Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
|
|
- Nadzieja Orłowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace warunki: x, y, z X, a, b K 1. x + y = y + x, 2. x + (y + z) = (x + y) + z, 3. 0 X x X x + 0 = x, 4. x X x X x + ( x) = 0, 5. a(x + y) = ax + ay, 6. (a + b)x = ax + bx, 7. a(bx) = (ab)x, 8. 1 x = x Zbiór X z dzia laniami + i nazywamy wtedy przestrzeni a liniow a lub przestrzeni a wektorow a rzeczywist a lub zespolon a i oznaczamy (X, +, ). W LASNOŚCI PRZESTRZENI LINIOWYCH 1. Istnieje dok ladnie jeden element zerowy 0 oraz dla każdego x X istnieje dok ladnie jeden element przeciwny x. 2. Dla dowolnego x zachodz a równości ( x) = x, 0 x = 0, x = ( 1) x, x + + x = nx, (n-razy), n N. 3. Dla dowolnych x, y X istnieje dok ladnie jedno rozwi azanie równania z + x = y, jest ono równe z = y + ( x). 1
2 PRZYK LADY PRZESTRZENI LINIOWYCH (a) Zbiór X elementów x = (t 1,, t n ), gdzie t 1,, t n K, przy czym (t 1,, t n ) + (s 1,, s n ) = (t 1 + s 1,, t n + s n ) a(t 1,, t n ) = (at 1,, at n ), Przestrzeń tȩ oznaczamy K n, czyli R n lub C n. a K (b) Zbiór X ci agów x = (t k ), gdzie t k K oraz k N, przy czym (t k ) + (s k ) = (t k + s k ), a(t k ) = (at k ), a K (c) Zbiór X funkcji określonych w dowolnym zbiorze niepustym o wartościach z K, f : K przy czym, jeśli f, g X, a K, t, to (f + g)(t) = f(t) + g(t), (af)(t) = af(t) Zauważmy, że przyk lad (b) jest szczególnym przypadkiem przyk ladu (c), o ile = N. (d) Niech X 1,, X n bȩd a przestrzeniami liniowymi nad tym samym zbiorem K. Wtedy ich iloczyn kartezjański, tj. zbiór elementów x = (x 1,, x n ), gdzie x k X k dla k = 1,, n jest przestrzeni a liniow a przy nastȩpuj acych definicjach dzia lań: (x 1,, x n ) + (y 1,, y n ) = = (x 1 + y 1,, x n + y n ), a(x 1,, x n ) = (ax 1,, ax n ), a K W szczególności R n = R R lub C n = C C (n-razy). Jeśli (X, +, ) jest przestrzeni a liniow a, to niepusty podzbiór X 0 X nazywamy jej podprzestrzeni a liniow a, gdy (X 0, +, ) jest przestrzeni a liniow a. 2
3 TWIERDZENIE Niech (X, +, ) bȩdzie przestrzeni a liniow a. Niepusty podzbiór X 0 X jest podprzestrzeni a liniow a przestrzeni (X, +, ) wtedy i tylko wtedy, gdy z warunku x, y X 0 i a K wynika x + y X 0 i ax X 0. PRZYK LADY PODPRZESTRZENI LINIOWYCH (e) Niech (X, +, ) - przestrzeń liniowa nad K, x 1,, x n X. Niech X 0 bȩdzie zbiorem wszystkich kombinacji liniowych elementów x 1,, x n, tzn. X 0 = {x 0 = a 1 x a n x n : a 1,, a n K} Wtedy przestrzeń (X 0, +, ) jest podprzestrzeni a liniow a przestrzeni (X, +, ). (f) Podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni wszystkich ci agów (przyk l.(b)) s a nastȩpuj ace zbiory: - zbiór ci agów ograniczonych, - zbiór ci agów zbieżnych, - zbiór ci agów zbieżnych do 0, - zbiór ci agów x = (t k ), dla których k=1 t k < ; jednocześnie każdy z nich jest podprzestrzeni a liniow a poprzedniej. (g) Nastȩpuj ace zbiory s a podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni wszystkich funkcji określonych w [a, b] o wartościach z K: - zbiór funkcji ograniczonych w przedziale domkniȩtym [a, b] R o wartościach z K, - zbiór funkcji ci ag lych w [a, b] o wartościach z K, - zbiór funkcji absolutnie ci ag lych w [a, b] o wartościach z K; jednocześnie każdy z nich jest podprzestrzeni a liniow a poprzedniej. 3
4 Elementy x 1,, x n przestrzeni liniowej (X, +, ) nazywamy liniowo zależnymi, gdy istniej a takie liczby a 1,, a n K, nie wszystkie równe zeru, że a 1 x a n x n = 0. Elementy x 1,, x n nazywamy liniowo niezależnymi, gdy nie s a liniowo zależne, tj. gdy warunki a 1 x a n x n = 0, a 1,, a n K poci agaj a za sob a a 1 = = a n = 0 Najwiȩksz a liczbȩ ca lkowit a nieujemn a n o tej w lasności, że istnieje n elementów liniowo niezależnych w (X, +, ) nazywamy wymiarem przestrzeni (X, +, ) i oznaczamy dim X Jeżeli taka liczba n istnieje, to przestrzeń nazywamy skończenie wymiarow a, a jeżeli taka liczba n nie istnieje, to przestrzeń nazywamy nieskończenie wymiarow a i piszemy dim X =. Jeśli dim X = n, to każdy zbiór n liniowo niezależnych elementów przestrzeni X nazywamy baz a przestrzeni liniowej (X, +, ). Przyk lady (a) i (e) przedstawiaj a przestrzenie skończenie wymiarowe. Baz a w (a) jest np. uk lad wektorów e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1,, 0),. e n = (0, 0,, 1) Przyk lady (b), (f) i (g) s a przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi. Przestrzeń z przyk ladu (c) jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest skończony. PRZESTRZENIE LINIOWE METRYCZNE Niech funkcja d : X X R + {0}, gdzie zbiór X, spe lnia nastȩpuj ace warunki: 1. d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 4
5 2. d(x, y) = d(y, x) 3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Funkcjȩ d nazywamy odleg lości a lub metryk a w X. Zbiór X wraz z odleg lości a d, czyli parȩ (X, d) nazywamy przestrzeni a metryczn a. Niech (X, d) bȩdzie przestrzeni a metryczn a i niech x 0, x n X, n N. Mówimy, że ci ag (x n ) jest zbieżny do x 0 w (X, d), jeśli d(x n, x 0 ) 0, gdy n. Mówimy, że ci ag (x n ) elementów przestrzeni metrycznej (X, d) spe lnia warunek Cauchy ego, gdy ε > 0 N m, n > N d(x n, x m ) < ε TWIERDZENIE Każdy ci ag (x n ) zbieżny w przestrzeni metrycznej (X, d) spe lnia warunek Cauchy ego. Przestrzeń metryczn a (X, d) nazywamy zupe ln a, gdy każdy ci ag (x n ) jej elementów, spe lniaj acy warunek Cauchy ego, jest zbieżny do pewnego elementu x 0 X. σ- cia lem podzbiorów niepustego zbioru nazywamy tak a rodzinȩ Σ podzbiorów, że 1. jeśli A 1, A 2, Σ, to A 1 A 2 Σ, 2. Σ, 3. jeśli A Σ, to dope lnienie A Σ. że Miar a w σ-ciele Σ podzbiorów zbioru nazywamy tak a funkcjȩ µ : Σ [0, ], 5
6 1. µ( ) = 0, 2. jeśli A 1, A 2, Σ oraz A i A j =, i j, to ( ) µ A n = µ(a n ) n=1 n=1 przeliczalna addytywność Miarȩ µ nazywamy skończon a, gdy µ() < oraz σ-skończon a, gdy istniej a takie zbiory 1, 2, Σ, że n = gdzie µ( n ) <, n N. n=1 MIARA LEBESGUE A Niech G R n - zbiór otwarty i niepusty; istnieje wtedy ci ag prostok atów domnkniȩtych P k R n, gdzie P k = {(x 1,, x n ) : a k i x i b k i, i = 1,, n} o parami roz l acznych wnȩtrzach, dla których G = k=1 P k. Oznaczmy m(p k ) = (b k 1 a k 1) (b k n a k n) Miarȩ zbioru otwartego G określamy równości a m(g) = m(p k ) k=1 Niech teraz A bȩdzie dowolnym zbiorem w R n. Miar a zewnȩtrzn a zbioru A nazywamy m (A) = inf{m(g) : A G, G otwarty} Gdy A jest zbiorem otwartym, to m (A) = m(a). Zbiór A R n nazywamy mierzalnym w sensie Lebesgue a, gdy ε > 0 G otwarty taki, że 6
7 A G oraz m (G \ A) < ε Miarȩ zewnȩtrzn a zbioru mierzalnego w sensie Lebesgue a nazywamy jego miar a Lebesgue a i oznaczamy m(a) Niech bȩdzie dowolnym zbiorem, a Σ dowolnym σ-cia lem podzbiorów zbioru. Niech f bȩdzie rozszerzon a funkcj a rzeczywist a określon a w zbiorze, tj. f odwzorowuje zbiór w przedzia l[, + ] z w l aczeniem i +. Funkcjȩ f nazywamy Σ-mierzaln a, gdy dla każdej liczby rzeczywistej a zbiór tych t, dla których f(t) > a należy do Σ. CA LKA LEBESGUE A Niech A bȩdzie dowolnym podzbiorem zbioru. Funkcj a chrakterystyczn a zbioru A nazywamy funkcjȩ { 1 dla t A, χ A (t) = 0 dla t \ A. R. Niech A 1,, A m Σ bȩd a parami roz l aczne, A 1 A m = oraz c 1,, c m Funkcj a prost a nazywamy funkcjȩ określon a wzorem f(t) = m c i χ Ai (t) i=1 Funkcjȩ prost a nazywamy ca lkowaln a (wzglȩdem miary µ), gdy µ({t : f(t) 0}) <. Ca lkȩ z funkcji prostej ca lkowalnej określamy równości a fdµ = m c i µ(a i ) i=1 W przypadku dowolnej mierzalnej funkcji f 0, ca lkȩ określamy jako granicȩ fdµ = lim f n dµ n gdzie (f n )- ci ag funkcji prostych, nieujemnych, niemalej acych i takich, że f n (t) f(t) dla każdego t. 7
8 Czȩść dodatni a f + funkcji f określamy wzorem { f(t) gdy f(t) 0, f + (t) = 0 gdy f(t) < 0, a czȩść ujemn a f funkcji f wzorem { f(t) gdy f(t) 0, f (t) = 0 gdy f(t) > 0. Dla każdego t mamy wiȩc f(t) = f + (t) f (t) Niech f bȩdzie dowoln a funkcj a mierzaln a. Ca lk a z funkcji f nazywamy fdµ = f + dµ f dµ Gdy fdµ <, to funkcjȩ f nazywamy ca lkowaln a. PRZESTRZENIE BANACHA Niech X bȩdzie przestrzeni a liniow a nad zbiorem K liczb rzeczywistych lub zespolonych. Funkcjȩ x x odwzorowuj ac a zbiór X w zbiór liczb nieujemnych nazywamy norm a, gdy spe lnia ona dla dowolnych x, y X i dowolnego a K warunki: 1. x = 0 poci aga x = 0, 2. x + y x + y (warunek trójk ata), 3. ax = a x (warunek jednorodności). Jeśli funkcja ta spe lnia tylko warunki 2 i 3, to nazywamy j a pseudonorm a. Przestrzeń liniow a X wraz z określon a w niej norm a, czyli parȩ (X, ) nazywamy przestrzeni a unormowan a. Przestrzeń unormowana jest przestrzeni a metryczn a przy definicji odleg lości d(x, y) = x y. 8
9 W tej samej przestrzeni można wprowadzić różne definicje normy, uzyskuj ac różne przestrzenie unormowane. Np. w przestrzeni funkcji ci ag lych w przedziale [0, 1] można określić normȩ wzorem ale można j a też określić wzorem x = max 0 t 1 x(t) x = 1 0 x(t) dt uzyskuj ac dwie różne przestrzenie unormowane. Przestrzeń unormowan a zupe ln a (X, ) nazywamy przestrzeni a Banacha. Przestrzeń unormowana jest wiȩc przestrzeni a Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ci ag jej elementów spe lniaj acy warunek Cauchy ego, jest zbieżny do pewnego elementu tej przestrzeni. PRZYK LADY PRZESTRZENI BANACHA (a) Przestrzeń n-wymiarowa l p n, gdzie p 1. Elementami przestrzeni ln p s a uk lady n liczb rzeczywistych lub zespolonych x = (t 1,, t n ) z norm a n x = ( t k p ) 1/p (b) Przestrzeń m ci agów ograniczonych. k=1 Elementami przestrzeni m s a ci agi nieskończone ograniczone liczb rzeczywistych lub zespolonych x = (t k ) z norm a Przestrzeń tȩ oznacza siȩ także l. x = sup t k k (c) Przestrzenie c ci agów zbieżnych i c 0 ci agów zbieżnych do 0. 9
10 Elementami przestrzeni c s a ci agi zbieżne x = (t k ) liczb rzeczywistych lub zespolonych z norm a x = sup t k k a elementami przestrzeni c 0 s a ci agi zbieżne do 0 liczb rzeczywistych lub zespolonych z t a sam a norm a. (d) Przestrzeń l p szeregów zbieżnych z p-t a potȩg a, gdzie p 1. Elementami przestrzeni l p s a ci agi nieskończone liczb rzeczywistych lub zespolonych x = (t k ), dla których k=1 t k p < z norm a x = ( t k p ) 1/p (e) Przestrzeń C() funkcji ci ag lych. k=1 Elementami przestrzeni C() s a funkcje ci ag le, określone w przestrzeni, o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, z norm a x = sup x(t) t (f) Przestrzeń L p (, Σ, µ) funkcji ca lkowalnych z p-t a potȩg a, p 1. Niech Σ bȩdzie σ-cia lem podzbiorów zbioru, a µ-miar a w Σ. Przez L p (, Σ, µ) lub krócej L p rozumiemy przestrzeń funkcji Σ-mierzalnych x oraz takich, że x(t) p dµ <, z norm a x = ( x(t) p dµ) 1/p (g) Przestrzeń M(, Σ, µ) = L (, Σ, µ) funkcji mierzalnych istotnie ograniczonych. Przy oznaczeniach z poprzedniego przyk ladu, przestrzeń M(, Σ, µ) sk lada siȩ z funkcji Σ-mierzalnych x takich, że sup t A x(t) < dla pewnego zbioru A Σ takiego, że µ( \ A) = 0. Normȩ w przestrzeni M określa siȩ jako supremum istotne funkcji x w, tj. x = supess x(t) gdzie supess x(t) jest kresem dolnym zbioru liczb K > 0 takich, że x(t) K wszȩdzie, z wyj atkiem być może zbioru miary µ zero. 10
11 PRZESTRZENIE HILBERTA Niech X bȩdzie przestrzeni a nad zbiorem K liczb rzeczywistych lub zespolonych i niech w X X określone bȩdzie odwzorowanie o wartościach z K, f : (x, y) (x y) K, spe lniaj ace nastȩpuj ace warunki: 1. (x + y z) = (x z) + (y z), 2. (ax y) = a(x y), 3. (y x) = (x y), 4. (x x) > 0 dla x 0, gdzie x, y, z X, a K oraz (x y) oznacza liczbȩ sprzȩżon a do (x y). Wtedy funkcjȩ (x, y) (x y) nazywamy iloczynem skalarnym, a parȩ (X, ( )) nazywamy przestrzeni a unitarn a. PRZYK LADY PRZESTRZENI UNITARNYCH (a) Przestrzeń l 2 n z iloczynem skalarnym (x y) = n t k s k k=1 gdzie x = (t 1,, t n ), y = (s 1,, s n ). (b) Przestrzeń l 2 ci agów z iloczynem skalarnym (x y) = t k s k k=1 gdzie x = (t k ), y = (s k ). (c) Przestrzeń L 2 (, Σ, µ) funkcji z iloczynem skalarnym (x y) = x(t)y(t)dµ 11
12 (d) Przestrzeń X funkcji ci ag lych w przedziale [0, 1] z iloczynem skalarnym (x y) = 1 0 x(t)y(t)dt Oznaczmy x = (x x) Przestrzeń unitarn a z iloczynem skalarnym ( ) nazywamy przestrzeni a Hilberta, gdy jest zupe lna przy odleg lości d(x, y) = x y = (x y x y). Przestrzenie l 2 n, l 2, L 2 (, Σ, µ) s a przestrzeniami Hilberta. Z definicji wynika, że każda przestrzeń Hilberta jest przestrzeni a Banacha. Nie jest prawdziwe twierdzenie odwrotne, np. przestrzeń C([0, 1]) jest przestrzeni a Banacha, ale nie jest przestrzeni a unitarn a, wiȩc nie jest przestrzeni a Hilberta. Nie każda przestrzeń unitarna jest przestrzeni a Hilberta, np. przestrzeń X, której elementami s a funkcje ci ag le w przedziale [0, 1] jest przy iloczynie skalarnym (x y) = 1 0 x(t)y(t)dt jest przestrzeni a unitarn a, ale nie jest przestrzeni a Hilberta. Czȩsto, np. przy badadniu równań różniczkowych cz astkowych, zachodzi potrzeba rozważania ogólniejszych przestrzeni typu L 2. Niech D bȩdzie otwartym podzbiorem przestrzeni R n. Symbolem L 2 (D) qp bȩdziemy oznaczać przestrzeń funkcji wektorowych f na D, mierzalnych w sensie Lebesgue a, przyjmuj acych wartości w zbiorze M(q, p) macierzy wymiaru q p i takich, że D trf(s)f(s) dµ <, gdzie µ oznacza miarȩ Lebesgue a na D, - operacjȩ transpozycji: (a kj ) = (a jk ), tr - operacjȩ brania śladu. Definiuj ac na tym zbiorze iloczyn skalarny wzorem (f g) = trf(s)g(s) dµ otrzymujemy przestrzeń Hilberta. D W teorii procesów stochastycznych mamy czȩsto do czynienia z ogólniejsz a przestrzeni a Hilberta L 2 (, B, µ) pq, zwi azan a z przestrzeni a probabilistyczn a (, B, µ) pq. Niech µ 12
13 - bȩdzie miar a σ - skończon a, przeliczalnie addytywn a na σ - ciele B podzbiorów pewnego zbioru. L 2 (, B, µ) pq jest zbiorem funkcji macierzowych f : M(p, q) mierzalnych wzglȩdem B i spe lniaj acych warunek trf(s)f(s) dµ <. Iloczynem skalarnym na tej przestrzeni Hilberta jest (f g) = trf(s)g(s) dµ Czasem zachodzi potrzeba rozważania przestrzeni otrzymanych z danej przestrzeni Hilberta. Omówmy najprostszy przyk lad. Iloczynem kartezjańskim dwóch przestrzeni Hilberta H i K jest zbiór wszystkich par (h, k), h H, k K, z dzia laniami określonymi jak na produkcie przestrzeni liniowych tzn. a(h, k) = (ah, ak), (h, k) + (h 1, k 1 ) = (h + h 1, k + k 1 ) i z iloczynem skalarnym ((h, k) (h 1, k 1 )) = (h h 1 ) + (k k 1 ) Otrzyman a w ten sposób przestrzeń Hilberta oznaczamy H K Powyższ a definicjȩ można rozszerzyć na skończon a liczbȩ przestrzeni Hilberta, H i, i = 1,, n. Gdy wystȩpuj ace tu przestrzenie s a jednakowe H i = H, piszemy H n zamiast H H (n - razy). Przestrzeń L 2 (D) qp może być utożsamiana z qp - krotnym iloczynem kartezjańskim przestrzeni L 2 (D). W analogiczny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański ci agu (H n ) przestrzeni Hilberta. Jest to przestrzeń liniowa sk ladaj aca siȩ z ci agów (x j ), x j H j, gdzie (x j ) + ( x j ) = (x j + x j ), a(x j ) = (ax j ). Do iloczynu kartezjańskiego j=1 H j zaliczymy te ci agi x = (x j ), dla których j=1 x j 2 <, a iloczyn skalarny określamy wzorem (x y) = (x j y j ) j=1 Przestrzeń l 2 ci agów liczb sumowalnych z kwadratem możemy otrzymać w powyższy sposób, gdy za wyjściowe przestrzenie H j weźmiemy zbiory R lub C. 13
nie zależy (z dok ladności a do jednostajnego homeomorfizmu) od wyboru ci agu uzbieżniaj acego c n. 1 min{n : x n y n }.
A N A L I Z A F U N K C J O N A L N A PPI 2r., sem. letni LISTY 5-9 LISTA 5 Wroc law, 14 marca - 25 kwietnia 2006 ZADANIE 1. Niech (X 1,d 1 ), (X 2,d 2 ), (X 3,d 3 ),... bȩdzie ci agiem przestrzeni metrycznych
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoTomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011
Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 4 1. Zbiory otwarte i domkniȩte Pojȩcia które teraz wprowadzimy można rozpatrywać w każdej przestrzeni metrycznej
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoW poszukiwaniu kszta ltów kulistych
W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoz n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1
3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoa to, jako ogon szeregu zbieżnego można uczynić dowolnie ma lym wybieraj ac dostatecznei
Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. semestr letni 2011 WYK LADY 2 i 3: PRZESTRZENIE UNORMOWANE i BANACHA BAZA TOPOLOGICZNA 29/03/11 Definicja. Norm a w rzestrzeni liniowej V nazywamy funkcjȩ : V [0, ) se lniaj
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.
T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 12
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - 12 1. Udowodnij, że dla dowolnych punktów x n, x w przestrzeni metrycznej E δ xn δ x wtedy i tylko wtedy gdy x n x. 2. Wykaż, że 1 n n k=1 δ k/n λ, gdzie λ jest
Bardziej szczegółowoPierwiastki arytmetyczne n a
Chapter 1 Pierwiastki arytmetyczne n a Operacja wyci aganie pierwiastka stopnia n z liczby a jest odwrotn a operacj a do potȩgowania, jeżeli operacja odwrotna jest wykonalna w liczbach rzeczywistych. Zacznijmy
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoWPPT 2r., sem. letni KOLOKWIUM 1 Wroc law, 19 kwietnia 2011
A N A L I Z A F U N K C J O N A L N A WPPT r, sem letni KOLOKWIUM Wroc law, 9 kwietnia 0 ZADANIE ab W pewnej przestrzeni mamy wie metryki i przy czym czyni nasz a przestrzeń zwart a a jest s labsza o (tzn
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoSeria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoTOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ,
TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH, ZWARTOŚĆ, SPÓJNOŚĆ I POJȨCIA BLISKIE (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA) R R Abstract. Poniższe notatki do ćwiczeń zbieraj a podstawowe pojȩcia i stwierdzenia
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Stolza i metryki Javier de Lucas. a n = (2n + 1) 1 4 n 5 4
Twierdzenie Stolza i metryki Javier de Lucas Zadanie Zbadać zbieżność ci agu i znaleźć granicȩ: a n 4 + 3 4 + + (2n + ) 4 n 5 4 Rozwi azanie: Żeby obliczyć tak a granicȩ korzystamy z twierdzenia Stolza,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ
RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowo2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2, cze ść dziesia ta
Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Informacja ogólna dla tych, którzy jeszcze ze mna chca rozmawiać o stopniach: zdecydowana wie kszość twierdzeń w matematyce, w analizie w szczególności, sk lada
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoRozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat
Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowoFoliacje symetralnymi w zespolonej przestrzeni hiperbolicznej
Foliacje symetralnymi w zespolonej przestrzeni hiperbolicznej Maciej Czarnecki Uniwersytet Lódzki 8 Forum Matematyków Polskich Lublin, 21 września 2017 r. Forma hermitowska na C n+1 X Y = X 1 Y 1 +...
Bardziej szczegółowoPojȩcie przestrzeni metrycznej
ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego
Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 14 Topologie w przestrzeniach funkcji ci ag lych, Twierdzenie Stone a Weierstrassa
T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 14 Topologie w przestrzeniach funkcji ci ag lych, Twierdzenie Stone a Weierstrassa Niech X i Y oznaczaj a przestrzenie topologiczne, zaś C(X,Y) bȩdzie zbiorem
Bardziej szczegółowoci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoWersja testu A 15 lutego 2011 r. jest, że a) x R y R y 2 > Czy prawda. b) y R x R y 2 > 1 c) x R y R y 2 > 1 d) x R y R y 2 > 1.
1. Czy prawda jest, że a) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; b) y R x R y 2 > 1 1+x 2 ; c) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; d) x R y R y 2 > 1 1+x 2? 2. Czy naste puja ca relacja na zbiorze liczb rzeczywistych jest relacja
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
Bardziej szczegółowo