Stabilność liniowych uk ladów sterowania

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Stabilność liniowych uk ladów sterowania"

Transkrypt

1 Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje nas czy odchylenie rozwi azania równania zaburzonego od rozwi azania równania pierwotnego bȩdzie zanikać z up lywem czasu (w tym przypadku uk lad sterowania określamy jako stabilny asymptotycznie), czy też odchylenie to bȩdzie pozostawać w pewnym otoczeniu rozwi azania równania pierwotnego (w tym przypadku uk lad sterowania określamy jako stabilny lecz nieasymptotycznie), lub też czy odchylenie to bȩdzie nieograniczenie narastać z up lywem czasu (w tym przypadku uk lad sterowania określamy jako niestabilny). Badanie stabilności może dotyczyć wyróżnionej trajektorii stanu o poż adanym przebiegu np. trajektorii sta lej określaj acej tzw. punkt równowagi uk ladu. Dla uk ladów liniowych obowi azuje nastȩpuj aca Definicja: Punkt przestrzeni stanu x r, dla którego Ax r = 0 dla wszystkich chwil t 0, nazywamy punktem równowagi liniowego autonomicznego uk ladu sterowania opisywanego równaniem ẋ(t) = Ax(t), t 0, x(0) = x 0. Jeżeli deta 0, to liniowy uk lad sterowania ma dok ladnie jeden punkt równowagi w pocz atku uk ladu wspó lrzȩdnych tj. zerowy punkt równowagi. Niech x bȩdzie dowoln a (niezerow a) wyróżnion a sta l a trajektori a stanu liniowego uk ladu sterowania zwi azan a z wyróżnionym sta lym sterowaniem ū. Ten wyróżniony rodzaj ruchu uk ladu sterowania spe lnia równanie stanu x = 0 = A x + Bū, x(t 0 ) = x, t [t 0, + ). Analizȩ warunków stabilności uk ladów sterowania można sprowadzić do badania stabilności zerowego punktu równowagi zredukowanego uk ladu sterowania określonego za pomoc a przekszta lcenia ( x(t) = x(t) x) (x(t) = x(t) + x). Równanie stanu wzglȩdem nowych wspó lrzȩdnych stanu przybierze postać x(t) = A( x(t) + x) + Bū, 1

2 czyli x(t) = A x(t). Rozwi azanie zerowe x(t) = 0 ostatniego równania jest równoważne z wyróżnionym rozwi azaniem niezerowym x równania pierwotnego. Rozwi azanie to jest punktem równowagi uk ladu przekszta lconego, gdyż A x(t) = 0 x(t) = 0. Tak wiȩc badanie stabilności dowolnej wyróżnionej trajektorii stanu liniowego stacjonarnego uk ladu sterowania można sprowadzić do badania zerowego punktu równowagi zredukowanego uk ladu sterowania z t a sam a macierz a stanu A. Definicja: Punkt równowagi x r = 0 zredukowanego uk ladu sterowania nazywa siȩ punktem stabilnym, jeżeli dla każdej liczby dodatniej ɛ można dobrać tak a liczbȩ dodatni a η = η(ɛ), że trajektoria rozpoczynaj aca siȩ w punkcie x 0, leż acym wewn atrz kuli o promieniu η, pozostanie wewn atrz kuli o promieniu ɛ dla dowolnej chwili t > 0. Definicja: Punkt równowagi x r = 0 zredukowanego uk ladu sterowania nazywa siȩ punktem asymptotycznie stabilnym, jeżeli punkt ten jest stabilny i ponadto lim t x(t) = 0. Analizuj ac stabilność liniowego stacjonarnego uk ladu sterowania bierzemy pod uwagȩ sk ladow a swobodn a rozwi azania pochodz ac a od zaburzenia stanu pocz atkowego ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x r + δx 0, t [0, ) x(t) = e At δx 0, t [0, ). Badanie stabilności asymptotycznej liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania sprowadza siȩ do warunku zanikania sk ladowej rozwi azania pochodz acej od zaburzenia stanu pocz atkowego tj. do warunku lim t eat δx 0 = 0 Rozważana sk ladowa przybiera postać e At δx 0 = L 1 {(si A) 1 }δx 0 n = L 1 {( ij (s)δx j0 / (s)) i=1,...,n } = j=1 2

3 L 1 {(X 1 (s, δx 0 ),...X i (s, δx 0 ),..., X n (s, δx 0 )) T } ( ) gdzie ij (s) jest wielomianem zmiennej zespolonej s stopnia <= n jako element macierzy do l aczonej (si A) D, a (s) = det(si A) jest wielomianem zmiennej zespolonej s stopnia n. Do badania wyrażenia ( ) można zastosować metodȩ rozk ladu na u lamki proste. W tym celu wyznaczamy wartości w lasne s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A tj. pierwiastki równania det(si A) = 0. W zależności od charakteru tych wartości w lasnych uzyskujemy sk ladowe rozwi azania o różnej postaci. macierzy A s a jednokrotne rzeczy- 1. Wartości w lasne s 1, s 2,..., s n wiste - w tym przypadku X i (s, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) s s 1 + c i2(δx 0 ) s s c in(δx 0 ) s s n, gdzie c ij (δx 0 ) s a sta lymi zależnymi od zaburzenia warunku pocz atkowego. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (t, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )e s 1t + c i2 (δx 0 )e s 2t c in (δx 0 )e snt. 2. Wśród wartości w lasnych s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A jest r-krotna wartość w lasna rzeczywista - w tym przypadku X i (s, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) s s 1 + c i2(δx 0 ) (s s 2 ) c ir(δx 0 ) (s s r ) r c in(δx 0 ) s s n. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (t, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )e s 1t +c i2 (δx 0 )te s 2t +...+c ir (δx 0 )t r 1 e srt +...+c in (δx 0 )e snt. 3. Wśród wartości w lasnych s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A jest para wartości zespolonych sprzȩżonych s 1,2 = σ ± jω - w tym przypadku X i (s, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) s (σ + jω) + c i2(δx 0 ) s (σ jω) c in(δx 0 ) s s n. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (t, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )e σt cos ωt + c i2 (δx 0 )e σt sin ωt c in (δx 0 )e snt. 4. Wśród wartości w lasnych s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A jest para r-krotnych wartości zespolonych sprzȩżonych s 1,2 = σ ± jω - w tym przypadku X i (s, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) s (σ + jω) + c i2(δx 0 ) s (σ jω) 3

4 c i1 (δx 0 ) (s (σ + jω)) + c i2 (δx 0 ) r (s (σ jω)) c in(δx 0 ). r s s n W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (t, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )e σt cos ωt + c i2 (δx 0 )e σt sin ωt c i,2r 1 (δx 0 )t r 1 e σt cos ωt + c i2r (δx 0 )t r 1 e σt sin ωt Bior ac pod uwagȩ zależność c in (δx 0 )e snt. lim t tp e σt = 0, p = 1, 2,...; σ < 0, wnioskujemy, że we wszystkich czterech przypadkach sk ladowe swobodne rozwi azania równania stanu pochodz ace od zaburzenia warunku pocz atkowego zanikaj a wraz z up lywem czasu t. Oznacza to, że warunkiem koniecznym i wystarczaj acym stabilności liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania jest po lożenie wszystkich wartości w lasnych s 1, s 2,..., s n macierzy stanu A w lewej pó lp laszczyźnie zmiennej zespolonej tj. spe lnienie warunku Re(s i ) < 0, i = 1,..., n. s 4

5 Definicja stabilności eksponencjalnej: Punkt równowagi x = 0 zredukowanego uk ladu sterowania nazywa siȩ punktem stabilnym eksponencjalnie, jeżeli istniej a dwie liczby η > 0 i λ < 0 takie, że x(t) η x(0) e λt. Dla stabilnego liniowego uk ladu sterowania o pojedynczych wartościach w lasnych s i, i = 1,..., n uzyskuje siȩ λ = max i=1,...,n Re(s i) tj. szybkość stabilności określona jest w tym przypadku przez maksymaln a czȩść rzeczywist a wartości w lasnych macierzy stanu. Jeśli natomiast uk lad posiada wielokrotne wartości w lasne, to zachodzi oszacowanie λ = max i=1,...,n Re(s i) + ɛ, gdzie ɛ jest dowolnie ma l a liczb a dodatni a - tak wiȩc również w tym przypadu wyk ladnik szybkości stabilności jest w przybliżeniu równy maksymalnej czȩści rzeczywistej wartości w lasnych macierzy stanu. s λ 5

6 W przypadku zamkniȩtego uk ladu sterowania ẋ(t) = Ãx(t), à = A + BKC badanie stabilności asymptotycznej sprowadza siȩ do weryfikacji po lożenia wartości w lasnych macierzy stanu à zamkniȩtego uk ladu sterowania. Ponieważ wartości w lasne macierzy A (lub Ã) s a pierwiastkami równania algebraicznego stopnia n, wiȩc zbadać ich po lożenie na p laszczyźnie s można stosuj ac kryterium Hurwitza. W tym celu (a) porz adkujemy równanie wartości w lasnych do postaci (s) = a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 = 0, (b) sprawdzamy, czy wszystkie wspó lczynniki a i s a różne od zera i maj a ten sam znak, (c) sprawdzamy, czy wszystkie minory g lówne i macierzy Hurwitza H s a dodatnie, gdzie a 1 a a 3 a 2 a 1 a 0... H = a 5 a 4 a 3 a n n Inna postać macierzy Hurwitza Przyk lad: a n 1 a n a n 3 a n 2 a n 1 a n H = a n 5 a n 4 a n 3 a n Macierz stanu zredukowanego uk ladu sterowania z czasem ci ag lym ma postać 1 α 0 A = β 1 α, 0 β 1 6 n n

7 przy czym α i β s a parametrami uk ladu. Aby zbadać dla jakich parametrów uk lad sterowania jest asymptotycznie stabilny zapisujemy równanie wartości w lasnych macierzy stanu s + 1 α 0 det(si A) = det β s + 1 α = 0. 0 β s + 1 Określamy nastȩpnie wielomian charakterystyczny uk ladu w postaci standardowej (s) = s 3 + 3s 2 + (3 2αβ)s + 1 2αβ = 0 1 2αβ > 0, co oznacza, że a 3 = 1, a 2 = 3, a 1 = 3 2αβ i a 0 = 1 2αβ. Zapisujemy macierz Hurwitza 2 2αβ 1 2αβ 0 A = αβ Kryterium stabilności Hurwitza implikuje warunki a 1 = 3 2αβ > 0 i a 0 = 1 2αβ > 0 (dodatniość wspó lczynników wielomianu charakterystycznego uk ladu), 1 = 3 2αβ > 0, i 2 = 8 4αβ > 0 αβ < 0.5 (dodatniość minorów g lównych macierzy Hurwitza). Tak wiȩc obszar stabilności parametrycznej uk ladu sterowania jest określony przez nierówność αβ <

8 Stabilność liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania z czasem dyskretnym Badanie stabilności asymptotycznej liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania z czasem dyskretnym sprowadza siȩ do warunku zanikania sk ladowej rozwi azania pochodz acej od zaburzenia stanu pocz atkowego tj. do warunku lim k Ak δx 0 = 0 Rozważana sk ladowa przybiera postać A k δx 0 = Z 1 {(zi A) 1 z}δx 0 n = Z 1 {( ij (z)zδx j0 / (z)) i=1,...,n } = j=1 Z 1 {(X 1 (z, δx 0 ),...X i (z, δx 0 ),..., X n (z, δx 0 )) T } ( ) gdzie ij (z) jest wielomianem zmiennej zespolonej s stopnia <= n jako element macierzy do l aczonej (zi A) D, a (z) = det(zi A) jest wielomianem zmiennej zespolonej z stopnia n. Do badania wyrażenia ( ) można zastosować metodȩ rozk ladu na u lamki proste. W tym celu wyznaczamy wartości w lasne z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A uk ladu dyskretnego tj. pierwiastki równania det(zi A) = 0. W zależności od charakteru tych wartości w lasnych uzyskujemy sk ladowe rozwi azania o różnej postaci. macierzy A s a jednokrotne rzeczy- 1. Wartości w lasne z 1, z 2,..., z n wiste - wtedy X i (z, δx 0 ) = c i1(δx 0 )z z z 1 + c i2(δx 0 )z z z c in(δx 0 )z z z n, gdzie c ij (δx 0 s a sta lymi zależnymi od zaburzenia warunku pocz atkowego. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (k, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )z k 1 + c i2 (δx 0 )z k c in (δx 0 )z k n. 2. Wśród wartości w lasnych z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A jest r-krotna wartość w lasna rzeczywista - wtedy X i (z, δx 0 ) = c i1(δx 0 )z z z 1 + c i2(δx 0 )z (z z 2 ) c ir(δx 0 )z (z z r ) r c in(δx 0 )z z z n. 8

9 W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (k, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )z k 1 +c i2 (δx 0 )kz k c ir (δx 0 )k r 1 z k c in (δx 0 )z k n. 3. Wśród wartości w lasnych z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A jest para wartości zespolonych sprzȩżonych z 1,2 = σe ±jω - wtedy X i (z, δx 0 ) = c i1(δx 0 )z z σe jω + c i2(δx 0 ) s σe jω c in(δx 0 )z z z n. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (k, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )σ k cos ωk + c i2 (δx 0 )σ k sin ωk c in (δx 0 )z k n. 4. Wśród wartości w lasnych z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A jest para r-krotnych wartości zespolonych sprzȩżonych z 1,2 = σe ±jω - wtedy X i (z, δx 0 ) = c i1(δx 0 ) z σe + c i2(δx 0 ) +... jω z σe jω + c i1(δx 0 ) (z σe jω ) r + c i2(δx 0 ) (z σe jω ) r c in(δx 0 ) z z n. W dziedzinie czasowej uzyskujemy x i (k, δx 0 ) = c i1 (δx 0 )σ k cos ωk + c i2 (δx 0 )σ k sin ωk c i,2r 1 (δx 0 )k r 1 σ k cos ωk + c i2r (δx 0 )k r 1 σ k sin ωk c in (δx 0 )z k n. 9

10 Bior ac pod uwagȩ zależność lim k kp z k = 0, p = 1, 2,...; z < 1, wnioskujemy, że warunkiem koniecznym i wystarczaj acym stabilności liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania z czasem dyskretnym jest po lożenie wszystkich wartości w lasnych z 1, z 2,..., z n macierzy stanu A uk ladu dyskretnego wewn atrz okȩgu jednostkowego p laszczyzny zmiennej zespolonej z tj. spe lnienie warunku z i < 1, i = 1,..., n. z 1 Lemat: Transformacja z = (s + 1)/(s 1), s 1 przeprowadza ko lo jednostkowe p laszczyzny z w lew a pó lp laszczyznȩ zmiennej zespolonej s. Dowód: Oznaczmy s = a + j b. Z zależności wynika, że z = (a + j b + 1)/(a + j b 1) < 1 ( (a + 1) 2 + b 2 < (a 1) 2 + b 2) (2a < 2a) (4a < 0) (a = Re(s) < 0). 10

11 Tak wiȩc podstawiaj ac z = (s+1)/(s 1) do równania det(zi A) = 0 sprowadzamy badanie stabilności dyskretnych uk ladów sterowania do kryterium Hurwitza. Przyk lad: Macierz stanu zredukowanego uk ladu sterowania z czasem dyskretnym ma postać A = ( α β 2 ) 1, α przy czym α i β s a parametrami uk ladu. Aby zbadać dla jakich parametrów uk lad sterowania z czasem dyskretnym jest asymptotycznie stabilny zapisujemy równanie wartości w lasnych macierzy stanu det(zi A) = det ( z + α 1 β 2 z + α ) = 0. Określamy nastȩpnie wielomian charakterystyczny uk ladu w postaci standardowej (z) = z 2 + 2αz + α 2 + β 2 = 0. Dokonujemy podstawienia z = (s + 1)/(s 1) uzyskuj ac ( s + 1 s 1 )2 + 2α s + 1 s 1 + α2 + β 2 = 0/ (s 1) 2. Określamy nastȩpnie wielomian charakterystyczny uk ladu wzglȩdem zmiennej s: ( 1 + 2α + α 2 + β 2) s 2 + (2 2(α 2 + β 2 ))s + 1 2α + α 2 + β 2 = 0. co oznacza, że a 2 = 1 + 2α + α 2 + β 2, a 1 = 2 2(α 2 + β 2 ) i a 0 = 1 2α + α 2 + β 2. Ponieważ a 2 = (1 + α) 2 + β 2 i a 0 = (1 α) 2 + β 2, wiȩc kryterium stabilności Hurwitza określa obszar stabilności parametrycznej jako wnȩtrze ko la α 2 + β 2 < 1. Stabilność dyskretnych liniowych uk ladów sterowania w uk ladzie zamkniȩtym sprowadza siȩ do badania, czy wartości w lasne macierzy stanu zamkniȩtego uk ladu dyskretnego à = A + BKC 11

12 leż a wewn atrz ko la jednostkowego na p laszczyźnie z. Zanikanie sk ladowej swobodnej rozwi azania równania stanu liniowego dyskretnego uk ladu sterowania lim k Ak δx 0 = 0 dla dowolnego zaburzenia stanu pocz atkowego implikuje zbieżność do zera elementów macierzy A k. Praktyczne kryterium badania stabilności dyskretnych uk ladów sterowania uzyskujemy obliczaj ac potȩgi macierzy stanu uk ladu dyskretnego podnosz ac je do kwadratu. A, A 2 = AA, A 4 = A 2 A 2, A 8 = A 4 A 4, A 16 = A 8 A 8... Jeśli elementy potȩgowanych macierzy d aż a do zera, to uk lad dyskretny jest asymptotycznie stabilny. Metoda ta nazywana jest metod a szybkiego potȩgowania macierzy. Wyznacza ona ci ag macierzy A, A 2, A 4, A 8,..., A 2k. Oznaczmy elementy ostatniej macierzy jako (a ij ) 2 k. Warunek stopu metody szybkiego potȩgowania macierzy dla badania stabilności liniowych dyskretnych uk ladów sterowania przybiera postać (a ij ) 2 k < 1, i, j = 1, 2,..., n, n gdzie n jest wymiarem kwadratowej macierzy stanu A. Jeśli warunek stopu jest spe lniony, to elementy macierzy A 2k spe lniaj a warunki (a ij ) 2 k (c ij) 2 k, i, j = 1, 2,..., n n dla sta lych (c ij ) 2 k < 1. Spe lniaj a one wiȩc warunek (a ij ) 2 k (c) 2 k, i, j = 1, 2,..., n n dla sta lej (c) 2 k = max ij (c ij ) 2 k < 1. Elementy macierzy A 2k+1 spe lniaj a oszacowania (a ij ) 2 k+1 n (c) 2 (c) k 2 k (c) 2k+1 =, n n n gdzie (c) 2 k+1 = (c) 2 k(c) 2 k < (c) 2 k < 1. Oszacowania te d aż a monotonicznie do zera dla k. 12

13 Przyk lad: Niech jednorodne równanie stanu liniowego dyskretnego uk ladu sterowania ma postać x(k + 1) = x(k) Warunek stopu metody szybkiego potȩgowania macierzy ma w tym przypadku postać (a ij ) 2 k < 1, i, j = 1, 2, 3; (n = 3). 3 Elementy macierzy A (k = 0) nie spe lniaj a warunku stopu metody szybkiego potȩgowania macierzy, gdyż 1 2 > 1 3. Obliczamy A = = Dla k = 1 warunek stopu metody szybkiego potȩgowania macierzy jest spe lniony. Oznacza to, że rozpatrywany liniowy dyskretny uk lad sterowania jest asymptotycznie stabilny. 13

14 Stabilność liniowych okresowych uk ladów sterowania Dla niektórych uk ladów sterowania charakterystyczna jest okresowa (cykliczna) zmienność jego parametrów. Wyróżnion a trajektori a stanu może być w tym przypadku krzywa zamkniȩta zwana także cyklem granicznym. Jednorodny liniowy okresowy uk lad sterowania opisywany jest równaniem stanu ẋ(t) = A(t)x(t), gdzie niestacjonarna macierz stanu A(t) jest macierz a okresow a tj. A(t + τ) = A(t). Lemat: Znormalizowana macierz fundamentalna Φ(t) = Φ(t, 0) liniowego okresowego uk ladu sterowania posiada reprezentacjȩ Φ(t) = Γ (t)e Λt, t [0, + ), gdzie Γ (t) jest nieosobliw a macierz a okresow a, zaś Λ jest macierz a sta l a. Dowód: Macierz Φ(t) spe lnia z definicji równanie Φ(t) = A(t)Φ(t), Φ(0) = I. Z teorii równań różniczkowych wiadomo, że każda macierz fundamentalna Φ(t) może być uzyskana ze znormalizowanej macierzy fundamentalnej Φ(t) za pomoc a nieosobliwego przekszta lcenia liniowego C tj. Φ(t) = Φ(t)C. Ponieważ dla uk ladu okresowego Φ(t + τ) jest jego macierz a fundamentaln a dφ(t + τ) dt = Φ d(t + τ) (t + τ) dt = A(t + τ)φ(t + τ) = A(t)Φ(t + τ), wiȩc Φ(t + τ) = Φ(t)C i Φ(τ) = C (t = 0). Oznacza to, że Φ(t + τ) = Φ(t)Φ(τ). Z teorii macierzy wiadomo, że każda macierz nieosobliwa posiada tzw. reprezentacjȩ logarytmiczn a tj.. Φ(τ) = e Λτ 14

15 Jeśli macierz Φ(τ) posiada jednokrotne wartości w lasne s 1, s 2,..., s n, to reprezentacjȩ tak a można latwo uzyskać stosuj ac nieosobliwe przekszta lcenie diagonalizuj ace P : P 1 Φ(τ)P = diag (s i ). Macierz P jest określona przez wektory w lasne P i, i = 1,..., n macierzy Φ(τ) zwi azane z poszczególnymi wartościami w lasnymi. Wektory te spe lniaj a równania Φ(τ)P i = s i P i, i = 1,..., n i mog a być wyznaczone przez rozwi azanie tych równań. Ponieważ det(s i I Φ(τ)) = 0, wiȩc jedn a wspó lrzȩdn a wektora P i zak ladamy jako dowoln a wartość niezerow a, a pozosta le wspó lrzȩdne tego wektora obliczamy z uk ladu n 1 równań liniowo niezależnych. Wartości w lasne s i przedstawiamy w postaci wyk ladniczej i uzyskujemy zależności s i = e λ iτ, λ i = 1 τ (ln s i + j(arg(s i ) + 2kπ). Φ(τ) = P diag (s i ) P 1 = P diag = P (I + diag (λ i τ) + diag = I + P diag (λ i τ) P ! P diag (e λ iτ ) P 1 ((λ i τ) 2 /2!) +...) P 1 (λ i τ) P 1 P diag (λ i τ) P = e P diag (λ i τ) P 1 = e P diag (λ i ) P 1 τ = e Λτ, Λ = P diag (λ i ) P 1 Z zależności Φ(t) = Φ(t)e Λt e Λt = Γ (t)e Λt, Γ (t) = Φ(t)e Λt, Γ (t + τ) = Φ(t + τ)e Λ(t+τ) = Φ(t)Φ(τ)e Λτ e Λt = Φ(t)e Λt = Γ (t) wynika,że macierz Γ (t) jest macierz a τ-okresow a. Elementy tej macierzy s a jednostajnie ograniczone na osi czasu jako ci ag le funkcje okresowe. 15

16 Definicja: Macierz fundamentalna Φ(τ) liniowego uk ladu okresowego nazywa siȩ macierz a monodromii, a jej wartości w lasne nazywaj a siȩ mnożnikami Floqueta lub multyplikatorami tego uk ladu. Twierdzenie: Liniowy okresowy uk lad sterowania jest stabilny (stabilny asymptotycznie) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie multyplikatory (wartości w lasne macierzy monodromii Φ(τ)) tego uk ladu leż a w domkniȩtym kole jednostkowym s i 1, i = 1,..., n (leż a wewn atrz ko la jednostkowego s i < 1, i = 1,..., n). Dowód: Sk ladowa rozwi azania liniowego uk ladu okresowego pochodz aca od zaburzenia warunku pocz atkowego ma postać x(t) = Γ (t)e Λt δx 0. Ze wzglȩdu na jednostajn a ograniczoność macierzy Γ (t) na osi czasu zachodzi oszacowanie x(t) c e Λt. Oznacza to, że badany uk lad jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wartości w lasne λ i macierzy Λ leż a w lewej pó lp laszczyźnie zmiennej zespolonej. Warunek ten jest jednak równoważny z po lożeniem wartości w lasnych macierzy Φ(τ) wewn atrz ko la jednostkowego z uwagi na zwi azek s i = e λiτ. Przyk lad: Niech macierz A(t) bȩdzie określona jak nastȩpuje: ( ) ( ) A(t) t [0,π) = Ā = 0 1 a 1 0, A(t) t [π,2π) = Ā = a 2 Mamy wiȩc ( ) ( ) cos t sin t 1 0 Φ(t) = eāt, Φ(π) =, sin t cos t 0 1 ( ) e a 1π 0 Φ(2π) =. 0 e a 2π St ad wynika, że s i = e a iπ i warunek stabilności uk ladu okresowego przybiera postać a i < 0, i = 1,

17 Stabilność uk ladów zlinearyzowanych Warunki stabilności liniowych uk ladów sterowania można stosować do badania stabilności uk ladów nieliniowych w ma lym otoczeniu wyróżnionej trajektorii stanu. Takimi wyróżnionymi trajektoriami stanu mog a być m.in. trajektorie sta le (np. optymalny statyczny punkt pracy uk ladu) lub trajektorie okresowe (np. optymalna cykliczna trajektoria uk ladu). Za lożenie o funkcjonowaniu procesu w ma lym otoczeniu wymienionych trajektorii pozwala uprościć model matematyczny uk ladu rozwijaj ac nieliniowe funkcje w szereg Taylora pierwszego rzȩdu i przejść do modelu zlinearyzowanego wzglȩdem zmiennych przyrostowych czyli ma lych odchyleń od trajektorii wyróżnionej. Niech δx(t), δu(t) i ȳ bȩd a ma lymi odchyleniami stanu,sterowania i wyjścia od statycznego punktu pracy x, ū iȳ uk ladu. uk ladu ẋ(t) = f(x(t), u(t)), y(t) = g(x(t), u(t)) linearyzujemy w punkcie pracy ( x, ū) d dt f( x, ū) ( x+δx(t)) = f( x, ū)+ δx(t)+ x Nieliniowy opis f( x, ū) δu(t)+r f (δx(t), δu(t)), u g( x, ū) g( x, ū) ȳ + δy(t) = g( x, ū) + δx(t) + δu(t) + r g (δx(t), δu(t)), x u gdzie r f (δx(t), δu(t)) i r g (δx(t), δu(t)) s a nieliniowymi cz lonami rozwiniȩć (resztami z rozwiniȩcia w szereg Taylora w szereg pierwszego rzȩdu) spe lniaj acymi warunki r f (δx(t), δu(t)) lim δx 0 δx r f (δx(t), δu(t)) = 0, lim δu 0 δu = 0. Reszty te s a nieskończenie ma lymi rzȩdu wyższego niż odpowiednio δx i δu. Można je pomin ać dla ma lych odchyleń od punktu pracy i przejść do modelu zlinearyzowanego δẋ(t) = δy(t) = f( x, ū) δx(t) + x g( x, ū) δx(t) + x f( x, ū) δu(t), u g( x, ū) δu(t). u 17

18 Podstaw a do badania stabilności uk ladu zlinearyzowanego jest weryfikacja po lożenia wartości w lasnych macierzy Jacobiego A = f( x, ū) x = ( f i ( x, ū) x j ) i,j=1,...,n. W przypadku wyróżnionego cyklicznego sposobu prowadzenia procesu macierz stanu uk ladu zlinearyzowanego przybiera niestacjonarn a postać okresow a A(t) = f( x(t), ũ(t)) x = ( f i ( x(t), ũ(t)) x j ) i,j=1,...,n, gdzie x(t) jest cykliczn a trajektori a stanu, a ũ(t) jest cyklicznym sterowaniem. 18

Liniowe uk lady sterowania.

Liniowe uk lady sterowania. Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.

Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii sterowania

Wprowadzenie do teorii sterowania Wprowadzenie do teorii sterowania Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa 1996. T. Kaczorek, Teoria

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego

Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Pojȩcie procesu sterowania obejmuje zestaw trajektorii stanu i sterowania (x, u) X U, gdzie X jest przestrzeni a trajektorii stanu, a U jest przestrzeni a sterowania.

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi

Bardziej szczegółowo

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1 3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych

Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Niech bȩdzie dany uk lad sterowania taki, że nie wszystkie jego zmienne stanu s a bezpośrednio dostȩpne (mierzalne. Uk lad pozwalaj

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego.

Wykład z modelowania matematycznego. Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Normy wektorów i macierzy

Normy wektorów i macierzy Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu.

Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych z czasem ci ag lym W podstawowym problemie sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,

Bardziej szczegółowo

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi 5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich. 1. Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F

Geometria odwzorowań inżynierskich. 1. Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6F, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich Perspektywa odbić w zwierciad lach p laskich 06F Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F

Bardziej szczegółowo

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()

Bardziej szczegółowo

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie.

176 Wstȩp do statystyki matematycznej = 0, 346. uczelni zdaje wszystkie egzaminy w pierwszym terminie. 176 Wtȩp do tatytyki matematycznej trści wynika że H o : p 1 przeciwko hipotezie H 3 1: p< 1. Aby zweryfikować tȩ 3 hipotezȩ zatujemy tet dla frekwencji. Wtedy z ob 45 1 150 3 1 3 2 3 150 0 346. Tymczaem

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f

Bardziej szczegółowo

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A

Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6A, 1 10. Geometria odwzorowań inżynierskich rzut środkowy 06A Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Rzut środkowy i jego niezmienniki Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej

Rozdzia l 6. Wstȩp do statystyki matematycznej. 6.1 Cecha populacji generalnej Rozdzia l 6 Wstȩp do statystyki matematycznej 6.1 Cecha populacji generalnej W rozdziale tym zaprezentujemy metodȩ probabilistycznego opisu zaobserwowanego zjawiska. W takim razie (patrz rozdzia l 2.4)zjawiskotobȩdziemy

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1

Bardziej szczegółowo

Pisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8

Pisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8 EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci 56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C

Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6C, 1 8. Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa wnȩtrza 06C Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa czo lowa wnȩtrza Rys. 6C-01:

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE

MATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia liczby ɛ = fl() B l ad wzglȩdny zaokr aglenia liczby 0 δ = fl() B l ad procentowy zaokr aglenia liczby 0

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo