Matematyka dla kierunku Finanse i Rachunkowość - ćwiczenia. Aktualizacja: 8 stycznia 2008

Transkrypt

1 Matematyka dla kierunku Finanse i Rachunkowość - ćwiczenia Aktualizacja: 8 stycznia 8

2 Spis treści Funkcje Funkcje logarytmiczne i wykładnicze Elementy logiki i teorii mnogości 6 4 Ciąg i granica ciągu 8 5 Granica i ciągłość funkcji 6 Pochodna funkcji. Reguła de l Hospitala 7 Zastosowania pochodnej 4 8 Badanie przebiegu zmienności wybranych funkcji 5 9 Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii 6 Całki nieoznaczone 8 Całki oznaczone Całki niewłaściwe. Funkcje gamma i beta

3 Funkcje Zestaw. Funkcje Zadanie.. Dla funkcji f () = + znaleźć: f (), f ( ), f ( + ), f () +, f ( ),. f() Zadanie.. Dana jest funkcja f () = Obliczyć: f ( ), f (), f (), f ( 8), f (8). dla dla > Zadanie.. Dane są funkcje f () = oraz g () = sin. Obliczyć: f ( g ( π )), g (f ()), g (f ()), f (f (f ())). Zadanie.4. Znaleźć: f (f ()), g (g ()), f (g ()), g (f ()), jeżeli f () = oraz g () =. Zadanie.5. Wyznaczyć dziedziny funkcji: a) f () = + c) f () = 4 e) f () = + + g) f () = arc cos i) f () = + arc sin 5 b) f () = 4 + d) f () = ( ) f) f () = arc sin + h) f () = + + ( π ) 6 (arc sin ) Zadanie.6. Czy funkcje f i g określone następująco: a) f () = + i g (z) = z + b) f () = i g (z) = z c) f () = i g (z) = z d) f () = i g (z) = e) f () = i g (z) = sin z + cos z f) f () = i g (z) = tg z ctg z są równe? Zadanie.7. Dane są funkcje: Naszkicować wykresy funkcji: A) f () = B) f () = sin C) f () = dla a) f () b) f () c) f ( ) d) f () e) f ( + ) f) f ( ) + g) f () h) f ( )

4 Funkcje Zadanie.8. Odwołując się do wykresów podać zbiory wartości następujących funkcji: a) f () = ( ) + b) f () = ln ( ) + dla < c) f () = + d) f () = e Zadanie.9. Na podstawie wykresów podać własności funkcji: a) f () = b) f () = + c) f () = d) f () = + e) f () = + f) f () = 4 g) f () = h) f () = ( ) 4 i) f () = tg ( π j) f () = sin k) f () = sin l) f () = + sin m) f () = + dla < dla Zadanie.. Wyjaśnić, które z poniższych funkcji są parzyste, a które nieparzyste: a) f () = ( ) b) f () = c) f () = + d) f () = + e) f () = f) f () = log g) f () = + cos h) f () = sin i) f () = sin j) f () = sin k) f () = sin Zadanie.. Określić funkcje złożone f f, f g, g f, g g, jeżeli: a) f () =, g () = b) f () = + cos, g () = Zadanie.. Z jakich funkcji złożona jest funkcja: a) f () = ( ) 5 b) f () = ( ) 4 c) f () = (4 + ) d) f () = ln e) f () = sin f) f () = sin + Zadanie.. Znaleźć funkcje odwrotne do następujących funkcji i sporządzić wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych: a) f () = + 5 b) f () = dla c) f () = + )

5 Funkcje logarytmiczne i wykładnicze Zestaw. Funkcje logarytmiczne i wykładnicze Zadanie.. Sporządzić wykresy następujących funkcji: a) y = b) y = ( ) c) y = d) y = ( ) Zadanie.. Dokonując odpowiednich przekształceń geometrycznych sporządź wykresy funkcji: a) y = + b) y = c) y = + d) y = + e) y = f) y = g) y = h) y = + i) y = + Zadanie.. Rozwiąż równania: a) = 8 b) = 9 c) + = 6 d) ( ) + = ( e) 4 +5 = 8 7 f) 4 + = 5 g) (.5) = 8 h) 5 = 9 i) +5 = 8 j) = 5 k) 5+4 = l) +6 = Zadanie.4. Rozwiąż równania: ) + a) + + = b) + = 6 9 c) = 45 d) = e) = 5 Zadanie.5. Rozwiąż równania: a) = b) = c) = d) = 8 7 e) = f) 4 4 = Odp.: a) =, =, b) =, =, c) =, d) =, e) =, =, f) =. Zadanie.6. Rozwiąż nierówności: a) + ( < 9 b) + c).5 d) 4 ) + < ( 5 4) ( e) f) 5 ) +5.6 g) (.5) + < h) 4 (.5) + 64 Odp.: a) (, ) (5, ), b) (, (, ), c) (, ) 4, ), d) 5 (, ) (, ), e) (, ), ), f) ( (, 4 5 ), g), 4 ) (, ), h) 4, ). Zadanie.7. Rozwiąż nierówności: a) + + b) + < 4 c) 5 + > 8 d) + 7 e) < 8 f) g) > 8 h) < Odp.: a), b) <, c) >, d), e) < 4, f), g) >, h) >. 5

6 Funkcje logarytmiczne i wykładnicze Zadanie.8. Rozwiąż nierówności: a) + 4 b) + + < 8 c) 4 > 9 8 d) e) 4 ( ) 5 ( ) + f) ( 4) > 8 ( ) 4 Zadanie.9. Oblicz: a) log, b) log, c) log , d) log, e) log 64, f) log 8, g) log 8 5 h) log Odp.: a), b) 6, c).5, d) 5, e), f) 4, g), h). Zadanie.. Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = log b) y = log + c) y = log ( + ) d) y = log ( + ) + e) y = log f) y = log g) y = log ( + 4) h) y = log ( + 4) Zadanie.. Rozwiąż równania: a) log = b) log = c) log ( ) = d) log (5 ) = e) log.5 ( ) = f) log ( 5 + ) = g) log = h) log Odp.: a) = 9, b) =, c) = 5, d), e) = 5, = 8 6 =. Zadanie.. Rozwiąż równania: 5 6 = 5,, f) = 5, = 5, g) =, h) a) log 4 ( 6) + log 4 ( ) = b) log ( + ) log ( ) = log 5 c) log ( + 7) log ( 5) = log d) log 5 ( + ) log 5 ( ) = e) log ( + ) log ( + 7) = log ( ) f) log 9 log + 4 = g) log log ( + ) log ( + ) + log ( + 4) = h) log log + 5 = i) log = 4 log Odp.: a) = 5, b) =, c) =, d) =, e) = 5, f) =, =, g) =, h) =, 6 =, i) =., =. Zadanie.. Rozwiąż nierówności: 7 a) log > 4 b) log ( ) < c) log.5 ( ) d) log < + e) log + f) log ( ) > g) log ( + ) Odp.: a) > 6, b) ( 4 9, ), c), ), d) (, 7), e) (,, f) (, 5) (, ), g), ) (,. Zadanie.4. Rozwiąż nierówności: 4

7 Funkcje logarytmiczne i wykładnicze a) log ( + ) log ( + ) < b) log ( ) + log (5 + ) c) log ( + ) + log ( + ) d) log log Odp.: a) 8, ). (, + Zadanie.5. Wyznaczyć dziedziny funkcji: ) ( +, b) ) 6,, c) (, 5 ) (, ), d) (, a) f () = e b) f () = c) f () = log d) f () = log (sin ) e) f () = ln (e e) f) f () = log g) f () = arc sin ( ) + log (log ) Zadanie.6. Na podstawie wykresów podać własności funkcji: log ( ) + + a) f () = + b) f () = c) f () = d) f () = ( ) e) f () = log ( + ) f) f () = log ( ) + Zadanie.7. Znaleźć funkcje odwrotne do następujących funkcji i sporządzić wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych: a) f () = + b) f () = log ( + ) c) f () = + log 5

8 Elementy logiki i teorii mnogości Zestaw. Elementy logiki i teorii mnogości Zadanie.. Dla podanych zbiorów A i B wyznaczyć A B, A B, A \ B. Wyniki zaznaczyć na osi liczbowej. a) A = b) A = R : } = R : log + log } = B = R : + 5 > 8} B = R : log ( ) log ( ) > } c) A = R : + + = } B = R : + = } d) A = R : = 9} B = R : ( ) } e) A = R : cos = cos } B = R : cos = } f) A = R : sin = cos } B = R : sin cos = } g) A = R : < } B = R : + } > } h) A = R : + > B = R : + > } + i) A = R : ( + ) ( + + ) (4 ) } B = R : 5} j) A = R : log ( ) > } B = R : < + } Zadanie.. Ocenić wartość logiczną każdego ze zdań, a następnie napisać jego negację: a) R = b) N c) N + + d) N + + e) R + 4 f) C 4 + g) R + + h) m N n Nm + n = i) R y R + y = 4 j) C y N y k) y N C y Zadanie.. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć zbiory A B oraz B A, jeśli: a) A = R : =,,...} B = y R : y = } 6

9 Elementy logiki i teorii mnogości b) A = y R : y } B = R : > } c) A = R : > } B = y R : y + } } d) A = R : + B = y R : < y < } 4 } 6 e) A = y R : < y < 5} B = R : + 7 f) A = C : log ( ) < } B = y R : y } y + < g) A = C : log ( + ) + log ( ) < } B = (, ) h) A = } t R : log ( t + 4) < B = R : Zadanie.4. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć zbiory punktów: A = (, y) : y > } B = (, y) : + y + 6 } } C = (, y) : y < } D = (, y) : y 4 y < 6} E = (, y) : + y 4 + y } F = (, y) : + y > < } G = (, y) : < y} H = (, y) : y + > } I = (, y) : y } J = (, y) : + y } K = (, y) : y < } L = (, y) : < y} M = (, y) : y } N = (, y) : + 4 y = 4} O = (, y) : + y 4} P = (, y) : y < } Q = (, y) : } R = (, y) : } S = (, y) : y + < } T = (, y) : y } Zadanie.5. Zaznaczyć w prostokątnym układzie współrzędnych sumę, iloczyn i różnicę zbiorów A i B: a) A = (, y) : + < 4} B = (, y) : + y } b) A = (, y) : + y 4y } B = (, y) : 4y } c) A = (, y) : + = y + y } B = (, y) : + y }. 7

10 4 Ciąg i granica ciągu Zestaw 4. Ciąg i granica ciągu Zadanie 4.. Napisać pięć pierwszych wyrazów ciągu (a n ) określonego następująco: a) a n = b) a n = n ( )n c) a n = ( )n n d) a n = ( ) n+ e) a n = n ( + ( ) n ) f) a n = sin nπ n ( )n g) a n = ( ) n + sin nπ h) a n = + n sin nπ i) a n = + n n + cos nπ Zadanie 4.. Podaj wzór na n ty wyraz ciągu (a n ), jeśli: a) (a n ) = (4,,, 5, 8,...) b) (a n ) = (8, 9, 45,.5,.5,...) c) (a n ) = (, 7, 4,, 8,...) d) a =, a n = a n dla n > e) a =, a n = a n dla n > f) a =, a n = a n + n dla n > Odp.: a) a n = 7 n, b) a n = 6 n, c) a n = ( ) n ( + 7n), d) a n = n, e) a n = 5 n, f) a n = (n ). Zadanie 4.. Obliczyć piąty wyraz ciągu (a n ), jeśli suma jego n pierwszych wyrazów wynosi 4n n. Odp.: a 5 = s 5 s 4 =. Zadanie 4.4. Zbadać monotoniczność ciągów: a) a n = b) a n = n c) a n = n 8n + 5 n + n + d) a n = n n + e) a n = n + n f) a n = n + n + Odp.: a) malejący, b) rosnący, c) brak monotoniczności, d) rosnący, e) nierosnący, f) malejący. Zadanie 4.5. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją): a) lim (n + 5n 6) d) lim 6n n + n 4 g) lim n j) lim n + n ( n + n + n m) lim + n p) lim 9n + 4n n + s) lim ( 4n + 9n n ) v) lim n b) lim ( n 7 + n 4) e) lim n n h) lim n + n n 4 + n n + n c) lim n n + f) lim n + 4 i) lim ( n) (n + ) ( 7n) ) n n k) lim (n ) l) lim ( 9n ) n) lim + n n ( ) q) lim n n 7 ( t) lim n + 5 n ) w) lim 4 n 5 n 7 o) lim ( n) 5 + 4n r) lim ( n 9n + ) u) lim e n n+ ) lim n+ n+ n+ 8

11 4 Ciąg i granica ciągu y) lim n n + n sin n ab) lim n + ( n ae) lim n + ( n + 9 ah) lim n z) lim n 4n + n + 5 ac) lim ) n af) lim ) n ai) lim n ( aa) lim n ( ) + n ( ) + 5 n n sin n sin (n + ) ad) lim n + n + ( + ) n+ ( ) n n + 4 ag) lim n + n ( ) n + + n n + n Odp.: a), b), c), d), e), f), g), h), i) 7, j) 8, k), l), m), n), o) 4, p), q), r), s) 9 4, t), u) e, v), w) 4, ), y), z), aa), ab), ac), ad), ae) e, af) e, ag) e 8, ah) e 9, ai). Zadanie 4.6. Zbadaj ograniczoność ciągów z zadania 4.4. Zadanie 4.7. Podać wzór na procent składany. W którym banku należy złożyć roczną lokatę terminową, jeśli w Banku I dopisuje się % co pół roku, natomiast w Banku II dopisuje się % co kwartał? Zadanie 4.8. Załóżmy, że fundusz wyjściowy 4 zł podlega przez 5 lat oprocentowaniu prostemu, a roczna stopa procentowa wynosi 8%. Jakiego kapitału można się spodziewać po upływie tego okresu? Jaki byłby kapitał w przypadku oprocentowania składanego? Zadanie 4.9. Niech roczna stopa procentowa wynosi 5%. Po ilu latach odsetki od kapitału wyjściowego 4 zł w oprocentowaniu prostym wyniosą zł? Zadanie 4.. Odsetki od kapitału wyjściowego 54 zł oprocentowanego w systemie prostym przez 9 miesięcy wynoszą 6 zł. Wyznaczyć roczną stopę procentową. Zadanie 4.. Niech roczna stopa procentowa wynosi %. Po ilu latach kapitał początkowy potroi się, jeśli oprocentowanie jest: a) proste, b) składane? Zadanie 4.. ( ) Do pewnego banku wpłacono zł na lata. Jak duże odsetki wypłaci bank po tym okresie, jeśli stopa procentowa w pierwszym roku wynosiła 8%, natomiast w latach następnych została zmniejszona do 5%? Zadanie 4.. Pewien starszy pan otrzymał spadek w wysokości zł i zdeponował go w banku. Po latach zgromadzony w banku kapitał, ów pan podarował wnuczce. Jaki duży posag otrzymała wnuczka, jeśli stopa procentowa w banku była zmienna i wynosiła w pierwszych czterech latach 8%, w następnych pięciu latach 5%, a przez ostatnie trzy lata była na poziomie %? ) n W zadaniach przyjmujemy, że kapitał podlega oprocentowaniu składanemu. 9

12 5 Granica i ciągłość funkcji Zestaw 5. Granica i ciągłość funkcji Zadanie 5.. Oblicz granice: a) lim ( + 5 6) Odp.: a), b) 5, c) 6, d). 4 b) lim + c) lim + 5 d) lim cos Zadanie 5.. Oblicz granice: + a) lim d) lim g) lim ( ) + 7 b) lim e) lim c) lim f) lim h) lim ( + 5 7) i) lim ( ) j) lim ( ) k) lim ( + 7) l) lim ( ) Odp.: a), b), c), d), e), f), g), h), i), j), k), l). 5 Zadanie 5.. Oblicz granice: a) lim + 6 b) lim + Odp.: a),, b),, c) 4, 4, d) 5. c) lim + 4 d) lim Zadanie 5.4. Obliczyć granice jednostronne funkcji f w punkcie, jeśli: a) f () =, = b) f () =, = c) f () = ( ), = d) f () = +, = e) f () = 4, = f) f () =, = g) f () = 4 4, = h) f () = e 4, = i) f () =, + e = W każdym z przypadków rozstrzygnij, czy istnieje granica jednostronna. Odp.: a),, b),, c),, d),, e),, f),, g),, h),, i),. Zadanie 5.5. Oblicz granice: + a) lim + e) lim i) lim b) lim f) lim 4 4 j) lim + + c) lim + 6 g) lim k) lim d) lim + h) lim + l) lim 5 4 Odp.: a), b),, c),, d), e),, f),, g),, h),, i),, j),, k),, l),.

13 5 Granica i ciągłość funkcji Zadanie 5.6. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją): ( ) 8 a) lim b) lim d) lim e) lim 4 9 g) lim π cos π j) lim ( ) m) lim ctg, p) lim cos h) lim cos ( ) k) lim + + ( + n) lim + q) lim π 4 cos sin cos ( c) lim ) sin 5 f) lim sin i) lim ( + l) lim sin ) + o) lim ( + ) ) 5 r) lim sin 5 sin sin Odp.: a), b) 6, c), d) 4, e) 6, f) 5, g), h), i) e, j), k), l), m), n) e, o), p) 4, q) r). Zadanie 5.7. Obliczając granice jednostronne zbadać, czy istnieją granice: a) lim + b) lim [] c) lim d) lim e Zadanie 5.8. Zbadać ciągłość funkcji f i podać rodzaje nieciągłości, jeżeli: a) f () = + dla ( ) dla > b) f () = dla < dla c) f () = e dla dla = d) f () = sin dla dla = e) f () = cos dla dla = f) f () = arc tg dla dla = Zadanie 5.9. Sprawdzić, czy można dobrać wartości parametrów a i b tak, aby funkcja f : R R była ciągła, jeżeli: a) f () = + 8 dla ( a) dla > a dla c) f () = + dla < b ( ) + dla > b) f () = cos π dla a dla > + e dla < sin a d) f () = dla > b dla =

14 6 Pochodna funkcji. Reguła de l Hospitala Zestaw 6. Pochodna funkcji. Reguła de l Hospitala Zadanie 6.. Obliczyć pochodne następujących funkcji: ) f() = ) f() = ) f() = 4) f() = ln + 5) f() = 6) f() = log 7) f() = sin + cos 8) f() = arc sin + arc cos 9) f() = + arc tg ) f() = e ) f() = cos ) f() = sin ) f() = ( + )( ) 4) f() = ( + ) e 5) f() = ln 6) f() = arc sin 7) f() = 5 9) f() = sin cos ) f() = sin + cos ( + 5) f() = + ( sin 8) f() = + cos ) f() = cos + 8) f() = + ) f() = ) f() = ln 4 + ) f() = sin 4) f() = ( ) ) 5 6) f() = e ( 4) 7) f() = + ) 9) f() = arc sin ) f() = arc tg ) f() = cos 4 ) f() = ln(e + + e ) 4) f() = sin cos 5) f() = + 6) f() = ( + ) ) f() = 4 8) f() = ( + 4 ) tg ( ) 9) f() = arc sin 4 5 Odp.: ) f () =, ) f () = , ) f () = 6, 4) f () =, 5) f () = ln, 6) f () =, 7) f () = cos sin, 8) f () =, 9) f () = +, ) ln + f () = e + e, ) f () = 7) f () = cos sin, ) f () = sin + cos, ) f () =, 4) f () = ( ) + + e, 5) f () = ln +, 6) f () = arc sin +, 4 ( +), 9) f () = 6 ( ), ) f () = 4 ln 4 4, ) f () =, 8) f () = ( ) + ln, ) f () =, ) f () = cos ( +4) sin, 4) f () = ( ) 4, (+ ) sin cos + ( +4) 5) f () = 5 ( + ) 4 +, 6) f () = ( ) ep (( + ) ( 4)), 7) f () = (+) 6, + (+) 8) f cos () =, 9) f () = (cos +) 4, ) f () =, ) f () = sin + + (+ ), ) ) f () = cos 4 sin 4, ) f () = (e e + + e +e +e, 4) f () = 8 cos 4 6 cos, 5) f () = + +, 6) f () = 4 + ( + ln + ln ), 7) f () = , 8) + 5 f () = 4 tg + ( + 4 ) +tg 4, 9) f () = Zadanie 6.. Obliczyć pochodne f, f, f dla podanych funkcji:

15 6 Pochodna funkcji. Reguła de l Hospitala a) f() = ln b) f() = ( + + ) cos c) f() = + Odp.: a) ln +,,, b) (cos ) + cos (sin ) (sin ) sin, cos 4 (sin ) sin (cos ) (cos ), 5 sin 6 (cos ) cos + (sin ) + (sin ) c) +,, (+ ) 5. Zadanie 6.. Sprawdzić, że funkcja y spełnia warunek: a) y = e sin, y y + y = b) y = ln ln, y + y = Odp.: a) tak, b) nie. Zadanie 6.4. Korzystając z reguły de l Hospitala obliczyć podane granice: ( ) a) lim b) lim ln c) lim e + d) lim e g) lim cos j) lim + m) lim + e ( ln ) ln ( + ) e) lim sin h) lim k) lim + ln ln f) lim e e sin i) lim cos l) lim + n) lim sin o) lim + ln (sin )tg π Odp.: a), b), c), d), e), f) g), h), i), j), k), l), m), n), o). e (+ )

16 7 Zastosowania pochodnej Zestaw 7. Zastosowania pochodnej Zadanie 7.. Znaleźć asymptoty wykresów następujących funkcji: a) f() = b) f() = + d) f() = + e) f() = 4 9 g) f() = + h) f() = sin c) f() = + f) f() = + + i) f() = e Odp.: a) y =, =, =, b) =, y =, c) y =, d) =, =, y = +, e) 4 y =, y = (w ), f) y =, g) =, y = (w ), y = (w ), h) y =, i) y = (w ). Zadanie 7.. Wyznaczyć ekstrema funkcji: a) f () = b) f() = c) f() = + 4 ( ) d) f() = e) f() = f) f() = e + e Odp.: a) f ma () =, f min () = 4, b) f min ( ) = 5, c) f min ( ) = 4, f ma() = 4, d) f ma ( ) =, f min () =, e) f min ( 4 ) = 4, f) f min() =. Zadanie 7.. Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji: a) f() = e b) f() = ln( + ) c) f() = ( ) e Odp.: a) f dla (, ), f dla (, ), b) f dla (, ) oraz dla (, ), f dla (, ), c) f dla (, ), f dla (, ) oraz dla (, ). Zadanie 7.4. Znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji na wskazanych przedziałach: a) f() = +, [, 5] b) f() = 6 8, [, 6] c) f() =, [, 5] d) f() = ln, [, e] e) f() = sin + sin, [, π] Odp.: a) f najw. (5) = 8, f najmn. () =, b) f najmn. () = 89, f najw. (6) =, c) f najmn. () =, f najw. (5) = 5 ( , d) f najmn. () =, f najw. (e) = e, e) f π ) najw. =.598, f najmn. () =. Zadanie 7.5. Wyznaczyć punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji: a) f() = b) f() = c) () = + sin d) f() = e e) f() = ln f) f() = 4 + Odp.: a) f wypukła dla (, ), (4, ), f wklęsła dla (, 4), =, = 4 punkty przegięcia, a) f wypukła dla (, ), f wklęsła dla (, ), brak punktów przegięcia, c) f wypukła dla ( k π, k π + ) ( π : k Z, f wklęsła dla k π π, k ) π : k Z, = k π punkt przegięcia, d) f wypukła ( ) dla (, ), f ( wklęsła ) dla (, ), = punkt przegięcia, e) f wypukła dla e,, f wklęsła dla, e, = e punkt przegięcia, f) f stale wypukła. 4

17 8 Badanie przebiegu zmienności wybranych funkcji Zestaw 8. Badanie przebiegu zmienności wybranych funkcji Zadanie 8.. Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres następujących funkcji a) f() = a, >, a, b > + b (funkcja Törnquista I rodzaju - krzywa popytu na dobra podstawowe) b) f() = a b, > b, a, b, c > + c (funkcja Törnquista II rodzaju - krzywa popytu na dobra wyższego rzędu) c) f() = a b, > b, a, b, c > + c (funkcja Törnquista II rodzaju - krzywa popytu na dobra luksusowe) d) f(t) = a, t >, a, c >, b > + be ct krzywa logistyczna krzywa popytu na pewne dobro w zależności od czasu, który upłynął od wprowadzenia go do sprzedaży e) f() = π e, R krzywa rozkładu normalnego Gaussa. 5

18 9 Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii Zestaw 9. Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii Zadanie 9.. A baseball team plays in a stadium that holds 55 spectators. With tickets prices at $, the average attendance has been 7. When ticket prices were lowered to $8, the average attendance rose to. a) Find the demand function, assuming that it is linear, b) how should tickets prices be set to maimize revenue? Zadanie 9.. During the summer months Terry makes and sells necklaces on the beach. Last summer he sold the necklaces for $ and his sales averaged per day. When he increased the price by $, he found that he lost two sales per day. a) Find the demand function, assuming that it is linear, b) if the material for each necklace costs Terry $6, what should the selling price be to maimize profits? Zadanie 9.. A manufacturer has been selling television sets a week at $45 each. A market survey indicates that for each $ rebate offered to the buyer, the number of sets sold will increase by per weak. a) Find the demand function, b) how large a rebate should the company offer the buyer in order to maimize its revenue? c) if its weekly cost function is C() = , how should it set the rise of the rebate in order to maimize its profits? Zadanie 9.4. The manager of a units apartment comple knows from eperience that all units will be occupied if the rent is $4 per month. A market survey suggests that, on the average, one additional unit will remain vacant for each $5 increase in rent. What rent should the manager charge to maimize revenue? Zadanie 9.5. Koszt produkcji jednostek towaru, 5, wynosi k() = 6.5 / + 8 zł. Natomiast utarg wynosi u() = 7. zł. Podać funkcje: k kr () kosztu krańcowego, u kr () utargu krańcowego oraz z kr () zysku krańcowego. Ile wynosi koszt krańcowy, utarg krańcowy oraz zysk krańcowy dla =? Odp.: k kr () = 6.75, u kr () = 7.6, k kr () = 56.5, u kr () = 64, z kr () = Zadanie 9.6. Przy produkcji i sprzedaży jednostek towaru, 5, zysk firmy wynosi f() = 44 4 zł (44 zł to bezpośredni zysk na każdej jednostce, lecz koszty reklamy i koszty stałe powodują stratę + 4 zł ). Firma produkuje obecnie = 7 jednostek towaru i na każdej jednostce ma zysk f(7)/7 = 478/ zł. Czy opłaca się jej zwiększyć produkcję? Ile wynosi wartość krańcowa zysku dla = 7? Wyznaczyć funkcję krańcową zysku. Odp.: f kr () = 44, dla = 7 f kr (7) = 4, więc produkcję opłaca się nieco zwiększyć (ale o nie więcej niż jednostki). 6

19 9 Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii Zadanie 9.7. For each of the given cost functions find (a) the cost, average cost and marginal cost of producing units; (b) the production level that will minimize the average cost; and (c) the minimum average cost ) C() = ) C() = ) C() = ) C() = ) C() = + 8 6) C() = Odp.: ) (a) C () = 5, C () = 5, Ckr () = 5 (b) (c) C() = 5 ) (a) C () = 96, C () = 9.6, Ckr () = 8 (b) 4 (c) C() = 6 ) (a) C ().7, C ()., Ckr () 4.7(b) 58 (c) C(58).4 4) (a) C () =, C () =, Ckr () = (b) (c) C() = 4 5) (a) C () 88.5, C ().9, Ckr ().8 (b) = 4 (c) C(4).5 6) (a) C () 65, C () 6.5, Ckr () = 9.87 (b) (c) C() 6. Zadanie 9.8. For each of the given cost function find the production level at which the marginal cost starts to increase a) C() = b) C() = Zadanie 9.9. Wyznaczyć elastyczność funkcji: a) y = 6 b) y = + c) y = + d) y =.4 e) y = e f) y = ln g) y = 6 dla = h) y = + + dla = Zadanie 9.. Przy produkcji ton pewnego proszku dziennie, koszt produkcji każdej tony wynosi 47 zł. Podać elastyczność kosztu produkcji ze względu na wielkość produkcji. Jak wpłynie zwiększenie obecnej produkcji 86 ton o każdy procent na zmniejszenie kosztów produkcji każdej tony? Odp.: E k () = tony o około.8%. 5. Zwiększenie produkcji o % spowoduje zmniejszenie kosztów produkcji każdej Zadanie 9.. Funkcja popytu na pomidory ma postać y =.4, gdzie oznacza cenę pomidorów w zł na kg, natomiast y popyt miesięczny w kg na osobę. Wyznaczyć elastyczność popytu dla ceny maksymalizującej utarg. Zadanie 9.. Pewna firma może wyprodukować sztuk pewnego towaru miesięcznie przy koszcie produkcji sztuki po. zł, zaś każdą sztukę można sprzedać w cenie 8.5 zł. Ponadto stałe miesięczne koszty firmy wynoszą 9 zł. Firma jest w stanie wyprodukować miesięcznie co najwyżej 65 sztuk. Przy jakiej miesięcznej produkcji zysk jest maksymalny i ile wynosi? Zadanie 9.. Jakie wymiary powinien mieć walec o podstawie kołowej, aby zminimalizować koszty materiału na jego wykonanie? Walec ma mieć pojemność 88 cm. Na wycięcie kół na obie podstawy trzeba przeznaczyć odpowiednie kwadratowe kawałki materiału. Cena materiału na obie podstawy jest o % wyższa niż koszt materiału na powierzchnię boczną. 7

20 Całki nieoznaczone Zestaw. Całki nieoznaczone Zadanie.. Wyznaczyć tę funkcję pierwotną funkcji f () = ln, >, do wykresu której należy punkt A(, ). Odp.: ln. Zadanie.. W oparciu o własności całek obliczyć: ( a) ( ) 4 + ) d b) d c) d d) + d ( e) + ) + 4 d f) d g) d h) 4 d i) 5 e 4 e d j) d k) d l) e + e d cos m) d n) sin cos sin d o) ctg d d p) sin cos Odp.: a) + 4 4, b) ln , c) ln ( ), d) + arc tg +, d) , e) 4, f) , g) 4 4, h) 4 4, i) 8 5 8, j) ( e ), k) ln ln 5 + e + e, l) cos + sin, m) sin, n) ctg, o) ctg. Zadanie.. Stosując metodę podstawiania obliczyć całki: d d e d d a) b) + ( + ) 6 c) d) + e 6 ( ) e) e d f) + d g) + d h) d d i) d d e 4 d j) k) l) e 4 sin d cos ln m) + cos n) sin cos d o) d p) e d Odp.: a) ln ( + ), b), c) arc tg ( +) (e ), d) ( 4 + ), e) ( ) 5 + ( ) 5 ( ), f) , g) + + +, h) e, i) arc tg, j) 9, k) 8 d, l) e 4 4e 4 + ( e 4e e 4 ), m) ln ( cos + ), n) cos, o) 4 4 sin (ln ), p) e. Zadanie.4. Obliczyć całkując przez części: a) cos d b) e d c) e cos d d) sin cos d ln d d ( ) e e) ln d f) g) sin h) d d i) sin d j) e sin d k) l) e d cos 8

21 Całki nieoznaczone Odp.: a) cos + sin, b) e e + e, c) (cos ) e + (sin ) e, d) sin cos, e) ln + ln, f) ln, g) ctg + ln sin, h) e, i) cos + sin cos, j) (sin ) 5 e (cos ) 5 e, k) tg + ln cos, l) 9 (e ) ( + ). Zadanie.5. Obliczyć następujące całki: a) cos d b) sin d c) + ln e) ln ( + ) d f) d g) sin 5 cos d d) d 4 + h) cos d + sin d 6 Odp.: a) + 4 sin, b) 4 π 4 sin, c) e (cos + sin ), d) sin +, e) 4 ln + ln, f) ln, g) arc tg, h) arc sin. Zadanie.6. Dana jest funkcja kosztów krańcowych produkcji K K () =. + gdzie oznacza wielkość produkcji. Wyznaczyć funkcję kosztów całkowitych, jeżeli koszt całkowity wyprodukowania sztuk wyrobu wynosi 6 zł. Odp.: K C () = Zadanie.7. Załóżmy, że funkcja kosztu krańcowego przy produkcji opon w ciągu dnia zależy od wielkości produkcji według wzoru f () =.4 +.9, gdzie >. Wyznaczyć funkcję kosztu przeciętnego produkcji opon, jeżeli koszty stałe ponoszone w ciągu dnia wynoszą jednostek pieniężnych. Odp.: K () =

22 Całki oznaczone Zestaw. Całki oznaczone Zadanie.. Obliczyć całki oznaczone: a) e) π π d + 4 b) cos d f) π 4 d 4 d cos c) g) e d d) d h) π e cos d ln d Odp.: a) 8 π, b) π, c) e, d) π, e) 4, f) 4 π + ln, g), h) Zadanie.. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: a) y =, =, = i osią OX b) y =, =, = i osią OX + c) y =, y = d) y =, y = 4 e) y =, y =, y =, = f) y = e, y = e, = g) y = 4, y = 4 h) y = +, y = i) y = a, = a, = a, y = (a > ) Odp.: a) 95,b) π, c) 9, d) 4, e) 9, f) ln e + e, g) 64, h) π, i). Zadanie.. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych przedziałach: a) f() = sin, [, π] b) g() = e, [, ] c) h() = [,, ] Odp.: a) 4 π, b) 4 e 4 e, c) ( ). Zadanie.4. Do magazynu nadchodzi towar, przy czym ilość towaru nadchodzącego w jednostce czasu określona jest funkcją ciągłą czasu f(t). Obliczyć przyrost zapasu w magazynie w odstępie czasu od T do T. Odp.: T T f (t) dt. Zadanie.5. Zapas pewnego wyrobu w magazynie zmniejsza się w czasie t równomiernie z ilości Q jednostek w momencie początkowym, do w momencie końcowym. Obliczyć średnią wielkość zapasu wyrobu w magazynie.

23 Całki oznaczone Odp.: Q. Zadanie.6. Przedsiębiorstwo nabyło urządzenie, które zapewnia zysk Z (t) = ( 5 t ), t >, gdzie t oznacza liczbę lat eksploatacji urządzenia. Koszty związane z utrzymaniem urządzenia w stanie sprawności wzrastają z czasem, przy czym wzrost ten określa funkcja K (t) = t. Obliczyć łączny zysk osiągnięty z urządzenia w okresie jego eksploatacji. Odp.: 8

24 Całki niewłaściwe. Funkcje gamma i beta Zestaw. Całki niewłaściwe. Funkcje gamma i beta Zadanie.. Obliczyć całki niewłaściwe: a) f) k) d b) d g) (arctg ) + d l) d 4 c) e d h) d 4 + m) π tg d d) e sin d i) Odp.: a), b) 5, c), d) π, e) 9 π, f), g), h), i), j) Zadanie.. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: a) y = e i osiami OX, OY b) y = i osią OX + 4 c) y = y =, =, =, d) y =, y =, =, = e) y = 8 + 4, y =, = f) y = ln, y =, =, = e g) y = ( + ), y =, = d h) y =, = i osiami układu współrzędnych Odp.: a), b) π, c) 9, d), e) π, f), g) 5, h). d + e) e d j) d + 9 d π, k), l), m) nie istnieje. Zadanie.. Czy pole obszaru zawartego między wykresami funkcji y =, y = jest skończone? i osią OX Odp.: nie.

25 Całki niewłaściwe. Funkcje gamma i beta Zadanie.4. Obliczyć: a) d) g) j) e d b) e d e) 5 e d c) 5 e 4 d f) 6 e d e d ( ) d h) ( ) d i) 6 ( ) 4 d 5 ( ) 8 d k) 5 5 (5 ) d l) ( ) 5 d Odp.: a) 4, b) 5 8 π, c) 7, d) 6 k) , l) 54. π, e) 5 5, f) 7 π 4 Γ( ), g) 6 π, h) 8 π, i), j) 8 7,