Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE"

Transkrypt

1 Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace warunki: x, y, z X, a, b K 1. x + y = y + x, 2. x + (y + z) = (x + y) + z, 3. 0 X x X x + 0 = x, 4. x X x X x + ( x) = 0, 5. a(x + y) = ax + ay, 6. (a + b)x = ax + bx, 7. a(bx) = (ab)x, 8. 1 x = x Zbiór X z dzia laniami + i nazywamy wtedy przestrzeni a liniow a lub przestrzeni a wektorow a rzeczywist a lub zespolon a i oznaczamy (X, +, ). W LASNOŚCI PRZESTRZENI LINIOWYCH 1. Istnieje dok ladnie jeden element zerowy 0 oraz dla każdego x X istnieje dok ladnie jeden element przeciwny x. 2. Dla dowolnego x zachodz a równości ( x) = x, 0 x = 0, x = ( 1) x, x + + x = nx, (n-razy), n N. 3. Dla dowolnych x, y X istnieje dok ladnie jedno rozwi azanie równania z + x = y, jest ono równe z = y + ( x). 1

2 PRZYK LADY PRZESTRZENI LINIOWYCH (a) Zbiór X elementów x = (t 1,, t n ), gdzie t 1,, t n K, przy czym (t 1,, t n ) + (s 1,, s n ) = (t 1 + s 1,, t n + s n ) a(t 1,, t n ) = (at 1,, at n ), Przestrzeń tȩ oznaczamy K n, czyli R n lub C n. a K (b) Zbiór X ci agów x = (t k ), gdzie t k K oraz k N, przy czym (t k ) + (s k ) = (t k + s k ), a(t k ) = (at k ), a K (c) Zbiór X funkcji określonych w dowolnym zbiorze niepustym o wartościach z K, f : K przy czym, jeśli f, g X, a K, t, to (f + g)(t) = f(t) + g(t), (af)(t) = af(t) Zauważmy, że przyk lad (b) jest szczególnym przypadkiem przyk ladu (c), o ile = N. (d) Niech X 1,, X n bȩd a przestrzeniami liniowymi nad tym samym zbiorem K. Wtedy ich iloczyn kartezjański, tj. zbiór elementów x = (x 1,, x n ), gdzie x k X k dla k = 1,, n jest przestrzeni a liniow a przy nastȩpuj acych definicjach dzia lań: (x 1,, x n ) + (y 1,, y n ) = = (x 1 + y 1,, x n + y n ), a(x 1,, x n ) = (ax 1,, ax n ), a K W szczególności R n = R R lub C n = C C (n-razy). Jeśli (X, +, ) jest przestrzeni a liniow a, to niepusty podzbiór X 0 X nazywamy jej podprzestrzeni a liniow a, gdy (X 0, +, ) jest przestrzeni a liniow a. 2

3 TWIERDZENIE Niech (X, +, ) bȩdzie przestrzeni a liniow a. Niepusty podzbiór X 0 X jest podprzestrzeni a liniow a przestrzeni (X, +, ) wtedy i tylko wtedy, gdy z warunku x, y X 0 i a K wynika x + y X 0 i ax X 0. PRZYK LADY PODPRZESTRZENI LINIOWYCH (e) Niech (X, +, ) - przestrzeń liniowa nad K, x 1,, x n X. Niech X 0 bȩdzie zbiorem wszystkich kombinacji liniowych elementów x 1,, x n, tzn. X 0 = {x 0 = a 1 x a n x n : a 1,, a n K} Wtedy przestrzeń (X 0, +, ) jest podprzestrzeni a liniow a przestrzeni (X, +, ). (f) Podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni wszystkich ci agów (przyk l.(b)) s a nastȩpuj ace zbiory: - zbiór ci agów ograniczonych, - zbiór ci agów zbieżnych, - zbiór ci agów zbieżnych do 0, - zbiór ci agów x = (t k ), dla których k=1 t k < ; jednocześnie każdy z nich jest podprzestrzeni a liniow a poprzedniej. (g) Nastȩpuj ace zbiory s a podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni wszystkich funkcji określonych w [a, b] o wartościach z K: - zbiór funkcji ograniczonych w przedziale domkniȩtym [a, b] R o wartościach z K, - zbiór funkcji ci ag lych w [a, b] o wartościach z K, - zbiór funkcji absolutnie ci ag lych w [a, b] o wartościach z K; jednocześnie każdy z nich jest podprzestrzeni a liniow a poprzedniej. 3

4 Elementy x 1,, x n przestrzeni liniowej (X, +, ) nazywamy liniowo zależnymi, gdy istniej a takie liczby a 1,, a n K, nie wszystkie równe zeru, że a 1 x a n x n = 0. Elementy x 1,, x n nazywamy liniowo niezależnymi, gdy nie s a liniowo zależne, tj. gdy warunki a 1 x a n x n = 0, a 1,, a n K poci agaj a za sob a a 1 = = a n = 0 Najwiȩksz a liczbȩ ca lkowit a nieujemn a n o tej w lasności, że istnieje n elementów liniowo niezależnych w (X, +, ) nazywamy wymiarem przestrzeni (X, +, ) i oznaczamy dim X Jeżeli taka liczba n istnieje, to przestrzeń nazywamy skończenie wymiarow a, a jeżeli taka liczba n nie istnieje, to przestrzeń nazywamy nieskończenie wymiarow a i piszemy dim X =. Jeśli dim X = n, to każdy zbiór n liniowo niezależnych elementów przestrzeni X nazywamy baz a przestrzeni liniowej (X, +, ). Przyk lady (a) i (e) przedstawiaj a przestrzenie skończenie wymiarowe. Baz a w (a) jest np. uk lad wektorów e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1,, 0),. e n = (0, 0,, 1) Przyk lady (b), (f) i (g) s a przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi. Przestrzeń z przyk ladu (c) jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest skończony. PRZESTRZENIE LINIOWE METRYCZNE Niech funkcja d : X X R + {0}, gdzie zbiór X, spe lnia nastȩpuj ace warunki: 1. d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 4

5 2. d(x, y) = d(y, x) 3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Funkcjȩ d nazywamy odleg lości a lub metryk a w X. Zbiór X wraz z odleg lości a d, czyli parȩ (X, d) nazywamy przestrzeni a metryczn a. Niech (X, d) bȩdzie przestrzeni a metryczn a i niech x 0, x n X, n N. Mówimy, że ci ag (x n ) jest zbieżny do x 0 w (X, d), jeśli d(x n, x 0 ) 0, gdy n. Mówimy, że ci ag (x n ) elementów przestrzeni metrycznej (X, d) spe lnia warunek Cauchy ego, gdy ε > 0 N m, n > N d(x n, x m ) < ε TWIERDZENIE Każdy ci ag (x n ) zbieżny w przestrzeni metrycznej (X, d) spe lnia warunek Cauchy ego. Przestrzeń metryczn a (X, d) nazywamy zupe ln a, gdy każdy ci ag (x n ) jej elementów, spe lniaj acy warunek Cauchy ego, jest zbieżny do pewnego elementu x 0 X. σ- cia lem podzbiorów niepustego zbioru nazywamy tak a rodzinȩ Σ podzbiorów, że 1. jeśli A 1, A 2, Σ, to A 1 A 2 Σ, 2. Σ, 3. jeśli A Σ, to dope lnienie A Σ. że Miar a w σ-ciele Σ podzbiorów zbioru nazywamy tak a funkcjȩ µ : Σ [0, ], 5

6 1. µ( ) = 0, 2. jeśli A 1, A 2, Σ oraz A i A j =, i j, to ( ) µ A n = µ(a n ) n=1 n=1 przeliczalna addytywność Miarȩ µ nazywamy skończon a, gdy µ() < oraz σ-skończon a, gdy istniej a takie zbiory 1, 2, Σ, że n = gdzie µ( n ) <, n N. n=1 MIARA LEBESGUE A Niech G R n - zbiór otwarty i niepusty; istnieje wtedy ci ag prostok atów domnkniȩtych P k R n, gdzie P k = {(x 1,, x n ) : a k i x i b k i, i = 1,, n} o parami roz l acznych wnȩtrzach, dla których G = k=1 P k. Oznaczmy m(p k ) = (b k 1 a k 1) (b k n a k n) Miarȩ zbioru otwartego G określamy równości a m(g) = m(p k ) k=1 Niech teraz A bȩdzie dowolnym zbiorem w R n. Miar a zewnȩtrzn a zbioru A nazywamy m (A) = inf{m(g) : A G, G otwarty} Gdy A jest zbiorem otwartym, to m (A) = m(a). Zbiór A R n nazywamy mierzalnym w sensie Lebesgue a, gdy ε > 0 G otwarty taki, że 6

7 A G oraz m (G \ A) < ε Miarȩ zewnȩtrzn a zbioru mierzalnego w sensie Lebesgue a nazywamy jego miar a Lebesgue a i oznaczamy m(a) Niech bȩdzie dowolnym zbiorem, a Σ dowolnym σ-cia lem podzbiorów zbioru. Niech f bȩdzie rozszerzon a funkcj a rzeczywist a określon a w zbiorze, tj. f odwzorowuje zbiór w przedzia l[, + ] z w l aczeniem i +. Funkcjȩ f nazywamy Σ-mierzaln a, gdy dla każdej liczby rzeczywistej a zbiór tych t, dla których f(t) > a należy do Σ. CA LKA LEBESGUE A Niech A bȩdzie dowolnym podzbiorem zbioru. Funkcj a chrakterystyczn a zbioru A nazywamy funkcjȩ { 1 dla t A, χ A (t) = 0 dla t \ A. R. Niech A 1,, A m Σ bȩd a parami roz l aczne, A 1 A m = oraz c 1,, c m Funkcj a prost a nazywamy funkcjȩ określon a wzorem f(t) = m c i χ Ai (t) i=1 Funkcjȩ prost a nazywamy ca lkowaln a (wzglȩdem miary µ), gdy µ({t : f(t) 0}) <. Ca lkȩ z funkcji prostej ca lkowalnej określamy równości a fdµ = m c i µ(a i ) i=1 W przypadku dowolnej mierzalnej funkcji f 0, ca lkȩ określamy jako granicȩ fdµ = lim f n dµ n gdzie (f n )- ci ag funkcji prostych, nieujemnych, niemalej acych i takich, że f n (t) f(t) dla każdego t. 7

8 Czȩść dodatni a f + funkcji f określamy wzorem { f(t) gdy f(t) 0, f + (t) = 0 gdy f(t) < 0, a czȩść ujemn a f funkcji f wzorem { f(t) gdy f(t) 0, f (t) = 0 gdy f(t) > 0. Dla każdego t mamy wiȩc f(t) = f + (t) f (t) Niech f bȩdzie dowoln a funkcj a mierzaln a. Ca lk a z funkcji f nazywamy fdµ = f + dµ f dµ Gdy fdµ <, to funkcjȩ f nazywamy ca lkowaln a. PRZESTRZENIE BANACHA Niech X bȩdzie przestrzeni a liniow a nad zbiorem K liczb rzeczywistych lub zespolonych. Funkcjȩ x x odwzorowuj ac a zbiór X w zbiór liczb nieujemnych nazywamy norm a, gdy spe lnia ona dla dowolnych x, y X i dowolnego a K warunki: 1. x = 0 poci aga x = 0, 2. x + y x + y (warunek trójk ata), 3. ax = a x (warunek jednorodności). Jeśli funkcja ta spe lnia tylko warunki 2 i 3, to nazywamy j a pseudonorm a. Przestrzeń liniow a X wraz z określon a w niej norm a, czyli parȩ (X, ) nazywamy przestrzeni a unormowan a. Przestrzeń unormowana jest przestrzeni a metryczn a przy definicji odleg lości d(x, y) = x y. 8

9 W tej samej przestrzeni można wprowadzić różne definicje normy, uzyskuj ac różne przestrzenie unormowane. Np. w przestrzeni funkcji ci ag lych w przedziale [0, 1] można określić normȩ wzorem ale można j a też określić wzorem x = max 0 t 1 x(t) x = 1 0 x(t) dt uzyskuj ac dwie różne przestrzenie unormowane. Przestrzeń unormowan a zupe ln a (X, ) nazywamy przestrzeni a Banacha. Przestrzeń unormowana jest wiȩc przestrzeni a Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ci ag jej elementów spe lniaj acy warunek Cauchy ego, jest zbieżny do pewnego elementu tej przestrzeni. PRZYK LADY PRZESTRZENI BANACHA (a) Przestrzeń n-wymiarowa l p n, gdzie p 1. Elementami przestrzeni ln p s a uk lady n liczb rzeczywistych lub zespolonych x = (t 1,, t n ) z norm a n x = ( t k p ) 1/p (b) Przestrzeń m ci agów ograniczonych. k=1 Elementami przestrzeni m s a ci agi nieskończone ograniczone liczb rzeczywistych lub zespolonych x = (t k ) z norm a Przestrzeń tȩ oznacza siȩ także l. x = sup t k k (c) Przestrzenie c ci agów zbieżnych i c 0 ci agów zbieżnych do 0. 9

10 Elementami przestrzeni c s a ci agi zbieżne x = (t k ) liczb rzeczywistych lub zespolonych z norm a x = sup t k k a elementami przestrzeni c 0 s a ci agi zbieżne do 0 liczb rzeczywistych lub zespolonych z t a sam a norm a. (d) Przestrzeń l p szeregów zbieżnych z p-t a potȩg a, gdzie p 1. Elementami przestrzeni l p s a ci agi nieskończone liczb rzeczywistych lub zespolonych x = (t k ), dla których k=1 t k p < z norm a x = ( t k p ) 1/p (e) Przestrzeń C() funkcji ci ag lych. k=1 Elementami przestrzeni C() s a funkcje ci ag le, określone w przestrzeni, o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, z norm a x = sup x(t) t (f) Przestrzeń L p (, Σ, µ) funkcji ca lkowalnych z p-t a potȩg a, p 1. Niech Σ bȩdzie σ-cia lem podzbiorów zbioru, a µ-miar a w Σ. Przez L p (, Σ, µ) lub krócej L p rozumiemy przestrzeń funkcji Σ-mierzalnych x oraz takich, że x(t) p dµ <, z norm a x = ( x(t) p dµ) 1/p (g) Przestrzeń M(, Σ, µ) = L (, Σ, µ) funkcji mierzalnych istotnie ograniczonych. Przy oznaczeniach z poprzedniego przyk ladu, przestrzeń M(, Σ, µ) sk lada siȩ z funkcji Σ-mierzalnych x takich, że sup t A x(t) < dla pewnego zbioru A Σ takiego, że µ( \ A) = 0. Normȩ w przestrzeni M określa siȩ jako supremum istotne funkcji x w, tj. x = supess x(t) gdzie supess x(t) jest kresem dolnym zbioru liczb K > 0 takich, że x(t) K wszȩdzie, z wyj atkiem być może zbioru miary µ zero. 10

11 PRZESTRZENIE HILBERTA Niech X bȩdzie przestrzeni a nad zbiorem K liczb rzeczywistych lub zespolonych i niech w X X określone bȩdzie odwzorowanie o wartościach z K, f : (x, y) (x y) K, spe lniaj ace nastȩpuj ace warunki: 1. (x + y z) = (x z) + (y z), 2. (ax y) = a(x y), 3. (y x) = (x y), 4. (x x) > 0 dla x 0, gdzie x, y, z X, a K oraz (x y) oznacza liczbȩ sprzȩżon a do (x y). Wtedy funkcjȩ (x, y) (x y) nazywamy iloczynem skalarnym, a parȩ (X, ( )) nazywamy przestrzeni a unitarn a. PRZYK LADY PRZESTRZENI UNITARNYCH (a) Przestrzeń l 2 n z iloczynem skalarnym (x y) = n t k s k k=1 gdzie x = (t 1,, t n ), y = (s 1,, s n ). (b) Przestrzeń l 2 ci agów z iloczynem skalarnym (x y) = t k s k k=1 gdzie x = (t k ), y = (s k ). (c) Przestrzeń L 2 (, Σ, µ) funkcji z iloczynem skalarnym (x y) = x(t)y(t)dµ 11

12 (d) Przestrzeń X funkcji ci ag lych w przedziale [0, 1] z iloczynem skalarnym (x y) = 1 0 x(t)y(t)dt Oznaczmy x = (x x) Przestrzeń unitarn a z iloczynem skalarnym ( ) nazywamy przestrzeni a Hilberta, gdy jest zupe lna przy odleg lości d(x, y) = x y = (x y x y). Przestrzenie l 2 n, l 2, L 2 (, Σ, µ) s a przestrzeniami Hilberta. Z definicji wynika, że każda przestrzeń Hilberta jest przestrzeni a Banacha. Nie jest prawdziwe twierdzenie odwrotne, np. przestrzeń C([0, 1]) jest przestrzeni a Banacha, ale nie jest przestrzeni a unitarn a, wiȩc nie jest przestrzeni a Hilberta. Nie każda przestrzeń unitarna jest przestrzeni a Hilberta, np. przestrzeń X, której elementami s a funkcje ci ag le w przedziale [0, 1] jest przy iloczynie skalarnym (x y) = 1 0 x(t)y(t)dt jest przestrzeni a unitarn a, ale nie jest przestrzeni a Hilberta. Czȩsto, np. przy badadniu równań różniczkowych cz astkowych, zachodzi potrzeba rozważania ogólniejszych przestrzeni typu L 2. Niech D bȩdzie otwartym podzbiorem przestrzeni R n. Symbolem L 2 (D) qp bȩdziemy oznaczać przestrzeń funkcji wektorowych f na D, mierzalnych w sensie Lebesgue a, przyjmuj acych wartości w zbiorze M(q, p) macierzy wymiaru q p i takich, że D trf(s)f(s) dµ <, gdzie µ oznacza miarȩ Lebesgue a na D, - operacjȩ transpozycji: (a kj ) = (a jk ), tr - operacjȩ brania śladu. Definiuj ac na tym zbiorze iloczyn skalarny wzorem (f g) = trf(s)g(s) dµ otrzymujemy przestrzeń Hilberta. D W teorii procesów stochastycznych mamy czȩsto do czynienia z ogólniejsz a przestrzeni a Hilberta L 2 (, B, µ) pq, zwi azan a z przestrzeni a probabilistyczn a (, B, µ) pq. Niech µ 12

13 - bȩdzie miar a σ - skończon a, przeliczalnie addytywn a na σ - ciele B podzbiorów pewnego zbioru. L 2 (, B, µ) pq jest zbiorem funkcji macierzowych f : M(p, q) mierzalnych wzglȩdem B i spe lniaj acych warunek trf(s)f(s) dµ <. Iloczynem skalarnym na tej przestrzeni Hilberta jest (f g) = trf(s)g(s) dµ Czasem zachodzi potrzeba rozważania przestrzeni otrzymanych z danej przestrzeni Hilberta. Omówmy najprostszy przyk lad. Iloczynem kartezjańskim dwóch przestrzeni Hilberta H i K jest zbiór wszystkich par (h, k), h H, k K, z dzia laniami określonymi jak na produkcie przestrzeni liniowych tzn. a(h, k) = (ah, ak), (h, k) + (h 1, k 1 ) = (h + h 1, k + k 1 ) i z iloczynem skalarnym ((h, k) (h 1, k 1 )) = (h h 1 ) + (k k 1 ) Otrzyman a w ten sposób przestrzeń Hilberta oznaczamy H K Powyższ a definicjȩ można rozszerzyć na skończon a liczbȩ przestrzeni Hilberta, H i, i = 1,, n. Gdy wystȩpuj ace tu przestrzenie s a jednakowe H i = H, piszemy H n zamiast H H (n - razy). Przestrzeń L 2 (D) qp może być utożsamiana z qp - krotnym iloczynem kartezjańskim przestrzeni L 2 (D). W analogiczny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański ci agu (H n ) przestrzeni Hilberta. Jest to przestrzeń liniowa sk ladaj aca siȩ z ci agów (x j ), x j H j, gdzie (x j ) + ( x j ) = (x j + x j ), a(x j ) = (ax j ). Do iloczynu kartezjańskiego j=1 H j zaliczymy te ci agi x = (x j ), dla których j=1 x j 2 <, a iloczyn skalarny określamy wzorem (x y) = (x j y j ) j=1 Przestrzeń l 2 ci agów liczb sumowalnych z kwadratem możemy otrzymać w powyższy sposób, gdy za wyjściowe przestrzenie H j weźmiemy zbiory R lub C. 13

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość

Bardziej szczegółowo

W poszukiwaniu kszta ltów kulistych

W poszukiwaniu kszta ltów kulistych W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch

Bardziej szczegółowo

a to, jako ogon szeregu zbieżnego można uczynić dowolnie ma lym wybieraj ac dostatecznei

a to, jako ogon szeregu zbieżnego można uczynić dowolnie ma lym wybieraj ac dostatecznei Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. semestr letni 2011 WYK LADY 2 i 3: PRZESTRZENIE UNORMOWANE i BANACHA BAZA TOPOLOGICZNA 29/03/11 Definicja. Norm a w rzestrzeni liniowej V nazywamy funkcjȩ : V [0, ) se lniaj

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1

z n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1 3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu

Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta

Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Informacja ogólna dla tych, którzy jeszcze ze mna chca rozmawiać o stopniach: zdecydowana wie kszość twierdzeń w matematyce, w analizie w szczególności, sk lada

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach

(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element

Bardziej szczegółowo

Pojȩcie przestrzeni metrycznej

Pojȩcie przestrzeni metrycznej ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat

Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego

Równania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

Normy wektorów i macierzy

Normy wektorów i macierzy Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści

Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

Wstęp do komputerów kwantowych

Wstęp do komputerów kwantowych Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc

Analiza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc Analiza funkcjonalna I Ryszard Szwarc Wrocław 2010 2 Spis treści 1 Przestrzenie unormowane 3 1.1 Dodatek.............................. 13 2 Operatory liniowe 15 3 Przestrzenie Hilberta 26 3.1 Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej.

Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej. Pytania na egzaminie magisterskim dotyczą głównie zagadnień związanych z tematem pracy magisterskiej. Należy być przygotowanym również na pytania sprawdzające podstawową wiedzę ze wszystkich zaliczonych

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne. czȩść I: programowanie liniowe. Andrzej Cegielski

Programowanie matematyczne. czȩść I: programowanie liniowe. Andrzej Cegielski Programowanie matematyczne czȩść I: programowanie liniowe Andrzej Cegielski ii Spis treści 1 Wstȩp 1 1.1 Zadania programowania matematycznego.......... 1 1. Oznaczenia i proste fakty...................

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA 1 Skrypt do wyk ladu A. Roman Wencel

ALGEBRA 1 Skrypt do wyk ladu A. Roman Wencel ALGEBRA 1 Skrypt do wyk ladu A Roman Wencel Wroc law, luty 2004 Spis treści Wstȩp 2 Rozdzia l 0. Liczby naturalne, ca lkowite i wymierne 3 Rozdzia l 1. Dzia lania i systemy algebraiczne. Pojȩcie pó lgrupy

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

1.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady

1.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady Rozdzia l 1 Zbiory i rodziny zbiorów 1.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady Zbiory definiujemy poprzez określenie ich elementów. Dwa zbiory, które maj a te same elementy, uważamy za identyczne. A =

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzeń wektorowa, baza, suma prosta i wymiar Javier de Lucas

Podprzestrzeń wektorowa, baza, suma prosta i wymiar Javier de Lucas Podprzestrzeń wektorowa, baza, suma prosta i wymiar Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Niech W = {(x 1, x 2, x 3 ) K 3 : x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 }. Czy W jest podprzestrzeni a gdy

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A O G Ó L N A. WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych

T O P O L O G I A O G Ó L N A. WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 13 Ci agi uogólnione, topologie w przestrzeniach produktowych Definicja. Przez rodzinȩ skierowan a rozumiemy dowolny zbiór z porz adkiem czȩściowym (K, ), taki

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego

Bardziej szczegółowo