Elektrostatyczna energia potencjalna U

Transkrypt

1 Elektrostatyczna energia potencjalna U Żeby zbliżyć do siebie dwa ładunki jednoimienne trzeba wykonać pracę przeciwko siłom pola nadając ładunkowi energię potencjalną. Podobnie trzeba wykonać pracę przeciwko siłom grawitacyjnym aby podnieść ciało, lub przeciwko sile sprężystości aby ścisnąć sprężynę. Grawitacja i siła sprężystości to siły konserwatywne, czyli praca wykonana przeciwko tym siłom równa się zmianie energii potencjalnej. Podobnie jest w przypadku sił elektrostatycznych. P. G. Hewitt, Fizyka wokół nas

2 Energia potencjalna ładunku w polu jednorodnym (analogia z polem grawitacyjnym w pobliżu Ziemi) Energia potencjalna ładunku q rośnie Energia potencjalna ładunku q maleje Praca sił elektrostatycznych: Energia potencjalna ładunku q w jednorodnym polu elektrostatycznym: W a b = F ( y a y b ) = qe( y a y b ) W a b = qey b qey a = ( U b U a ) U = qey Siła elektrostatyczna jest siłą konserwatywną i praca nie zależy od toru, po którym przesuwamy ładunek od punktu a do punktu b.

3 Energia potencjalna ładunku w polu jednorodnym (analogia z polem grawitacyjnym w pobliżu Ziemi) Energia potencjalna ładunku q maleje Energia potencjalna ładunku q rośnie Praca sił elektrostatycznych: Energia potencjalna ładunku q w jednorodnym polu elektrostatycznym: W a b = F ( y a y b ) = qe( y a y b ) W a b = qey b qey a = ( U b U a ) U = qey Siła elektrostatyczna jest siłą konserwatywną i praca nie zależy od toru, po którym przesuwamy ładunek od punktu a do punktu b.

4 Zasada zachowania energii w polu elektrostatycznym Proton (m = kg, e = C) znajdujący się początkowo w spoczynku w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E = 10 4 N/C zostaje uwolniony. Proton przebywa drogę d = 0.1 m w kierunku pola. Jaką osiągnie prędkość w punkcie B? Pracę wykonują tylko siły elektrostatyczne energia cząstki jest zachowana: 1 2 m v 2 +U p A A = 1 2 m v 2 +U p B B 1 2 m v 2 + qey p A A = 1 2 m v 2 + qey p B B 0 + qed = 1 2 m v p B v B = 2qEd m p m s d 0 Oś kierujemy w stronę wzrostu energii potencjalnej cząstki

5 Elektrostatyczna energia potencjalna U układu dwóch ładunków punktowych (pole niejednorodne) Praca siły zewnętrznej F KF przy przesunięciu ładunku +q 2 z punktu A do punktu B: +q 1 +q 2 d! r W KF = R B R A! F KF R B B F A KF F el d! r =! F el d r! R A dr = kq 1 q 2 r = kq q R B R A R B 1 1 R B R A W KF = U B U A Zakładając, że dla możemy zapisać: U = k q 1 q 2 R R A energia potencjalna U A = 0. Elektrostatyczną energię potencjalną J Siła elektrostatyczna jest siłą konserwatywną i praca nie zależy od toru, po którym przesuwamy ładunek od punktu A do punktu B. Elektrostatyczna energia potencjalna układu dwóch ładunków punktowych q 1 i q 2 znajdujących się w odległości R od siebie. Lub inaczej: energia potencjalna ładunku q 2 w polu ładunku q 1 (i na odwrót).

6 Elektrostatyczna energia potencjalna ładunku punktowego w polu wielu ładunków punktowych Energia potencjalna ładunku q 0 w polu innych ładunków: q U = kq q 2 + q 3 r 1 r 2 r 3 Całkowita energia potencjalna ładunku q 0 jest sumą algebraiczną energii potencjalnych, które q 0 posiada w polu każdego ładunku z osobna.

7 Zasada zachowania energii w polu elektrostatycznym Cztery protony umieszczono w wierzchołkach kwadratu o boku 1 m. Jaką minimalną prędkość v 0 musi posiadać elektron, znajdujący się w środku kwadratu, by oddalić się na nieskończoną odległość od ładunków? + R 1 m R + Zasada zachowania energii zastosowana do elektronu: 1 2 m v 2 +U e 0 0 = 1 2 m v 2 +U e 1 m v 0 - R R m v 2 + 4k e( e) e 0 R = v 0 = 4e k m e R 75.7 m s e = C m e = kg

8 Przenosimy kolejne ładunki z nieskończoności do punktów r 1, r 2, Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków: W 1 = 0 q W 2 = kq 1 2 Elektrostatyczna energia potencjalna zmagazynowana w układzie wielu ładunków punktowych Zbudowanie każdej konfiguracji ładunku wymaga pracy, która jest magazynowana w całkowitej energii potencjalnej układu. (nie trzeba wykonywać żadnej pracy przeciwko siłom elektrostatycznym, bo jeszcze nie ma ładunków) R 12 q W 3 = kq q 2 R 13 R 23 q W 4 = kq q 2 + q 3 R 14 R 24 R 34 Całkowita praca ( = energii potencjalnej układu): U = W 1 +W 2 +W 3 +W 4 = k q q q q q q q q q q q q 3 4 R 12 R 13 R 14 R 23 R 24 R 34

9 Energia zmagazynowana w układzie ładunków Ile wynosi energia potencjalna zmagazynowana w przedstawionej konfiguracji ładunków (4 protony w rogu kwadratu o boku a): e 1 e 2 e = C + a = 1 m + e 4 Energia zmagazynowana w układzie: + + U = k e e 1 2 a + e e 1 3 a 2 + e e 1 4 a + e e 2 3 a + e e 2 4 a 2 + e e 3 4 a U = k 4 e2 a + 2 e2 a 2 = J e 3

10 *Elektrostatyczna energia potencjalna zmagazynowana w dowolnym ciągłym rozkładzie ładunków Przepis na wyznaczenie energii potencjalnej dowolnego ciągłego rozkładu ładunków: E 2 dτ E 2 dτ U = ε 0 2 cala przestrzen E 2 dτ całka objętościowa po całej przestrzeni z kwadratu wartości natężenia pola elektrycznego +Q E 2 dτ. całka ta oznacza sumę kwadratów natężenia pola elektrycznego po każdym punkcie przestrzeni (nieskończenie małym elemencie objętościowym dτ)

11 Energia zgromadzona pomiędzy dwoma różnoimiennie naładowanymi płytkami A (pole powierzchni) E = 0 +σ d E = 0 E = σ ε 0 σ Elektrostatyczna energia potencjalna zgromadzona w obszarze między dwoma płytkami o powierzchni A i oddalonymi od siebie o d: U = ε 0 2 E 2 dτ = ε 0 2 E 2 dτ = ε 0 2 E 2 Ad = ε 0 2 cala przestrzen σ 2 ε 0 2 Ad

12 Potencjał elektryczny V Potencjał elektryczny definiujemy jako energię potencjalną na jednostkę ładunku: Definicja: V = U q J C = V Wolt Dla pola ładunku punktowego: V = Q 4πε 0 R Potencjał charakteryzuje pole elektryczne (tzn. jest cechą przestrzeni, a nie ładunku)

13 Potencjał elektryczny V pola ładunku punktowego V = k Q R R Q > 0 Q < 0 V = 0 R V = 0 54

14 Potencjał układu ładunków punktowych -Q 2 +Q 1 Potencjał dipola elektrycznego: +Q -Q P -Q 3 +Q 4 V P = V 1 +V 2 +V 3 +V 4 = 4 V i i=1

15 Superpozycja potencjału ładunków punktowych Ile wynosi potencjał w środku kwadratu o boku a = 1m utworzonego przez trzy protony i jeden elektron : e 1 = e 2 = e 3 = C e 1 e a = 1 m 2 + R R + e 4 = C P R R e e 3 Potencjał w punkcie P: V = k e 1 R + e 2 R + e 3 R + e 4 R = k 3 e R e R = 2k e R 2.5 nv

16 *Wyznaczenie potencjału pola wytwarzanego przez ciągły rozkład ładunku (superpozycja potencjału) Potencjał elektryczny w punkcie P wytwarzany przez ciągły rozkład ładunku można obliczyć dzieląc rozkład ładunku na małe elementy dq, które zachowują się jak ładunki punktowe. Całkowity potencjał jest sumą po wszystkich małych elementach rozkładu. Potencjał od małego elementu dq (ładunek punktowy): V = dq dv = k r Całkowity potencjał (suma po wszystkich elementach dq): dv = k dq r

17 *Wyznaczenie potencjału pola wytwarzanego przez ciągły rozkład ładunku - przykład Q Wcześniej pokazaliśmy korzystając z zasady superpozycji dla natężenia pola elektrycznego, że:! E = k Qx ( x 2 + a 2 ) ˆx 3 2 dv = dq x 2 + a 2 V = kdq x 2 + a 2 = k 1 x 2 + a 2 dq = k Q x 2 + a 2 58

18 Praca, potencjał i napięcie dla pól wytworzonych przez dowolny rozkład ładunku (niekoniecznie ładunek punktowy) E q Q 1 Q 2 E Q i F KF Praca siły zewnętrznej F KF potrzebna na przeniesienie ładunku q od a do b: W a b = U b U a Praca siły zewnętrznej na jednostkę ładunku: W a b q = U b q U a q = V b V a Napięcie elektryczne (różnica potencjałów): ΔV ab = W a b q W a b = qδv ab = b! F KF q d! l = E! d l! a b a

19 Potencjał elektryczny jednorodnie naładowanej sfery, przykład wyznaczania potencjału na podstawie znajomości natężenia pola elektrycznego ΔV = V 0 = V = k Q R dla r < R R ΔV = V 0 = V = k Q r dla r > R V k Q R Q V ~ r 1 R r

20 Przykład wyznaczania różnicy potencjałów (napięcia) między dwoma punktami w przestrzeni na podstawie znajomości pola elektrycznego Dwie nieskończenie wielkie płaszczyzny naładowane ładunkiem różnoimiennym wytwarzają pole jednorodne: 0 V + +σ d d y V! E = σ ε 0 ŷ σ 0 V + V = E! d y! 0 = E dy = d d σ ε 0 y d 0 = σ d ε 0 ΔV +/ = Ed Różnica potencjałów pomiędzy punktami odległymi o d w jednorodnym polu elektrycznym

21 Powierzchnie ekwipotencjalne = powierzchnie o stałej wartości potencjału Sears and Zemansky s University Physics with Modern Physics Podczas przesunięcia ładunku q po powierzchni ekwipotencjalnej, siły pola elektrycznego nie wykonują pracy! To jest możliwe tylko wtedy gdy natężenie pola elektrycznego, tj. siła elektryczna działająca na ładunek, jest prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych!

22 Zasada zachowania energii w polu elektrostatycznym V2 = 150 V v2 =??? m s v1 = 0 m s - e = C m = kg V1 = 50 V przewodnik to ciało ekwipotencjalne przewodnik to ciało ekwipotencjalne mv1 + qv1 = mv2 + qv q v2 = v + (V1 V2 ) m 2 1 v2 = m s V =0 V V =0 V

23 Wyznaczenie natężenia pola elektrycznego na podstawie znajomości potencjału V b V a = ΔV ab = b a dv =! E d! l = E l dl! E d! l d! l! E E l b E l = dv dl a E x = dv dx, E y = dv dy, E z = dv dz. Natężenie pola elektrycznego to gradient potencjału elektrycznego

24 *Wyznaczenie natężenia pola na podstawie znajomości potencjału - przykład Q V = k Q x 2 + a 2 E x = V x = k E y = V y = 0 E z = V z = 0 Q ( x 2 + a 2 ) 3/2! E = k Qx ( x 2 + a 2 ) ˆx 3 2

25 Natężenie pola elektrycznego to gradient potencjału elektrycznego ze znakiem minus (gradient to wektor, który wskazuje kierunek najszybszego wzrostu pola skalarnego, np. potencjału, a wartość gradientu określa szybkość zmian tego pola w danym punkcie) 66

26 Użyteczna analogia potencjał = różnica wysokości (wzniesienie) natężenie pola elektrycznego = nachylenie (stromość) E 1 = dv dx V E 2 = dv dx V 0 E 1 > E 2 0 x 67