DRGANIA SWOBODNE KOLUMN O OPTYMALNYM KSZTAŁCIE ZE WZGLĘDU NA WARTOŚĆ OBCIĄŻENIA KRYTYCZNEGO PODDANYCH OBCIĄŻENIU EULEROWSKIEMU

Transkrypt

1 MODELOANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 8 s. 5- Gwce 9 DRGANIA SOBODNE KOLUMN O OPTYMALNYM KSZTAŁIE ZE ZGLĘDU NA ARTOŚĆ OBIĄŻENIA KRYTYZNEGO PODDANYH OBIĄŻENIU EULEROSKIEMU JANUSZ SZMIDLA ANNA ASZZAK Isyu Mechak Podsaw Kosrukc Maszy Poechka zęsochowska e-ma: szmda@mpkm.pcz.czes.p Isyu Iformayk Teoreycze Sosowae Poechka zęsochowska e-ma: a.wawszczak@gma.com Sreszczee. pracy prezeue sę badaa eoreycze umerycze doyczące drgań swobodych koum poddaych obcążeu euerowskemu. rozważaach uwzgęda sę zmeą szywość a zgae układów oraz sprężysość węzła kosrukcyego modeuącego sposób zamocowaa koum. Przeprowadza sę aazę eoreyczą doyczącą geomer układów oraz sformułowaa waruków brzegowych. Przebeg częsośc drgań własych wyzacza sę da rozkładu szywośc a zgae koum przy kórym uzyskue sę maksymae warośc obcążea kryyczego.. STĘP Smukłe układy sprężyse charakeryzue okreśoy przebeg krzywych częsośc drgań własych w fukc obcążea zewęrzego. zaeżośc od sposobu uray saeczośc oraz charakeru zma częsośc drgań własych wyróżć moża układy ypu dywergecyego faerowego oraz dywergecyego pseudofaerowego (por.[]). Iseą eszcze układy hybrydowe kóre łączą cechy układu ypu dywergecyego oraz faerowego. przypadku obcążea euerowskego (por. []) o sałym pukce zaczepea sałym keruku dzałaa krzywa częsośc drgań własych a płaszczyźe: obcążee - częsość drgań własych ma zawsze achyee ueme []. Aaze swobodych drgań poprzeczych beek Berouego - Euera charakeryzuących sę zmeym przekroem poprzeczym pośwęcoo szereg pubkac aukowych. yróżć moża prace w kórych rozparywae układy złożoe są z segmeów o skokowo zmeym pou przekrou poprzeczego (por.[4-9]) ub ake w kórych przekró zmeał w sposób cągły (por. [ - ]). modeach beek uwzgędoo dodakowo eemey dyskree w ym sprężyy rasacye roacye oraz masy skupoe. Dołączoe eemey dyskree mocowao a końcach układu (por. [5 ]) ub umeszczoo w mescach zmay przekrou poprzeczego bek (por. [4 6 9 ]). pracy [6] przedsawoo zagadee drgań poprzeczych dwusegmeowych beek kóre podzeoo a rzy zasadcze grupy w zaeżośc od kszału poa przekrou poprzeczego układów. yzaczoo warość rzech perwszych częsośc drgań własych przy różych warukach zamocowaa. Ideyczą aazę zma częsośc drgań własych

2 6 J. SZMIDLA A. ASZZAK przeprowadzoo w pubkac [7] w kóre wzęo pod uwagę układy złożoe z rzech węce segmeów. przypadku układu zbudowaego z dowoe skończoe czby segmeów z dołączoym eemeem dyskreym w posac masy skupoe ub sprężyy rasacye do wyzaczea zma warośc własych wykorzysao własośc fukc Greea [9]. pubkacach [ ] rozparywao układy beek o owo zmeym przekrou poprzeczym przy czym zmae podegał yko ede z główych wymarów przekrou. Zmaę przekrou poprzeczego oraz momeu bezwładośc przekrou okreśoo fukcą ową kwadraową. pracach [ ] modee układów rozbudowao o dodakowe eemey dyskree w posac spręży: rasacye roacye oraz masy skupoe [] ub dowoe czby mas skupoych []. esze pracy przedsawa sę wyk badań eoreyczych umeryczych doyczących drgań swobodych koum poddaych dzałau wybraych przypadków obcążea euerowskego. Borąc pod uwagę modee fzycze koum sposób podparca układów oraz rozwązaa kosrukcye głowc reazuących obcążee formułue sę całkową eergę mechaczą układów. Na podsawe rozwązaa zagadea brzegowego kóre uzyskue sę przy uwzgędeu keyczego kryerum saeczośc prezeue sę przebeg krzywych zma warośc własych a płaszczyźe: obcążee częsość drgań własych. Zakres zma częsośc drgań własych wyzacza sę przy wybraych szywoścach węzła kosrukcyego modeuącego sposób zamocowaa koum. Przyęy do obczeń umeryczych rozkład szywośc a zgae koum odpowada układom da kórych uzyskue sę maksymae warośc obcążea kryyczego przy przyęym waruku opymazacyym sałe obęośc srukury [4].. MODELE FIZYZNE KOLUMN Na rys. a-b przedsawoo modee fzycze koum reazuących rozważae przypadk obcążea euerowskego. Kouma es sprężyśce zamocowaa ( współczyk sprężysośc zamocowaa) z ede sroy ( ) oraz obcążoa a końcu układu ( ) słą skupoą P o sałym keruku dzałaa. Obcążee reazowae es poprzez srukurę obcążaącą składaącą sę z głowcy wywołuące przemuące obcążee (por. [6]). Głowca wywołuąca obcążee zbudowaa es dwóch eemeów owych (rys.a) ub z edego eemeu owego (rys.b). Głowcę przemuącą obcążee saow eeme kołowy (łożysko ocze). Eemey głowc reazuących omawae przypadk obcążea Euera są obekam rzeczywsym (por. [5]) sosowaym w badaach eksperymeaych układów smukłych (por. [6]). Kouma podzeoa es a segmey (rys. c) (deksy.. ) o przekrou kołowym szywośc a zgae ( ) gdze: J es momeem bezwładośc przekrou poprzeczego ego segmeu koumy wzgędem os oboęe zgaa. Segmey opsae są przez długość średcę d oraz przemeszczee poprzecze ( ). Przymue sę asępuące założea ozaczea sosowae w pracy: - sałą całkową długość koum L oraz sałą długość e segmeów (L ) - sałą warość modułu sprężysośc podłuże E oraz gęsośc maerału ρ wszyskch segmeów koumy - sałą sumaryczą obęość wszyskch segmeów opsuących kszał koumy. prowadza sę przykładowe ozaczea rozważaych w esze pracy koum:

3 DRGANIA SOBODNE KOLUMN O OPTZMALNYM KSZTAŁIE 7 Rys.. Modee fzycze koum przy obcążeu euerowskm - AO(c * ) BO(c * ) koumy opymazowae o skokowo zmee szywośc a zgae przy współczyku sprężysośc zamocowaa c * reazuące obcążee Euera. - AP(c * 5) BP(c * 5) koumy porówawcze o sałe szywośc a zgae (J es momeem bezwładośc przekrou poprzeczego koumy porówawcze wzgędem os oboęe zgaa) przy współczyku sprężysośc zamocowaa c * 5 reazuące obcążee Euera. Bezwymarowy współczyk sprężysośc zamocowaa c * wyos: L c * () Obęość koum AP(c * ) BP(c * ) es deycza ak sumarycza obęość wszyskch segmeów opsuących kszał układów AO(c * ) BO(c * ).. SFORMUŁOANIE I ROZIĄZANIE ZAGADNIENIA BRZEGOEGO Zagadee brzegowe formułue sę a podsawe zasady Hamoa kóra w przypadku układów koserwaywych przymue posać: ( T V ) δ d () Eerga keycza T prezeowaych w pracy koum zgode z eorą Berouego Euera es wyrażoa wzorem: T ( ρa) ( ) d ()

4 8 J. SZMIDLA A. ASZZAK ałkowa eerga poecaa V koum es sumą: eerg sprężyse zgaa eerg poecae obcążea zewęrzego oraz eerg sprężysośc zamocowaa: d P d V (4) zasadze Hamoa () wykorzysue sę przemeość operac całkowaa (wzgędem oraz ) obczaa warac. Po wykoau dzałaa warac eerg keycze () oraz warac poszczegóych człoów eerg poecae (4) orzymue sę: - rówaa ruchu rozważaych układów: A P ρ (5) - waruk brzegowe odośe do puku zamocowaa koum: c (6a-b) - waruk cągłośc: r r (7a-d) - waruk brzegowe a swobodym końcu koum ( ); układ AO(c * ))- wzory (8a-b)) ub układ BO(c * ) wzory (8c-d)): (8a-b) k (8c-d) gdze:..(-) r P k c / /. Rozwązae ogóe rówań (5) po uprzem wykoau operac rozdzeea zmeych fukc ( ) wzgędem czasu współrzędych w posac: y ω cos (9) moża zapsać asępuąco: y β α β α s sh cos cosh 4 () gdze m są sałym całkowaa (m..4) oraz:

5 α DRGANIA SOBODNE KOLUMN O OPTZMALNYM KSZTAŁIE 9.5k (.5k Ω ) β.5k (.5k Ω ) Ω ( ρa) ω P k ( ) ( ).5 (a-d) Podsawee rozwązań () do waruków brzegowych (6a-b) (7a-d) oraz (8a-b) ub (8c-d) (po uprzedm rozdzeeu zmeych wzgędem czasu współrzędych ) prowadz do rówaa przesępego a częsość drgań własych ω. 4. YNIKI OBLIZEŃ NUMERYZNYH. pubkac [4] wykoao sosowe obczea odośe do opymazac kszału koum AO(c * ) BO(c * ). Borąc pod uwagę saycze kryerum saeczośc oraz zmodyfkoway przez auorów agorym symuowaego wyżarzaa wyzaczoo warośc paramerów geomeryczych poszczegóych segmeów koum przy kórych uzyskue sę maksymae warośc obcążea kryyczego. Przykładowe kszały opymazowaych koum AO(c * ) BO(c * ) przy podzae a 8 segmeów oraz przy wybraych waroścach współczyka sprężysośc zamocowaa c * przedsawoo a rys.. Lam przerywaym zazaczoo kszał koum porówawczych AP(c * ) BP(c * ). Dodakowo podao warość parameru kryyczego obcążea λ c rozparywaych układów oraz proceowy wzros δ sły kryycze koum AO(c * ) BO(c * ) w odeseu do koum porówawczych. arość obcążea kryyczego odos sę do całkowe długośc koumy L oraz szywośc a zgae koumy porówawcze czy: Rys.. Kszał opymazowaych koum: a-d) kouma AO(c * ) e-h) kouma BO(c * ) [4]

6 J. SZMIDLA A. ASZZAK PL λ c () esze pracy wyzacza sę przebeg zma częsośc drgań własych ω koum AO(c * ) BO(c * ) w fukc obcążea zewęrzego przy uwzgędeu zmee szywośc a zgae koum (por. rys.). Ograczoo sę (rys. rys.4) do okreśea charakeru zma dwóch perwszych podsawowych częsośc drgań własych w forme bezwymarowe (Ω Ω ) w fukc bezwymarowego parameru obcążea λ przy wybraych waroścach parameru c * modeuącego sposób zamocowaa koum przy czym: 4 PL ( ρa) ω L λ Ω (a-b) Rys.. Krzywe a płaszczyźe paramer obcążea λ - paramer częsośc drgań własych Ω (układ AO(c*)) Rys.4. Krzywe a płaszczyźe paramer obcążea λ - paramer częsośc drgań własych Ω (układ BO(c*))

7 DRGANIA SOBODNE KOLUMN O OPTZMALNYM KSZTAŁIE Krzywe () (7) rys. oraz krzywe (6) rys.4 opsuą przebeg warośc własych da koum graczych odpowedo: koumy zamocowae przegubowo (c * ) koumy wsporkowe (/c * ). arość obcążea kryyczego orzymao przy paramerze Ω. Rys.5. Krzywe a płaszczyźe paramer obcążea λ - paramer podsawowe częsośc drgań własych Ω : a-b) koumy AO(c*) AP(c*); c-d) koumy BO(c*) BP(c*) Na rysukach 5a-d zaprezeowao zakres zma podsawowe częsośc drgań własych koum AO(c * ) BO(c * ) (e cągłe) oraz koum porówawczych AP(c * ) BP(c * ) (e przerywae) przy wybraych waroścach parameru c *. Przedsawoe przebeg zma warośc własych (por. rys. - 5) maą zawsze achyee ueme. haraker ch zma pozwaa zaczyć rozparywae układy do układów ypu dywergecyego. Orzymae wyk warośc obcążea kryyczego uzyskae a podsawe keyczego kryerum saeczośc są deycze ak przy zasosowau sayczego kryerum saeczośc [4]. Praca wykoaa w ramach badań własych B -//8/P oraz badań sauowych BS -//99/P. LITERATURA. Tomsk L.: Obcążea układów oraz układy swose. Rozdzał : Drgaa swobode saeczość obeków smukłych ako układów owych ub eowych. Praca zborowa wykoaa pod kerukem aukowym redakcą L. Tomskego. arszawa : 7 NT s Tmosheko S. P. Gere J. M.: Teora saeczośc sprężyse. arszawa : yd. Arkady 96.. Lephoz H.H.E.: O coservave easc sysems of he frs ad secod kd. Igeeur- Archve p De Rosa M. Bees N.. Maurz M.: Free vbraos of sepped beams wh ermedae easc suppors. Joura of Soud ad Vbrao p Maurz M. Bees P.: Naura frequeces of oe-spa beams wh sepwse varabe crossseco. Joura of Soud ad Vbrao p

8 J. SZMIDLA A. ASZZAK 6. Nagueswara S.: Naura frequeces sesvy ad mode shape deas of a Euer- Berou beam wh oe-sep chage cross-seco ad wh eds o cassca suppors. Joura of Soud ad Vbrao 5 p Nagueswara S.: Vbrao of a Euer-Berou beam o easc ed suppors ad wh up o hree sep chages cross-seco. Ieraoa Joura of Mechaca Sceces 44 p L Q.: Free oguda vbrao aayss of mu-sep o-uform bars based o pecewse aayca souos. Egeerg Srucures p Kuka S. Zamoska I.: Frequecy aayss of aay oaded sepped beams by Gree s fuco mehod. Joura of Soud ad Vbrao 7 p Nagueswara S.: ommes o "Vbrao of o-uform rods ad beams". Joura of Soud ad Vbrao p Abrae S.: Vbrao of o-uform rods ad beams. Joura of Soud ad Vbrao p Auceo N: Trasverse vbraos of a eary apered caever beam wh p mass of roaory era ad eccercy. Joura of Soud ad Vbrao p u J. he D.: Bedg vbraos of wedge beams wh ay umber of po masses. Joura of Soud ad Vbrao 6 p Szmda J. awszczak A.: Opymazaca kszału koum reazuących wybrae przypadk obcążea Euera za pomocą zmodyfkowaego agorymu symuowaego wyżarzaa. Zeszyy Naukowe Poechk Rzeszowske sera: Mechaka s.. 5. Kasprzyck A.: Ops echczy srukur obcążaących koumy. Rozdzał : Drgaa swobode saeczość obeków smukłych ako układów owych ub eowych. Praca zborowa wykoaa pod kerukem aukowym redakcą L. Tomskego. arszawa : NT 7 s Tomsk L. Szmda J.: Loca ad goba saby ad vbrao of overbraced Euer s coum. Joura of Theoreca ad Apped Mechacs 4 p FREE VIBRATIONS OF OLUMNS ITH OPTIMAL SHAPE ONNETED ITH RITIAL LOAD HEN EXPOSED TO EULER S LOAD Summary. I hs work heoreca ad umerca vesgaos cocerg free vbraos of coums uder Euer s oad are preseed. I cosderaos oe akes o accou varabe of he feura rgdy o he eghs of he sysem ad eascy of cosrucoa o modeg he mehod of moug he coum. Theoreca aayss cocerg geomery of he sysems ad formuao of he boudary codo has bee carred ou. The course of he aura frequecy curves has bee cacuaed for opma shape coums for whch mama crca oad has bee obaed.