) u T t)rt)ut)) = d dt xt t)kt)xt)). Ca lkuj ac ostatnie wyrażenie w granicach od t 1 do t uzyskujemy t t x T s)p s)xs) u T d s)rs)us))ds = t 1 t 1 ds xt s)ks)xs))ds t1 t x T s)p s)xs)u T s)rs)us))ds = x T t 1 )t 1 )Kt 1 )xt 1 ) x T t)kt)xt) = x T t 1 )Qxt 1 ) x T t)kt)xt) 5

6 i ostatecznie x T t 1 )Qxt 1 ) t1 t x T s)p s)xs) u T s)rs)us))ds = x T t)kt)xt). Ponieważ macierze Q i P t) s a dodatnio pó lokreślone, a macierz Rt) jest dodatnio określona, wiȩc wyrażenie po lewej stronie ostatniego równania jest zawsze dodatnie. Oznacza to, że macierz Kt) po prawej stronie tego wyrażenia jest ujemnie określona dla wszystkich t [, t 1 ]. Równanie Riccatiego rozwi azywane jest metodami numerycznymi jako równanie różniczkowe z zadanym warunkiem końcowym. Symetryczność macierzy Riccatiego jest wykorzystywana do redukcji zmiennych w równaniu Riccatiego - może być to istotne w przypadku uk ladów o dużej liczbie zmiennych stanu. Ujemna określoność macierzy Riccatiego umożliwia jednoznaczne wyznaczenie optymalnego regulatora stanu dla uk ladów stacjonarnych z nieskończonym horyzontem czasowym sterowania. Jeśli fluktuacje parametru obiektu s a stosunkowo rzadkie, to podstaw a do wyznaczenia sterowanie koryguj acego może być rozwi azanie nastȩpuj acego stacjonarnego problemu LKSO: zminimalizować wskaźnik jakości Gx, u) =.5 x T t)p xt) u T t)rut))dt przy ograniczeniach w postaci liniowego stacjonarnego równania stanu ẋt) = Axt) But), t [, ) z zadanym warunkiem pocz atkowym x) = x i końcowym x ) =. Zak ladamy, że macierze P i R s a dodatnio określone. Macierze A i B mog a być uśrednieniami macierzy Jacobiego f x x o, u o t), t), f u x o, u o t), t) wyjściowego równania stanu na procesie optymalnym tj. 1 A = lim τ τ τ f x x o, u o t), t)dt, 6

7 1 τ B = lim f u x o, u o t), t)dt. τ τ Warunek pocz atkowy x stanowi odchylenie pocz atkowe aktualnego stanu od stanu optymalnego nominalnego). Ponieważ z za lożenia zaburzenia stanu s a stosunkowo rzadkie, wiȩc mamy do dyspozycji d lugi horyzont czasowy dla zregulowania zaistnia lego zaburzenia stanu. Przyjmuj ac idealny przypadek nieskończonego horyzontu czasowego regulacji stanu stawiamy wymaganie pe lnej niwelacji zaburzenia stanu x ) =. Dlatego stan końcowy nie pojawia siȩ we wskaźniku jakości. Stacjonarny problem LKSO rozwi ażemy stosuj ac zasadȩ maksimum. Zapisujemy hamiltonian problemu Hλt), xt), ut)) =.5x T t)p xt) u T t)rut)) λ T t)axt) But)) i wydzielamy jego czȩść zależn a od sterowania Hλt), xt), ut)) =.5u T t)rut) λ T t)but). Maksymalizuj ac hamiltonian wzglȩdem sterowania korzystamy z warunku H u t) = na sterowanie nie s a na lożone ograniczenia chwilowe) oraz ze wzoru na różniczkowanie formy kwadratowej Uzyskujemy wiȩc ϕz). =.5z T Kz ϕ z z). = z T K. H u t) = u ot t)r λ T t)b = Ru o t) = B T λt) i st ad u o t) = R 1 B T λt). Sprawdzamy warunek wystarczaj acy optymalności drugiego rzȩdu H uu t) = R H uu t) <, co oznacza, że macierz pochodnych cz astkowych hamiltonianu jest ujemnie określona i że wyznaczone rozwi azanie stanowi maksimum. Jest to maksimum globalne, gdyż jest to jedyne rozwi azanie spe lniaj ace warunki optymalności. Określamy uk lad równań kanonicznych zasady maksimum stacjonarnego problemu LKSO ẋt) = H T λ t), x) = x, x ) =, λt) = H T x t), 7

8 tj. ẋt) = Axt) BR 1 B T λt), t [, t 1 ], x) = x, x ) =, λt) = A T λt) P xt). Tak wiȩc warunki konieczne optymalności rozważanego procesu sterowania sprowadzaj a siȩ do uk ladu stacjonarnych liniowych równań różniczkowych z warunkami dwugranicznymi. Jeden z efektywnych sposobów rozwi azywania tego uk ladu polega na zastosowaniu tzw. stacjonarnego liniowego podstawienia Riccatiego λt) = Kxt), gdzie K R n n jest macierz a Riccatiego wi aż ac a wektor stanu i wektor zmiennych sprzȩżonych stacjonarnego problemu LKSO. Przewidywanie powi azania tych wektorów w postaci stacjonarnej liniowej zaleṅości jest uzasadnione przez fakt, że uk lad równań kanonicznych ma postać stacjonarn a liniow a. Stosuj ac stacjonarne podstawienie Riccatiego do pierwszego równania kanonicznego zasady maksimum uzyskujemy równanie stanu zamkniȩtego uk ladu jego regulacji ẋt) = A BR 1 B T K)xt). Stosuj ac to podstawienie do drugiego równania kanonicznego zasady maksimum uzyskujemy równanie dla określenia macierzy K Kẋt) = A T Kxt) P xt) tj. KA BR 1 B T K)xt) = A T Kxt) P xt), co oznacza, że macierz K powinna spe lniać macierzowe algebraiczne równanie Riccatiego KA A T K KBR 1 B T K P =. W teorii równań macierzowych dowodzi siȩ, że macierzowe algebraiczne równanie Riccatiego posiada wśród wielu rozwi azań jedno i tylko jedno rozwi azanie ujemnie określone K <. To w laśnie rozwi azanie stosujemy do określenia optymalnego stacjonarnego regulatora stanu u o t) = R 1 B T Kxt). 8

9 Uk lad sterowania z warstw a regulacji sterowanie optymalne Optymalny stacjonarny regulator stanu R 1 B T K 1 korekta sterowania optymalnego Obiekt sterowania xt) sporadyczne fluktuacje parametru Przeprowadzimy analizȩ stabilności optymalnego stacjonarnego uk ladu regulacji stanu. W tym celu zdefiniujemy funkcjȩ Lapunowa tego uk ladu w postaci V x) = x T Kx. Ponieważ K <, wiȩc pierwszy i trzeci postulat definicji funkcji Lapunowa jest spe lniony. Celem weryfikacji drugiego postulatu funkcji Lapunowa obliczymy pochodn a tej funkcji wzd luż trajektorii stanu uk ladu V x) = ẋ T Kx x T Kẋ = x T ABR 1 B T K) T Kx x T KABR 1 B T K)x = x T KA A T K KBR 1 B T K KBR 1 B T K)x x T P KBR 1 B T K)x. Macierz P jest z za lożenia dodatnio określona, a wyrażenie x T KBR 1 B T Kx = z T R 1 z jest nieujemnie określone, gdyż macierz R 1 jest dodatnio określona. Jeśli spe lniony jest dodatkowy warunek x z = B T Kx, to ostatnie wyrażenie jest dodatnio określone nawet jeśli macierz P jest tylko nieujemnie określona. Wynika st ad, że optymalny uk lad regulacji stanu jest asymptotycznie stabilny tj. x ) =. Bȩdzie on również asymptotycznie 9

10 stabilny nawet jeśli macierz P jest tylko nieujemnie określona, jeśli wartości w lasne macierzy zamkniȩtego uk ladu regulacji maj a ujemne czȩści rzeczywiste. Przyk lad: Wyznaczyć optymalny regulator stanu jeśli mamy do czynienia z czȩstymi fluktuacjami parametru obiektu i problem LKSO jest postaci Gx, u) =.5x 2 t 1 ).5 t1 u 2 t)dt, ẋt) = xt) ut), x) = x. Zestawiamy dane dla równania Riccatiego A = 1, B = 1, Q = 1, P =, R = 1 i zapisujemy to równanie Kt) = 2Kt) K 2 t), Kt 1 ) = 1. Dla takiego szczególnego przypadku znane jest analityczne rozwi azanie równania Riccatiego Kt) = 2/1 e 2 t t1) ). Tak wiȩc równanie optymalnego niestacjonarnego ma postać u o t) = R 1 B T Kt)xt) u o t) = 2xt)/1 e 2 t t1) ). Przyk lad: Wyznaczyć optymalny regulator stanu jeśli mamy do czynienia ze sporadycznymi fluktuacjami parametru obiektu i problem LKSO jest postaci Gx, u) =.5 x 2 1t) u 2 t))dt ) ) 1 ẋt) = xt) ut), 1 x) = x. Zapisujemy dane dla zestawienia równania Riccatiego ) ) ) ) A = 1 k 1 k 2, B =, Q =, P =, R = 1, K = 1 1 k 2 k 3. 1

11 To macierzowe równanie jest równoważne trzem skalarnym równaniom postaci Zapisujemy macierzowe równanie Riccatiego ) ) ) ) k 1 k 2 1 k 1 k 2 k 2 k 3 1 k 2 k 3 ) ) k 1 k 2 ) ) ) k 1 k = k 2 k 3 1 k 2 k 3 które maj a rozwi azanie tj. k 2 2 = 1, k 1 k 2 k 3 =, 2k 2 k 2 3 =, k 1 = 2, k 2 = 1, k 3 = 2 K = Macierz K jest ujemnie określona, gdyż jej minory g lówne zmieniaj a znak pocz awszy od znaku ujemnego 1 = 1, 2 = 2 1 = 1. Aby sprawdzić, czy zamkniȩty uk lad regulacji stanu jest asymptotycznie stabilny, wyznaczamy równanie stanu tego uk ladu ẋt) = Ãxt), à = A BR 1 B T K) ) tj. ) 1 2 ẋt) = xt), 2 2 a zatem ) si à = s 1 1 s 2 i wartości w lasne uk ladu regulacji stanu s 1,2 = 1 ± j)/ 2 maj a ujemne czȩści rzeczywiste. Optymalny regulator stanu jest wiȩc asymptotycznie stabilny. 11

12 Przyk lad: Minimalizacja zużycia surowca w chemicznym procesie produkcyjnym. W przep lywowym reaktorze chemicznym zachodzi proces przemiany surowca A w produkt użyteczny B i w produkt uboczny C. Wyróżniamy zmienne stanu x 1 t) - stȩżenie surowca A w reaktorze, x 2 t) - stȩżenie produktu użytecznego B w reaktorze, u 1 t) - stȩżenia surowca A w strumieniu wejściowym reaktora, u 2 t) - natȩżenie przep lywu mieszaniny przez reaktor. Należy minimalizować średnie zużycie surowca Gx, u) = 1 τ uwzglȩdniaj ac równania stanu procesu τ u 1 t)u 2 t)dt ẋt) = u 1 t)u 2 t) u 2 t)x 1 t) 3x 2 1t) ax 1 t), ẋt) = u 2 t)x 2 t) 3x 2 1t), ograniczenia technologiczne w postaci zadanego średniego poziomu nieprzereagowanego surowca i średniego poziomu produkcji sk ladnika użytecznego 1 τ τ x i t)dt = 1/3, i = 1, 2, oraz ograniczenia chwilowe stanu i sterowania x i t), u i t) 2, i = 1, 2, przy czym a jest parametrem o nominalnej wartości a = 1, który jednak podlega czȩstym fluktuacjom. Zak ladamy, że proces należy prowadzić na optymalnym poziomie statycznym x o 1, x o 2, ū o 1, ū 2) = 1/3, 1/3, 1, 1). W zwi azku z potrzeb a niwelowania wp lywu fluktuacji parametru a na przebieg procesu formu lujemy problem LKSO stanowi acy podstawȩ syntezy optymalnego niestacjonarnego regulatora stanu: zminimalizować odchylenie procesu aktualnego od procesu optymalnego w skończonym czasie t 1 skorelowanym z czȩstości a fluktuacji parametru x 2 1t 1 ) x 2 2t 1 ) t1 x 2 1t) x 2 2t) u 2 1t) u 2 2t))dt 12

13 uwzglȩdniaj ac liniow a aproksymacjȩ równań stanu ẋt) = i zaburzenie stanu pocz atkowego ) xt) 1 2/3 1/3 ) ut) x) = x. Celem wyznaczenia optymalnego regulatora stanu należy rozwi azać nastȩpuj ace równanie różniczkowe Riccatiego ) ) ) k1 t) k2 t) k 1 t) k 2 t) 4 k 2 t) k3 t) k 2 t) k 3 t) 2 1 k 1 t) k 2 t) ) ) k 2 t) 1 2/3 1 k 3 t) 1/3 2/3 1/3 4 2 ) k 1 t) z zadanym macierzowym warunkiem końcowym 1 k 2 t) ) ) k 1 t 1 ) k 2 t 1 ) 1 =. k 2 t 1 ) k 3 t 1 ) 1 ) k 1 t) k 2 t) ) k 2 t) k 3 t) ) ) k 2 t) 1 = k 3 t) Macierzowe równanie różniczkowe Riccatiego z zadanym warunkiem końcowym rozwi azujemy za pomoc a metod numerycznych np. NDSolve w systemie Mathematica. przy użyciu procedury Jeśli fluktuacje parametru obiektu s a sporadyczne, to podstawȩ do syntezy optymalnego stacjonarnego regulatora stanu stanowi rozwi azanie nastȩpuj acego problemu LKSO: zminimalizować odchylenie procesu aktualnego od procesu optymalnego w nieskończonym czasie t 1 = x 2 1t) x 2 2t) u 2 1t) u 2 2t))dt uwzglȩdniaj ac liniow a aproksymacjȩ równań stanu ẋt) = i zaburzenie stanu pocz atkowego ) xt) 1 2/3 1/3 ) ut) x) = x. 13

14 Celem syntezy optymalnego stacjonarnego regulatora stanu należy rozwi azać nastȩpuj ace macierzowe algebraiczne równanie Riccatiego ) ) ) ) k 1 k k 1 k 2 k 2 k k 2 k 3 ) ) ) ) ) k 1 k 2 1 2/3 1 k 1 k 2 1 = k 2 k 3 1/3 2/3 1/3 k 2 k 3 1 To macierzowe równanie Riccatiego można również rozwi azywać przy użyciu metod numerycznych np. za pomoc a procedury NSolve w systemie Mathematica. 14

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Liniowe uk lady sterowania.

Liniowe uk lady sterowania. Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa

Bardziej szczegółowo

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania

Wprowadzenie do teorii sterowania Wprowadzenie do teorii sterowania Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa 1996. T. Kaczorek, Teoria

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu.

Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych z czasem ci ag lym W podstawowym problemie sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,

Bardziej szczegółowo

Stabilność liniowych uk ladów sterowania

Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych

Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Niech bȩdzie dany uk lad sterowania taki, że nie wszystkie jego zmienne stanu s a bezpośrednio dostȩpne (mierzalne. Uk lad pozwalaj

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego

Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Pojȩcie procesu sterowania obejmuje zestaw trajektorii stanu i sterowania (x, u) X U, gdzie X jest przestrzeni a trajektorii stanu, a U jest przestrzeni a sterowania.

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych.

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. Dr hab. inż. Krystyn Styczeń, prof. PWr Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ http://krystyn.styczen.staff.iiar.pwr.wroc.pl/

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................

Bardziej szczegółowo

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego.

Wykład z modelowania matematycznego. Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych

Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych Politechnika Wroc lawska Wydzia l Elektroniki Katedra K8 Prof. dr hab. inż. Krystyn Styczeń http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

1. Podstawowe pojęcia

1. Podstawowe pojęcia 1. Podstawowe pojęcia Sterowanie optymalne obiektu polega na znajdowaniu najkorzystniejszej decyzji dotyczącej zamierzonego wpływu na obiekt przy zadanych ograniczeniach. Niech dany jest obiekt opisany

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = as(t)dt + σs(t)dw (t)

Wycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = as(t)dt + σs(t)dw (t) Wycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = as(t)dt + σs(t)dw (t) Wycena opcji Dynamika cen akcji: ds(t) = as(t)dt + σs(t)dw (t) Figure 1: Aproksymacja drzewem dwumianowym Wycena opcji Dynamika cen akcji:

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

Normy wektorów i macierzy

Normy wektorów i macierzy Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,

Bardziej szczegółowo

Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego

Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego Regulator liniowo kwadratowy na przykładzie wahadła odwróconego kwiecień 2012 Sterowanie Teoria Przykład wahadła na wózku Dany jest system dynamiczny postaci: ẋ = f (x, u) (1) y = h(x) (2) Naszym zadaniem

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Równania Naviera-Stokesa

Równania Naviera-Stokesa Równania Naviera-Stokesa Na pograniczu matematyki i fizyki Grzegorz Lukaszewicz (MIM UW) KNFM, 3 listopada 2011 Plan wyk ladu Równania Naviera-Stokesa w R 3. Model a rzeczywistość. Zwi azki. Obecny stan

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:

ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1 Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:

Bardziej szczegółowo

Ekstrema funkcji wielu zmiennych.

Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie.

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie. 176 Wtȩp do tatytyki matematycznej trści wynika że H o : p 1 przeciwko hipotezie H 3 1: p< 1. Aby zweryfikować tȩ 3 hipotezȩ zatujemy tet dla frekwencji. Wtedy z ob 45 1 150 3 1 3 2 3 150 0 346. Tymczaem

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1 ALGORYTM SYMPLEKS Model liniowy nazywamy modelem w postaci standardowej jeżeli wszystkie ograniczenia s a w postaci równości i wszystkie zmienne

Bardziej szczegółowo

Uk lady Liego: teoria i zastosowania

Uk lady Liego: teoria i zastosowania Uk lady Liego: teoria i zastosowania Javier de Lucas Araujo Katedra Metod Matematycznych w Fizyce 13 Marca 2014 Przyk lady zasad superpozycji I Dla dowolnego uk ladu równań różniczkowych jednorodnych liniowych,

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Zasada maksimum Pontriagina

Zasada maksimum Pontriagina 25.04.2015 Abstrakt Wiele zagadnień praktycznych dotyczących układów dynamicznych wymaga optymalizacji pewnych wielkości. Jednakże zwykła teoria gładkich układów dynamicznych zajmuje się jednak tylko opisem

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży

Bardziej szczegółowo

{E n ( k 0 ) + h2 2m (k2 k 2 0 )}δ nn + h m ( k k 0 ) p nn. c nn = E n ( k)c nn (1) gdzie ( r)d 3 r

{E n ( k 0 ) + h2 2m (k2 k 2 0 )}δ nn + h m ( k k 0 ) p nn. c nn = E n ( k)c nn (1) gdzie ( r)d 3 r to w pobliżu dna (lub szczytu) pasma (k k 0 ) zależność E(k) jest paraboliczna ale z mas a m m 0 Jeśli pasma nie s a energetycznie dobrze separowalne lub energetycznie zdegenerowane (kwazizdegenerowane)

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi 5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C

Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6C, 1 8. Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa czo lowa wnȩtrza Rys. 6C-01:

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne

Programowanie matematyczne dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo