EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA
|
|
- Halina Rudnicka
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 etrala Komisja Egzamiacyja EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceiaia odpowiedzi ZERWIE 01
2 Zadaie 1. (0 1) Obszar stadardów i iterpretowaie iformacji Opis wymaga Usuwaie iewymieroci z miaowika (I.1.a) Poprawa odpowied (1 p.) D Zadaie. (0 1) i iterpretowaie iformacji pojcia wartoci bezwzgldej do sprawdzeia czy dae liczby s rozwizaiami rówaia typu x a b (I.1.f) A Zadaie 3. (0 1) i iterpretowaie iformacji Odczytaie z postaci iloczyowej rówaia wielomiaowego jego rozwiza (I.3.d) A Zadaie 4. (0 1) Modelowaie matematycze Wykoaie oblicze procetowych (III.1.d) Zadaie 5. (0 1) Wskazaie wykresu fukcji kwadratowej daej wzorem (II.4.a) A Zadaie 6. (0 1) Wyzaczeie wspórzdych wierzchoka paraboli bdcej wykresem fukcji kwadratowej (II.4.b) D Zadaie 7. (0 1) Modelowaie matematycze Zalezieie zwizków miarowych w figurach paskich. Zastosowaie rachuku któw w trójkcie (III.7.c) Zadaie 8. (0 1) Zalezieie zwizków miarowych w figurach paskich. Zastosowaie fukcji trygoometryczych (II.7.c)
3 3 Zadaie 9. (0 1) Zalezieie zwizków miarowych w figurach paskich. Zastosowaie twierdzeia Pitagorasa (II.7.c) Zadaie 10. (0 1) zwizków midzy ktem wpisaym i rodkowym (II.7.a) D Zadaie 11. (0 1) i iterpretowaie iformacji Wskazaie trójkta przystajcy do daego (I.7.c) B Zadaie 1. (0 1) Wskazaie rówaia okrgu o podaym rodku i promieiu (II.8.g) A Zadaie 13. (0 1) Obliczeie róicy wyrae wymierych (II..f) A Zadaie 14. (0 1) i iterpretowaie iformacji Obliczeie wyrazu cigu liczbowego okreloego wzorem ogólym (I.5.a) A Zadaie 15. (0 1) Obliczeie wyrazu cigu geometryczego z wykorzystaiem wasoci cigu (II.5.c) B Zadaie 16. (0 1) i iterpretowaie iformacji Wyzaczeie miary kta ostrego (I.6.b) Zadaie 17. (0 1) Uycie i tworzeie strategii Okreleie wzoru fukcji o podaej dziedziie (IV.4.a) D
4 4 Zadaie 18. (0 1) Ziterpretowaie zaków wspóczyików a i b we wzorze fukcji liiowej (II.4.g) Zadaie 19. (0 1) wspórzdych rodka odcika (II.8.f) A Zadaie 0. (0 1) Wyzaczeie mediay zbioru daych (II.10.a) Zadaie 1. (0 1) wzoru skrócoego moeia (II..a) Zadaie. (0 1) Modelowaie matematycze Obliczeie objtoci stoka (III.9.b) Zadaie 3. (0 1) Uycie i tworzeie strategii Obliczeie prawdopodobiestwa zdarzeia z zastosowaiem klasyczej defiicji prawdopodobiestwa (IV.10.b) D Zadaie 4. (0 1) Modelowaie matematycze Wyzaczeie zwizków miarowych w walcu (III.9.b) B
5 5 Zadaie 5. (0 ) Rozwizaie ierówoci kwadratowej (II.3.a) Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy: prawidowo obliczy pierwiastki trójmiau kwadratowego x1, x 5 i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy, albo rozoy trójmia kwadratowy x 3x 10 a czyiki liiowe i zapisze ierówo x x 5 0 i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy, albo albo popei bd rachukowy przy obliczaiu pierwiastków trójmiau kwadratowego i kosekwetie do popeioego bdu rozwie ierówo, p., x1, x 5, std x 5,, doprowadzi ierówo do postaci 3 7 x (a przykad z postaci x 0 otrzymuje x, a astpie 4 4 i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy. 3 7 x ) Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiza ierówoci w postaci: x 5,5 x,5 albo albo lub lub sporzdzi ilustracj geometrycz (o liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiza ierówoci w postaci: x, x 5 poda zbiór rozwiza ierówoci w postaci graficzej z poprawie zazaczoymi kocami przedziaów: - 5 x Kryteria oceiaia uwzgldiajce specyficze trudoci w uczeiu si matematyki 1. Jeli zdajcy poprawie obliczy pierwiastki trójmiau x, x 5 i zapisze p.: x,5, popeiajc tym samym bd przy przepisywaiu jedego z pierwiastków, to za takie rozwizaie otrzymuje pukty.
6 6 Zadaia 6. (0 ) Modelowaie matematycze Zastosowaie defiicj rediej arytmetyczej do wyzaczeia liczby elemetów zbioru daych (III.10.a) I sposób rozwizaia Niech x ozacza liczb studetów w daej grupie. Wtedy cza liczba lat studetów w daej grupie wyosi 3x, za cza liczba lat studetów i opiekua to 3x 39. Zatem redia 3x 39 wieku studetów wraz z opiekuem jest rówa:. x 1 Otrzymujemy rówaie 3 x 39 4 std 3x 39 4 x 1, a wic x 15. x 1 Odpowied: W tej grupie jest 15 studetów. Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy zapisze ow redi wieku studetów wraz z opiekuem: 3x 39 x 1 i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy liczb studetów w grupie: 15 osób. II sposób rozwizaia Zapisujemy zaleoci pomidzy liczb studetów daej grupy, a cz liczb lat wszystkich studetów. Niech x ozacza liczb studetów w grupie, za S cz liczb lat studetów. S 3 x Zapisujemy ukad rówa: S 39 4 x 1 S 3x Rozwizujemy ukad rówa 3x 39 4 x 1 3x 39 4 x 1 x 15 Odpowied: W tej grupie jest 15 studetów. Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt S 3 x gdy zapisze ukad rówa opisujcy redie wieku, p. S 39 4 x 1 gdzie x jest liczb studetów w daej grupie, za S jest cz liczb lat studetów, i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy liczb studetów w daej grupie: 15 studetów.
7 7 III sposób rozwizaia Róic wieku opiekua i rediej wieku studetów rozdzielamy midzy x studetów i jedego opiekua. Obliczamy róic wieku opiekua i rediej wieku studetów Poiewa redia wieku wzrosa o 1 rok, wic te 16 lat rozdzielamy pomidzy studetów i opiekua, kademu dodajc 1 rok. Zatem 16 x 1 1, std x 15. Zapisujemy odpowied: W tej grupie jest 15 studetów. Schemat oceiaia III sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy obliczy róic lat opiekua i rediej wieku studetów i sowie zapisze sposób rozumowaia, p.: Poiewa redia lat wzrosa do 4 lat, wic kademu studetowi z tych 16 lat dodajemy 1 rok oraz 1 rok dla opiekua i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy liczb studetów w daej grupie: 15 studetów. Zadaie 7. (0 ) Uycie i tworzeie strategii Rozwizaie Obliczeie pole trapezu prostoktego. Zastosowaie fukcji trygoometryczych (IV.7.c) 6 Obliczamy wysoko trapezu h, korzystajc z faktu, e tages kta ostrego jest rówy 3: h 3, std h 1. 4 Zatem pole trapezu jest rówe Schemat oceiaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy: obliczy wysoko trapezu h 1 i a tym poprzestaie lub bdie obliczy pole, albo obliczy wysoko trapezu z bdem rachukowym i kosekwetie do popeioego bdu obliczy pole trapezu. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawie obliczy pole trapezu 96 P. h 6 4
8 8 Zadaia 8. (0 ) Rozumowaie i argumetacja Uzasadieie tosamoci trygoometryczej z zastosowaiem prostych zwizków midzy fukcjami trygoometryczymi kata ostrego (V.6.c) I sposób rozwizaia 4 4 si si cos cos si si 1 cos cos 1 si cos cos si L P Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy przeksztaci lew lub praw stro tej rówoci do postaci: si si 1 cos cos 1 i a tym poprzestaie lub dalej popeia bdy. lub Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pee rozumowaie i uzasadi, e tosamo jest prawdziwa. II sposób rozwizaia 4 4 si cos si cos si cos si cos si cos 1si cos si cos L P Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt si cos si cos i a tym gdy uzyska po lewej stroie wyraeie poprzestaie lub dalej popeia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pee rozumowaie i uzasadi, e tosamo jest prawdziwa. III sposób rozwizaia 4 L si cos si si cos si 1 cos cos si si cos cos 1 1 cos cos 1 cos cos 4 si cos 4 P Schemat oceiaia III sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy przeksztacajc lew lub praw stro rówo uzyska wyraeie si si cos cos i a tym poprzestaie lub dalej popeia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pee rozumowaie i uzasadi, e tosamo jest prawdziwa.
9 9 IV sposób rozwizaia 4 si si cos si cos 4 1 cos 1 cos cos 1 cos cos cos cos cos 1 cos cos cos cos 1 cos cos L P lub 4 si cos si cos cos si 4 1 si si 1 si 1 si 4 4 si si 1 si 1 si si 4 4 si si 1 si si 1 L P Schemat oceiaia IV sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy przeksztaci rówo do postaci, w której wystpuje tylko jeda fukcja 4 1 cos 1 cos cos 1 cos cos trygoometrycza, p.: lub si 4 1 si si 1 si 1 si i a tym poprzestaie lub dalej popeia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt jeeli przeprowadzi pee rozumowaie i uzasadi, e tosamo jest prawdziwa. V sposób rozwizaia 4 4 Da rówo zapisujemy w postaci si cos si cos. Przeksztacamy: L si cos si cos 1 cos cos cos cos cos 1 cos 1 cos cos si cos P Schemat oceiaia V sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy uzyska po lewej stroie wyraeie 4 1 cos cos i a tym poprzestaie lub dalej popeia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pee rozumowaie i uzasadi, e tosamo jest prawdziwa.
10 10 Zadaie 9. (0 ) Rozumowaie i argumetacja Przeprowadzeie dowodu algebraiczego (V.1.a) I sposób rozwizaia Wemy trzy koleje liczby cakowite 1,, 1. Wówczas , wic reszta z dzieleia sumy ich kwadratów przez 3 jest rówa. Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zapisze sum kwadratów trzech kolejych liczb cakowitych w postaci II sposób rozwizaia Wemy trzy koleje liczby cakowite, 1,. Wówczas , wic reszta z dzieleia sumy ich kwadratów przez 3 jest rówa. Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy zapisze sum kwadratów trzech kolejych liczb cakowitych, doprowadzi wyraeie do postaci i a tym poprzestaie lub dalej popei bd. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zapisze sum kwadratów trzech kolejych liczb cakowitych w postaci lub Uwaga Mog si zdarzy rozwizaia wykorzystujce kogruecje: wród trzech kolejych liczb jest jeda podziela przez 3 (ozaczymy j przez a), jeda dajca przy dzieleiu przez 3 reszt 1 (ozaczymy j przez b) i jeda dajca przy dzieleiu przez 3 reszt (ozaczymy j przez c). a 0 mod 3, b 1 mod 3, c mod 3. Mamy zatem Wówczas a b c mod 3.
11 11 Zadaie 30. (0 ) Modelowaie matematycze Zastosowaie wzoru a -ty wyraz i sum cigu arytmetyczego (III.5.c) I sposób rozwizaia Obliczamy wartoci sum czciowych: S1 a S a1 a Zatem a oraz r a a Korzystamy ze wzoru a -ty wyraz cigu arytmetyczego i otrzymujemy: a a1 1 r 1 ( 1) 3 Odpowied: -ty wyraz cigu a wyraa si wzorem a 3. Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy obliczy wartoci sum czciowych: S1 a S a1 a i a tym poprzestaie lub dalej popeia bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy bezbdie wyzaczy -ty wyraz cigu a : a 3. Uwagi a Zdajcy moe od razu zapisa ukad a1 a 0 a1 1. Jeeli zdajcy zapisze ukad, to otrzymuje 0 puktów. a 0 II sposób rozwizaia Zauwaamy, e dla 1 mamy a S S 1. S a S S oraz a1 S1 1. Obliczamy Zauwaamy poadto, e wzór a 3 dla 1 daje otrzyma warto a1 1. Zatem dla kadego 1 otrzymujemy a 3. Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy zapisze, e a S S 1 S i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy bezbdie wyzaczy -ty wyraz cigu: a 3., wyzaczy
12 1 Uwaga Przyzajemy pukty awet wtedy, gdy zdajcy ie sprawdzi, czy a1 1. III sposób rozwizaia a1 a Zauwaamy, e i wyzaczamy a 4 a1. Obliczamy a1 S1 1. Std otrzymujemy a 4 1, czyli a 3. Schemat oceiaia III sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt a1 a gdy ze wzoru wyzaczy a 4 a1 i a tym poprzestaie lub dalej popei bdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy wyzaczy -ty wyraz cigu: a 3. Uwagi 1. Zdajcy moe od razu zapisa, e a 4 a1. a1 a. Jeli zdajcy zapisze, e, wyzaczy z bdem rachukowym a p.: a a i z tym bdem doprowadzi rozwizaie do koca, to otrzymuje 1 pukt. 1 Zadaie 31. (0 ) Uycie i tworzeie strategii zwizków miarowych w figurach paskich (IV.7.c) I sposób rozwizaia Z waruków zadaia otrzymujemy ukad rówa: a h 50 h si 45 a Zatem h a si 45 a oraz a a 50.
13 13 Wobec tego a 100, a 10, h Odpowied: Wysoko rombu jest rówa 5. Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy zapisze dwa zwizki midzy liczbami a i h i a tym poprzestaie lub dalej popei bd. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawie obliczy wysoko rombu h 5. II sposób rozwizaia Ze wzoru a pole rówolegoboku, gdy dae s jego dwa ssiedie boki oraz kt midzy imi zawarty, mamy a si Zatem a 50, a 100, a 10. Z iego wzoru a pole rówolegoboku mamy a h 50. Wobec tego 10 h 50 oraz h 5. Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Zdajcy otrzymuje... 1 pkt gdy poprawie obliczy dugo a boku rombu i a tym poprzestaie lub dalej popei bd. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy poprawie obliczy wysoko rombu h 5. Zadaie 3. (0 4) Uycie i tworzeie strategii Wyzaczeie puktu przecicia si prostych prostopadych (IV.8.b, 8.c, 8.d) I sposób rozwizaia Wyzaczamy rówaie prostej AB: y x 7. Wyzaczamy rówaie prostej D prostopadej do prostej AB i przechodzcej przez pukt : 1 y x 17. y x 7 Zapisujemy ukad rówa: 1 y x 17 Rozwizujemy ukad rówa i zapisujemy wspórzde puktu D: D 4,15. Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Rozwizaie, w którym postp jest iewielki, ale koieczy a drodze do peego rozwizaia zadaia... 1 pkt Wyzaczeie rówaia prostej AB: y x 7 albo obliczeie wspóczyika kierukowego prostej AB: a.
14 14 Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Wyzaczeie rówaia prostej D prostopadej do prostej AB i przechodzcej przez pukt 1 y x 17. Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia... 3 pkt y x 7 Zapisaie ukadu rówa: 1 y x 17 Rozwizaie pee... 4 pkt D 4,15. Rozwizaie ukadu rówa i zapisaie wspórzdych puktu D: Uwagi 1. Jeli zdajcy le wyzaczy rówaie prostej AB i kosekwetie do popeioego bdu rozwie zadaie do koca, to otrzymuje 3 pukty (wspóczyik kierukowy prostej AB powiie by jedak liczb dodati).. Jeli zdajcy odczyta wspórzde puktu D a podstawie dokadie sporzdzoego rysuku to otrzymuje 4 pukty. 3. Jeli zdajcy poda wspórzde puktu D bez dokadego rysuku lub uzasadieia to otrzymuje 0 puktów. II sposób rozwizaia Obliczamy pole trójkta AB: PAB 15. Obliczamy dugo podstawy AB trójkta AB: 1 AB 6 5. Ze zwizku PAB D AB obliczamy wysoko D trójkta AB: D 5. Wyzaczamy rówaie prostej AB: y x 7. Zapisujemy wspórzde puktu D w zaleoci od zmieej x: D x, x 7 rówaia x x. Wyraamy zwizek D 5 za pomoc , gdzie x ozacza pierwsz wspórzd puktu D. Rozwizujemy rówaie i otrzymujemy x 4. Zapisujemy zatem wspórzde puktu D: D 4,15. Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Rozwizaie, w którym postp jest iewielki, ale koieczy a drodze do peego rozwizaia zadaia... 1 pkt Obliczeie pola trójkta AB: PAB 15. Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Obliczeie wysokoci D trójkta AB: D 5. Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia... 3 pkt D x, x 7 Zapisaie wspórzdych puktu D w zaleoci od jedej zmieej: i zapisaie rówaia x x Rozwizaie pee... 4 pkt D 4,15. Rozwizaie rówaia i zapisaie wspórzdych puktu D: Uwaga Jeeli zdajcy popei bd rachukowy przy obliczaiu pola trójkta AB i kosekwetie do popeioego bdu rozwie zadaie do koca, to otrzymuje 3 pukty.
15 15 Zadaie 33. (0 4) Uycie i tworzeie strategii Zliczeie obiektów w prostej sytuacji kombiatoryczej (IV.10.b) I sposób rozwizaia Zauwaamy, e dla poprawego rozwizaia zadaia istote s trzy grupy cyfr: cyfra 7, cyfry parzyste bez zera oraz cyfry ieparzyste róe od 7. Miejsce dla cyfry 7 moemy wybra a 5 sposobów. Miejsce dla cyfry parzystej moemy wybra a 4 sposoby. yfr parzyst do wpisaia a wybraym miejscu moemy wybra sporód 4 cyfr parzystych, czyli a 4 sposoby. Na pozostaych trzech miejscach moemy wpisa cyfry ieparzyste róe od 7. 3 Moemy to zrobi a 4 64 sposoby. Zatem wszystkich liczb piciocyfrowych speiajcych waruki zadaia jest: Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Obliczeie, a ile sposobów moa ustawi cyfry z dwóch grup cyfr (sporód trzech rozwaaych). Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia... 3 pkt Obliczeie, a ile sposobów moa ustawi cyfry z trzech grup cyfr: Miejsce dla cyfry 7 a 5 sposobów. Miejsce dla cyfry parzystej a 4 sposoby. yfr parzyst do wpisaia a wybraym miejscu a 4 sposoby. 3 yfry ieparzyste róe od 7 a pozostaych trzech miejscach a 4 64 sposoby. Rozwizaie pee... 4 pkt 5 Obliczeie, ile liczb piciocyfrowych speia waruki zadaia: II sposób rozwizaia Rozpatrujemy astpujce trzy wariaty ustawie cyfr: 1) a pierwszym miejscu cyfra 7, a jedym z czterech miejsc cyfra parzysta, a a kadym z pozostaych trzech miejsc cyfra ieparzysta róa od 7. Kad z czterech cyfr parzystych moemy umieci a jedym z czterech miejsc a 4 4 sposobów, za kad z czterech pozostaych cyfr ieparzystych (bez cyfry 7 ) moemy 3 rozmieci a trzech miejscach a sposobów. Zatem liczba moliwych 3 5 ustawie cyfr w tym wariacie rówa si: ) a pierwszym miejscu cyfra parzysta róa od 0, a jedym z czterech pozostaych miejsc cyfra 7, za a kadym z pozostaych trzech miejsc cyfra ieparzysta róa od 7. Na pierwszym miejscu moemy ustawi kad z czterech cyfr parzystych róych od zera, za a kadym z pozostaych czterech miejsc moemy umieci cyfr 7, std otrzymujemy 4 4 moliwoci ustawie cyfry parzystej oraz cyfry 7. Natomiast kad z czterech pozostaych cyfr ieparzystych róych od 7 moemy rozmieci a 3 pozostaych trzech miejscach a sposobów. Zatem liczba moliwych ustawie cyfr w tym wariacie jest rówa:
16 16 3) a pierwszym miejscu cyfra ieparzysta róa od 7, a jedym z pozostaych czterech miejsc cyfra parzysta, a jedym z trzech pozostaych miejsc cyfra 7, a a pozostaych dwóch miejscach cyfra ieparzysta róa od 7. Kad z czterech cyfr ieparzystych (ró od 7 ) moemy umieci a pierwszym miejscu (4 sposoby). Na kadym z czterech pozostaych miejsc moemy umieci kad z czterech cyfr parzystych a 4 4 sposobów. yfr 7 moemy umieci a kadym z trzech pozostaych miejsc, za kad z czterech pozostaych cyfr ieparzystych róych od 7 umiecimy a dwóch miejscach a sposobów. Zatem, w tym wariacie, liczba moliwych 5 ustawie jest rówa: Liczba wszystkich moliwych ustawie jest sum liczb ustawie w poszczególych wariatach i rówa si: Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Przyzajemy po 1 pukcie za obliczeie liczby moliwych ustawie cyfr w kadym z trzech wariatów i 1 pukt za obliczeie sumy tych moliwoci. Zadaie 34. (0 4) Uycie i tworzeie strategii Obliczeie objtoci graiastosupa z zastosowaiem zwizków miarowych w wielociaach (IV.9.b) F E D A I sposób rozwizaia Niech G bdzie rodkiem krawdzi AB. Rysujemy wysoko FG trójkta ABF. AB FG 8 FG Pole trójkta ABF jest rówe: PABF 4 FG 5. Std FG 13. W trójkcie rówoboczym AB mamy G 4 3. Korzystamy z twierdzeia Pitagorasa w trójkcie FG do obliczeia F : G F G FG, std F 11. AB Obliczamy objto graiastosupa: V F B
17 17 Schemat oceiaia I sposobu rozwizaia Rozwizaie, w którym postp jest iewielki, ale koieczy a drodze do peego rozwizaia zadaia... 1 pkt Narysowaie wysokoci G trójkta AB i obliczeie dugoci odcika G wysokoci trójkta rówoboczego AB, podstawy graiastosupa prawidowego: G 4 3 albo obliczeie wysokoci trójkta ABF : FG 13. Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Narysowaie wysokoci G trójkta AB i obliczeie dugoci odcika G wysokoci trójkta rówoboczego AB, podstawy graiastosupa prawidowego: G 4 3 oraz obliczeie wysokoci trójkta ABF : FG 13. Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia... 3 pkt Obliczeie wysokoci F graiastosupa prawidowego trójktego ABDEF: F 11. Rozwizaie pee... 4 pkt Obliczeie objtoci graiastosupa: V F D E A II sposób rozwizaia Niech G bdzie rodkiem krawdzi AB. Rysujemy wysoko FG trójkta ABF. AB FG Pole trójkta ABF: PABF 5, std FG 13. Korzystamy z twierdzeia Pitagorasa dla trójkta AFG i obliczamy kwadrat dugoci odcika AF: AF Nastpie korzystamy z twierdzeia Pitagorasa w trójkcie AF, aby obliczy wysoko graiastosupa F: F A AF, czyli F Zatem F 11. AB Obliczamy objto graiastosupa: V F G B
18 18 Schemat oceiaia II sposobu rozwizaia Rozwizaie, w którym postp jest iewielki, ale koieczy a drodze do peego rozwizaia zadaia... 1 pkt Obliczeie wysokoci FG trójkta ABF: FG 13. Rozwizaie, w którym jest istoty postp... pkt Obliczeie dugoci przektej ciay boczej lub kwadrat jej dugoci: AF 185. Pokoaie zasadiczych trudoci zadaia... 3 pkt Obliczeie wysokoci F graiastosupa: F 11. Rozwizaie pee... 4 pkt Obliczeie objtoci graiastosupa: V
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartoci funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdajcy
Bardziej szczegółowoMateria wiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materia wiczeiowy z matematyki Marzec Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych POZIOM PODSTWOWY Klucz puktowaia do zada zamkitych oraz schemat oceiaia do zada otwartych
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce a aklejk z kodem szkoy dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-RAP-06 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 0 miut Istrukcja dla zdajcego Sprawd, czy arkusz egzamiacyjy zawiera 4 stro (zadaia ) Ewetualy
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych dla iewidomych POZIOM PODSTAWOWY Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 4 6 7
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. 1. x y x y
Nr zadania Nr czynnoci Przykadowy zestaw zada nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Etapy rozwizania zadania. Podanie dziedziny funkcji f: 6, 8.. Podanie wszystkich
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA
pobrano z wwwsqlmediapl entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 pobrano z wwwsqlmediapl Zadanie (0 ) Obszar standardów Opis wymaga pojcia
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartoci funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. 0
Bardziej szczegółowoArkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczcia egzaminu.
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczcia egzaminu. Ukad graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJCY PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomoci i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojcia wartoci argumentu i wartoci funkcji.
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADA ZAMKNITYCH POPRAWNA ODPOWIED 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D
KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADA ZAMKNITYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIED D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) MODEL OCENIANIA ZADAN OTWARTYCH Uzasadnij, e punkty
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
Numer zadania... Etapy rozwizania zadania Przeksztacenie wzoru funkcji do danej postaci f ( x) lub f ( x) x x. I sposób rozwizania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE ARKUSZA
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie. (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji
Bardziej szczegółowoZadania - powtórzenie do egzaminu dojrzałoci
Zadaia - powtórzeie do egzamiu dojrzałoci. Dla jakich wartoci parametru m rozwizaie układu rówa y = m y = m jest par liczb o przeciwych zakach. Sformułuj waruek zbieoci ieskoczoego cigu geometryczego i
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szkoy dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdajcego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Liczba punktów Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: x.
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 05 poziom podstawowy ZESTAW A ZADANIA ZAMKNIĘTE 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A B D D A D B D A B C D C B A C A C B C A B D C ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI zadaia 5 6 7 puktów
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Zadanie (0 4) Obszar standardów Uycie i tworzenie strategii Opis wymaga Wykorzystanie cech podzielnoci
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja dla
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 06/07 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Zasady oceiaia rozwiązań zadań Copyright by Nowa Era Sp z oo Próby egzami maturaly z Nową Erą Uwaga: Akceptowae są wszystkie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz puktowaia
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Bardziej szczegółowoRysunek przedstawia wykres funkcji y f x. Wska rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji y f x 1. A. B. Zadanie 3.
VII ZIÓR PRZYKAOWYH ZAA MATURALNYH ZAANIA ZAMKNITE Zadanie ( pkt) Liczba 0 90 9 jest równa 0 00 0 9 7 700 Zadanie ( pkt) Liczba 8 9 jest równa 9 Zadanie ( pkt) Liczba log jest równa log log 0 log 6 log
Bardziej szczegółowoPoziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:
PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia
Bardziej szczegółowoKlasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013
/7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że
Bardziej szczegółowoMAJ Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: pobrano z Miejsce na naklejk z kodem KOD. liczby. punktów. pióra z czarnym tuszem
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczcia egzaminu. Ukad graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJCY KOD PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY.
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYK ADOWYCH ZADA MATURALNYCH
VIII. ZIÓR PRZYKDOWYCH ZD MTURLNYCH ZDNI ZMKNITE Zadanie. 0 90 ( pkt) Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.
Bardziej szczegółowoArkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.
Ukad graficzny CKE 2013 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczcia egzaminu. WPISUJE ZDAJCY PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIE 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejtnoci (standardy) Opis wymaga Wykonuje obliczenia procentowe;
Bardziej szczegółowoMATERIA&!'WICZENIOWY Z MATEMATYKI
Materia!"wiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz#cia diagnozy. Materia! "wiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materia u nie nale$y powiela" ani udost#pnia" w $adnej innej
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoTw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 008 Czas pracy 0 minut Instrukcja dla
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych
Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. L. Baachowski, K. Diks, W. Rytter Algorytmy i struktury daych.
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Nr zdi Nr czyoci Przykdowy zestw zd r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etpy rozwizi zdi I metod rozwizi ( PITAGORAS
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoMATERIAŁ WICZENIOWY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk POZNA MATERIAŁ WICZENIOWY Z MATEMATYKI STYCZE 010 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdajcego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 16 stron (zadania 1 9). Ewentualny brak
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szkoy dysleksja MMA-P_P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdajcego. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 5 stron (zadania
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szkoy dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-PAP-06 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdajcego. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania
Bardziej szczegółowoRozwizania zada otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zada zamknitych i schemat oceniania zada otwartych
Klucz odpowiedzi do zada zamknitych i schemat oceniania zada otwartych Klucz odpowiedzi do zada zamknitych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Schemat oceniania zada otwartych
Bardziej szczegółowowi c warunek konieczny zbie»no±ci szeregu jest speªniony. 12 = 9 12 = 3 4 k(k+1) k=1 ( k+1 k(k+1) n+1 = 1 1 n+1 = 1 0 = 1 36 = =
32 (+) Jest to szereg o wyrazach dodatich Poadto wyraz ogóly tego szeregu jest zbie»y do 0, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy s (+) 2 s 2 s + 2 (2+) 2 + 2 3 2 + 6 3 6 + 6 4 6 2 3 s 3 s
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony
Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości
Bardziej szczegółowoZbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D],
x FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zbiory Zadaie 1. Opisa zbiory A B, A B, A \ B, B \ A je±li A = {x R : x 3x < 0, }; B = {x R : x 3x + 4 0} Zadaie. Niech A, B, C, D b d podzbiorami przestrzei X. Udowodi,»e A \
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ 9 MATURA 2010 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Istrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 170 miut 1. Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stro. 2. W zadaiach od 1. do 23. sà podae
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY CZĘŚĆ I WYBRANE: Czas pracy: 75 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY
Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoTematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa
Tematy zadań razy przykładowe zadaia maturale Matura podstawowa Porówaj liczby: 54 + 5 oraz 4 W klasie jest 9 ucziów o średiej wieku 6 lat Średia wieku wzrośie o rok, jeżeli doliczy się wiek wychowawcy
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Techikum Nr 2 im. ge. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekoomiczych w Kaliszu Wymagaia edukacyje iezbęde do uzyskaia poszczególych śródroczych i roczych oce klasyfikacyjych z obowiązkowych zajęć
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowo> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)
.65. si() W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zbadajmy wi c szereg: si() zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu. Poiewa» si(), wi c si() = Po prawej
Bardziej szczegółowoPRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI DO ZADA ZAMKNITYCH
%!%*+,-.*+,/ 0103 6'7 PRAWIDŁOWE ODPOWIEDZI DO ZADA ZAMKNITYCH zadanie odpowied punkty 1 A D 3 D 4 E 5 C 6 A 7 A 8 B 9 6 10 zadania 6 11 otwarte 6 1 maksymalna moliwa łczna liczba punktów 6 40 strona 1
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem (Wpisuje zdajcy przed rozpoczciem pracy) KOD ZDAJCEGO MMA-PGP-0 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut ARKUSZ I MAJ ROK 00 Instrukcja dla zdajcego.
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoszereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,
.. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg
Bardziej szczegółowoVII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.
KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski
Bardziej szczegółowoZADANIA EGZAMINACYJNE Z MATEMATYKI dla kandydatów na studia w Politechnice Lubelskiej na kierunku: INYNIERIA RODOWISKA
ZADANIA EGZAMINACYJNE Z MATEMATYKI dla kandydatów na studia w Politechnice Lubelskiej na kierunku: INYNIERIA RODOWISKA Promie kuli zwikszono -krotnie Ile razy zwikszyła si jej objto Znale długo przektnych
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1. (1 pkt) Wartość wyrażenia. b dla a 2 3 i b 2 3 jest równa A B. 5 C. 6 D Zadanie 2.
Zachęcam do samodzielej prac z arkuszem diagostczm. Pozaj swoje moce i słabe stro, a astępie popracuj ad słabmi. Żczę przjemego rozwiązwaia zadań. Zadaie. ( pkt) Wartość wrażeia a ZADANIA ZAMKNIĘTE b dla
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoOBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD
OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie
Bardziej szczegółowoMATERIAŁ WICZENIOWY Z MATEMATYKI
pobrano z www.sqlmedia.pl Materiał wiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczcia diagnozy. Materiał wiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie naley powiela ani udostpnia
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
UZUPEŁNIA ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY CZAS PRACY: 180 minut LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Zadanie (0 ) Opis wymagań pojęcia
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowo! "#$ %!! "#$ &'!%( )"& $)#(&!%)" %!%*+,-.*+,/ ,5#'*+,/'%
Miejsce na naklejk z kodem ucznia! "#$ %!! "#$ &'!%( )"& $)#(&!%)" %!%*+,-.*+,/ 0102 4,5#'*+,/'% 1. Przed Tob zestaw 12 zada konkursowych, karta odpowiedzi dla zada zamknitych oraz kartki do zapisania
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z informatyki Poziom rozszerzony część I
Zadaie 1. Długość apisów biarych (7 pkt) Opisaa poiżej fukcja rekurecyja wyzacza, dla liczby aturalej 0, długość apisu uzyskaego przez sklejeie biarych reprezetacji liczb aturalych od 1 do 1. ukcja krok
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis
Bardziej szczegółowoNieklasyczne modele kolorowania grafów
65 Nieklasycze modele kolorowaia grafów 66 Kolorowaie sprawiedliwe Def. Jeli wierzchołki grafu G moa podzieli a k takich zbiorów iezaleych C,...,C k, e C i C j dla wszystkich i,j,...,k, to mówimy, e G
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY
Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoMATERIAŁ WICZENIOWY Z MATEMATYKI
pobrano z www.sqlmedia.pl Materiał wiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczcia diagnozy. Materiał wiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie naley powiela ani udostpnia
Bardziej szczegółowoVI. SZCZEGÓ OWY OPIS STANDARDÓW WYMAGA EGZAMINACYJNYCH
VI. SZCZEGÓOWY OPIS STANDARDÓW WYMAGA EGZAMINACYJNYCH Zdajcy posiada umiejtnoci w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY interpretuje tekst matematyczny i formuuje uzyskane wyniki Zdajcy potrafi: odczyta informacj
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych.
Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. A. V. Aho, J.E. Hopcroft, J. D. Ullma - Projektowaie i aaliza
Bardziej szczegółowoKONKURS PRZEDMIOTOWY MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 006/007 fdsrterdgdf Kod ucznia Kod szkoły... piecztka WKK Dzie Miesic Rok D A T A U R O D Z E N I A U C Z N I A KONKURS PRZEDMIOTOWY MATEMATYCZNY DLA
Bardziej szczegółowoMateriał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi
Materiał powtarzay w II etapie II. Ciągi 3 1, dla parzystych 1. Wyzacz sześć początkowych wyrazów ciągu a = { +1, dla ieparzystych. Które wyrazy ciągu a = są rówe 1? 3. Pomiędzy liczby 7 i 5 wstaw 5 liczb
Bardziej szczegółowo