Wykład FIZYKA I. 7. Dynamika ruchu obrotowego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Transkrypt

1 D hab. ż. Władysław Atu Woźak Wykład FZYKA 7. Dyamka uchu obotowego D hab. ż. Władysław Atu Woźak stytut Fyk Poltechk Wocławskej

2 D hab. ż. Władysław Atu Woźak ŚRODEK ASY Każde cało moża taktować jako układ puktów matealych. Dlatego pęd cała możemy oblcyć jako sumę pędów wsystkch puktów matealych cała: p m v Podstawając wyażee a pędkość każdego puktu matealego: p m v m d d( m ) d m Śodkem masy albo śodkem bewładośc układu puktów matealych aywamy pukt, któego położee dae jest woem: S m S d gde: (w pypadku cągłym :, gde jest gęstoścą cała) m

3 D hab. ż. Władysław Atu Woźak ŚRODEK ASY Po podstaweu do wyażea a pęd, otymamy: p d Rówae uchu śodka masy układu: d S S vs dv S a S F Śodek masy układu pousa sę jak pukt matealy, w któym skupoa jest cała masa układu, a któy dała sła, ówa wypadkowej sł ewętych pyłożoych do układu. wyp Śodek cężkośc cała to pukt pyłożea wypadkowej sł cężkośc ( cężaów ) wsystkch puktów matealych cała. Gdy welkość g (pyspesee gawtacyje) jest jedakowa dla wsystkch puktów układu, mamy: C S

4 D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAKA RUCHU OBROTOWEGO CAŁA SZTYWNEGO Każde cało możemy uważać a układ puktów matealych, któych suma mas ówa sę całkowtej mase cała: m Cało doskoale stywe to take cało, w któym odległośc mędy dwoma dowolym jego puktam matealym e meają sę w takce uchu (dalej awemy je całem stywym lub byłą stywą).

5 D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAKA RUCHU OBROTOWEGO CAŁA SZTYWNEGO Roważmy uch cała stywego wokół puktu O, waego śodkem obotu cała. Umeśćmy w tym pukce pocątek układu współędych. Nech F oaca słę, jaką k-ty pukt dała a pukt -ty (sły wewęte) a k F wypadkową wsystkch sł ewętych, pyłożoych do puktu -tego. F k k asada dyamk Newtoa dla -tego puktu: d m v F k k, k F

6 D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAKA RUCHU OBROTOWEGO CAŁA SZTYWNEGO ożymy ówae uchu stoam wektoowo pe : d m v F k k, k F Pochodą wględem casu lewej stoy ówaa możemy wyłącyć ped ak locyu wektoowego (dlacego!? ćwcea achukowe): d d mv K K aywamy mometem pędu (kętem) -tego puktu matealego wględem os O.

7 D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAKA RUCHU OBROTOWEGO CAŁA SZTYWNEGO omet pędu (kęt) puktu matealego wględem os O. K m v omet sły wględem puktu O: F F cyl: momet oaca (matematyce) możee lewostoe pe wekto położea (pomeń wodący)

8 DYNAKA RUCHU OBROTOWEGO CAŁA SZTYWNEGO Używając opsaej symbolk, możemy apsać ase ówae jako: D hab. ż. Władysław Atu Woźak k k k F K d, Dodajemy stoam ówaa wsystkch puktów matealych cała: k k k F dk, dk dk 0, k k F k - to momet główy sł ewętych (wypadkowy) to momet pędu cała wględem puktu O K (dlacego?! ćwcea achukowe)

9 D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAKA RUCHU OBROTOWEGO CAŁA SZTYWNEGO Ostatece: dk Sybkość may mometu pędu cała obacającego sę dookoła euchomego puktu ówa sę wypadkowemu mometow (wględem tego puktu) wsystkch sł ewętych, pyłożoych do cała asada dyamk uchu obotowego cała amocowaego w jedym, euchomym pukce.

10 D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAKA RUCHU OBROTOWEGO CAŁA SZTYWNEGO Załóżmy tea, że cało stywe umocowae jest w dwóch puktach tak, że może obacać sę wokół euchomej os pechodącej pe te pukty pyjmjmy, że jest to oś. Wtedy składowe x y mometu sły są ówoważoe pe sły eakcj amocowaa, a obót wokół os odbywa sę pod dałaem składowej mometu sł ewętych: dk Sybkość may mometu pędu cała wględem euchomej os obotu ówa sę wypadkowemu mometow (wględem tej os) sł ewętych dałających a cało. O K F

11 D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAKA RUCHU OBROTOWEGO CAŁA SZTYWNEGO Całkowty momet pędu cała wględem os jest ówy sume mometów pędu każdego puktu matealego: K K We współędych beguowych: K K cos wobec tego całkowty momet pędu cała: m v cos m v m K m

12 D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAKA RUCHU OBROTOWEGO CAŁA SZTYWNEGO Welkość: m aywamy mometem bewładośc cała wględem os. W pypadku gacym cała ocągłego sumowae astępujemy całkowaem: m dm 0 Ostatece otymujemy wąek mędy mometem pędu cała pędkoścą kątową obotu: K

13 D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAKA RUCHU OBROTOWEGO CAŁA SZTYWNEGO dk Wykoystae wąku: powala a wyażee podstawowej asady dyamk uchu obotowego: d d Pyspesee kątowe cała stywego obacającego sę wokół euchomej os jest wpost popocjoale do wypadkowego mometu (wględem tej os) wsystkch sł ewętych dałających a cało odwote popocjoaly do mometu bewładośc cała wględem tej os. a F m

14 D hab. ż. Władysław Atu Woźak OENT BEZWŁADNOŚC omet bewładośc jest węc maą bewładośc cała w uchu obotowym (aalog masy jako may bewładośc w uchu postępowym). Pykładowe momety bewładośc był: Cało Położee os omet bewładośc pusty cekoścey walec o mase m pomeu R peły walec (taca) o mase m pomeu R kula o mase m pomeu R oś symet oś symet oś symet mr mr 5mR cek pęt o mase m długośc L oś postopadła do pęta, pechod pe jego śodek mr

15 D hab. ż. Władysław Atu Woźak TWERDZENE STENERA (TWERDZENE O OSACH RÓWNOLEGŁYCH) Załóżmy, że amy momet bewładośc cała wględem pewej os obotu, ale cało obaca sę wględem ej os, ówoległej do ej: O O m d omet bewładośc cała wględem dowolej os O ówa sę mometow bewładośc tego cała wględem ej, ówoległej do ej os O, powęksoemu o locy masy tego cała pe kwadat odległośc mędy tym osam: ' md Wosek: Gdy śodek masy cała oddala sę od os obotu, to momet bewładośc cała wględem tej os wasta.

16 D hab. ż. Władysław Atu Woźak ZASADA ZACHOWANA OENTU PĘDU Z asady dyamk uchu obotowego: wyka wpost: dk dk 0 0 K costt Jeżel wypadkowy momet sł ewętych wględem euchomego puktu cała ówa sę eu, to momet pędu cała wględem tego puktu e mea sę w case. oża pokaać, że óweż: momet pędu amkętego układu cał wględem dowolego puktu euchomego jest stały. Podobe: jeśl sły ewęte dają momet wględem euchomej os ówy eu, to momet pędu cała wględem tej os e mea sę podcas uchu.

17 TENSOR OENTU BEZWŁADNOŚC Roważmy obót cała o dowolym kstałce wokół os pechodącej pe pocątek układu współędych. Pędkość -tego puktu wględem pocątku układu: Stąd wyażee a momet pędu całego cała: Skoystamy tożsamośc wektoowej: Podstawając, otymujemy: D hab. ż. Władysław Atu Woźak v m m v K b a c c a b c b a m K

18 TENSOR OENTU BEZWŁADNOŚC Wsystke pukty mają tę samą pędkość kątową, możemy węc apsać powyżse ówae wektoowe jako układ tech ówań dla poscególych składowych (tu tylko dla x ): D hab. ż. Władysław Atu Woźak x x m x m K Poeważ: otymujemy: y x y x y x x m x y m x x m K (ak sumowaa po pomęty dla uposcea)

19 D hab. ż. Władysław Atu Woźak TENSOR OENTU BEZWŁADNOŚC Podobe ówaa możemy apsać dla składowych y ostatece ówae, wążące wekto mometu pędu K pseudowektoem pędkośc kątowej,pyjme postać: K x, K y, K xx yx x xy yy y x y x y ace pawej stoy ówaa to teso bewładośc a jego elemety aywamy współcykam bewładośc lub mometam bewładośc. Teso bewładośc jest symetycy, to acy: xy yx

20 D hab. ż. Władysław Atu Woźak TENSOR OENTU BEZWŁADNOŚC Wya pekąty (tu p. xx ): xx m x m y jest sumą locyów każdej mas cąstkowych pe kwadat jej odległośc od daej os (tu x ), węc możemy go awać mometem bewładośc wględem tej os. W pypadku cągłego okładu masy gęstoścą możemy apsać w postac całek, a pykład: współcyk tesoa xx x dv xy xydv