Obligacje indeksowane do inflacji

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Obligacje indeksowane do inflacji"

Transkrypt

1 Szkoła Główa Hadlowa w Warszawie Studium Dyplomowe Kieruek: Fiase i Bakowo Piotr urawski Nr Albumu: 2400 Obligacje ideksowae do iflacji Praca magisterska apisaa w Katedrze Skarbowoci pod kierukiem aukowym Prof. dr hab. Adrzeja Sławiskiego Warszawa 2005

2 2

3 Spis treci. WSTP KONSTRUKCJA OBLIGACJI INDEKSOWANYCH DO INFLACJI MODEL KANADYJSKI NA PRZYKŁADZIE OBLIGACJI IZ MODEL BRYTYJSKI OPÓNIENIE INDEKSACJI ANALIZA OBLIGACJI STAŁOKUPONOWYCH RÓWNANIE WYCENY OBLIGACJI BADANIE STÓP ZWROTU Z OBLIGACJI STAŁOKUPONOWEJ DURACJA OBLIGACJI STAŁOKUPONOWYCH STRUKTURA TERMINOWA STÓP PROCENTOWYCH Implikowaa krzywa stóp termiowych Krzywa stóp zerokupoowych Przyszłe krzywe stóp zerokupoowych Teoria oczekiwa MODELOWANIE KRZYWYCH DOCHODOWOCI FUNKCJE BAZOWE Fukcje sklejae wielomiaowe Fukcje sklejae wykładicze B-Splie MODELE UPROSZCZONE PODSTAWOWA ANALIZA OBLIGACJI INDEKSOWANYCH DO INFLACJI ANALIZA W PRZESTRZENI REALNEJ ANALIZA W PRZESTRZENI NOMINALNEJ WARTO PROGOWA INFLACJI ZALETY OBLIGACJI INDEKSOWANYCH DO INFLACJI EMITENCI OBLIGACJI INDEKSOWANYCH DO INFLACJI NABYWCY OBLIGACJI INDEKSOWANYCH DO INFLACJI OBLIGACJE INDEKSOWANE DO INFLACJI Z PUNKTU WIDZENIA WŁ ADZ MONETARNYCH RYNKI OBLIGACJI INDEKSOWANYCH DO INFLACJI W WYBRANYCH KRAJACH BADANIE EMPIRYCZNE ANALIZA DYNAMIKI DŁ UGOTERMINOWEJ ANALIZA DYNAMIKI KRÓTKOTERMINOWEJ Bayesia Averagig of Classical Estimates (BACE) Metodologia Zastosowaie BACE dla iflacji progowej WYNIKI BIBLIOGRAFIA... 7 ZAŁCZNIK A. WYNIKI BADANIA EMPIRYCZNEGO

4 . Wstp Wpływ iflacji a realy zwrot z długotermiowych iwestycji fiasowych jest zaczcy. Ju prosta, podr czikowa aaliza wartoci pieidza w czasie przedstawioa w tabeli wskazuje, e awet iewielka z pozoru róica w poziomie iflacji moe, przy załoeiu długich termiów do zapadaloci, prowadzi do bardzo wyraej róicy w realej wartoci kapitału a koiec okresu. Dla redich poziomów iflacji 2% i 5% w horyzocie 30 lat realy spadek wartoci pieidza a koiec okresu wyosi odpowiedio 45% i 77%. Z pewoci ludziom gromadzcym rodki w fuduszach emerytalych ie jest wszystko jedo jak real warto za 30 lat 2 b dzie miał zgromadzoy przez ich kapitał, poiewa od tego zaley poziom kosumpcji, który b d w staie osig w przyszłoci. Tabela. Wpływ iflacji a real warto pieidza redia wysoko poziomu iflacji w okresie 30 lat Warto abywcza PLN po 30 latach wyraoa w PLN z pocztku okresu 2% 0,5520 PLN 5% 0,233 PLN 0% 0,0573 PLN Opracowaie włase Dost pe a mi dzyarodowych rykach fiasowych stałokupoowe obligacje (ag. fixed icome bods) skarbowe ie daj moliwoci zabezpieczeia si przed iespodziewaym wzrostem iflacji w okresie do wykupu istrumetu. Kostrukcja wi kszoci obligacji przewiduje wypłacaie przez emiteta abywcy obligacji stałej kwoty (kupou) w ustaloych odst pach czasu i wartoci omialej (ag. face value) w momecie zapadaloci obligacji 3. Wzrostowi iflacji ie towarzyszy w takim przypadku wzrost wartoci omialych wypłat z obligacji. Jeeli iflacja w termiie do zapadaloci iespodziewaie wzrasta - spada realy zwrot z iwestycji w obligacje stałokupoowe. Przyspieszeie dyamiki ce jest wtedy rówowae ze zmiejszeiem wartoci realych wypłat z istrumetu w przyszłoci. Mi dzy iymi w celu zabezpieczeia iwestorów przed egatywym wpływem wzrostu ce skostruowao istrumety dłue powizae ze zmiaami wskaika iflacji (ag. W tym przypadku chodzi o redi geometrycz a ie zwykł redi arytmetycz. 2 Okres 30 lat został tutaj przykładowo, rozwaaia maj aalogicz posta dla kadego iego przedziału czasu. Jedak im krótszy jest okres tym wpływ iflacji a real warto pieidz jest miejszy. 3 Podstawowe wiadomoci dotyczce obligacji stałokupoowych moa zale w podr cziku: Joaa Utki, Obligacje i ich portfele. Wycea, wraliwo, strategie, Oficya Wydawicza Szkoła Główa Hadlowa, Czerwiec Detale kostrukcji obligacji stałokupoowych opisae s w prospektach emisyjych dost pych m.i. a stroach iteretowych polskiego Miisterstwa Fiasów. 4

5 idex-liked). W przypadku obligacji ideksowaych do iflacji 4 kupoy liczoe s od zideksowaego wskaikiem iflacji omiału tak, e ich reala warto pozostaje stała w czasie. Pierwsze emisje istrumetów ideksowaych do iflacji były orgaizowae po 945 roku przez Izrael, Argety, Brazyli i Isladi 5, jedak dopiero rok 98, kiedy wyemitowao pierwsze obligacje ideksowae do iflacji w Wielkiej Brytaii, staowi cezur, uwaa za pocztek ryku obligacji ideksowaych do iflacji, który obserwujemy współczeie. Od połowy lat 90 a wiatowych rykach fiasowych widoczy jest dyamiczy wzrost zaiteresowaia obligacjami ideksowaymi do iflacji. Zaczya si je postrzega jako ow, autoomicz klas aktywów (ag. asset class). Rzdy kolejych pastw decyduj si a emisj takich istrumetów. W roku 2004 dołczyła do ich Polska, która po emisji obligacji ozaczoej azw skróco IZ086 stała si pierwszym emitetem obligacji ideksowaych do iflacji wród krajów Europy rodkowej i Wschodiej. Celem pracy jest dokoaie aalizy ryku obligacji ideksowaych do iflacji oraz zaprezetowaie podstawowych arz dzi umoliwiajcych aaliz tych istrumetów z puktu widzeia zarówo uczestików ryku jak i władz moetarych. W chwili obecej a polskim ryku wydawiczym ie ma dost pej adej pozycji, która traktowałaby całociowo o ryku obligacji ideksowaych do iflacji. Jedym z celów tej pracy jest wypełieie tej luki. Zaprezetowae w pracy wyiki s po cz ci rezultatem bada ad rykiem obligacji ideksowaych iflacji prowadzoych przeze mie w Narodowym Baku Polskim, gdzie pracuje a staowisku aalityka ryku obligacji skarbowych w Wydziale Aalizy Ryków Fiasowych. W NBP korzystałem z Bloomberg Professioal Termial skd pochodzi wi kszo aalizowaych w tej pracy daych. Opracowaa w NBP metodologia aalizy polskiego ryku obligacji ideksowaych do iflacji została przedyskutowaa z Miisterstwem Fiasów i jest spója ze stosowaymi tam metodami. Struktura poiszej pracy zakłada przedstawieie a pocztku podstawowych iformacji dotyczcych sposobów kostrukcji obligacji ideksowaych do iflacji. W kolejym rozdziale przypomiae zosta podstawowe arz dzia słuce do aalizy obligacji stałokupoowych. W czwartym rozdziale przedstawioy zostaie aparat słucy do aalizy i wycey obligacji ideksowaych do iflacji. Nast pie w rozdziale pitym aalizuj 4 W pracy uywa b dziemy wymieie termiów: obligacja ideksowaa do iflacji, obligacja iflacyja, obligacja ideksowaa. Wród cz sto spotykaych azw agielskich ajcz ciej pojawia si okreleie likers. 5 Por. Mark Deaco, Adrew Derry, Dariush Mirfedereski Iflatio-idexed Securities: Bods, Swaps ad Other Derivatives, 2d Editio, Wiley Fiace Jauary 2004, s. 5

6 zaczeie obligacji ideksowaych do iflacji dla emiteta, abywcy obligacji i władz moetarych. Tam gdzie istieje taka moliwo uwag przykładamy do aalizy uwarukowa dla polskich obligacji ideksowaych do iflacji. W rozdziale szóstym zaprezetoway zostaie sta ryku obligacji ideksowaych do iflacji a szeciu ajbardziej rozwii tych rykach. W rozdziale siódmym zaprezetowaa zostaie aaliza długo i krótkotermiowych zaleoci obserwowaych a ryku obligacji ideksowaych do iflacji. Moim autorskim wkładem do metodologii aalizy ryku obligacji ideksowaych do iflacji jest wykorzystaie do aalizy daych fiasowych metody Bayesowskiego Wywaaia Klasyczych Estymatorów 6 (ag. Bayesia Averagig of Classical Estimates). Pierwotie skostruowao j do aalizy determiatów wzrostu gospodarczego jedak z przedstawioych w tej pracy bada wyika, e metoda ta posiada odpowiedie własoci, które powoduj, e sprawdza si rówie przy aalizie stacjoarych daych fiasowych. 6 W tym miejscu chciałbym złoy szczególe podzi kowaie prof. Wojciechowi Charemzie, który przedstawił mi t metod. 6

7 2. Kostrukcja obligacji ideksowaych do iflacji W odróieiu od obligacji stałokupoowych obligacje ideksowae do iflacji zabezpieczaj iwestora przed wpływem iflacji a realy zwrot z iwestycji. Wypłacae kupoy i warto omiala (ag. pricipal value) spłacaa przez emiteta w momecie zapadaloci papieru wartociowego s ideksowae tak, e ich reala warto jest stała. Procedura ideksacji moe by realizowae a dwa sposoby. Obydwie metody zosta omówioe w tym rozdziale. Pierwsza z ich została zapropoowaa przez Departamet Skarbu Wielkiej Brytaii w roku 98 i zalazła zastosowaie w wi kszoci wyemitowaych w tym kraju obligacji ideksowaych do iflacji. Alteratyw metod ideksacji przedstawił rzd Kaady, który pierwsze obligacje ideksowae do iflacji wyemitował w grudiu 99 roku. Dalej metodologie te b dziemy azywa odpowiedio brytyjsk i kaadyjsk. Metoda kaadyjska uzawaa jest za bardziej ituicyj od metody brytyjskiej i z tego powodu zalazła szerokie zastosowaie w wi kszoci krajów emitujcych obligacje iflacyje 7, w tym w Polsce. Z materiałów opublikowaych przez Departamet Skarbu Wielkiej Brytaii wyika, e wszystkie owe obligacje ideksowae do iflacji od lipca 2005 roku b d emitowae według modelu kaadyjskiego 8. Ozacza to de facto całkowit domiacj modelu kaadyjskiego w ieodległej przyszłoci. Prezetacje metodologii ideksacji rozpocziemy od bardziej ituicyjego modelu kaadyjskiego i jego aplikacji w przypadku polskiej obligacji ideksowaej do iflacji. W celu zachowaia spójoci, stosujemy ozaczeia i symbolik zgod z prospektem emisyjym obligacji ideksowaej do iflacji IZ Model kaadyjski a przykładzie obligacji IZ086 9 Warto omiala (ag. pricipal value) jedej obligacji to 000 złotych. Warto ta przez cały okres do zapadaloci jest ideksowaa współczyikiem ideksacji kalkulowaym przez Miisterstwo Fiasów a bazie arastajcego wskaika miesiczego, który jest rówoway wskaikowi arastajcej iflacji w gospodarce, oraz bazowego wskaika referecyjego. Do obliczaia wartoci arastajcego wskaika miesiczego 7 W rozdziale 7 wskazujemy a kraje, które dokoały iewielkich modyfikacji w implemetacji modelu Kaadyjskiego 8 Por. Gurmider Bhachu, Mark Deaco 3M Lag Idex-liked Gilts, Uited Kigdom Debt Maagemet Office, kwiecie Podrozdział oparty jest a artykule: Piotr urawski, Obligacje ideksowae iflacj podstawowa aaliza, Ryek Termiowy r 3/2005 7

8 wykorzystywaa jest warto wskaika ce towarów i usług kosumpcyjych, który co miesic podaway jest do publiczej wiadomoci przez Główy Urzd Statystyczy. Narastajcy wskaik miesiczy dla wybraego miesica : W() rówy jest zaokrgloemu do pitego miejsca po przeciku wyikowi wyraeia: W ( ) = 00 Π( + CPI k= k ), () gdzie W() to arastajcy wskaik miesiczy dla miesica, atomiast CPI k to wielko wskaika iflacji m/m za miesic k. Miesicem bazowym dla którego k= jest lipiec 2003 roku. Wskaik bazowy referecyjy (W Bazowy ) dla obligacji IZ086 został obliczoy a bazie wyraeia: W Bazowy 23 = W ( a) + ( W ( b) W ( a)), (2) 3 gdzie a i b odosz si odpowiedio do maja i czerwca 2004 roku. Współczyik ideksacji, do którego ideksowaa jest warto omiala obligacji (ag. face value), jest fukcj wartoci arastajcego wskaika miesiczego oraz wskaika bazowego. Współczyik ideksacji a dzie d, miesica m majcego D di SI(d,D,m) liczoy jest w ast pujcy sposób: d W ( m 3) + ( W ( m 2) W ( m 3)) SI( d, D, m) = D. (3) W Bazowy Zaprezetoway powyej schemat, który odpowiada w sposób cisły azewictwu i symbolice z prospektu emisyjego, moe pocztkowo wyda si skomplikoway. Jedak jego rozszyfrowaie ie jest trude. Narastajcy wskaik miesiczy to po prostu arastajcy wskaik iflacji skostruoway ze złoeia poziomów iflacji miesic do miesica. Okresem bazowym jest lipiec Przykładowo jeeli arastajcy wskaik miesiczy obliczoy a stycze 2006 roku zgodie ze wzorem () b dzie miał warto 05,45324 ozacza to b dzie, e od pocztku lipca 2003 roku do koca styczia 2006 roku poziom ce artykułów kosumpcyjych i usług wzrósł w przyblieiu o 5,45%. 8

9 Wskaik bazowy referecyjy i współczyik ideksacji aley rozpatrywa łczie. Liczik prawej stroy rówaia (3) przypomia praw stro rówaia (2). Ta zaleo jest ieprzypadkowa. Współczyik ideksacji a dzie emisji obligacji IZ086 jest rówy jede, poiewa liczik wyraeia (3) jest rówoway prawej stroie wyraeia (2) dla 24 sierpia 2004 roku. Specyficza posta liczika prawej stroy rówaia (3) daje si łatwo wytłumaczy. Iteresujce as wskaiki iflacji publikowae s z cz stotliwoci miesi cz, wobec czego arastajcy wskaik iflacji (arastajcy wskaik miesiczy) moe by kostruoway wyłczie raz w miesicu i odzwierciedla wielkoci arosłej iflacji a koiec daego miesica. Iflacja jedak ie post puje skokowo. Twórcy współczyika ideksacji przyj li, e cey w gospodarce ros w sposób liiowy w kadym miesicu. Przy takich załoeiach moa stworzy liiow fukcj, która pozwala obliczy warto arosłej iflacji a kady dzie miesica. Tak fukcj jest właie liczik prawej stroy rówaia (3). ródłem wtpliwoci moe by ieuwzgl dieie we wzorze (3) poziomu iflacji za miesic m i m-. Wskaik ideksacji wydaje si by opóioy wzgl dem rzeczywistego poziomu iflacji o 2 miesice. Te zastrzeeia s słusze, aczkolwiek wyelimiowaie opóieia ie jest moliwe. Warto wskaika CPI (m/m) za miesic m publikowaa jest w połowie miesica m+, wobec czego ie jest oa zaa przez cały miesic m. Warto wskaika za miesic m- dost pa jest po upływie połowy miesica m, wi c jej zastosowaie w formule doprowadziłoby do iemooci oszacowywaia wskaika (3) przez pierwsz połow miesica m. Dyspoujc obliczoy współczyikiem ideksacji moa w prosty sposób okreli warto wypłacaego kupou: C t = N SI r, (4) gdzie C t to warto wypłacaego kupou w chwili t, N warto omiala obligacji (w przypadku obligacji IZ zł), SI t współczyik ideksacji a chwil t, r reala stopa zwrotu ustaloa przez miisterstwo fiasów w prospekcie emisyjym. W diu zapadaloci iwestor otrzymuje dodatkowo zideksowa warto omial: N t Z ( t) = N SI t, (5) gdzie N Z(t) to omiala warto wypłacaa w momecie zapadaloci w chwili t. Przykładowy schemat wypłat z obligacji ideksowaej do iflacji i dla porówaia z obligacji tradycyjej przedstawia tabela 2. Wartoci omialych przepływów ozaczoe s czerwoym kolorem. Dla obligacji stałokupoowych wartoci omiala wypłat s stałe w 9

10 czasie. W przypadku obligacji ideksowaej do iflacji wartoci omiale kolejych płatoci kupoowych ro tak, e ich warto reala pozostaje stała w czasie. Tabela 2. Schemat wypłat z obligacji ideksowaej do iflacji i z porówywalej obligacji stałokupoowej Lata CPI w daym roku Wskaik Ideksacji Obligacja ideksowaa Obligacja tradycyja Oprocetowaie reale w %: 3Oprocetowaie omiale w %: 4,5 Warto Warto reala omiala kupou Warto reala omiału (w złotych z pocztku okresu) Warto omiala kupou Warto reala kupou Warto omial a Warto reala omiału Warto omiala kupou 0, , , %, , , , ,2 2 2%, , , , ,25 3 2%,06 06, , , ,40 4 %,072 07, , , ,98 5 5%,25 25, , , ,99 6 2%,48 47, , , ,20 7 2%,7 70, , , ,43 8 2%,94 94, , , ,68 9 2%,28 28, , , ,94 0 2%, , , , ,22 2%, , , , ,5 Opracowaie włase Kostrukcja wskaika ideksacji umoliwia jego wyliczeie a kady dzie trwaia obligacji. Jest to koiecze do obliczeia arosłych odsetek i tym samym przedstawieia tzw. cey brudej obligacji. Warto aleych odsetek to: O a a = N SI a r, (6) ACT gdzie: N - warto omiala jedaj obligacji (w przypadku IZ zł) SI a współczyik ideksacji obliczoy a dzie a zgodie ze wzorem (3) r ustaloe przez emiteta oprocetowaie papieru (w przypadku IZ086 3%) a rzeczywista liczba di od rozpocz cia okresu odsetkowego ACT rzeczywista liczba di w biecym okresie odsetkowym z wyłczeiem pierwszego i ostatiego dia okresu. Kostrukcja obligacji IZ086 uzaleia wysoko omialych wypłat z papieru w przyszłoci od poziomu iflacji. Jeeli iflacja (m/m) w kolejych miesicach jest wysoka, przekład si to a wzrost arastajcego wskaika miesi czego i tym samym wzrost współczyika ideksacji. Wysoki współczyik ideksacji ozacza wysokie wypłaty z obligacji w przyszłoci. Wielko omialych przepływów z obligacji ideksowaych do iflacji zaley od kształtowaia si dyamiki ce w przyszłoci. 0

11 Kaadyjska metodologia ideksowaia obligacji iflacyjych umoliwia uczestikom ryku skupieie si a realych wartociach przepływów. Kwotowaia rykowe podawae przez dealerów mi dzybakowych jak i rówie wszelkie cey ustalae a przetargach obligacji wyraae s w wartociach realych. W momecie faktyczych przepływów piei ych kwota zostaje przemooa przez współczyik ideksacji i ast puje jej uomialieie. W takim przypadku moa powiedzie, e cały hadel prowadzoy jest w przestrzei realej (ag. real space) Model brytyjski Tak jak cz sto zdarza si w praktyce, po tym jak zrozumiao, e co moa zrobi prosto wszyscy zastaawiaj si jak to moliwe, e kto próbował to robi iaczej. Brytyjskie obligacje ideksowae do iflacji (ag. idex-liked gilts) s dobrym przykładem a potwierdzeie takiej sytuacji. Ich kostrukcja jest miej ituicyja od zapropoowaej dziewi lat póiej przez kaadyjskie Miisterstwo Fiasów. Kupoy dla Brytyjskich obligacji ideksowaych do iflacji wypłacae s dwa razy w roku. Ich warto oblicza si ze wzoru: r N RPI m 8 C = t, (7) 2 RPI i 8 gdzie: C t omiala warto wypłaty kupoowej r - ustaloa przez Departamet Skarbu retowo reala N - warto omiala obligacji (ag. face value) RPI warto ideksu ce z miesica m miesic płatoci kupoowej i miesic emisji obligacji Aalogiczie obliczy moa warto spłaca w momecie zapadaloci obligacji (ag. redemptio value): 0 Wyraeie zaczerpi te z opracowaia Barclays Capitals Global Iflatio-Liked Products: A User Guide, Stycze Por. Formulae for Calculatig Gilt Prices from Yields (third editio), Uited Kigdom Debt Maagemet Office, 6 marzec 2005

12 RPI r 8 RV = N, (8) RPI i 8 gdzie: RV warto spłacaa w momecie zapadaloci N warto omiala obligacji RPI warto ideksu ce z miesica r miesic zapadaloci i miesic emisji obligacji W przypadku brytyjskich obligacji ideksowaych do iflacji kwotowae a ryku cey wyraoe s w wartociach omialych, iaczej i ma to miejsce w przypadku obligacji ideksowaych do iflacji zgodie z metodologi kaadyjsk. Kwotowae cey czyste obligacji 2 uwzgl diaj wzrost wskaika ce. W przypadku gospodarek z dodatim wskaikiem iflacji, a do takich aley z pewoci Wielka Brytaia, cea czysta obligacji ulega wzrostowi wraz z upływem czasu. Obliczeie wartoci arosłych odsetek dla obligacji brytyjskiej wymaga zajomoci ajbliszej płatoci kupoowej i std wyika a omiomiesi cze opóieie przy kostrukcji wskaika (kupoy płacoe s raz a 6 miesi cy plus dodatkowo 2 miesice opóieia zarezerwowao a publikacje daych dotyczcych wskaika ce). Jeeli zaa jest warto kupou wypłacaego w miesicu, moliwe jest obliczeie arosłych odsetek ze wzoru: a Oa, t = Ct, (9) ACT gdzie: C t wyzaczoa z rówaia (7) warto płatoci odsetkowej przypadajcej a miesic t a rzeczywista liczba di od rozpocz cia okresu odsetkowego ACT rzeczywista liczba di w biecym okresie odsetkowym Wzór (9) słucy do wyzaczaia arosłych odsetek, rói si od aalogiczego wzoru (6) dla systemu kaadyjskiego, jest jedak zblioy do wzoru słucego do kalkulacji arosłych odsetek dla obligacji stałokupoowych 3. 2 Cea czysta obligacji to cea ie uwzgl diajca arosłych odsetek. 3 Por. Krzysztof Jajuga i Teresa Jajuga, Iwestycje, Wydawictwo Naukowe PWE, Warszawa 200, str.50 2

13 2.3 Opóieie ideksacji Cech wspól obydwu metodologii jest opóieie w ideksowaiu do iflacji. W przypadku modelu kaadyjskiego s to 2 miesice, a dla modelu brytyjskiego a 8 miesi cy opóieia. Jeeli iflacja zaczco wzroie w cigu 2 miesi cy (lub w przypadku brytyjskim w cigu 8 miesi cy) poprzedzajcych płato kupou bd wartoci omialej (ag. pricipal value) to te wzrost ie przełoy si a wzrost omialej wartoci wypłacaych rodków. W tym sesie obligacje ideksowae do iflacji ie zapewiaj pełego zabezpieczeia przed ryzykiem iflacyjym. W zwizku z krótszym opóieiem ideksacji stopie zabezpieczeia przed ryzykiem iflacyjym jest wi kszy w przypadku obligacji ideksowaych metod kaadyjsk. Warto jedak zwróci uwag a fakt, e strata arastajcej iflacji z okresu sprzed płatoci kupou jest rekompesowaa zyskaiem arastajcej iflacji z okresu poprzedzajcego przetarg obligacji. Przy wzgl die stabilych poziomach iflacji i wzgl die długich termiach do zapadaloci zaczeie opóieia ideksacji jest iezacze a co wskazuj w swojej pracy Barr i Campbell (996) oraz Wrase(997). 3

14 3. Aaliza obligacji stałokupoowych Metody wycey i aalizy obligacji ideksowaych do iflacji opieraj si a zaleociach zaych z ryku obligacji tradycyjych. W tym rozdziale dokoamy przegldu podstawowej teorii słucej do wycey i aalizy obligacji stałokupoowych. Zaprezetowae zosta rówie sposoby estymacji tzw. krzywej dochodowoci. Te iformacje staowi fudamet do budowy modelu wycey obligacji ideksowaych do iflacji. 3. Rówaie wycey obligacji Podstawowe pytaie przed jakim staje abywca obligacji dotyczy sposobu kalkulowaia faktyczej wartoci iwestycji. Przepływy piei e geerowae przez obligacj stałokupoow s zdefiiowae ju w momecie przetargu i ie ulegaj zmiaie. Iwestor abywajcy obligacj od samego pocztku wie dokładie kiedy otrzyma płatoci od emiteta obligacji, za rówie ich dokład warto. Jego zadaiem jest stwierdzeie (obliczeie) jak warto a da chwil maj dla iego strumieie piei e (ag. cash-flows), które otrzyma w przyszłoci. Załómy przykładowo, e chcemy ocei jaka jest dzisiejsza warto dla iwestora przepływu X, który bez ryzyka otrzyma za lat. Przyjmijmy, e zaa jest wymagaa przez iwestora stopa zwrotu dla daego okresu i ozaczmy j symolem z. Przy takich złoeiach bieca warto przepływu (ag. preset value) moe zosta obliczoa ze wzoru: X PV ( X ) =, (0) ( + z) gdzie PV(X) to warto bieca przepływu X za lat. W dalszej cz ci tekstu stop procetow z azywa b dziemy stop atychmiastow 4 (ag. spot rate) dla iwestycji o termiie zapadaloci lat. Obligacja stałokupoowa jest seri przyszłych przepływów kupoowych o zaej wartoci C w kolejych okresach, 2, 3..., i wartoci omialej N spłacaej w chwili zapadaloci obligacji po latach. Z racji tego, e w wi kszoci rozwii tych pastw wiata obligacje rzdowe postrzegae s jako pozbawioe ryzyka kredytowego moa przyj, e warto obligacji dla iwestora jest sum biecych wartoci wszystkich przepływów geerowaych przez obligacj. Zakładajc, e zae s stopy atychmiastowe dla wszystkich okresów z 4 Alteratywa azwa dla stopy atychmiastowej to stopy zerokupoowe. 4

15 przyszłoci, warto biec strumieia płatoci obligacji moa przedstawi, stosujc wzór (0) jako : P C C C N = , () ( + z z ) 2 ) ( + z2 ) ( + z ) ( + gdzie P to cea obligacji, a z stopa atychmiastowa dla termiu zapadaloci lat. Rówaie () jest azwae w literaturze rówaiem wycey obligacji. 5 Opisuje oo zaleo pomi dzy stopami atychmiastowymi a ce obligacji. Stopy atychmiastowe (azywae wymieie stopami zerokupoowymi 6 ) mog ie by homogeicze mi dzy iwestorami. Ozacza to, e jeda obligacja moe mie ró warto dla róych iwestorów. W praktyce jedak moa przyj, e iwestor oferujcy ajwysz kwot, zakładajc racjoalo emiteta, zostaie a abywc obligacji. Rówaie () umoliwia wyce obligacji, ale tylko a dzie płatoci kupoowej. Jeeli iteresuje as cea obligacji w okresie pomi dzy płatociami kupoowymi, a jest to koiecza iformacja poiewa hadel obligacjami ma miejsce kadego powszediego dia tygodia (a ie tylko w diach płatoci kupoowej), wzór () aley zmodyfikowa. Jeeli ast puje zmiaa posiadacza obligacji w diu, który ie staowi daty płatoci odsetkowej, warto obligacji musi uwzgl dia arosłe odsetki. Narastajce odsetki (ag. accured iterest) w przypadku obligacji stałokupoowych oblicza si w ogólej postaci jako: O a t = 0 C, (2) T gdzie t 0 to czas od ostatiej płatoci odsetek, T to zdefiioway okres pomi dzy płatociami odsetkowymi, C to warto kupou. Jeeli zaa jest warto arosłych odsetek moa dokoa dekompozycji cey brudej obligacji (ag. dirty price) czyli cey, któr abywca obligacji płaci przy dokoywaiu trasakcji a warto arosłych odsetek i ce czyst (ag. clea price). 7 Na ryku kwotowae s cey czyste obligacji. W momecie zawieraia trasakcji doliczaa jest warto arosłych odsetek i taka kwota jest płacoa przez abywc obligacji. 5 Por. Jajuga Iwestycje s Por. Campbell (995) 7 Por. Jajuga s. 5 5

16 Oprócz uwzgl dieia wartoci arosłych odsetek przy kalkulacji wartoci obligacji a dzie, który ie jest diem płatoci odsetkowych, aley wprowadzi do rówaia () dodatkowe modyfikacje. Zmiaie ulega rozłoeie kolejych przepływów w czasie. Okres do pierwszej płatoci kupoowej ie jest bowiem w takim przypadku rówy ustaloemu przez emiteta okresowi płatoci odsetkowej i aley te fakt uwzgl di w kalkulacji. Po uwzgl dieiu arosłych odsetek i zmiay czasu do płatoci kupoowych mamy: P C c c c N + Oa = , (3) t ( + z ) z ) t0 t t ( + zt ) t ( + zt ) ( + 0 t gdzie P C ozacza ce czyst obligacji, a t ozacza czas do -tej płatoci kupoowej. Warto w tym miejscu zwróci uwag a moliwy alteratywy sposób zapisu rówa (0)- (3). Przykładowo rówaie (0) moa przestawi w postaci: PV X = ( ) X = X z δ ( ( + ), (4) ) gdzie δ () to warto fukcji dyskotujcej dla termiu zapadaloci. Przedstawioa trasformacja pokazuje, e bieca warto kadego przepływu w przyszłoci moe by przedstawioa jako iloczy czyika dyskotujcego i wielkoci przyszłego przepływu. Wprowadzeie poj cia czyika dyskotujcego pozwala am zapisa rówaie (3) w owej przejrzystej postaci: P C a ( 2 t + N + O = δ t ) c + δ ( t ) c δ ( t ) ( c ). (5) 6

17 3.2 Badaie stóp zwrotu z obligacji stałokupoowej Dług emitoway przez wi kszo rzdów rozwii tych pastw wiata postrzega si jako iezagrooy moliwoci bakructwa emiteta (ag. defalut risk). W zwizku z tym obligacje stałokupoowe przez ie emitowae geeruj przepływy, co do których wartoci i czasu iwestor moe mie teoretyczie całkowit pewo. Zajc rykowe cey obligacji skarbowych i struktur wypłat w przyszłoci, potecjaly abywca obligacji moe zbada poziom zwrotu, który osigie iwestujc w day papier wartociowy. 8 Najcz ciej stosowaym w praktyce wskaikiem wskazujcym a retowo obligacji stałokupoowej jest stopa zwrotu w okresie do wykupu (ag. yield to maturity / redemptio yield). Naley j iterpretowa jako wew trz stop zwrotu (ag. iteral rate of retur) z iwestycji w obligacje. Jest to stopa, dla której cea bruda obligacji stałokupoowej rówa jest zdyskotowaym po tej stopie przepływom z tej obligacji: P C + O a = + c c + ( + YTM ) t0 t t t ( YTM ) ( + YTM ) ( + YTM ) c + N, (6) gdzie YTM to stopa zwrotu w okresie do wykupu. Wyzaczaie tej wartoci sprowadza si do rozwizaia rówaia (6) wzgl dem YTM. W praktyce rozwizaie moliwe jest poprzez zastosowaie umeryczych algorytmów iteracyje p. Newtho-Raphsoa 9. Dokłady opis tej jak i wielu iych algorytmów umeryczych zale moa w podr cziku pracowików Politechiki Warszawskiej Fortua, Macukow, Wsowski(998). Przyj cie załoeia o tym, e wszystkie przepływy piei e s dyskotowae t sam stop zwrotu jest rówowae załoeiu, e wszystkie przyszłe przepływy piei e b d mogły by reiwestowae, co w praktyce ie musi by prawd. Ryzyko reiwestycji (ag. reivestmet risk) powoduje, e iezae s stopy, przy których b dzie moa dokoa reiwestycji rodków w przyszłoci. Alteratyw metod badaia stopy dochodowoci w termiie do wykupu jest przedstawieie tzw. stopy płaskiej (ag. flat rate), któr moa obliczy jako: 8 Iwestor moe przeprowadzi proces odwroty do wycey i zajc ce obligacji zbada jej stop zwrotu 9 Por. Krupka, J., Morawski, R., Opalski, L. J. (999) Wst p do metod umeryczych, Oficya Wydawicza Politechiki Warszawskiej 7

18 C FY =, (7) C P gdzie FY to stopa płaska, C warto kupou, P C to cea czysta obligacji. Miara ta okrela jaka jest wielko przychodu z obligacji. Uywa si jej w szczególoci do porówywaia obligacji i krótkich stóp a ryku piei ym. Róica to tzw. warto zagiedoa (ag. carry). Nabycie obligacji, dla której stopa płaska jest isza od krótkotermiowej stopy procetowej, i fiasowaie tej iwestycji właie a ryku krótkiej stopy procetowej prowadzi do pooszeia kosztów przez abywc obligacji. W długim termiie pocztkowe koszty b d rekompesowae wzrostem cey obligacji, która b dzie zbiega do wartoci omialej w momecie zapadaloci. Stopa płaska jest jedym z ajprostszych sposobów ocey opłacaloci iwestycji w obligacje. Niestety ie uwzgl dia wpływu efektu zmiay cey obligacji w termiie do zapadaloci (ag. pull to par effect). 3.3 Duracja obligacji stałokupoowych W wi kszoci przypadków publikowae iformacje dotyczce obligacji stałokupoowych sprawdzaj si do termiu zapadaloci i retowoci daej daego papieru. Te miary daj jedak ie wiele iformacji o strukturze wypłat z daej obligacji. Przykładowo jeeli mielibymy do czyieia z dwiema obligacjami z których jedak posiada wysoki a druga iski kupo, to pierwsza obligacja wi ksz cz zwrotu dostarczy w postaci płatoci kupoowych, które astpi przed termiem zapadaloci obligacji. Obligacja stałokupoowa o wyszym kupoie zapewia szybszy omialy zwrot z iwestycji od porówywalej obligacji z iskim kupoem i zblioej retowoci w termiie do zapadaloci (ag. yield to maturity). Wskaikiem, który jest w staie uchwyci t zaleo jest zapropooway przez Macaulay w 938 r. wskaik duracji, któr iterpretuje si jako redi czas spłaty strumieia odsetkowego. Dla wszystkich obligacji ta redia b dzie miejsza 20 od termiu zapadaloci obligacji w zwizku z tym, e przed spłat wartoci omialej dokoywae s płatoci kupoowe. Duracj, która bywa azywaa rówie czasem trwaia obligacji, liczy si zgodie ze wzorem: 20 Rówa w przypadku obligacji zerokupowych 8

19 m δ ( ti ) Citi + δ ( tm ) Rtm m i= Duracja = = m C δ ( ti ) Cit P + + Oa i= δ ( t ) C δ ( t ) R i= i i m i + δ ( t m ) Rt m, (8) gdzie δ t ) to warto czyika dyskotujcego dla i tej płatoci kupoowej przypadajcej ( i a momet t i. C i to warto i-tej płatoci kupoowej. R to warto omiala spłacaa w momecie zapadaloci. Kolej miar wykorzystywa powszechie przez uczestików ryku przy aalizie obligacji jest modyfikowaa duracja 2, któr kalkuluje si jako : Duracja MD =, (9) ( + y /00) gdzie MD to warto duracji zmodyfikowaej, y to dochodowo w termiie do wykupu. Wyraeie (9) jest rówowae 22 rówaiu: 00 p MD =. (20) C ( P + O ) y a Rówaie (20) wskazuje a zaleo pomi dzy ce obligacji, a kracow zmia retowoci (liczo jako dochodowo w termiie do wykupu). Stosuek zmiay cey obligacji wywołaej kracowo mał zmia retowoci jest rówy co do wartoci wskaikowi zmodyfikowaej duracji. Chocia teoretyczie rówaie (20) prawdziwe jest tylko dla kracowo małych zmia retowoci to w praktyce rykowej wykorzystuje si je take dla relatywie duych przyrostów. Korzysta si wtedy bezporedio z rówaia: gdzie C p jest zmia cey czystej obligacji, p 0,0 ( P + O ) y ( MD) (2) a y jest zmia retowoci papieru. 2 Por. Aderso i i (994) s.8 22 Por. Fage (986) 9

20 3.4 Struktura termiowa stóp procetowych Na ryku, a którym istieje wiele róych papierów dłuych wysoko stóp zwrotu zaley od termiu zapadaloci. Stopy procetowe dla ryku piei ego a wi kszoci ryków rói si od oprocetowaia długotermiowych obligacji skarbowych. Zaleo pomi dzy termiem zapadaloci a stop procetow azywaa jest struktur termiow stóp procetowych (ag. iterest rates term structure). Najprostszym arz dziem charakteryzujcym struktur termiow stóp procetowych jest wprowadzoa w podrozdziale 3. fukcja dyskotowa. Chocia z puktu widzeia obliczeiowego i praktyczego fukcja dyskotowa ma bardzo szerokie zastosowaie, to struktur termiow moa przedstawi w bardziej ituicyjej postaci. W tym podrozdziale zaprezetowae dwie alteratywe trasformacje fukcji dyskotowej: krzyw implikowaych stóp termiowych (ag. implied forward rate curve) i krzyw stóp atychmiastowych (ag. spot/zero-coupo yield curve). Warto podkreli, e trasformacja pomi dzy tymi wszystkimi krzywymi jest uikala, co ozacza, e majc dowol z tych krzywych moa j w sposób jedozaczy przetrasformowa a dowol ia. Mimo de facto rówej zawartoci iformacyjej kadej krzywej, co wyika z jedozaczoci trasformacji, poszczególym reprezetacjom moa ada odmiee iterpretacje, które ułatwiaj aaliz zaleoci a ryku obligacji. Na wykresie. przedstawioa została krzywa dyskotowa dla Polskiego ryku obligacji skarbowych a koca czerwca 2005 roku. Wykres 2. i 3. prezetuj odpowiedio implikowa krzyw stóp termiowych 3M oraz krzyw stóp zerokupoowych a te sam dzie. Dla porówaia a wykresach 4., 5. i 6. pokazae zostały te same krzywe dla 3 styczia

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

Czas trwania obligacji (duration)

Czas trwania obligacji (duration) Czas rwaia obligacji (duraio) Do aalizy ryzyka wyikającego ze zmia sóp proceowych (szczególie ryzyka zmiay cey) wykorzysuje się pojęcie zw. średiego ermiu wykupu obligacji, zwaego rówież czasem rwaia obligacji

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA?

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA? EKONOMETRIA Temat wykładu: Co to jest model ekoometryczy? Dobór zmieych objaśiających w modelu ekoometryczym Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapata Tarapata@isi.wat..wat.edu.pl http://

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

Elastyczno silników FIAT

Elastyczno silników FIAT ARCHIWU OTORYZACJI 4, pp. 319-35 (009) Elastyczo silików FIAT JANUSZ YSŁOWSKI, WAWRZYNIEC GOŁBIEWSKI Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy W artykule przedstawioo elastyczo silików FIAT. Pierwszym aspektem

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" t "1%/4( " +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82

10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0  + 42 + 1 +! ! 1! !1!!!!42 %  t 1%/4(  +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 Matematyka finansowa 09.12.2000 r. 10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" * t "1%/4( " + i 10%. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 10 Matematyka finansowa 24.03.2001

Bardziej szczegółowo

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS Ekoomia Meedżerska 2011, r 10, s. 161 172 Jacek Wolak *, Grzegorz Pociejewski ** Aaliza popytu a alkohol w Polsce z zastosowaiem modelu korekty błędem AIDS 1. Wprowadzeie Okres trasformacji, zapoczątkoway

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości

Wartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie jeda z podstawowych prawidłowości wykorzystywaych w fiasach polegająca a tym, Ŝe: złotówka w garści jest

Bardziej szczegółowo

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu .5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu 71.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu Aby wycenić kontrakt IRS musi bliżej przyjrzeć się obligacji o zmiennym oprocentowaniu (Floating Rate Note lub floater

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa rynku obligacji

Struktura terminowa rynku obligacji Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie

Bardziej szczegółowo

Nieklasyczne modele kolorowania grafów

Nieklasyczne modele kolorowania grafów 65 Nieklasycze modele kolorowaia grafów 66 Kolorowaie sprawiedliwe Def. Jeli wierzchołki grafu G moa podzieli a k takich zbiorów iezaleych C,...,C k, e C i C j dla wszystkich i,j,...,k, to mówimy, e G

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie finansami

Zarządzanie finansami STOWARZYSZENIE KSIĘGOWYCH W POLSCE ODDZIAŁ W POZNANIU Zarządzaie fiasami DR LESZEK CZAPIEWSKI - POZNAŃ - WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Pieiądze posiadają określoą wartość. Wartość w diu dzisiejszym omialej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej 1 Artykuł techiczy Joatha Azañó Dział ds. Zarządzaia Eergią i Jakości Sieci CVM-ET4+ Zgody z ormami dotyczącymi efektywości eergetyczej owy wielokaałowy aalizator sieci i poboru eergii Obeca sytuacja Obece

Bardziej szczegółowo

ANALIZA INSTRUMENTALNA. Instrukcja laboratoryjna 6

ANALIZA INSTRUMENTALNA. Instrukcja laboratoryjna 6 Politechika Wrocławska Wydział Iżyierii Środowiska Studia stacjoare drugiego stopia we Wrocławiu, SOWiG ANALIZA INSTRUMENTALNA Istrukcja laboratoryja 6 Ozaczaie ilościowe rtęci w próbce stałej i ciekłej

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Ekoomiczy Uiwersytet Dziecięcy Dlaczego jede kraje są biede a ie bogate? dr Baha Kaliowska-Sufiowicz Uiwersytet Ekoomiczy w Pozaiu 23 maja 2013 r. EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY WWW.UNIWERSYTET-DZIECIECY.PL

Bardziej szczegółowo

Wytwarzanie energii odnawialnej

Wytwarzanie energii odnawialnej Adrzej Nocuñ Waldemar Ostrowski Adrzej Rabszty Miros³aw bik Eugeiusz Miklas B³a ej yp Wytwarzaie eergii odawialej poprzez współspalaie biomasy z paliwami podstawowymi w PKE SA W celu osi¹giêcia zawartego

Bardziej szczegółowo

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Dr. Michał Gradzewicz Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Ćwiczenia 3 i 4 Wzrost gospodarczy w długim okresie. Oszczędności, inwestycje i wybrane zagadnienia finansów. Wzrost gospodarczy

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

WYGRYWAJ NAGRODY z KAN-therm

WYGRYWAJ NAGRODY z KAN-therm Regulami Kokursu I. POSTANOWIENIA OGÓLNE. 1. Regulami określa zasady KONKURSU p. Wygrywaj agrody z KAN-therm (dalej: Kokurs). 2. Orgaizatorem Kokursu jest KAN Sp. z o.o. z siedzibą w Białymstoku- Kleosiie,

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki nansowej

Podstawy matematyki nansowej Podstawy matematyki asowej Omówimy tutaj odstawowe oj cia matematyki asowej. Jest to dobre miejsce, gdy» zagadieia te wi» si z ci gami, w szczególo±ci z ci giem arytmetyczym i geometryczym. Omówimy zagadieie

Bardziej szczegółowo

o zmianie ustawy o finansach publicznych oraz niektórych innych ustaw.

o zmianie ustawy o finansach publicznych oraz niektórych innych ustaw. SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ VIII KADENCJA Warszawa, dia 12 listopada 2013 r. Druk r 487 MARSZAŁEK SEJMU RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Pa Bogda BORUSEWICZ MARSZAŁEK SENATU RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Zgodie

Bardziej szczegółowo

Ochrona portfela obligacji przed ryzykiem stopy procentowej

Ochrona portfela obligacji przed ryzykiem stopy procentowej Produkty i Techiki Bakowe 39 Ochroa portfela obligacji przed ryzykiem stopy procetowej Izabela Pruchicka-Grabias Determiaty poziomu stóp procetowych Ryzyko stopy procetowej dotyczy portfela wra liwego

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ. dr Grzegorz Kotliński; Katedra Bankowości AE w Poznaniu

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ. dr Grzegorz Kotliński; Katedra Bankowości AE w Poznaniu ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ 1 DEFINICJA RYZYKA STOPY PROCENTOWEJ Ryzyko stopy procentowej to niebezpieczeństwo negatywnego wpływu zmian rynkowej stopy procentowej na sytuację finansową banku

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

Jak skutecznie reklamować towary konsumpcyjne

Jak skutecznie reklamować towary konsumpcyjne K Stowarzyszeie Kosumetów Polskich Jak skuteczie reklamować towary kosumpcyje HALO, KONSUMENT! Chcesz pozać swoje praw a? Szukasz pomoc y? ZADZWOŃ DO INFOLINII KONSUMENCKIEJ BEZPŁATNY TELEFON 0 800 800

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

Obligacja i jej cena wewnętrzna

Obligacja i jej cena wewnętrzna Obligacja i jej cea wewęrza Obligacja jes o isrume fiasowy (papier warościowy), w kórym jeda sroa, zwaa emieem obligacji, swierdza, że jes dłużikiem drugiej sroy, zwaej obligaariuszem (jes o właściciel

Bardziej szczegółowo

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Pojcie estymacji Metody probabilistycze i statystyka Wykład 9: Estymacja puktowa. Własoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Szacowaie wartoci parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej

Bardziej szczegółowo

CVA Cash Value Added nowoczesny miernik oceny efektywności gospodarowania przedsiębiorstw

CVA Cash Value Added nowoczesny miernik oceny efektywności gospodarowania przedsiębiorstw Krzysztof Jagiełło CVA Cash Value Added owoczesy mierik ocey efektywości gospodarowaia przedsiębiorstw Wprowadzeie W ostatich latach obserwujemy zwrot w okreœleiu celu (celów) dzia³aloœci przedsiêbiorstwa.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekoomisty Mieriki wzrostu gospodarczego dr Baha Kaliowska-Sufiowicz Uiwersytet Ekoomiczy w Pozaiu 7 marca 2013 r. Ayoe who believes that expotetial growth ca go o for ever i a fiite world

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie ryzykiem finansowym w przedsiębiorstwach transportowych i spedycyjnych

Zarządzanie ryzykiem finansowym w przedsiębiorstwach transportowych i spedycyjnych Zeo Marciiak Zarządzaie ryzykiem fiasowym w przedsiębiorstwach Szkoła Główa Hadlowa Kolegium Gospodarki Światowej Istytut Polityki Hadlu Zagraiczego i Studiów Europejskich Warszawa SPIS TREŚCI. SYSTEM

Bardziej szczegółowo

Statystyka finansowa

Statystyka finansowa Statystyka finansowa Rynki finansowe Rynek finansowy rynek na którym zawierane są transakcje finansowe polegające na zakupie i sprzedaży instrumentów finansowych Instrument finansowy kontrakt pomiędzy

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

Po silnych i jak najbardziej uzasadnionych obawach o stan

Po silnych i jak najbardziej uzasadnionych obawach o stan 9:00 - Z coraz większą uwagą ryki przyglądają się posuięciom chińskich władz moetarych w kotekście zarządzaia swoimi rezerwami walutowymi. Ostatia odsłoa statystyk pokazuje 111% wzrost zwiększeia zaagażowaia

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

Eugeniusz Gostomski. Ryzyko stopy procentowej

Eugeniusz Gostomski. Ryzyko stopy procentowej Eugeniusz Gostomski Ryzyko stopy procentowej 1 Stopa procentowa Stopa procentowa jest ceną pieniądza i wyznacznikiem wartości pieniądza w czasie. Wpływa ona z jednej strony na koszt pozyskiwania przez

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r.

Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r. Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r. Spis treści: 1. Wstęp... 3 2. Fundusze własne... 4 2.1 Informacje podstawowe... 4 2.2 Struktura funduszy własnych....5

Bardziej szczegółowo

METODA SZACOWANIA KOSZTÓW RECYKLINGU WYROBÓW AGD NA ETAPIE PROJEKTOWANIA

METODA SZACOWANIA KOSZTÓW RECYKLINGU WYROBÓW AGD NA ETAPIE PROJEKTOWANIA METODA SZACOWANIA OSZTÓW RECYLINGU WYROBÓW AGD NA ETAPIE PROJETOWANIA Ewa DOSTATNI, Aa ARWASZ, Jacek DIAUN Streszczeie: W artykule opisao metodę szacowaia kosztów recykligu wyrobu a etapie jego projektowaia.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE FINANSAMI

ZARZĄDZANIE FINANSAMI STOWARZYSZENIE KSIĘGOWYCH W POLSCE ODDZIAŁ WIELKOPOLSKI W POZNANIU ZARZĄDZANIE FINANSAMI WYBRANE ZAGADNIENIA (1/2) DR LESZEK CZAPIEWSKI - POZNAŃ - 1 SPIS TREŚCI 1. RYZYKO W ZARZĄDZANIU FINANSAMI... 4 1.1.

Bardziej szczegółowo

Reforma emerytalna w ±wietle modelu z nakªadaj cymi si pokoleniami (OLG)

Reforma emerytalna w ±wietle modelu z nakªadaj cymi si pokoleniami (OLG) Reforma emerytalna w ±wietle modelu z nakªadaj cymi si pokoleniami (OLG) Jan Hagemejer, Krzysztof Makarski, Joanna Tyrowicz wsparcie: Marcin Bielecki, Agnieszka Borowska, Karolina Goraus GRAPE@WNE UW/SGH/NBP

Bardziej szczegółowo

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dnia 21 października 2011 r.

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dnia 21 października 2011 r. Dzieik Ustaw Nr 251 14617 Poz. 1508 1508 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA NAUKI I SZKOLNICTWA WYŻSZEGO 1) z dia 21 paździerika 2011 r. w sprawie sposobu podziału i trybu przekazywaia podmiotowej dotacji a dofiasowaie

Bardziej szczegółowo

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia..

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia.. Projekt z dia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dia.. w sprawie szczegółowego zakresu obowiązku uzyskaia i przedstawieia do umorzeia świadectw efektywości eergetyczej i uiszczaia

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG Tomasz ŚWIĘTOŃ 1 TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A ROBLEM ZGODNOŚCI Z RG Na mocy rozporządzeia Rady Miistrów w sprawie aństwowego Systemu Odiesień rzestrzeych już 31 grudia 2009 roku upływa termi wykoaia

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.

Bardziej szczegółowo

Eksperyment,,efekt przełomu roku

Eksperyment,,efekt przełomu roku Eksperyment,,efekt przełomu roku Zapowiedź Kluczowe pytanie: czy średnia procentowa zmiana kursów akcji wybranych 11 spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie (i umieszczonych już

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

1. Metoda zdyskontowanych przyszłych przepływów pieniężnych

1. Metoda zdyskontowanych przyszłych przepływów pieniężnych Iwetta Budzik-Nowodzińska SZACOWANIE WARTOŚCI DOCHODOWEJ PRZEDSIĘBIORSTWA STUDIUM PRZYPADKU Wprowadzeie Dochodowe metody wycey wartości przedsiębiorstw są postrzegae, jako ajbardziej efektywe sposoby określaia

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK

INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK Akcje Akcje są papierem wartościowym reprezentującym odpowiedni

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Akcje na giełdzie dr Adam Zaremba Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 28 kwietnia 2016 r. EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY WWW.UNIWERSYTET-DZIECIECY.PL PLAN WYKŁADU I.

Bardziej szczegółowo

Planowanie organizacji robót budowlanych na podstawie analizy nakładów pracy zasobów czynnych

Planowanie organizacji robót budowlanych na podstawie analizy nakładów pracy zasobów czynnych Budowictwo i Architektura 12(1) (2013) 39-46 Plaowaie orgaizacji robót budowlaych a podstawie aalizy akładów pracy zasobów czyych Roma Marcikowski 1 1 Istytut Budowictwa, Wydział Budowictwa Mechaiki i

Bardziej szczegółowo

Wybór systemu klasy ERP metod AHP

Wybór systemu klasy ERP metod AHP BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH 5 3-22 (200) Wybór systemu klasy ERP metod AHP A. CHOJNACI, O. SZWEDO e-mail: adrzej.chojacki@wat.edu.pl Wydzia Cyberetyki WAT ul. S. aliskiego 2, 00-908 Warszawa

Bardziej szczegółowo

Siemens. The future moving in.

Siemens. The future moving in. Ogrzewaczy wody marki Siemes zae są a rykach całego świata. Ich powstawaiu towarzyszą ambite cele: stale poszukujemy iowacyjych, przyszłościowych rozwiązań techologiczych, służących poprawie jakości życia.

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska

Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu

Bardziej szczegółowo

500 1,1. b) jeŝeli w kolejnych latach stopy procentowe wynoszą odpowiednio 10%, 9% i 8%, wówczas wartość obecna jest równa: - 1 -

500 1,1. b) jeŝeli w kolejnych latach stopy procentowe wynoszą odpowiednio 10%, 9% i 8%, wówczas wartość obecna jest równa: - 1 - Zdyskotowae pzepływy pieięŝe - Pzepływy pieięŝe płatości ozłoŝoe w czasie - Pzepływy występujące w kilku óŝych okesach ie są poówywale z uwagi a zmiaę watość pieiądza w czasie - śeby poówywać pzepływy

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ VIII OPTYMALIZACJA W DIAGNOSTYCE MASZYN

ROZDZIAŁ VIII OPTYMALIZACJA W DIAGNOSTYCE MASZYN ... auka zaczya si wtedy, kiedy zaczya si mierzeie... ROZZIAŁ VIII OPTYMALIZACJA W IAGNOSTYCE MASZYN 8. Wprowadzeie 8.2 Jako maszy w aspekcie diagostyki 8.3 Model destrukcji maszy 8.4 Optymalizacja testów

Bardziej szczegółowo

Jak inwestować w obligacje? Ewa Dziwok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Katedra Matematyki Stosowanej

Jak inwestować w obligacje? Ewa Dziwok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Katedra Matematyki Stosowanej Jak inwestować w obligacje? Katedra Matematyki Stosowanej YTM a obligacja kuponowa i = IRR YTM IRR 0 1 2 3 4 P - cena gdzie : P - cena obligacji N - nominał i - wymagana stopa zwrotu n - czas do wykupu

Bardziej szczegółowo

2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami).

2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami). 1 Dane empiryczne wiczenia 5 i 6 Krzysztof Makarski Szoki popytowe i poda»owe jako ¹ródªa uktuacji. Wspóªczynnik korelacji Odchylenie standardowe (w stosunku do PKB) Cykliczno± Konsumpcja 0,76 75,6% procykliczna

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Źródła finansowania i ich koszt

Źródła finansowania i ich koszt Źódła fiasowaia i ich koszt Kapitalizacja i dyskoto: k K K0 (1 ) ; 1 ; k 0 k log k0 log 1 efektywa stopa pocetowa; 1 1 Stałe płatości (ety): ef m m ; K o K 1 (1 ) (pzy płatościach częstszych iż ocze) 1

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

Być albo nie być produktów strukturyzowanych na polskim

Być albo nie być produktów strukturyzowanych na polskim Być albo nie być produktów strukturyzowanych na polskim rynku Wall Street 2009 Robert Raszczyk Główny Specjalista Dział Instrumentów Finansowych, GPW Zakopane, 06.06.2009 Program Czy wciąż potrzebna edukacja?

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

Co powinna zawierać obligacja?

Co powinna zawierać obligacja? OBLIGACJE Obligacja Jest papierem wartościowym typu wierzytelnościowego, czyli jedna strona, zwana emitentem, stwierdza, że jest dłużnikiem drugiej strony (zwanej obligatariuszem) i zobowiązuje się wobec

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo