METODA USTALANIA LICZBY POWTÓRZE EKSPERYMENTU SYMULACYJNEGO O SKO CZONYM HORYZONCIE CZASOWYM
|
|
- Jan Czajkowski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 METODA USTALANIA LICZBY POWTÓRZE EKSPERYMENTU SYMULACYJNEGO O SKOCZONYM HORYZONCIE CZASOWYM KRZYSZTOF JURCZYK, WOJCIECH WONIAK Streszczeie Symulacja komputerowa staowi doskoałe arzdzie słuce aalizie złooych procesów czy systemów logistyczych. Zajduje zastosowaie w sytuacjach, gdy zawodz dostpe metody aalitycze jedoczeie dostarczajc jak ajwikszej liczby iformacji o aalizowaym procesie. Ze wzgldu a aaliz wyików uzyskaych z eksperymetów symulacyjych rozróia si dwie kategorie symulacji symulacj o skoczoym horyzocie czasowym oraz symulacj o ieskoczoym czasie trwaia. W iiejszej pracy zwrócoo uwag a problem ustalaia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego w skoczoym horyzocie czasowym. Stosujc metody bezwzgldej oraz wzgldej precyzji ustaloo liczb powtórze przykładowego eksperymetu. Poadto zapropoowao autorski sposób ustalaia liczby powtórze polegajcy a odrzucaiu kolejych obserwacji majcych zikomy wpływ a uredioe wyiki kocowe. Słowa kluczowe: aaliza daych wyjciowych, harmoogramowaie, symulacja Wprowadzeie Wród ajczciej stosowaych w praktyce arzdzi wspomagajcych procesy podejmowaia decyzji zwizaych z idetyfikacj, aaliz oraz optymalizacj i plaowaiem systemów logistyczych metody bazujce a modelowaiu symulacyjym bez wtpieia staowi ajwikszy udział. Symulacja komputerowa ma zastosowaie w sytuacjach, gdy dokłade zbadaie wybraego procesu czy systemu przy wykorzystaiu metod matematyczych czy arzdzi aalityczych z obszaru bada operacyjych jest zbyt uciliwe i skomplikowae [4]. Celem symulacji jest dostarczeie jak ajwikszej liczby iformacji o aalizowaym procesie oraz umoliwieie dokoaia aalizy wraliwoci tego procesu a zmiay parametrów im sterujcych. Łatwo wysu wiosek, e arzdzie jakim jest symulacja komputerowa wymagało bdzie od modelujcego wprowadzeia preceyzyjych daych wejciowych. Problem te szeroko opisao w dostpej literaturze przedmiotu. Doskoał taksoomi modeli daych wejciowych przedstawił L.M. Leemis w [7] oraz w [8]. Ie aspekty zwizae z przygotowaiem daych do modeli symulacyjych, tz. aspekty zwizae z odpowiedim doborem, poprawoci, spójoci czy kompletoci daych wejciowych do modeli symulacyjych poruszaj w swoich pracach chociaby N. Robertso i T. Perera w [r], S. Robiso w [11], A. Skoogh i i. w [1] i [13], czy P. Haczar i i. w [3]. W pracy M. Karkuli i i. zwrócoo z kolei uwag a uwzgldieie czyików iedetermiistyczych w modelach symulacyjych procesów logistyczych [5]. W iiejszym artykule uwag skupioo jedak a kompleksowej aalizie wyików uzyskaych z eksperymetów symulacyjych dla symulacji o skoczoym horyzocie czasowym. 78
2 Studies & Proceedigs of Polish Associatio for Kowledge Maagemet Nr 78, Sposoby ustalaia liczby powtórze eksperymetów symulacyjych Aaliza daych wyjciowych podobie jak aaliza daych wejciowych do modeli symulacyjych musi by przeprowadzoa przy wykorzystaiu odpowiedich techik walidacyjych i statystyczych, tak aby w oparciu o uzyskae rezultaty moa było podejmowa odpowiedie decyzje. Na problem te zwracaj uwag w swoich pracach m. i. C. Alexopoulas i A. Seila w [1], N. Nakayama w [9], A. Law w [6], czy M. Karkula w [4]. Ostati z wymieioych autorów, podobie jak Ch.A. Chug w [] zwracaja uwag ustaleie liczby powtórze eksperymetu symulacyjego. Poiej zaprezetowao procedur ustalaia liczby powtórze eksperymetów symulacyjych przedstawio w [4]. Eksperymet symulacyjy powiie zosta powtórzoy okrelo liczb razy. Liczba powtórze powia zosta ustaloa w taki sposób, aby zapewi wymagay przez modelujcego poziom wiarygodoci modelu. Wstpe ustaleie liczby powtórze eksperymetu symulacyjego oraz aaliza uzyskaych w te sposób wyików pozwala stwierdzi, czy koiecze jest zwikszeie liczby iteracji czy te ie. Zbyt mała wyjciowa liczba powtórze zwiksza ryzyko uzyskaia iewystarczajcych iformacji, z kolei zbyt dua liczba iepotrzebych powtórze eksperymetu wydłua czas potrzeby a zakoczeie przedsiwzicia i podosi jego koszty. Pierwszym etapem ustaleia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego jest obliczeie wartoci rediej oraz odchyleia stadardowego wyików uzyskaych z iezaleych powtórze eksperymetu ( ozacza ustalo wyjciow liczb powtórze). Załómy, e wykoao iezaleych powtórze eksperymetu symulacyjego o skoczoym horyzocie czasowym i uzyskao iezaleych rozwiza X i, gdzie i ozacza ideks daego powtórzeia. Nastpie wg wzorów opisaych rówaiami 1 oraz obliczoo wartoredi oraz odchyleie stadardowe tych wyików: X i i= X ( ) = 1 (1) [ X X ( ) ] i i= 1 S( ) = () 1 Obliczoewartoci rediej oraz odchyleia stadardowego słu ustaleiu przedziału ufoci dla wartoci oczekiwaej. Wykorzystuje si statystyk t odczytywa z tablic rozkładu t-studeta z -1 stopiami swobody przy załooym poziomie istotoci. Prawdopodobiestwo tego, e uzyskay wyik mieci si w zadaym przedziale wyosi 100(1 ) %: S ( ) S ( ) PX ( ) t < X < X ( ) + t = α α α 1 1 /, 1 k 1 /, 1 (3) Warto błdu stadardowego SE jakom obarczoe s wyiki eksperymetu wysacza si astpie według rówaia 4. SE S ( ) t1 α /, 1 (4) = 79
3 Krzysztof Jurczyk, Wojciech Woiak Metoda ustalaia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego o skoczoym horyzocie czasowym Istiej dwa podstawowe sposoby ustaleia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego: metoda bezwzgldej precyzji oraz metoda wzgldej precyzji. W przypadku metody bezwzgldej precyzji [9] aley ustali akceptowaly poziom błdu SE. Liczba iteracji potrzeba do osigicia zakładaego poziomu precyzji jest obliczaa wg wzoru opisaego rówaiem: ( ) S t 1 α /, 1 i = AP (5) gdzie AP ozacza przyjty poziom precyzji. Alteratyw metod jest metoda wzgldej precyzji. Polega a ustaleiu, ie jak w przypadku metody bezwzgldej precyzji akceptowalego poziomu błdu SE, ale a przyjciu dopuszczalej wartoci błdu procetowego PE: t1 α /, 1 PE = X Liczb iteracji oblicza si astpie wg wzoru: t i = 1 α /, 1 X RP S ( ) S ( ) gdzie RP ozacza przyjty wzgldy poziom precyzji.. Przykłady eksperymetów symulacyjych i ich aaliza Rozwamy sytuacj, w której jede podajik obsługuje dwa staowiska motaowe dedykowae dla dwóch róych kompoetów, które ozaczymy jako A oraz B. Czasy midzy przybyciami oraz czasy motau kadego z kompoetów s liczbami losowymi o rozkładzie jedostajym i parametrach: dla kompoetu A odpowiedio 10 i 390 sekud oraz 10 i 360 sekud oraz dla kompoetu B odpowiedio 16 i 34 sekud oraz 138 i 318 sekud. Czasy trasportu kompoetów przez podajik z wejcia systemu a staowisko motaowe oraz ze staowiska motaowego do wyjcia podlegaj rówie rozkładowi jedostajemu, którego parametry wyosz odpowiedio 10 i 156 sekud oraz 84 i 96 sekud. Przeaalizowae zosta dwa wariaty w pierwszym mamy do czyieia z sytuacj, w której kompoety pojawiajce si a wejciu systemu układaj si w jede strumie wejciowy, atomiast w wariacie drugim utworzoo osobe strumieie wejciowe dla kadego z kompoetów A oraz B. Omawiae wariaty obrazuje rysuek 1. (6) (7) 80
4 Studies & Proceedigs of Polish Associatio for Kowledge Maagemet Nr 78, 016 ródło: opracowaie włase. Rysuek 1. Wariaty aalizowaego eksperymetu symulacyjego Badaia rozpoczto od wykoaia pojedyczego eksperymetu symulacyjego dla obu przedstawioych wariatów dla przykładowej liczby 0 kompoetów wejciowych (10 typu A oraz 10 typu B). Jako zmiee wyjciowe zdefiiowao sumaryczy astpujce charakterystyki: redi czas oczekiwaia kompoetu a podajik T ocz, redi czas przebywaia kompoetu w systemie T prz, całkowit długo harmoogramu produkcyjego T sum oraz sumaryczy czas bezczyoci podajika T bcz. Zestawieie wyików zamieszczoo w tabeli 1, atomiast a rysuku zaprezetowao harmoogramy obsługi kolejych kompoetów. Zmiea wyjciowa Tabela 1. Wyiki pierwszego eksperymetu symulacyjego T ocz Wariat I 1543 s s. 606 s s. Wariat II 1478 s. 191 s. 539 s. 89 s. ródło: opracowaie włase. 81
5 Krzysztof Jurczyk, Wojciech Woiak Metoda ustalaia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego o skoczoym horyzocie czasowym Rysuek. Harmoogramy produkcyje sporzdzoe a podstawie wyików pierwszego eksperymetu symulacyjego ródło: opracowaie włase. Łatwo zauway, e zastosowaie osobych strumiei wejciowych dla kompoetów A i B wpływa a otrzymae rezultaty, w szczególoci a długo harmoogramu oraz sumaryczy czas bezczyoci podajika. Naley si jedak zastaowi, czy uzyskae wyiki s poprawe. Powtarzajc eksperymet symulacyjy koleje 8 razy uzyskujemy zupełie ie i zaczco od siebie odbiegajce rozwizaia, które zestawioo w tabeli. Wariat I II Tabela. Wyiki pierwszego eksperymetu symulacyjego Koleje powtórzeie ródło: opracowaie włase. Tocz 8 Zmiea wyikowa s s. 606 s s s s. 644 s s s. 160 s. 684 s. 76 s s s s. 181 s s. 139 s. 693 s. 85 s s s s. 078 s s. 01 s s s s. 53 s s. 333 s s. 191 s. 539 s. 89 s. 116 s s s. 788 s s s s s s s s. 91 s s s s s s s s. 115 s s s s s s s. 550 s. 97 s.
6 Studies & Proceedigs of Polish Associatio for Kowledge Maagemet Nr 78, 016 Symulowae harmoogramy produkcyje te bd si midzy sob rói w zaleoci od kolejego powtórzeia eksperymetu. Pojawia si zatem pytaie, który z otrzymaych wyików jest prawidłowy. Eksperymet symulacyjy powiie zosta powtórzoy okrelo liczb razy co zazaczoo a wstpie iiejszej pracy. W aalizowaym przypadku wstpa liczba powtórze eksperymetu symulacyjego została ustaloa jako 100. Rozkłady uzyskaych w te sposób rozwiza zamieszczoo a rysuku 3. Rysuek 3. Histogramy obrazujce rozkłady wyików stu pierwszych powtórze eksperymetu symulacyjego ródło: opracowaie włase. Kolejy etap bada polegał a obliczeiu wartoci redich (rówaie 1) oraz odchyle stadardowych (rówaie ) uzyskaych wyików, a astpie wyzaczeiu przedziałów ufoci dla wartoci oczekiwaych a poziomie istotoci = 0,05 (rówaie 3) oraz wartoci błdów stadardowych (rówaie 4) i procetowych (rówaie 6) jakimi s obarczoe wyiki eksperymetów, co zobrazowao tabelami 3 i 4. Tabela 3. Wybrae miary statystycze wyików uzyskaych z przeprowadzoych eksperymetów symulacyjych wariat I Metryka T ocz 83 Zmiea wyikowa redia 1503 s s s. 094 s. Odchyleie stadardowe 14 s. 130 s. 31 s. 307 s. Dola graica przedziału ufoci 1483 s s. 664 s. 064 s. Góra graica przedziału ufoci 153 s s s. 16 s. Warto błdu stadardowego SE 0 s. 0 s. 31 s. 31 s. Warto błdu procetowego PE 1,33 % 1,0 % 0,47 % 1,48 % ródło: opracowaie włase.
7 Krzysztof Jurczyk, Wojciech Woiak Metoda ustalaia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego o skoczoym horyzocie czasowym Tabela 4. Wybrae miary statystycze wyików uzyskaych z przeprowadzoych eksperymetów symulacyjych wariat II Metryka T ocz Zmiea wyikowa redia 183 s s. 567 s s. Odchyleie stadardowe 118 s. 19 s. 35 s. 31 s. Dola graica przedziału ufoci 164 s. 174 s s s. Góra graica przedziału ufoci 130 s s s s. Warto błdu stadardowego SE 19 s. 0 s. 7 s. 7 s. Warto błdu procetowego PE 1,48 % 1,15 % 0,48 %,53 % ródło: opracowaie włase. Nastpie obliczoo liczb powtórze eksperymetu symulacyjego stosujc przytoczoe a wstpie metody bezwzgldej oraz wzgldej precyzji uzyskujc wyiki jak w tabeli 5. Tabela 5. Obliczoa liczba powtórze w zaleoci od aalizowaych zmieych wyikowych oraz przyjtych poziomów precyzji Wariat W iiejszym podrozdziale zaprezetowao alteratywe podejcie do problemu ustalaia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego. Propoowae podejcie polega a sukcesywym zwikszaiu liczby iteracji, a do mometu, w którym kady kolejy wyik ie bdzie miał zaczcego wpływu a rozkład wczeiejszych wyików. Od modelujcego zaley zdefiiowaie dokładoci oczekiwaych rezultatów w aalizowaym przypadku załooo stopie dokładoci a poziomie rówym 1%. Na rysuku 4 zaprezetowao zmiay redich wartoci aalizowaych zmieych wyikowych w zaleoci od wykoaej liczby powtórze eksperymetu symulacyjego. 84 Tocz Zmiea wyikowa Przyjty poziom precyzji AP 10 s. 10 s. 10 s. 10 s. Liczba powtórze wg metody bezwzgldej precy I Przyjty poziom precyzji RP 0,01 0,01 0,01 0,01 Liczba powtórze wg metody wzgldej precyzji Przyjty poziom precyzji AP 10 s. 10 s. 10 s. 10 s. Liczba powtórze wg metody bezwzgldej precy II Przyjty poziom precyzji RP 0,01 0,01 0,01 0,01 Liczba powtórze wg metody wzgldej precyzji ródło: opracowaie włase. W przypadku metody bezwzgldej precyzji obliczoa liczba powtórze wyiesie 961, atomiast w przypadku metody wzgldej precyzji bd to 54 powtórzeia. 3. Metoda ustaleia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego
8 Studies & Proceedigs of Polish Associatio for Kowledge Maagemet Nr 78, 016 Rysuek 4. Zmiay redich wartoci aalizowaych zmieych wyikowych w zaleoci od wykoaej liczby powtórze eksperymetu symulacyjego ródło: opracowaie włase. Na podstawie przeprowadzoych bada ustaloo, e wymagaa liczba powtórze aalizowaego eksperymetu symulacyjego wyoisi 71 i jest determiowaa przez zmie T bcz. Kade koleje powtórzeie ie ma zaczcego wpływu a rozkład uzyskaych wyików (tabela 6). Tabela 6. Obliczoa liczba powtórze w zaleoci od aalizowaych zmieych wyikowych Wariat ródło: opracowaie włase. 4. Podsumowaie Tocz Zmiea wyikowa Zastosowaie osobych strumiei wejciowych dla dwóch róych rodzajów kompoetów w systemie dwóch staowisk motaowych obsługiwaych przez jede podajik zaczco wpływa a skróceie wartoci takich parametrów jak długo harmoogramu produkcyjego, czas bezczyoci podajika, czas oczekiwaia kompoetu a podajik oraz czas przebywaia kompoetu w systemie. Zbudowaie odpowiediego modelu symulacyjego i aaliza wyików uzyskaych z przeprowadzoych eksperymetów umoliwiła dokłade porówaie obu aalizowaych wariatów. redi czas oczekiwaia kompoetu a podajik w systemie z jedym strumieiem wejciowym jest o 17,15 % dłuszy i w przypadku systemu z osobymi strumieiami wejciowymi. 85 I II
9 Krzysztof Jurczyk, Wojciech Woiak Metoda ustalaia liczby powtórze eksperymetu symulacyjego o skoczoym horyzocie czasowym redi czas przebywaia kompoetu w systemie z jedym strumieiem wejciowym jest o 1,6 % dłuszy i w przypadku systemu z osobymi strumieiami wejciowymi. Podobie wygldaj wyiki dotyczce rediej długoci harmoogramu i całkowitego czasu bezczyoci podajika. W systemie z jedym strumieiem wejciowym wartoci tych parametrów s wiksze o odpowiedio 18,7 % i 96,5 % i w przypadku systemu z osobymi strumieiami wejciowymi. Takie miarodaje rezultaty mogły zosta uzyskae tylko pod warukiem powtórzeia eksperymetu symulacyjego okrelo liczb razy a co zwrócoo uwag w iiejszym artykule. Bibliografia [1] Alexopoulas C., Seila A., Advaced methods for simulatio output aalysis. Proceedigs of the 1998 Witer Simulatio Coferece, 1998, s [] Chug Ch.A., Simulatio modelig hadbook: a practical approach. CRC Press, Boca Rato, 004. [3] Haczar P. i i., Quatititative methods i logistics maagemet. AGH, Kraków 014. [4] Karkula M., Modelowaie i symulacja procesów logistyczych. AGH, Kraków 013. [5] Karkula M., Jurczyk K., Bukowski L., Nodetermiistic factors i simulatio models of logistics processes. CLC 01: Carpathia Logistics Cogress, November 7th-9th 01, Jaseik, Czech Republic, Cogress proceedigs (reviewed versio), TANGER Ltd., Ostrava, Czech Republic, 013, s [6] Law A., Statistical aalysis of simulatio output data: the practical state of art. Proceedigs of the 010 Witer Simulatio Coferece, 010, s [7] Leemis L.M., Buildig credible iput models. Proceedigs of the 004 Witer Simulatio Coferece, 004, s [8] Leemis L.M., Seve habits of highly successful iput modelers. Proceedigs of the 1997 Witer Simulatio Coferece, 1997, s [9] Nakayama N., Statistical aalysis of simulatio output. Proceedigs of the 008 Witer Simulatio Coferece, 008, s [10] Robertso N., Perera T., Automated data collectio for simulatio? Simulatio Practice ad Theory, Vol. 9, 00, s [11] Robiso S., Simulatio: The practice of Model Developmet ad Use. Joh Wiley & Sos Ltd., Chicester, 004. [1] Skoogh A., Johasso B., A methodology for iput data maagemet i discrete evet simulatio projects. Proceedigs of the 008 Witer Simulatio Coferece, 008, s [13] Skoogh A., Perera T., Johasso B., Iput data maagemet i simulatio Idustrial practices ad future treds. Simuatio Modellig Practice ad Theory, Vol. 9, 01, s
10 Studies & Proceedigs of Polish Associatio for Kowledge Maagemet Nr 78, 016 METHOD OF DETERMINATION OF NUMBER OF REPLICATIONS OF TERMINATING SIMULATION EXPERIMENTS Summary Computer simulatio is a excellet tool for the aalysis of complex logistics processes ad systems. It ca be used i situatios where the available aalytical methods ca ot be implemeted. There ca be listed two mai categories of simulatio termiatig simulatio ad steady state simulatio. I this study the problem of determiatio of umber of replicatios of simulatio experimet i a fiite time horizo has bee highlighted. Usig the methods of absolute ad relative precisio the umber of replicatios of the exemplary experimet has bee determied. Moreover, the origial method of determiatio of umber of replicatios has bee itroduced. Keywords: output data aalysis, schedulig, simulatio Praca realizowaa i fiasowaa w ramach gratu dziekaskiego r Krzysztof Jurczyk Katedra Iyierii Zarzdzaia Wydział Zarzdzaia AGH Akademia Góriczo-Huticza im. Staisława Staszica w Krakowie Ul. Gramatyka 10, Kraków kjurczyk@zarz.agh.edu.pl Wojciech Woiak Katedra Iyierii Zarzdzaia Wydział Zarzdzaia AGH Akademia Góriczo-Huticza im. Staisława Staszica w Krakowie Ul. Gramatyka 10, Kraków wojciech.woziak.93@zarz.agh.edu.pl 87
Metodyka szacowania niepewnoci rozszerzonej. Opracował: mgr Mikołaj Kirpluk
Metodyka szacowaia ieewoci rozszerzoej Oracował: mgr Mikołaj Kirluk Jest to szacowaie ieewoci o asymetryczych graicach rzedziału ufoci wzgldem wartoci rediej, co wyika z faktu okrelaia wartoci rediej jako
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych
Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. L. Baachowski, K. Diks, W. Rytter Algorytmy i struktury daych.
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoBOOTSTRAPOWA WERYFIKACJA HIPOTEZ O WARTO CI OCZEKIWANEJ POPULACJI O ROZK ADZIE ASYMETRYCZNYM
A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 27, 22 OOTSTRAPOWA WERYFIKACJA HIPOTEZ O WARTOCI OCZEKIWANEJ POPULACJI O ROZKADZIE ASYMETRYCZNYM Streszczeie. W pracy przedstawioa
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych.
Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. A. V. Aho, J.E. Hopcroft, J. D. Ullma - Projektowaie i aaliza
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowo2.1. Studium przypadku 1
Uogóliaie wyików Filip Chybalski.. Studium przypadku Opis problemu Przedsiębiorstwo ŚRUBEX zajmuje się produkcją wyrobów metalowych i w jego szerokim asortymecie domiują różego rodzaju śrubki i wkręty.
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoPojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.
Pojcie estymacji Metody probabilistycze i statystyka Wykład 9: Estymacja puktowa. Własoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Szacowaie wartoci parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoJak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?
Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań
Bardziej szczegółowoNieklasyczne modele kolorowania grafów
65 Nieklasycze modele kolorowaia grafów 66 Kolorowaie sprawiedliwe Def. Jeli wierzchołki grafu G moa podzieli a k takich zbiorów iezaleych C,...,C k, e C i C j dla wszystkich i,j,...,k, to mówimy, e G
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA
etrala Komisja Egzamiacyja EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceiaia odpowiedzi ZERWIE 01 Zadaie 1. (0 1) Obszar stadardów i iterpretowaie iformacji Opis wymaga Usuwaie iewymieroci
Bardziej szczegółowoRAP pa¹dziernika S n = S 0 + i=1. p r q l = p r q l r. N n(a,b)
RAP 4 5 pa¹dzierika 008 Wykªad : PSL metoda zliczaia ±cie»ek Wykªadowca: Adrzej Ruci«ski Pisarz:Bartosz Naskr cki i Marek Kaluba Wst p B dziemy dalej studiowa zachowaia osobika, którego gr zajmowali±my
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowo1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów
1 Testy statystycze Podczas sprawdzaia hipotez statystyczych moga¾ wystapić ¾ dwa rodzaje b ¾edów. Prawdopodobieństwo b ¾edu polegajacego ¾ a odrzuceiu hipotezy zerowej (H 0 ), gdy jest oa prawdziwa, czyli
Bardziej szczegółowoElastyczno silników FIAT
ARCHIWU OTORYZACJI 4, pp. 319-35 (009) Elastyczo silików FIAT JANUSZ YSŁOWSKI, WAWRZYNIEC GOŁBIEWSKI Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy W artykule przedstawioo elastyczo silików FIAT. Pierwszym aspektem
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM METROLOGII
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Cetrum Iżyierii Ruchu Morskiego LABORATORIUM METROLOGII Ćwiczeie 5 Aaliza statystycza wyików pomiarów pozycji GNSS Szczeci, 010 Zespół wykoawczy: Dr iż. Paweł Zalewski Mgr
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce a aklejk z kodem szkoy dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-RAP-06 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 0 miut Istrukcja dla zdajcego Sprawd, czy arkusz egzamiacyjy zawiera 4 stro (zadaia ) Ewetualy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoPrzejście światła przez pryzmat i z
I. Z pracowi fizyczej. Przejście światła przez pryzmat - cz. II 1. Przejście światła przez pryzmat. Kąt odchyleia. W paragrafie 8.10 trzeciego tomu e-podręczika opisao bieg światła moochromatyczego w pryzmacie.
Bardziej szczegółowoStruktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
Bardziej szczegółowoNumeryczny opis zjawiska zaniku
FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej
Bardziej szczegółowoWytwarzanie energii odnawialnej
Adrzej Nocuñ Waldemar Ostrowski Adrzej Rabszty Miros³aw bik Eugeiusz Miklas B³a ej yp Wytwarzaie eergii odawialej poprzez współspalaie biomasy z paliwami podstawowymi w PKE SA W celu osi¹giêcia zawartego
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoWybór systemu klasy ERP metod AHP
BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH 5 3-22 (200) Wybór systemu klasy ERP metod AHP A. CHOJNACI, O. SZWEDO e-mail: adrzej.chojacki@wat.edu.pl Wydzia Cyberetyki WAT ul. S. aliskiego 2, 00-908 Warszawa
Bardziej szczegółowoPlanowanie organizacji robót budowlanych na podstawie analizy nakładów pracy zasobów czynnych
Budowictwo i Architektura 12(1) (2013) 39-46 Plaowaie orgaizacji robót budowlaych a podstawie aalizy akładów pracy zasobów czyych Roma Marcikowski 1 1 Istytut Budowictwa, Wydział Budowictwa Mechaiki i
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU
Dr iż. Staisław NOGA oga@prz.edu.pl Politechika Rzeszowska ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Streszczeie: W publikacji
Bardziej szczegółowoKlasyfikacja inwestycji materialnych ze względu na ich cel:
Metodologia obliczeia powyższych wartości Klasyfikacja iwestycji materialych ze względu a ich cel: mające a celu odtworzeie środków trwałych lub ich wymiaę w celu obiżeia kosztów produkcji, rozwojowe:
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoModel ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.
Model ciągły wycey opcji Blacka Scholesa - Mertoa Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej. Model Blacka Scholesa- Mertoa Przełomowe prace z zakresu wycey opcji: Fischer Black, Myro Scholes The
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoINWESTYCJE MATERIALNE
OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoTEST SYMETRYCZNO CI LI
A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 7, 0 Aleksadra Baszczyska TEST SYMETRYCZNOCI LI Streszczeie. Test symetryczoci rozkadu zmieej losowej zapropooway przez Li w 997 roku
Bardziej szczegółowoOcena zdolności procesów o dużej asymetrii względem granic tolerancji
ARCHIVES of FOUNDRY ENGINEERING Published quarterly as the orga of the Foudry Commissio of the Polish Academy of Scieces ISSN (897-330) Volume 0 Special Issue 3/00 63 68 3/3 Ocea zdolości procesów o dużej
Bardziej szczegółowoRównoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~.
16 Rówoliczo zbiorów Defiicja 3.1 Powiemy, e iepuste zbiory A i B s rówolicze jeeli istieje f : A B. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. Twierdzeie 3.1 (podstawowa właso rówoliczoci zbiorów)
Bardziej szczegółowoWykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja
Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.
Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca
Bardziej szczegółowoSYMULACJA MIKROSKOPOWA RUCHU W MODELU OBSZAROWYM SIECI DROGOWEJ
PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 86 Trasport 202 Staisaw Krawiec, Ireeusz Celiski Wydzia Trasportu, Politechika lska SYMULACJA MIKROSKOPOWA RUCHU W MELU OBSZAROWYM SIECI DROGOWEJ Rkopis dostarczoo,
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowoObligacje indeksowane do inflacji
Szkoła Główa Hadlowa w Warszawie Studium Dyplomowe Kieruek: Fiase i Bakowo Piotr urawski Nr Albumu: 2400 Obligacje ideksowae do iflacji Praca magisterska apisaa w Katedrze Skarbowoci pod kierukiem aukowym
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE METODY LOSOWANIA LHS W BADANIACH SYMULACYJNYCH MODELI SIECIOWYCH. Sławomir BIRUK, Piotr JAŚKOWSKI
ZASTOSOWANIE METODY LOSOWANIA LHS W BADANIACH SYMULACYJNYCH MODELI SIECIOWYCH Sławomir BIRUK, Piotr JAŚKOWSKI Wydział Budowictwa i Architektury, Politechika Lubelska, ul. Nadbystrzycka 0, 0-68 Lubli Streszczeie:
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowoAnaliza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych
zaiteresowaia wykorzystaiem tej metody w odiesieiu do iych droboziaristych materiałów odpadowych ze wzbogacaia węgla kamieego ależy poszukiwać owych, skutecziej działających odczyików. Zdecydowaie miej
Bardziej szczegółowoPrognozowanie wielkości sprzedaży z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych na przykładzie przedsiębiorstwa branży kwiatowej
Krzysztof Jurczyk 1 AGH Akademia Góriczo-Huticza Agata Kutyba 2 AGH Akademia Góriczo-Huticza Progozowaie wielkości sprzedaży z wykorzystaiem sztuczych sieci euroowych a przykładzie przedsiębiorstwa braży
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.
Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,
Bardziej szczegółowoZSTA LMO Zadania na ćwiczenia
ZSTA LMO Zadaia a ćwiczeia Efektywość estymatorów ieobciążoych Zadaie 1. Zakładamy, że badaa cecha X populacji ma rozkład Poissoa πλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Poadto, iech X = X 1, X,..., X będzie
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ
PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach
Bardziej szczegółowo(X i X) 2. n 1. X m S
Wykład 8. Przedziały ufości i testowaie hipotez A gdy ie zamy wariacji σ 2? Załóżmy, że X ma rozkład ormaly, ale ie zamy wartości ai m ai σ 2. Jak wtedy szacować wartość średią m? Przypomijmy, że Wtedy
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Liczba punktów Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: x.
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 05 poziom podstawowy ZESTAW A ZADANIA ZAMKNIĘTE 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A B D D A D B D A B C D C B A C A C B C A B D C ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI zadaia 5 6 7 puktów
Bardziej szczegółowoMetoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.
Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowoOpracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej
Opracowaie daych pomiarowych dla studetów realizujących program Pracowi Fizyczej Pomiar Działaie mające a celu wyzaczeie wielkości mierzoej.. Do pomiarów stosuje się przyrządy pomiarowe proste lub złożoe.
Bardziej szczegółowoPrzedziaªy ufno±ci a testowanie hipotez statystycznych Konspekt do zaj : Statystyczne metody analizy danych
Przedziaªy ufo±ci a testowaie hipotez statystyczych Kospekt do zaj : Statystycze metody aalizy daych Agieszka Nowak-Brzezi«ska 26 listopada 2009 1 Wprowadzeie Celem zaj ma by omówieie podstawowych zagadie«i
Bardziej szczegółowoTw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic
Bardziej szczegółowoOszacowanie warto ci charakterystycznej wytrzyma o ci betonu na ciskanie wed ug aktualnych zalece normowych
Budowictwo i Architektura 1(3) (013) 193-00 Oszacowaie wartoci charakterystyczej wytrzymaoci betou a ciskaie wedug aktualych zalece ormowych Izabela Skrzypczak 1 1 Katedra Geodezji i Geotechiki, Wydzia
Bardziej szczegółowo1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Bardziej szczegółowoZeszyty naukowe nr 9
Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę
Bardziej szczegółowoMETODA ANALIZY JAKOCI PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH PRZY ZASTOSOWANIU KOMPUTEROWEGO WSPOMAGANIA
19/21 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 2006, Roczik 6, Nr 21(1/2) ARCHIVES OF FOUNDARY Year 2006, Volume 6, Nº 21 (1/2) PAN Katowice PL ISSN 1642-5308 METODA ANALIZY JAKOCI PROCESÓW TECHNOLOGICZNYCH PRZY ZASTOSOWANIU
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowo(a) Jednowarstwowa sieć Hopfielda, z n neuronami (źródło [2]) (b) Bipolarna funkcja przejścia
Sieci rekurecyje Przedmiot: Sieci euroowe i ich zastosowaie Sieci rekurecyje posiadają sprzężeie zwrote, co ma istoty wpływ a ich możliwości uczeia. Mają symulować asocjacyjy charakter ludzkiej pamięci.
Bardziej szczegółowoMETODY APROKSYMACJI MATEUSZ WAGA. Gimnazjum im. Jana Matejki w Zabierzowie
METODY APROKSYMACJI MATEUSZ WAGA Gimazjum im. Jaa Matejki w Zabierzowie SPIS TREŚCI 1 WSTĘP... 2 2 MODEL MATEMATYCZNY... 3 3 UOGÓLNIENIE MODELU MATEMATYCZNEG... 6 4 MODEL INFORMATYCZNY... 7 5 PRZYKŁADY
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO
Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowo