BOOTSTRAPOWA WERYFIKACJA HIPOTEZ O WARTO CI OCZEKIWANEJ POPULACJI O ROZK ADZIE ASYMETRYCZNYM

Transkrypt

1 A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 27, 22 OOTSTRAPOWA WERYFIKACJA HIPOTEZ O WARTOCI OCZEKIWANEJ POPULACJI O ROZKADZIE ASYMETRYCZNYM Streszczeie. W pracy przedstawioa jest propozycja wykorzystaia testu bootstrapowego do weryfikacji hipotez o wartoci oczekiwaej populacji charakteryzujcej si rozkadem asymetryczym. Test bootstrapowy jest testem ieparametryczym, który moe by stosoway w przypadku posiadaia prób o maej liczbie elemetów. Wasoci testu bootstrapowego wykorzystywaego do weryfikacji hipotez o wartoci oczekiwaej populacji o wybraych rozkadach asymetryczych przeprowadzoe zostay metodami symulacyjymi. Aalizowao rozmiar testu bootstrapowego i dla duych prób porówywao go z rozmiarem klasyczego testu istotoci. Sowa kluczowe: test bootstrapowy, rozmiar testu, warto oczekiwaa. I. WPROWADZENIE Przy wioskowaiu statystyczym o parametrach populacji asymetryczych, w tym przy weryfikacji hipotez statystyczych, moemy wykorzystywa klasycze metody parametrycze lub metody sekwecyje (por. D. Pekasiewicz, 2) albo, w przypadku braku iformacji o klasie rozkadu, metody ieparametrycze. Przy ieparametryczej weryfikacji hipotez statystyczych o wartoci oczekiwaej zwykle wykorzystuje si asymptotycze wasoci jej estymatora. Wymagae jest wic posiadaie tak zwaych duych prób. Dla populacji charakteryzujcych si ró asymetri, miimale wielkoci prób umoliwiajce korzystaie z twierdze graiczych s róe. Problemem moe by wic rozstrzygicie, czy próba jest wystarczajco licza, aby moa byo j wykorzysta do tego typu wioskowaia statystyczego. Metody bootstrapowe, alece do grupy metod ieparametryczych, ie wymagaj prób o duej liczbie elemetów. Mog wic by stosowae zarówo w przypadku posiadaia prób o maej liczbie elemetów, jak i dla duych prób, jako alteratywa ieparametryczych metod klasyczych. Dr, Katedra Metod Statystyczych, Uiwersytet ódzki [5]

2 52 Do weryfikacji hipotez o wartoci oczekiwaej populacji o asymetryczych rozkadach moa stosowa bootstrapowy test istotoci. Aaliz wasoci tego testu przeprowadzoo metodami symulacyjymi i porówao je z wasociami klasyczego testu istotoci wykorzystujcego fakt, e redia arytmetycza z próby ma asymptotyczie rozkad ormaly. adaia dotyczyy aalizy rozmiarów bootstrapowego i klasyczego testu istotoci dla wartoci oczekiwaej populacji charakteryzujcych si róymi wspóczyikami asymetrii, w oparciu o próby o róych liczebociach. Do aalizy porówawczej testów wykorzystao próby due, okrelae w literaturze jako próby zawierajce 3 lub wicej elemetów. II. TEST OOTSTRAPOWY DLA WARTOCI OCZEKIWANEJ Niech X,..., X bdzie prób prost wylosowa z populacji X o iezaej x,..., x ozacza cig realizacji tej próby. wartoci oczekiwaej. Niech Rozwamy hipotez zerow postaci: wobec hipotezy alteratywej: H :, () H :, (2) gdzie jest ustalo liczb rzeczywist. W celu zweryfikowaia powyszych hipotez testem bootstrapowym dla wartoci oczekiwaej, przy ustaloym poziomie istotoci, aley wygeerowa N ( N ) prób bootstrapowych wedug rozkadu bootstrapowego P X xk, dla k =,...,. Ozaczmy przez x, i, x2, i,..., x, i realizacj i-tej ( i,..., N ) próby bootstrapowej X, i, X 2, i,..., X, i. Na podstawie wartoci i - tej próby bootstrapowej obliczamy: x i, k x k, i, (3) s i, xk, i xi, k 2 (4)

3 ootstrapowa weryfikacja hipotez o wartoci oczekiwaej 53 oraz u i, xi, b. (5) s i, W wyiku oblicze otrzymujemy cig wartoci Niech u, u2,,..., u,,. gdzie x x k k x, (6) s u oraz s x k x k 2. Obliczamy warto: card u u,, u2,,..., un, : u u (7) N i porówujemy j z ustaloym poziomem istotoci (por. Cz. Domaski, K.Pruska, 2). Jeeli zachodzi, to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy H. W przeciwym przypadku odrzucamy hipotez zerow a korzy alteratywej H. ootstrapowy test dla wartoci oczekiwaej moe by stosoway dla hipotez jedostroych. Dla hipotezy alteratywej postaci: warto obliczamy z wzoru: atomiast dla hipotezy: H : (8) card u u, u,..., u : u u, (9), 2, H : () z wzoru:, 2, N, card u u, u,..., u : u u. () N,

4 54 III. ANALIZA MONTE CARLO WASNOCI TESTU OOTSTRAPOWEGO Aaliza wasoci testu bootstrapowego weryfikujcego hipotez () wobec (2) przeprowadzoa zostaa w sposób symulacyjy. Rozwaao astpujce trzy klasy populacji: populacje o rozkadzie gamma, populacje o rozkadzie Pareto, populacje o rozkadzie beta. Parametry rozkadów dobierae byy tak, aby geerowae populacje charakteryzoway si róymi wspóczyikami asymetrii. Populacje o rozkadzie gamma, o fukcji gstoci p x x exp dla x p fx p dla x i ustaloych parametrach i p charakteryzowaa asymetria dodatia. Rówie dodati asymetri miay populacje o rozkadzie Pareto o fukcji gstoci k k xm dla k fx x dla x x m x x m i wybraych wartociach parametrów x m i k. Parametry populacji o rozkadzie beta o fukcji gstoci p q x x dla x fx p, q dla x x dobierae byy tak, aby charakteryzoway si oe asymetri ujem. Wybór aalizowaych klas rozkadów uzasadia ich zastosowaie m.i. w fiasach, ubezpieczeiach, kotroli jakoci oraz zwizay jest z do atw moliwoci doboru parametrów dla uzyskaia róych wielkoci wspóczyików asymetrii.

5 ootstrapowa weryfikacja hipotez o wartoci oczekiwaej 55 Z wygeerowaych populacji losowao tzw. mae próby, czyli próby o liczebociach miejszych i 3 oraz próby due, o liczbie elemetów ie miejszej i 3. Dla ustaloych poziomów istotoci, weryfikowao hipotezy o wartoci oczekiwaej populacji, geerujc prób bootstrapowych i korzystajc z wzorów (5) (7). Procedur weryfikacji hipotez powtarzao razy. Szacowao rozmiar testu i porówao go z przyjt wartoci poziomu istoto- ci. Dla duych prób porówao wyiki testu bootstrapowego z wyikami uzyskaymi dla klasyczego testu istotoci. Wartoci rozmiarów testu bootstrapowego dla wartoci oczekiwaej populacji o wybraych rozkadach z ustaloymi parametrami rozkadu, dla liczeboci prób =, 2, 3, 5, 7 i dla poziomu istotoci,5 zawiera tablica. Rysuek staowi graficz prezetacj zaleoci rozmiaru testu od liczeboci prób, w oparciu o które weryfikujemy hipotezy, oraz od wspóczyika asymetrii rozkadu populacji. W celu porówaia testu bootstrapowego z testem klasyczym, dla prób o liczbie elemetów wikszej lub rówej 3, aalizowao rozmiary tych testów. W tablicy 2 przedstawioo otrzymae wyiki dla obydwu rozpatrywaych testów. Rysuki 2 i 3 przedstawiaj wartoci oszacowaych rozmiarów testu bootstrapowego i klasyczego istotoci dla populacji o wybraych wspóczyikach asymetrii i liczeboci prób odpowiedio 3 i 7 elemetów. Tablica. Oszacowaia rozmiaru testu bootstrapowego dla wartoci oczekiwaej populacji o wybraych asymetryczych rozkadach Typ rozkadu Wspócz. asymetrii Liczeboci prób ,2 4,47,53,826,744,76,63,4 3,6,86,84,647,57,542,6 2,58,88,699,665,535,462,8 2,24,797,688,66,474,52, 2,,765,68,67,53,562,4,69,643,56,57,5,473 4, 7,7,85,863,864,742,72 5, 4,65,999,79,78,687,643 6, 3,8,943,748,737,664,6 7, 3,38,92,74,77,644,59 8, 3,2,88,688,695,624,587 gamma o parametrze lambda= i wybraych wartociach p Pareto o parametrze xm= i wybraych wartociach k beta o parametrze p=3 i wybraych wartociach q 9, 2,94,86,676,676,64,582,2 2,85,863,69,59,529,569,4,84,684,573,537,59,538,6,37,56,473,55,49,522,8,7,542,49,447,499,444,,86,525,56,523,486,589,4,57,44,487,437,524,492 ródo: Obliczeia wase.

6 56 7,7 3,8 3,2 2,24 -,57 -,37 3 7,2,,8,6,4,2 Rys.. Zaleo rozmiaru testu od liczeboci próby i wspóczyika asymetrii populacji ródo: Opracowaie wase. Typ rozkadu gamma o parametrze lambda= i wybraych wartociach p Pareto o parametrze xm= i wybraych wartociach k beta o parametrze p=3 i wybraych wartociach q Tablica 2. Porówaie rozmiarów testu bootstrapowego i testu klasyczego dla wartoci oczekiwaej populacji o wybraych asymetryczych rozkadach Wspócz. Liczeboci prób asymetrii T. boot. T. klas. T. boot. T. klas. T. boot. T. klas ,2 4,47,744,46,76,225,63,978,4 3,6,647,36,57,757,542,69,6 2,58,665,,535,756,462,63,8 2,24,66,88,474,639,52,645, 2,,67,859,53,649,562,664,4,69,57,727,5,63,473,557 4, 7,7,864,255,742,99,72,893 5, 4,65,78,4,687,888,643,827 6, 3,8,737,78,664,842,6,789 7, 3,38,77,48,644,822,59,762 8, 3,2,695,9,624,83,587,746 9, 2,94,676,4,64,786,582,737,2 2,85,59,96,529,88,569,86,4,84,537,875,59,77,538,688,6,37,55,789,49,645,522,65,8,7,447,646,499,595,444,54,,86,523,67,486,57,589,634,4,57,437,563,524,584,492,523 ródo: Obliczeia wase.

7 ootstrapowa weryfikacja hipotez o wartoci oczekiwaej 57,6 ˆ,4,2,,8,6 t.boot t.klas.,4, Rys. 2. Zaleo oszacowaego, a podstawie 3-elemetowej próby, rozmiaru testu od wspóczyika korelacji populacji ródo: Obliczeia wase.,2 ˆ,,8,6 t.boot t.klas.,4, Rys. 3. Zaleo oszacowaego, a podstawie 7-elemetowej próby, rozmiaru testu od wspóczyika korelacji populacji ródo: Obliczeia wase.

8 58 IV. WNIOSKI Na postawie uzyskaych wyików moa stwierdzi, e dla populacji o miejszej asymetrii test bootstrapowy pozwoli zweryfikowa sformuowae hipotezy a poziomie istotoci w przyblieiu rówym ustaloemu poziomowi istotoci,5. Najwiksze rozbieoci midzy rozmiarem testu i przyjtym poziomem istotoci byy w przypadku silej asymetrii i maych prób, ale i tak okazay si oe miejsze i w przypadku klasyczego testu istotoci dla prób o duo wikszej liczbie elemetów (próby 3 i 5 elemetowe). Zastosowaie testu bootstrapowego dla, 2-elemetowych prób powodowao, e liczba decyzji o odrzuceiu prawdziwej hipotezy zerowej bya w iektórych przypadkach awet dwukrotie wiksza od wartoci ustaloej, ale w tych przypadkach test klasyczy dopiero dla 7-elemetowej próby da porówywale wyiki. Dla iych rozwaaych wartoci p., oraz, wyiki byy aalogicze. W przypadku duych prób oszacoway rozmiar testu bootstapowego by miejszy i rozmiar testu klasyczego. Oczywicie róice te malay wraz ze wzrostem liczeboci prób. Chocia w przypadku zastosowaia testu bootstrapowego liczba bdych decyzji polegajcych a odrzuceiu prawdziwej hipotezy zerowej bya miejsza i przy zastosowaiu testu klasyczego, to jedak ie we wszystkich przypadkach 7-elemetowa próba bya wystarczajca do weryfikacji hipotez o wartoci oczekiwaej a ustaloym poziomie istotoci. Dotyczyo to populacji o silej asymetrii p. populacji o rozkadzie Pareto z parametrami x i k =4, dla której wspóczyik asymetrii wyosi 7,7. Dla tej m populacji oszacoway rozmiar testu bootstrapowego wyiós,72. Koleje zwikszaie liczeboci próby (próba -elemetowa, 2-elemetowa itd.) sprawio, e decyzja zostaa podjta a poziomie istotoci rówym w przybli- eiu ustaloej wartoci, co wyika z asymptotyczych wasoci rediej arytmetyczej. Z przeprowadzaych badaiach statystyczych, wyika, e iformacja o asymetrii populacji lub wstpe oszacowaie wspóczyika asymetrii mog by pomoce przy ustaleiu liczeboci próby zarówo przy zastosowaiu testów bootstrapowych jak i klasyczych testów istotoci. Dla wszystkich rozwaaych populacji weryfikacja hipotez o wartoci oczekiwaej za pomoc testu bootstrapowego daa lepsze rezultaty i zastosowaie klasyczego testu istotoci, gdy prowadzia do miejszej liczby bdych decyzji polegajcych a odrzuceiu prawdziwej hipotezy zerowej (rys 2., rys 3.). Podjcie decyzji o odrzuceiu hipotezy zerowej lub braku podstaw do jej odrzuceia a ustaloym poziomie istotoci zwizae jest z waciwym doborem

9 ootstrapowa weryfikacja hipotez o wartoci oczekiwaej 59 liczeboci próby, która zaley od typu rozkadu populacji i wspóczyika asymetrii. Testy bootstrapowe zajduj zastosowaie rówie przy weryfikacji hipotez statystyczych o wartociach parametrów dwóch populacji. Hipotezy mog dotyczy zarówo parametrów populacji jedo jak i wielowymiarowych (por. Domaski Cz., Pruska K., (2), J. Shao, D. Tu, (996)). ILIOGRAFIA Domaski Cz., Pruska K., (2), Nieklasycze metody statystycze, Polskie Towarzystwo Ekoomicze, Warszawa. Pekasiewicz D., (2), Testy statystycze dla parametrów zmieej losowej o rozkadzie wykadiczym, w:) praca zbiorowa pod red. Z.E. Zieliskiego: Rola iformatyki w aukach ekoomiczych i spoeczych. Iowacje i implikacje iterdyscypliare, Wydawictwo Wyszej Szkoy Hadlowej, Kielce, s Shao J., Tu D., (996) The Jackkife ad ootstrap, Spriger Verlag, New York. THE OOTSTRAP VERIFICATION OF HYPOTHESES AOUT THE EXPECTED VALUE OF ASYMMETRIC DISTRIUTED POPULATION Abstract A proposal of usig the bootstrap test to verify hypotheses about the expected value of asymmetric populatio is preseted. The bootstrap test is the oparametric oe. It ca be used whe we have a small size of sample. I the paper, the results of simulatio studies of the properties of this test are preseted, i particular the size of a test. For large sample s sizes, the size of the bootstrap test is compared with the size of classical test of sigificace.