Kazimierz Myślecki. Metoda elementów brzegowych w statyce dźwigarów powierzchniowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kazimierz Myślecki. Metoda elementów brzegowych w statyce dźwigarów powierzchniowych"

Transkrypt

1 Kazmerz Myśleck Metoda elemetów brzegowych w statyce dźwgarów powerzchowych Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej Wrocław 4

2 Recezec Potr KONDERLA Ryszard SYGULSKI Opracowae redakcyje Aleksadra WAWRZYNKOWSKA opyrght by Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej Wrocław 4 OFIYNA WYDAWNIZA POLITEHNIKI WROŁAWSKIEJ Wybrzeże Wyspańskego Wrocław ISBN Drukara Ofcyy Wydawczej Poltechk Wrocławskej. Zam. r 85/4.

3 Sps treśc Ważejsze ozaczea kowecje Wprowadzee Metoda elemetów brzegowych..... Wstęp..... Rozwązae podstawowe Jedowymarowe elemety brzegowe Płyta ceka Płyta a podłożu sprężystym Płyta gruba Powłok mało wyosłe Powłoka walcowa Metoda kolokacj Kupradzego Przyblżoe rozwązaa podstawowe rówań rówowag wybraych dźwgarów powerzchowych Płyty ceke Płyta spoczywająca a podłożu Wklera Płyta spoczywająca a podłożu Pasteraka Płyta spoczywająca a półprzestrze sprężystej Płyta ortotropowa Płyty grube Powłok mało wyosłe Powłoka walcowa Promeń zbeżośc przyblżoych rozwązań podstawowych Numerycze przykłady zastosowaa przyblżoych rozwązań podstawowych w metodze elemetów skończoych (MEB) Wstęp Płyta spoczywająca a podłożu Wklera Płyta spoczywająca a podłożu Pasteraka Płyta spoczywająca a półprzestrze sprężystej Płyta ortotropowa Płyta gruba Sferycza powłoka mało wyosła Powłoka walcowa Podsumowae Dodatek A. Uogóloa trasformacja Fourera... 7 Dodatek B. Metoda Hörmadera Dodatek. Rozwązaa podstawowe -tej potęg laplasjau Dodatek D. Pochode rozwązań podstawowych -tej potęg laplasjau Lteratura... 8

4 Ważejsze ozaczea kowecje (x x x 3 ) kartezjańsk układ współrzędych j k wskaźk z zakresu {3} β γ wskaźk z zakresu {} ( ) ( ) sumowae względem powtórzoego wskaźka w jego zakrese ( ) pochoda cząstkowa względem x operator -tej pochodej cząstkowej względem x laplasja a płaszczyźe (x x ) f g splot fukcj f g a płaszczyźe (x x ) F [w(x x )] = w% ( ) trasformata Fourera (obraz) fukcj w F [ w% ( )] = odwrota trasformata Fourera (orygał) fukcj w% w(x x ) współrzęde w przestrze obrazów Fourera ρ = + promeń w przestrze obrazów L j macerz operatorów różczkowych L j macerz dopełeń algebraczych L j L j wyzaczk L j δ j δ β symbol Kroeckera ε β symbol permutacyjy! sla! = j j! ( j)! symbol Newtoa δ dystrybucja Draca Eν moduł Youga współczyk Possoa Eν λ = ( + ν )( ν ) stała Lamego E µ = = G stała Lamego moduł Krchhoffa ( + ν ) h 3 Eh D = ( ν ) grubość dźwgara powerzchowego sztywość płyty sztywość zgęcowa powłok

5 6 Eh B = ( ν ) sztywość błoowa powłok 5 H = Gh sztywość postacowa płyty grubej 6 S dwuwymarowy obszar a powerzch środkowej dźwgara powerzchowego krzywa brzegowa obszaru S = ( ) jedostkowy wektor ormaly do krzywej t = (t t ) jedostkowy wektor styczy do krzywej różca prawostroej lewostroej wartośc ecągłej fukcj wartość główa całk (auchy ego) a krzywej Re(a) część rzeczywsta lczby zespoloej a Im(a) część urojoa lczby zespoloej a jedostka urojoa J K K Y fukcje Bessela ke fukcja Kelva fukcja Struvego. H

6 . Wprowadzee Zagadee brzegowe w statyce dźwgarów powerzchowych przedstawa sę za pomocą jedego z trzech sposobów: rówaa różczkowego zagadea waracyjego (fukcjoału Lagrage a zasady prac przygotowaych sformułowaa Galerka) brzegowego rówaa całkowego. Z każdego z tych sformułowań moża wyprowadzć jedą z trzech domujących obece metod komputerowych: z rówaa różczkowego metodę różc skończoych (MRS) ze sformułowaa waracyjego metodę elemetów skończoych (MES) a z brzegowego rówaa całkowego metodę elemetów brzegowych (MEB) staowącą przedmot ejszej pracy. Metoda elemetów brzegowych występuje w dwóch sformułowaach: pośredm bezpośredm. Pośredą metodę elemetów brzegowych moża wyprowadzć z obowązującej w lowej statyce zasady superpozycj. Newadomym brzegowym są wówczas pewe sły brzegowe emające bezpośredej terpretacj fzyczej (stąd azwa metody). Bezpośredą metodę elemetów brzegowych atomast wyprowadza sę zwykle z twerdzea Bettego o wzajemośc prac (lub ej właścwej dla daego zagadea tożsamośc całkowej). Newadomym są tutaj bezpośredo uogóloe welkośc przemeszczeowe aprężeowe. Nezależe od sformułowaa całkowych rówań brzegowych (pośredego lub bezpośredego) rozwązuje sę je jedą z dwóch metod: kolokacj Galerka. W metodze kolokacj żąda sę spełea brzegowych rówań całkowych jedye w pewych puktach leżących a brzegu (puktach kolokacj). W metodze Galerka ortogoalzuje (mmalzuje) sę błąd przyblżoego rozwązaa całkowego rówaa brzegowego względem fukcj próbych. Jedą z wersj metody kolokacj jest podejśce Kupradzego [ ] polegające a wykorzystau tożsamośc całkowych (odpowadających tożsamośc Somglay w klasyczej teor sprężystośc) zamast brzegowych rówań całkowych. Zaletą tego podejśca jest ukęce oblczaa całek osoblwych a w szczególośc wartośc

7 8 główych w sese auchy ego całek brzegowych co ma stoty wpływ a uproszczee algorytmów umeryczych. Podejśce to jest kosekwete stosowae w ejszej pracy. Podstawową zaletą cechą metody elemetów brzegowych jest poszukwae rozwązaa rozpatrywaego zagadea a brzegu obszaru a e w jego wętrzu. Powoduje to zmejszee rozmaru przestrzeego zagadea o jede. Dwuwymarowe zagadea statyk dźwgarów powerzchowych redukują sę w te sposób do jedowymarowych rozwązywaych a jedowymarowym brzegu. Nezależe od sposobu sformułowaa zastosowaej metody rozwązaa całkowego rówaa brzegowego stote zaczee ma rozwązae podstawowe wyjścowego układu rówań różczkowych które jest jądrem rówań całkowych. Z fzyczego puktu wdzea jest to rozwązae od jedostkowych obcążeń skupoych a formale defuje sę je jako szczególe rozwązae rówaa różczkowego (bez uwzględea waruków brzegowych) z prawą stroą w postac δ Draca. W zagadeach klasyczej teor sprężystośc rozwązaa podstawowe są zae wyrażają sę przez fukcje elemetare. W przypadku dźwgarów powerzchowych rozwązaa podstawowe są wyrażae przez fukcje specjale trudo dostępe w systemach programowaa lub rozwązaa te e są zae. Orygalym dorobkem autora tej pracy jest podae sposobu wyzaczaa przyblżoych rozwązań podstawowych dla tych zagadeń statyk dźwgarów powerzchowych które są opsywae elptyczym rówaam różczkowym o stałych współczykach. Są to: płyty a podłożu sprężystym płyty grube Ressera Mdla powłok mało wyosłe o stałej krzywźe wyosłe powłok walcowe. Rozwązaa podstawowe mają prostą postać szeregów potęgowych a otrzymao je metodam aalzy matematyczej stosując: trasformację Fourera metodę Hörmadera metodę małego parametru. Początkowo metodę elemetów brzegowych przyjęto w klasyczych zagadeach teor potecjału [3] teor sprężystośc w przemeszczeach [4] aprężeach [5]. Obece metoda elemetów brzegowych jest jedą z ajpowszechej stosowaych metod komputerowych e tylko w zagadeach statyk dźwgarów powerzchowych w trakce swojego rozwoju (poad 3 lat) doczekała sę welu opracowań z których warto wymeć obszere moografe [6 9] oraz prace w języku polskm [ ]. W starszych pracach [ ] przed pojaweem sę metody elemetów brzegowych moża zaleźć szczególe rozwązaa od obcążeń skupoych rozpatrywaych tutaj dźwgarów powerzchowych. hoć prace te są ceym źródłem formacj dla badacza zajmującego sę metodą elemetów brzegowych podae

8 w ch rozwązaa e staową jedak kompletego tesora rozwązań podstawowych wymagaego w metodze elemetów brzegowych. Koecze jest węc uzupełee tych rozwązań co e zawsze bywa łatwe możlwe wobec złożoośc rówań opsujących dźwgary powerzchowe. Obece w celu zalezea rozwązań podstawowych stosuje sę róże podejśca p. szereg Fourera [] czy aaltycze rozwązaa ogóle [3 5]. Jedak ajbardzej uwersalą metodą aaltyczą pozostaje trasformacja Fourera kosekwete wykorzystywaa w pracach autora [6 8]. Jedyym problemem jak sę tutaj pojawa jest zwykle trudość w odwróceu obrazów trasformat Fourera. Stosowae zapropoowaej w tej pracy metody przedstawaa rozwązań podstawowych w postac prostych szeregów rozwązań podstawowych -tej potęg laplasjau choć róweż wykorzystuje sę w ej trasformację Fourera e sprawa takch trudośc. 9

9 . Metoda elemetów brzegowych.. Wstęp Istotę metody elemetów brzegowych wygode jest przedstawć a przykładze prostego zagadea brzegowego dla rówaa Possoa T w= qw S w= w a w T = V a. (.) Powyższe rówae różczkowe może opsywać wele zagadeń auk techk. Tutaj przyjmemy że rówae (.) określa statykę płaskej membray (ajprostszy dźwgar powerzchowy) zajmującej obszar S poddaej jedorodemu apęcu T obcążeu poprzeczemu q. Waruk brzegowe a krzywej przedstawają wymuszoe przemeszczee poprzecze w a częśc obcążee poprzecze V a częśc. Należy sformułować brzegowe rówae całkowe. W tym celu wykorzystamy twerdzee Bettego o wzajemośc prac które w tym przypadku moża zapsać w postac wzoru * * * * qw ds + Vw d = q wd + V wd. S S (.) Zbory welkośc {wqv} {w * q * V * } staową dwa róże układy przemeszczeń obcążeń występujące w twerdzeu Bettego. Gdy w twerdzeu Bettego zamast drugego układu przemeszczeń obcążeń (z gwazdką) zastosujemy układ zwązay z rozwązaem podstawowym { w δ V } tz. q * = δ r T w= δ w= l π r w V = T (.3)

10 wtedy tożsamość (.) przyjme postać w( y) + V( z y) w( z)d = V( z) w( z y)d + q( z) w( z y)d S S (.4) wobec własośc dystrybucj δ Draca S w( x) δ( x y)d S = w( y) = y S y S. (.5) Po przejścu graczym z puktem y do brzegu rówae (.4) przejdze w brzegowe rówae całkowe β w( y) + V( z y) w( z)d V( z) w( z y)d = q( x) w( x y)d S. S dla puktu regularego a β = ω dla puktu aroża okące rozwarca ω a. π (.6) Perwszą całkę w rówau (.6) ależy rozumeć w sese jej wartośc główej auchy ego. W rówau całkowym (.6) w każdym pukce brzegu występuje jeda ewadoma: reakcja V a częśc przemeszczee w a częśc. W metodze elemetów brzegowych rówae (.6) rozwązuje sę umerycze dzeląc brzeg a elemety skończoe wewątrz których zae ezae welkośc brzegowe ze zboru {wv} są aproksymowae lokale welomaam skch stop. Uzyskuje sę w te sposób lowy układ rówań algebraczych. Szczegółowy tok postępowaa przedstawoo w kolejych puktach tego rozdzału... Rozwązae podstawowe Rozwązaem podstawowym (fudametalym) rówaa różczkowego azywa sę rozwązae szczególe tego rówaa z prawą stroą w postac dystrybucj δ Draca [9 ]. W przypadku aalzy płyty cekej rozwązae podstawowe otrzymuje sę z rówaa x D w( x y) = δ ( x y ). (.7) Ideks x przy laplasjae ozacza różczkowae w pukce x. Rozwązae podstawowe w jest fukcją dwóch puktów: x azywa sę puktem beżącym a y puk-

11 tem źródłowym. Z defcj rozwązaa podstawowego wyka że e jest oo jedozacze określoe: dwa rozwązaa podstawowe mogą sę różć o rozwązae ogóle rówaa jedorodego []. Rozwązau podstawowemu moża często adać terpretację fzyczą. W zagadeach statyk dźwgarów powerzchowych rówaam opsującym problem są zwykle rówaa rówowag w przemeszczeach a prawe stroy są obcążeam. Zgode z terpretacją dystrybucj δ Draca jako jedostkowej sły skupoej rozwązae podstawowe jest przemeszczeem od takego obcążea odesoym do eograczoego obszaru (bez uwzględea jakchkolwek waruków brzegowych). W przypadku rówaa (.7) ajczęścej przyjmuje sę taką postać rozwązaa podstawowego r w( xy ) = r l r = ( x y ) + ( x ) (.8) 8πD y r w której r jest dowolą stałą o wymarze długośc (zwykle przyjmuje sę r = ). Jak wdać z tego przykładu rozwązae podstawowe e zawsze ma ses fzyczy (tutaj występują eskończoe przemeszczea) gdyż e ma takego sesu eograczoa płyta. Ses fzyczy za to mają rozwązaa podstawowe dotyczące płyt a podłożu sprężystym. Warto zwrócć tutaj uwagę a pokreweństwo rozwązań podstawowych z powerzcham wpływowym często wykorzystywaym w statyce dźwgarów powerzchowych: te druge odoszą sę do dźwgarów powerzchowych z kokretym warukam brzegowym. Osobego podejśca wymagają zagadea opsywae układam rówań różczkowych. Wówczas rozwązaa podstawowe są zdefowae astępującym układem rówań różczkowych: Lu = δ δ. (.9) j jk k Rozwązaem powyższego układu rówań jest macerz (tesor) rozwązań podstawowych u (w tym przypadku o wymarze 3 3). Pokażemy to a przykładze tarczy jk w płaskm stae aprężea opsaej przemeszczeowym rówaam rówowag: µ uβ ( λ + µ ) uγβ γ = δβ δ (.) które moża róweż przedstawć w postac macerzowej µ ( λ + µ ) ( λ + µ ) u u δ. ( λ µ ) µ ( λ µ ) u u = δ + + (.)

12 3 Rozwązaem tego układu są fukcje [6 9]: u u λ + µ r r ( λ + 3 µ ) r = l 8 π µλ ( + µ ) r 8 π µλ ( + µ ) r λ + µ r r ( λ + 3 µ ) r = l 8 π µλ ( + µ ) r 8 π µλ ( + µ ) r λ + µ rr u = u = r x y. = 4 π µλ ( + µ ) r (.) Tę postać rozwązań podstawowych otrzymao także w dodatku B przy opsywau metody Hörmadera. Rozwązaa podstawowe ( xy ) mają astępującą terpretację fzyczą: jest to składowa przemeszczea u w pukce x wywołaa jedostkową słą skupoą o keruku x β przyłożoą w pukce y. Podobe jak eograczoa płyta róweż eograczoa tarcza e ma sesu fzyczego. u β.3. Jedowymarowe elemety brzegowe W rozwązywau brzegowych rówań całkowych e wymaga sę cągłośc aproksymowaych fukcj brzegowych pojawa sę węc możlwość stosowaa ajprostszych elemetów brzegowych. Przykład takego elemetu o jedym węźle w jego środku stałej wartośc aproksymowaej fukcj wewątrz elemetu pokazao a rysuku.. Newątplwą zaletą tego elemetu jest prostota algorytmów zbudowaych przy jego zastosowau poeważ każdy węzeł jest puktem regularym e ma problemu aroży. Do wad moża zalczyć słabą zbeżość podczas oblczaa welkośc wewętrzych w poblżu brzegu co jest szczególe waże w przypadku dźwgarów powerzchowych emożlwość wprowadzea skupoych welkośc w arożach gdy take występują. Najczęścej stosowaym jedowymarowym elemetam brzegowym są elemety zoparametrycze z fukcjam kształtu w postac welomau terpolacyjego Lagrage a. Weloma Lagrage a stopa a zormalzowaym odcku () z + węzłam parametryzowaym współrzędą lokalą ξ (rys..) ma postać [3] ( ξ ξ ) L( ξ ξ )( ξ ξ ) L( ξ ξ ) L ( ) = = K +. (.3) ( ) ( )( ) ( ) + () ξ + + ξ ξ L ξ ξ ξ ξ+ L ξ ξ+

13 4 S węzły Rys... Stałe elemety brzegowe węzły / (-)/ ξ () () () (+) Rys... Elemet brzegowy Lagrage a X () X () X X () () Φ () X () () Φ () X Rys..3. Elemet lowy W zastosowaach żyerskch zwykle wystarczają aproksymacje welomaam skch stop. Na rysukach.3.5 przedstawoo terpolacje geometr fukcj brzegowej Φ welomaam Lagrage a do trzecego stopa włącze dla elemetów zoparametryczych.

14 5 X (3) X () X () X X () () Φ () X () () X (3) (3) X Φ () Φ (3) Rys..4. Elemet kwadratowy X (4) X (3) X () X () X () () Φ () X X () () X (3) X (4) (4) (3) Φ (3) Φ () X Φ (4) Rys..5. Elemet sześcey Fukcje kształtu dla poszczególych stop terpolacj mają postać: Fukcje lowe L ( ξ ) = ξ L ( ξ) = ξ. (.4) () () Fukcje kwadratowe L ( ξ) = (ξ )( ξ ) L ( ξ) = 4 ξ( ξ) L ( ξ) = ξ(ξ ). () () (3) Fukcje sześcee L() ( ξ) = (3ξ )(3ξ )( ξ) L() ( ξ) = ξ( ξ )(3ξ ) L(3) ( ξ) = ξ(3ξ )( ξ) L(4) ( ξ) = ξ(3ξ )(3ξ ). (.5) (.6)

15 6 Aproksymowae welkośc współrzęde krzywej brzegowej fukcje brzegowe wewątrz elemetu są wyrażoe przez ch wartośc węzłowe x () Φ () : k k () k () k = () = () = = (.7) x ( ξ ) x L ( ξ) Φ( ξ) Φ L ( ξ) gdze zakres sumowaa k wyos 3 lub 4 odpowedo dla aproksymacj lowej kwadratowej sześceej. Warto zwrócć uwagę a koeczość rówomerego doboru węzłów wzdłuż łuku rzeczywstej geometr elemetu w aproksymacj kwadratowej wyższych stop. W przecwym raze geometra brzegu może e być dość dobrze odwzorowaa..4. Płyta ceka ałkowe rówaa brzegowe bezpośredej metody elemetów brzegowych wyprowadza sę zwykle z odpowedej dla daego zagadea tożsamośc całkowej. W zagadeach statyk taką tożsamość staow twerdzee Bettego o wzajemośc prac. Ze względu a podstawowe zaczee twerdzea Bettego w dalszym toku rozważań wyprowadzmy je dla płyty cekej. x x M q t x 3 S V M t P ω L M t R Rys..6. Płyta ceka Rozważa sę płytę ceką której powerzcha podstawowa zajmuje a płaszczyźe (x x ) obszar S ograczoy krzywą brzegową (rys..6). Zakłada sę że krzywa e jest gładka ma N aroży. Podstawowe wzory określające stote welkośc kematycze fzycze w zależośc od fukcj ugęca w(x x ) mają postać: obroty: ϕ = w ϕ = ϕ w ϕt = ϕt = ϕ = ε t ϕ ε ϕ β β β β t (.8)

16 7 momety zgające skręcające: Mβ = D ( ν) w β + νδβ w γγ M = M M = M t t β β β β (.9) sły poprzecze reakcje brzegowe Krchhoffa V : Q = M = D w Q V β β = Q = Q + M t oraz podstawowe rówae rówowag płyty (rzutów a oś x 3 ) (.) M = q (.) β β lub w przemeszczeach po zastosowau zależośc (.9) D w= q. (.) W celu wyprowadzea twerdzea Bettego rozpatrzymy rówae płyty poddaej dwóm obcążeom q q * które spowodują ugęca płyty w w *. Rówae rówowag (.) moży sę obustroe przez fukcję ugęca w * a astępe całkuje po obszarze S. Po wykorzystau tożsamośc różczkowej (pochoda loczyu fukcj) * * * * β β ( β ) β β β ( β ) β β β M w M w + M w = Q w + M w * (.3) zastosowau twerdzea Ostrogradskego Gaussa otrzymuje sę S () d S = () d * * S S Mβ w β ds = Qw d+ qw ds. * * * * * β β ( β β ) β β ( βϕβ) β β * (.4) (.5) Kolejo stosuje sę podobą tożsamość różczkową do wyrażea podcałkowego z lewej stroy (.5) M w M w M w = M M w (.6) poowe twerdzee Ostrogradskego-Gaussa otrzymując * M w ds M d Q w d qw d S. (.7) * * * β β = β ϕ β + + S S

17 8 Następe wprowadzając zależość (.8) 4 a ϕ * β (.8) 3 a ϕ * t oraz wykorzystując własośc moża zapsać ε t = ε = t (.8) β β β β * * w * * * Mβ w β S = Mt + Mϕ + Qw + qw S S d d d d d S. (.9) Do wyrażea podcałkowego po prawej stroe (.9) stosujemy tożsamość różczkową * ( t ) * w M t * M t = Mw w. (.3) ałka po gładkej krzywej perwszego składka po zaku rówośc w (.3) zka. Gdy krzywa e jest gładka (posada aroża) ależy całkować kolejo po gładkch odckach. Otrzymamy w kosekwecj sumę różc wyrażea M t w * w każdym arożu (po lczbe aroży). Ostatecze po wykoau całkowaa wstaweu mometów z zależośc (.9) do (.9) oraz wykorzystau wyrażea a reakcję Krchhoffa (.) 3 otrzymuje sę W wyrażeu w postac Mt * * D ( ν) w β w β νw w + ββ ds S * t N * * * t ϕd d = S S = M w + M + V w + qw * d. * (.3) M w fukcja ugęca w * jest cągła moża węc je zapsać w. Różca mometu skręcającego w arożu ma terpretację fzyczą skupoej reakcj w tym arożu M t = R. (.3) Idetyczą z wyżej podaą procedurę moża by przeprowadzć dla rówaa rówowag (.) ale zapsaego dla mometów obcążea z gwazdką ( * ) możąc je przez fukcję ugęca w. Otrzyma sę wówczas podobe rówae do (.3): * * D ( ν) w β w β νw w + ββ ds S N * * * * t ϕd d = S S = M w + M + V w + q wd. (.33) Wobec detyczośc lewych stro tożsamośc (.3) (.33) moża przyrówać także ch prawe stroy:

18 9 N * * * * + ϕ + + = S Rw M d V wd qwds N * * * * ϕd d = S = R w + M + V w + q wd S. (.34) Tożsamość (.34) przedstawa twerdzee o wzajemośc prac Bettego dla płyty cekej. Warto zwrócć uwagę że oba układy sł przemeszczeń (z gwazdką bez gwazdk) powy być przyłożoe do tej samej płyty (o tej samej geometr własoścach fzyczych). Wypada róweż zauważyć że skupoe reakcje aroże e występują w każdym arożu zależy to od waruków brzegowych sąsedztwa aroża. Układ przemeszczeń sł z gwazdką w tożsamośc (.34) zastąpmy układem sł przemeszczeń od jedostkowego obcążea skupoego przyłożoego do płyty eograczoej q * =δ czyl rozwązaem podstawowym w (.8). Aby obe płyty mały tę samą geometrę z płyty eograczoej wyca sę obszar S. Dzałae odrzucoej reszty płyty eograczoej zastępowae jest przemeszczeam ( w ϕ ) słam przekrojowym ( M V R ) a krzywej brzegowej. Welkośc te które w rzeczywstośc są operatoram dzałającym a rozwązae podstawowe w oblcza sę a podstawe zwązków (.8) (.): ϕ = w ϕ = ϕ w ϕt = ϕt = ϕ = t ϕ ϕ β β β β t Mβ = D ( ν) w β + νδβ w γγ M = M M = M t t Q = M = D w Q V = Q Q β β β = + β β β M t. (.35) Korzystając z własośc dystrybucj δ Draca S y S w( x) δ( x y)d S = w( y) = y S (.36)

19 otrzymuje sę tożsamość całkową odpowadającą wzorom Somglay w klasyczej teor sprężystośc w() y + M () z y ϕ ()d z + V () z y w()d z + Rw = = M ( z) ϕ ( z y)d + V ( z) w( z y)d+ Rw + S = q( x) w( x y)d S. N N (.37) Po wykoau przejśca graczego z puktem y do brzegu tożsamość (.37) stae sę brzegowym rówaem całkowym a osoblwą całkę z wyrażeem V ależy traktować jako wartość główą auchy ego βw() y + M () z y ϕ ()d z + V () z y w()d z + Rw = S = M ( z) ϕ ( z y)d V ( z) w( z y)d Rw = q( x) w( x y)d S dla puktu regularego a β = ω dla puktu arożaokące rozwarca ω a. π N N (.38) Z czterech welkośc brzegowych w rówau całkowym (.38) dwe są zae z waruków brzegowych (pomjamy a raze reakcje aroże) a pozostałe dwe ależy wyzaczyć z rówań całkowych. Nezbęde druge rówae całkowe otrzymuje sę z tożsamośc (.34) rozpatrując eograczoą płytę obcążoą jedostkowym mometem w keruku ν czyl * δ ( x y) q =. ν y (.39) Odpowadające temu obcążeu ugęce płyty eograczoej w jest zwązae z rozwązaem podstawowym w zależoścą ( ) w w xy =. ν y (.4)

20 Tożsamość całkowa (.37) po uwzględeu zależośc (.39) (.4) przyjme postać po uwzględeu własośc ϕ ( y) + M ( z y) ϕ ( z)d + V ( z y) w( z)d+ Rw ν = = M ( z) ϕ ( z y)d + V ( z) w( z y)d+ Rw (.4) + S = q( x) w( x y)d S N N S δ ( xy ) w( x) d S = ϕν ( y) = ν y y S y S. (.4) Wszystke welkośc z podwójym adkreśleem oblcza sę ze zwązków (.35) zastępując rozwązae podstawowe w rozwązaem w. Podobe jak w przypadku perwszego rówaa brzegowego dokouje sę przejśca graczego z puktem y do brzegu oraz z kerukem ν do keruku ormalego do brzegu otrzymując druge całkowe rówae brzegowe płyty cekej βϕ ( y) + M ( z y) ϕ ( z)d + V ( z y) w( z)d+ Rw = S M ( z) ϕ ( z y)d V ( z) w( z y)d Rw (.43) = = q( x) w( x y)d S gdze parametr β przyjmuje detycze wartośc jak w rówau (.38). Rówae to moża róweż uzyskać różczkując (.38) względem wektora ormalego do brzegu. W rówau (.43) występuje ecałkowala osoblwość V rzędu /r. Problem te rozwązuje sę korzystając z tożsamośc V( zy )d + R = (.44) która jest po prostu rówaem rówowag rzutów sł a oś x 3. Po pomożeu rówośc (.44) przez w(y) odjęcu stroam od (.43) otrzymuje sę ostateczą postać drugego całkowego rówaa brzegowego płyty [4] N = N N

21 βϕ () y + M () z y ϕ ()d z + V ()[ z y w() z w()]d y N + R[ w w( y)] M ( z) ϕ ( z y)d = V ( z) w( z y)d Rw = q( x) w( x y)d S. = N S (.45) W zależośc od waruków brzegowych możlwy jest astępujący układ ewadomych fukcj brzegowych: sztywe zamocowae: {M V } ewadome {wϕ } zae swobode podparce: {ϕ V } ewadome {wm } zae brzeg swobody: {wϕ } ewadome {M V } zae. Bardzej złożoa sytuacja występuje w puktach arożych. Spełoe powy być tutaj trzy rówaa: jedo (.38) dwa (.45) ze względu a ecągłość obrotu ϕ. Jedak e zawsze łatwo zblasować lczbę ewadomych z lczbą rówań bez dodatkowej aalzy otoczea aroża. Na przykład w arożu dwóch zamocowaych krawędz (rys..7) ogóla lczba ewadomych wyos 5: jeda reakcja skupoa R dwe wartośc reakcj V dwe wartośc mometów M. W rzeczywstośc w tym arożu zkają momety reakcja skupoa [3]. Naroże to moża węc częścowo wyłączyć z aalzy przyjmując a pror zerowe wartośc welkośc brzegowych. W arożu obustroe swobode podpartym (rys..8) róweż występuje pęć ewadomych {Rϕ L ϕ P V L V P } z których kąty obrotu są rówe zeru [3]. Należy węc spełć rówae (.38) dwa rówaa (.45). M P M L ϕ P ϕ L V P R V L V P R V L Rys..7. Naroże zamocowae Rys..8. Naroże swobode podparte W metodze elemetów brzegowych całkowe rówaa brzegowe rozwązuje sę umerycze. Brzeg dzel sę a L E elemetów brzegowych (p..) otrzymując L W węzłów wlczając w to L R węzłów arożych. W sume otrzymuje sę L W +L R ewadomych wartośc węzłowych. Następe stosując metodę kolokacj żąda sę spełea rówań (.38) (.45) w puktach kolokacj y którym są węzły elemetów brzegowych. Poeważ w puktach arożych spełoe są dwa rówaa (.45)

22 ogóly blas ewadomych rówań zostae spełoy. W kosekwecj zagadee sprowadza sę do rozwązaa układu lowych rówań algebraczych 3 w AVw AMj A jm A wv ϕ b q = AVw AMj A jm AwV M b q V (.46) gdze współczyk macerzy AA oraz bb oblcza sę z wyrażeń (j) k ( j) A = V( z y ) L ( ξ )d Ktp. Vw E ξ q q S S b = q( x) w( x y )d S b = q( x) w( x y )d S. (.47) Układ rówań (.46) wymaga jeszcze przeesea zaych waruków brzegowych a jego prawą stroę. Osobą uwagę ależy pośwęcć oblczau wartośc główych całek w rówaach (.38) (.45). Wartośc główe całek mają wpływ a współczyk dagoale macerzy A Vw A Mϕ. Najwygodej jest oblczać je pośredo przez aalzę jedostkowych ruchów sztywych płyty [8 9]. Iy sposób omęca całek osoblwych metoda Kupradzego zostae szczegółowo opsay w p..8. Po wyzaczeu wszystkch ewadomych brzegowych moża wrócć do tożsamośc (.37) oblczyć ugęca płyty a po odpowedm zróżczkowau (.8) (.) sły wewętrze płyty..5. Płyta a podłożu sprężystym Rówae rówowag płyty cekej a podłożu sprężystym moża przedstawć w postac ogólej D w + p( w) = q. (.48) Reakcja odporu podłoża p(w) jest lowym operatorem zależym od ugęca płyty w. Jego postać zależy od modelu podłoża. Najprostszym modelem jest podłoże Wklera w którym reakcja odporu podłoża jest lową fukcją ugęca w p ( w) = kw. (.49)

23 4 Sztywość podłoża k zależy od właścwośc mechaczych grutu. Model te moża terpretować jako zbór ezależych sprężyek (rys..9). q k Rys..9. Podłoże Wklera Newątplwą wadą tego modelu podłoża jest brak jego współpracy poza obszarem płyty co jest ezgode z dośwadczeem. Jeśl uwzględamy zależość (.49) to rozwązae podstawowe w tym przypadku powo spełać rówae D w+ k w= δ (.5). Po zastosowau trasformacj Fourera możemy otrzymać obraz rozwązaa podstawowego w postac lub po rozłożeu a ułamk proste % (.5) w = Dρ 4 + k l w% = D ρ + ρ + l l β β β = = + β = = l = 4 D. k (.5) Po odwróceu obrazu (.5) [5 6] otrzymuje sę rozwązae podstawowe płyty a podłożu Wklera l βr β wr () K K r =. πd l l (.53) Moża je róweż przedstawć w alteratywej postac [7] korzystając z własośc fukcj specjalych [8] l r w() r = ke. πd l (.54)

24 5 Iym modelem podłoża jest dwuparametrowe podłoże Pasteraka p w) = k w + k. (.55) ( w Z fzyczej terpretacj rówaa (.55) wdać że podłoże to moża traktować jak błoę o apęcu k rozpostartą ad polem spręży z podłoża Wklera (rys..). k q k k Rys... Podłoże Pasteraka Tutaj występuje już współpraca podłoża poza obszarem płyty. Odpowede rówae rozwązaa podstawowego ma teraz postać a jego obraz po trasformacj Fourera D w k w+ k w= δ (.56) w % =. (.57) Dρ k k 4 + ρ + Ze względu a wyróżk maowka obrazu ależy rozpatrzyć trzy przypadk:. k 4Dk <. Po rozkładze a ułamk proste otrzymuje sę a po odwróceu obrazów [5] w% = 4Dk ρ z ρ z k k 4Dk k k + 4Dk k = z = z D D (.58) l βr βr wr () = K K πd l l 4D l = 4 β = + l β = + l 4Dk k D D k k. (.59)

25 6. k 4Dk =. Tutaj występuje perwastek podwójy w% =. (.6) D k ρ + D Po odwróceu obrazu [5] zajdzemy lr r D wr () = K l. 4 D l = π k 3. k 4Dk >. Oba perwastk maowka są tutaj ujeme w% = k ρ z ρ z 4Dk k k 4Dk k + k 4Dk z z = < = <. D D Po odwróceu obrazu [5] otrzymuje sę l βr βr wr () = K K πd l l (.6) (.6) (.63) l D k + k 4Dk k k 4Dk = 4 β = β = k 4Dk k 4Dk k 4Dk Najbardzej złożoym modelem podłoża jedocześe ajblższym warukom rzeczywstym jest półprzestrzeń sprężysta o stałych sprężystośc E ν (rys..). q. E ν Rys... Półprzestrzeń sprężysta

26 W tym przypadku e moża podać prostego wyrażea różczkowego określającego reakcję odporu podłoża. Wyzacza sę ją z rozwązaa zagadea Boussesqa (rys..). 7 P= r x x R x 3 Rys... Zagadee Boussesqa Poowe przemeszczee u 3 od jedostkowego obcążea wyraża sę wzorem [9] + ν x3 ( ν) u3 = + 3 R= x + x x πe R R + 3 (.64) a a płaszczyźe (x x ) ν u 3 = r = x πe r + x. (.65) Po zastosowau zasady superpozycj ugęce płyty od odporu podłoża p(y y ) wyraża sę w postac splotu wx ( x) = u( x y x y) py ( y) dydy = u p. 3 3 W te sposób otrzymuje sę układ rówań całkowo-różczkowych w = u3 p D w + p = q (.66) (.67) z dwoma ewadomym: odporem podłoża p ugęcem w. Układ rówań (.67) poddaje sę trasformacj Fourera a astępe elmuje z ego obraz odporu p% otrzymuje sę postać obrazu rozwązaa podstawowego ( ) D ν l 3 ρ 3 ρ + E 3 w% = =. (.68) D l

27 8 Po rozłożeu a ułamk proste otrzymuje sę β β 3 l w 3l 3l 3 l % = + + D ρ β β ρ + ρ + ρ + (.69) l l l 3 3 β = β =. Odwrócee obrazu (.69) prowadz do astępującej postac rozwązaa podstawowego płyty a półprzestrze sprężystej: l r r wr () = H Y D l l βr βr + βh Y l l βr βr + βh Y. l l (.7) We wszystkch rozpatrywaych tutaj przypadkach płyt spoczywających a podłożu sprężystym spełoe są wyprowadzoe już całkowe rówaa brzegowe (.38) (.45). Należy jedye zastosować odpowede rozwązaa podstawowe: (.53) (.59) (.6) (.63) lub (.7)..6. Płyta gruba W teor płyt grubych (aczej zwaych płytam Ressera Mdla) uwzględa sę wpływ sł poprzeczych odkształceń postacowych z m zwązaych a deformację płyty. Im grubość płyty jest wększa tym bardzej rośe wpływ sł poprzeczych stąd azwa tej teor. W teor płyt grubych występują trzy ezależe parametry przemeszczeowe: ugęce w dwa obroty ϕ. Dodatkowe obcążee płyty staową pola rozłożoych mometów m (rys..3). Zwązk prawa Hooke a dla mometów sł poprzeczych przyjmą teraz postać: ν M = D ( ϕ + ϕ ) + νδ ϕ Q = H + w β β β β γ γ ( ϕ ) (.7)

28 9 a rówaa rówowag: Q + q= M Q + m = β β. (.7) x x x 3 m m S q t M M Q Rys..3. Płyta gruba Po wprowadzeu zwązków (.7) do rówań (.7) otrzymuje sę trzy rówaa rówowag w przemeszczeach: H w Hϕ Hϕ = q v + v Hw + Hϕ Dϕ D ϕ D ϕ = m + v v Hw D ϕ + Hϕ Dϕ D ϕ = m. (.73) Rówaa rówowag płyty grubej wymagają podaa trzech waruków brzegowych. Pozwala to a dokłade spełee waruków aprężeowych a brzegu swobodym w przecweństwe do płyty cekej gdze te waruk e są spełoe. Zdefujmy astępujące sły brzegowe: M = M Q β β = Q. (.74) W ajbardzej typowych sposobach podparca możemy zebrać zae ewadome welkośc brzegowe: sztywe zamocowae: {M M Q } ewadome {wϕ ϕ } zae swobode podparce: {ϕ ϕ Q } ewadome {wm M } zae brzeg swobody: {wϕ ϕ } ewadome {M M Q } zae. Zapszemy układ (.7) w takej forme aby wygode było zaleźć rozwązaa podstawowe

29 3 Lu = δδ (.75) j jk k gdze: H H H v + v Lj = H H D D D + v v H D H D D wq wm w m uj = ϕq ϕ m ϕ m ϕq ϕm ϕ m δ δδj = δ. δ (.76) gdze: Po zastosowau trasformacj Fourera do obu stro rówaa (.75) otrzymuje sę M % u % = δ (.77) j jk k Hρ H H M% ν + ν j = H H + D + D + ν ν H D H + D w% q w% m w% m u% j = % ϕ % q ϕ % m ϕ m. % ϕ % q ϕ % m ϕ m + (.78) Z lowego układu rówań (.77) wdać że macerz obrazów rozwązań podstawowych jest odwrota do macerzy M % j

30 3 u% j Dρ + H 4 HDρ Dρ Dρ ( ) Dρ ν H D( ν) ρ M + + H = % j = Dρ Dρ D( ν) ρ + H Dρ D( ν) ρ + H Dρ Dρ D( ν) ρ + H Dρ D( ν) ρ + H D( ν) ρ H Dρ ( ν) + + H (.79). Macerz rozwązań podstawowych otrzymuje sę stosując odwrotą trasformację Fourera po uprzedm rozłożeu elemetów macerzy obrazu u % j a ułamk proste [5]. Ostatecze rozwązaa podstawowe moża wyrazć w postac: w q r r = l + r l πh r 8πD r m = + + 8πD r πh r m = + + 8πD r πh r m m r r wm = ϕ q = r l wm = ϕ q = r l 8πD r 8πD r ϕ ϕ ϕ k = r r r l l K ( kr) r r r l l K ( kr) r r = ϕ = r l + l + K( kr) 8 π D r πh r H D ( v). (.8) Twerdzee Bettego o wzajemośc prac w przypadku płyty grubej przyjmuje astępującą postać: * * * * * * ( ϕ + ϕ + ) + ( ϕ + ϕ + ) M M Q w d m m qw ds ( ) ( S * * * * * * M M wq d m m wq ds. S = ϕ + ϕ + + ϕ + ϕ + ) (.8) Warto tutaj zwrócć uwagę a brak welkośc arożych które występują w płyce cekej. W mejsce sł przemeszczeń z gwazdką wstawa sę kolejo kolumy macerzy obcążeń (.76) 3 kolumy macerzy rozwązań podstawowych (.76) oraz odpowede sły brzegowe oblczoe a podstawe zależośc (.7) (.74):

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI

PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI Adrzej POWNUK *) PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI. Wprowadzee Mechaka lowa staow jak dotąd podstawowy obszar zateresowań żyerskch. Isteje jedak

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

Elementy arytmetyki komputerowej

Elementy arytmetyki komputerowej Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej Dr hab. ż. Ato Śwć, prof. adzw. Istytut Techologczych ystemów Iformacyych oltechka Lubelska ul. Nadbystrzycka 36, 2-68 Lubl e-mal: a.swc@pollub.pl Dr ż. Lech Mazurek aństwowa Wyższa zkoła Zawodowa w Chełme

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 YCENA ŁUŻEBNOŚCI PRZEYŁU I OKREŚLANIE KOTY YNAGRODZENIA ZA BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI PRZY INETYCJACH LINIOYCH 1.

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki) Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 6. Zasada zachowania pędu. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 6. Zasada zachowania pędu. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Dr hab. ż. Władysław Artr Woźak Wykład FIZYKA I 6. Zasada zachowaa pęd Dr hab. ż. Władysław Artr Woźak Istytt Fzyk Poltechk Wrocławskej http://www.f.pwr.wroc.pl/~wozak/fzyka.htl Dr hab. ż. Władysław Artr

Bardziej szczegółowo

Analiza danych pomiarowych

Analiza danych pomiarowych Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE GEODEZJ INŻNIERJN SEMESTR 6 STUDI NIESTCJONRNE CZNNIKI WPŁWJĄCE N GEOMETRIĘ UDNKU/OIEKTU Zmaę geometr budyku mogą powodować m.: czyk atmosferycze, erówomere osadae płyty fudametowej mogące skutkować wychyleem

Bardziej szczegółowo

Projekt 3 Analiza masowa

Projekt 3 Analiza masowa Wydzał Mechaczy Eergetyk Lotctwa Poltechk Warszawskej - Zakład Saolotów Śgłowców Projekt 3 Aalza asowa Nejszy projekt składa sę z dwóch częśc. Perwsza polega projekce wstępy wętrza kaby (kadłuba). Druga

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja krzywych...

Reprezentacja krzywych... Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc

Bardziej szczegółowo

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE BQR FMECA/FMEA Przed rozpoczęcem aalzy ależy przeprowadzć dekompozycję systemu a podsystemy elemety. W efekce dekompozycj uzyskuje sę klka pozomów: pozom systemu, pozomy podsystemów oraz pozom elemetów.

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

ANALIZA INPUT - OUTPUT

ANALIZA INPUT - OUTPUT Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa z 28 SŁAWOMIR DOROSIEWICZ JUSTYNA STASIEŃKO ANALIZA INPUT - OUTPUT NOTATKI Istytut Ekoometr SGH Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa

Bardziej szczegółowo

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży Gawlk L., Kasztelewcz Z., 2005 Zależość kosztów produkcj węgla w kopal węgla bruatego Ko od pozomu jego sprzedaży. Prace aukowe Istytutu Górctwa Poltechk Wrocławskej r 2. Wyd. Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej,

Bardziej szczegółowo

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne. Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych

Analiza drgań wybranych dźwigarów powierzchniowych metodą elementów brzegowych a prawach rękopisu Istytut Iżyierii Lądowej Politechiki Wrocławskiej Aaliza drgań wybraych dźwigarów powierzchiowych metodą elemetów brzegowych Raport serii PRE r 5/ Praca doktorska autor mgr iż. Jacek

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze

Bardziej szczegółowo

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA Załączk r do Regulamu I kokursu GIS PROGRAM PRIORYTETOWY: SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA. Cel opracowaa Celem opracowaa jest spója metodyka oblczaa efektu ograczaa emsj gazów ceplaraych,

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 10 OPTYMALIZACJA STRUKTURY CZUJKI TEMPERATURY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI

ĆWICZENIE 10 OPTYMALIZACJA STRUKTURY CZUJKI TEMPERATURY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI ĆWICZENIE 0 OPTYMALIZACJA STUKTUY CZUJKI TEMPEATUY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI Cel ćwczea: zapozae z metodam optymalzac wewętrze struktury mozakowe czuk temperatury stosowae w systemach sygalzac pożaru; wyzaczee

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

ρ (6) przy czym ρ ij to współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie następującej formuły: (7)

ρ (6) przy czym ρ ij to współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie następującej formuły: (7) PROCES ZARZĄDZANIA PORTFELEM PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH WSPOMAGANY PRZEZ ŚRODOWISKO AUTOMATÓW KOMÓRKOWYCH Ageszka ULFIK Streszczee: W pracy przedstawoo sposób zarządzaa portfelem paperów wartoścowych wspomagay

Bardziej szczegółowo

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura: Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau,

Bardziej szczegółowo

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe

MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe MMF ćwiczia r - Rówaia różicow Rozwiązać rówaia różicow pirwszgo rzędu: y + y = y = y + y =! y = Wsk Podzilić rówai przz! i podstawić z y /( )! Rozwiązać rówaia różicow drugigo rzędu: 5 6 F F F F F (ciąg

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja Szereg czasowe, modele DL ADL, rzyczyowość, egracja Szereg czasowy, o cąg realzacj zmeej losowej, owedzmy y, w kolejych okresach czasu: { y } T, co rówoważe możemy zasać: = 1 y = { y1, y,..., y T }. Najogólej

Bardziej szczegółowo

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI GIEŁDOWYCH PRZY UŻYCIU ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH mgr ż. Marc Klmek Katedra Iformatyk Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa m. Papeża Jaa Pawła II w Bałej Podlaskej Streszczee:

Bardziej szczegółowo

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w

Bardziej szczegółowo

ZARYS METODY OCENY TRWAŁOSCI I NIEZAWODNOSCI OBIEKTU Z UWZGLEDNIENIEM CZYNNIKA LUDZKIEGO I PŁASZCZYZNY LICZB ZESPOLONYCH

ZARYS METODY OCENY TRWAŁOSCI I NIEZAWODNOSCI OBIEKTU Z UWZGLEDNIENIEM CZYNNIKA LUDZKIEGO I PŁASZCZYZNY LICZB ZESPOLONYCH Zdzsław IDZIASZEK 1 Mechatrocs ad Avato Faculty Mltary Uversty of Techology, 00-908 Warsaw 49, Kalskego street r zdzaszek@wat.edu.pl Norbert GRZESIK Avato Faculty Polsh Ar Force Academy, 08-51 Dębl, Dywzjou

Bardziej szczegółowo

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH Mara KLONOWSKA-MATYNIA Natala CENDROWSKA WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY Zarys treśc: Nejsze opracowae pośwęcoe zostało spółkom akcyjym, które

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI NADWOZI POJAZDÓW SZYNOWYCH PRZY UśYCIU ALGORYTMÓW MES.

OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI NADWOZI POJAZDÓW SZYNOWYCH PRZY UśYCIU ALGORYTMÓW MES. prof. dr hab. Ŝ. Tadeusz Uhl AGH Katedra Robotyk Dyamk Maszy prof. dr hab. Ŝ. Adrzej Chudzkewcz PW Wydzał Trasportu mgr Ŝ. Ireeusz Łuczak EC Egeerg mgr Ŝ. Grzegorz Lasko AGH Katedra Robotyk Dyamk Maszy

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach dr ż. Jolata Wojar Zakład Metod Iloścowych, Wydzał Ekoom Uwersytet Rzeszowsk Przestrzeo-czasowe zróżcowae stopa wykorzystaa techolog formacyjo- -telekomukacyjych w przedsęborstwach WPROWADZENIE W czasach,

Bardziej szczegółowo

Analiza wyniku finansowego - analiza wstępna

Analiza wyniku finansowego - analiza wstępna Aalza wyku fasowego - aalza wstępa dr Potr Ls Welkość wyku fasowego determuje: etowość przedsęborstwa Welkość podatku dochodowego Welkość kaptałów własych Welkość dywded 1 Aalza wyku fasowego ma szczególe

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

Strona: 1 1. CEL ĆWICZENIA

Strona: 1 1. CEL ĆWICZENIA Katedra Podstaw Sstemów Techczch - Podstaw metrolog - Ćwczee 4. Wzaczae charakterstk regulacjej slka prądu stałego Stroa:. CEL ĆWICZENIA Celem ćwczea jest pozae zasad dzałaa udow slka prądu stałego, zadae

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU Haa Dudek a, Moka Dybcak b a Katedra Ekoometr Iformatyk SGGW b studetka Mędzywydzałowego Studum Iformatyk Ekoometr e-mal: hdudek@mors.sggw.waw.pl ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM

STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM Edward CHLEBUS, Joaa HELMAN, Mara ROSIENKIEWICZ, Paweł STEFANIAK Streszczee: Nejszy artykuł

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe

Bardziej szczegółowo

Bajki kombinatoryczne

Bajki kombinatoryczne Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia optymalizacji kosztów w projektowaniu gazowych sieci rozdzielczych

Zagadnienia optymalizacji kosztów w projektowaniu gazowych sieci rozdzielczych Zagadea optymalzacj kosztów w projektowau gazowych sec rozdzelczych Autorzy: dr Ŝ. ech Dobrowolsk, m Ŝ. Wtold Maryka ( Ryek Eerg 6/200) Słowa kluczowe: rozdzelcza seć gazowa, stacje gazowe redukcyje, gazocąg

Bardziej szczegółowo

Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów

Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów Fzyka, techologa oaz modelowae wzostu kyształów Stasław Kukowsk Mchał Leszczyńsk Istytut Wysokch Cśeń PA 0-4 Waszawa, ul Sokołowska 9/37 tel: 88 80 44 e-mal: stach@upess.waw.pl, mke@upess.waw.pl Zbgew

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych Pla rozdzału Relacyjy model daych Relacyjy model daych - pojęca podstawowe Ograczea w modelu relacyjym Algebra relacj - podstawowe operacje projekcja selekcja połączee operatory mogoścowe Algebra relacj

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Aradusz Atcza Poltecha Pozańsa Wydzał Budowy Maszy Zarządzaa N u m e r y c z e w e r y f o w a e r o z w ą - z a e r ó w a a r u c h u o j e d y m s t o p u s w o b o d y Autor: Aradusz Atcza Promotor:

Bardziej szczegółowo

Tekst oraz ilustracje do niniejszego opracowania zaczerpnięto z następujących podręczników, publikacji i wydawnictw popularno naukowych:

Tekst oraz ilustracje do niniejszego opracowania zaczerpnięto z następujących podręczników, publikacji i wydawnictw popularno naukowych: UZUPEŁNIAJĄCE MATERIAŁY DYDAKTYCZNE DLA UCZNIÓW TECHNIKUM MECHANICZNEGO PRZYGOTOWUJĄCYCH SIĘ DO ZEWNĘTRZNEGO EGZAMINU KWALIFIKACYJNEGO METROLOGIA TECHNICZNA (materały wybrae) Materały zebrał : mgr ż. Aatol

Bardziej szczegółowo

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej Materały omoccze do e-leargu Progozowae symulacje Jausz Górczyńsk Moduł. Podstawy rogozowaa. Model regresj lowej Wyższa Szkoła Zarządzaa Marketgu Sochaczew Od Autora Treśc zawarte w tym materale były erwote

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa

Bardziej szczegółowo

sin sin ε δ Pryzmat Pryzmat Pryzmat Pryzmat Powierzchnia sferyczna Elementy optyczne II sin sin,

sin sin ε δ Pryzmat Pryzmat Pryzmat Pryzmat Powierzchnia sferyczna Elementy optyczne II sin sin, Wykład XI Elemety optycze II pryzmat kąt ajmiejszego odchyleia powierzchia serycza tworzeie obrazów rówaie soczewka rodzaje rówaia szliierzy i Gaussa kostrukcja obrazów moc optycza korekcja wad wzroku

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE 2 SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU...... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ. 0 2. DOKŁADNA LICZBA DNI

Bardziej szczegółowo