Strumień Prawo Gaussa Rozkład ładunku Płaszczyzna Płaszczyzny Prawo Gaussa i jego zastosowanie

Transkrypt

1 Problemy elektrodynamiki. Prawo Gaussa i jego zastosowanie przy obliczaniu pól ładunku rozłożonego w sposób ciągły. I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku 19 marca 2012

2 Nowe spojrzenie na prawo Coulomba Prawo Coulomba jest podstawowym prawem elektrostatyki, ale nie jest wyrażone w postaci, która pozwalalaby w prostszy sposób wykonać obliczenia w przypadku występowania symetrii. Nowe sformułowanie prawa Coulomba zostało wyprowadzone przez niemieckiego matematyka i fizyka Carla Friedricha Gaussa ( )

3 Strumień i strumień pola elektrycznego Po lewej stronie - to powierzchnia Gaussa dowolnego kształtu. Dla tej powierzchni określamy przenikający ją strumień pola elektrycznego. Miarą strumienia pola elektrycznego jest liczba linii pola elektrycznego przechodzącego przez powierzchnię:

4 Strumień i strumień pola elektrycznego Po lewej stronie - to powierzchnia Gaussa dowolnego kształtu. Dla tej powierzchni określamy przenikający ją strumień pola elektrycznego. Miarą strumienia pola elektrycznego jest liczba linii pola elektrycznego przechodzącego przez powierzchnię: φ = E n S [ N m2 C ]

5 Strumień i strumień pola elektrycznego Po lewej stronie - to powierzchnia Gaussa dowolnego kształtu. Dla tej powierzchni określamy przenikający ją strumień pola elektrycznego. Miarą strumienia pola elektrycznego jest liczba linii pola elektrycznego przechodzącego przez powierzchnię: φ = E n S φ - strumień pola [ N m2 C ]

6 Strumień i strumień pola elektrycznego Po lewej stronie - to powierzchnia Gaussa dowolnego kształtu. Dla tej powierzchni określamy przenikający ją strumień pola elektrycznego. Miarą strumienia pola elektrycznego jest liczba linii pola elektrycznego przechodzącego przez powierzchnię: φ = E n S [ N m2 C ] φ - strumień pola E n - składowa natężenia pola prostopadła do powierzchni S

7 Strumień i strumień pola elektrycznego Po lewej stronie - to powierzchnia Gaussa dowolnego kształtu. Dla tej powierzchni określamy przenikający ją strumień pola elektrycznego. Miarą strumienia pola elektrycznego jest liczba linii pola elektrycznego przechodzącego przez powierzchnię: φ = E n S [ N m2 C ] φ - strumień pola E n - składowa natężenia pola prostopadła do powierzchni S S - pole powierzchni

8 Prawo Gaussa i jego opis Prawo Gaussa Strumień pola elektrycznego obejmowany przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do sumy ładunków zawartych wewnątrz powierzchni. n φ = 1 ε 0 Prawo Gaussa służy do : i=1 q i i = 1, 2,... n

9 Prawo Gaussa i jego opis Prawo Gaussa Strumień pola elektrycznego obejmowany przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do sumy ładunków zawartych wewnątrz powierzchni. n φ = 1 ε 0 Prawo Gaussa służy do : i=1 q i i = 1, 2,... n obliczania natężeń pochodzących od poszczególnych ciał.

10 Prawo Gaussa i jego opis Prawo Gaussa Strumień pola elektrycznego obejmowany przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do sumy ładunków zawartych wewnątrz powierzchni. n φ = 1 ε 0 Prawo Gaussa służy do : i=1 q i i = 1, 2,... n obliczania natężeń pochodzących od poszczególnych ciał. Aby posłużyć się prawem Gaussa należy wybrać dowolną powierzchnię zamkniętą wokół źródła (np. sferę).

11 Prawo Gaussa, a prawo Coulomba Sferyczna powierzchnia Gaussa, w której środku znajduje się ładunek punktowy q. Natężenie pola elektrostatycznego ładunku punktowego q obliczymy korzystając z prawa Gaussa: 1 ε 0 q = E (4πr 2 ) E = 1 4πε 0 q r 2

12 Prawo Gaussa, a prawo Coulomba Sferyczna powierzchnia Gaussa, w której środku znajduje się ładunek punktowy q. Natężenie pola elektrostatycznego ładunku punktowego q obliczymy korzystając z prawa Gaussa: 1 ε 0 q = E (4πr 2 ) E = 1 4πε 0 q r 2 E = k q r - tak jak w prawie 2 Coulomba

13 Prawo Gaussa, a prawo Coulomba Sferyczna powierzchnia Gaussa, w której środku znajduje się ładunek punktowy q. Natężenie pola elektrostatycznego ładunku punktowego q obliczymy korzystając z prawa Gaussa: 1 ε 0 q = E (4πr 2 ) E = 1 4πε 0 q r 2 E = k q r - tak jak w prawie 2 Coulomba DOSKONAŁA ZGODNOŚĆ!

14 Liniowy rozkład ładunku z λ = const Jednorodnie naładowany nieskończenie długi pręt, którego pole elektryczne można opisać korzystając z prawa Gaussa dla dowolnie wybranej powierzchni zamykającej naładowany pręt Zastosowanie prawa Gaussa

15 Liniowy rozkład ładunku z λ = const Jednorodnie naładowany nieskończenie długi pręt, którego pole elektryczne można opisać korzystając z prawa Gaussa dla dowolnie wybranej powierzchni zamykającej naładowany pręt Zastosowanie prawa Gaussa Prawo Gaussa dla pręta ma postać: E d σ = q ε 0

16 Liniowy rozkład ładunku z λ = const Jednorodnie naładowany nieskończenie długi pręt, którego pole elektryczne można opisać korzystając z prawa Gaussa dla dowolnie wybranej powierzchni zamykającej naładowany pręt Zastosowanie prawa Gaussa Prawo Gaussa dla pręta ma postać: E d σ = q ε 0 ε 0 E(2πrh) = q q = λh

17 Liniowy rozkład ładunku z λ = const Jednorodnie naładowany nieskończenie długi pręt, którego pole elektryczne można opisać korzystając z prawa Gaussa dla dowolnie wybranej powierzchni zamykającej naładowany pręt Zastosowanie prawa Gaussa Prawo Gaussa dla pręta ma postać: E d σ = q ε 0 ε 0 E(2πrh) = q q = λh Ostatecznie dostajemy zależność E = λ 2πrε 0

18 Nieskończona naładowana płaszczyzna Płaszczyzna z gęstością σ = const Przyjmujemy powierzchnię Gaussa w kształcie walca o podstawie S. Strumień całkowity jest sumą strumieni dla powierzchni bocznej walca i powierzchni obu podstaw.

19 Nieskończona naładowana płaszczyzna Płaszczyzna z gęstością σ = const Przyjmujemy powierzchnię Gaussa w kształcie walca o podstawie S. Strumień całkowity jest sumą strumieni dla powierzchni bocznej walca i powierzchni obu podstaw. Φ c = Φ bocz + 2Φ podst (Φ bocz = 0)

20 Nieskończona naładowana płaszczyzna Płaszczyzna z gęstością σ = const Przyjmujemy powierzchnię Gaussa w kształcie walca o podstawie S. Strumień całkowity jest sumą strumieni dla powierzchni bocznej walca i powierzchni obu podstaw. Φ c = Φ bocz + 2Φ podst (Φ bocz = 0) Φ c = 2Φ podst

21 Nieskończona naładowana płaszczyzna Płaszczyzna z gęstością σ = const Przyjmujemy powierzchnię Gaussa w kształcie walca o podstawie S. Strumień całkowity jest sumą strumieni dla powierzchni bocznej walca i powierzchni obu podstaw. Φ c = Φ bocz + 2Φ podst (Φ bocz = 0) Φ c = 2Φ podst Φ c = q ε 0

22 Nieskończona naładowana płaszczyzna Płaszczyzna z gęstością σ = const Przyjmujemy powierzchnię Gaussa w kształcie walca o podstawie S. Strumień całkowity jest sumą strumieni dla powierzchni bocznej walca i powierzchni obu podstaw. Φ c = Φ bocz + 2Φ podst (Φ bocz = 0) Φ c = 2Φ podst Φ c = q ε 0 2ES = q ε 0

23 Nieskończona naładowana płaszczyzna Płaszczyzna z gęstością σ = const Przyjmujemy powierzchnię Gaussa w kształcie walca o podstawie S. Strumień całkowity jest sumą strumieni dla powierzchni bocznej walca i powierzchni obu podstaw. Φ c = Φ bocz + 2Φ podst (Φ bocz = 0) Φ c = 2Φ podst Φ c = q ε 0 2ES = q ε 0 E = q ε 0S ale σ = q S

24 Nieskończona naładowana płaszczyzna Płaszczyzna z gęstością σ = const Przyjmujemy powierzchnię Gaussa w kształcie walca o podstawie S. Strumień całkowity jest sumą strumieni dla powierzchni bocznej walca i powierzchni obu podstaw. Φ c = Φ bocz + 2Φ podst (Φ bocz = 0) Φ c = 2Φ podst Φ c = q ε 0 2ES = q ε 0 E = q ε 0S E = σ 2ε 0 ale σ = q S nie zależy od odległości. Rysunek: Pole nieskończenie naładowanej płaszczyzny jest polem jednorodnym, które nie zależy od odległości

25 Dwie nieskończone naładowane płaszczyzny Płaszczyzny naładowane są jednorodnie z σ 1 = const

26 Dwie nieskończone naładowane płaszczyzny Płaszczyzny naładowane są jednorodnie z σ 1 = const Pole elektryczne pomiędzy płaszczyznami (wewnątrz płaskiego kondensatora) jest stałe i wynosi:

27 Dwie nieskończone naładowane płaszczyzny Płaszczyzny naładowane są jednorodnie z σ 1 = const Pole elektryczne pomiędzy płaszczyznami (wewnątrz płaskiego kondensatora) jest stałe i wynosi: E = E + + E

28 Dwie nieskończone naładowane płaszczyzny Płaszczyzny naładowane są jednorodnie z σ 1 = const Pole elektryczne pomiędzy płaszczyznami (wewnątrz płaskiego kondensatora) jest stałe i wynosi: E = E + + E E = σ+ 2ε 0 + σ 2ε 0 σ + = σ = σ 1

29 Dwie nieskończone naładowane płaszczyzny Płaszczyzny naładowane są jednorodnie z σ 1 = const Pole elektryczne pomiędzy płaszczyznami (wewnątrz płaskiego kondensatora) jest stałe i wynosi: E = E + + E E = σ+ 2ε 0 E = σ1 ε 0 + σ 2ε 0 σ + = σ = σ 1 - pole pomiędzy

30 Dwie nieskończone naładowane płaszczyzny Płaszczyzny naładowane są jednorodnie z σ 1 = const Pole elektryczne pomiędzy płaszczyznami (wewnątrz płaskiego kondensatora) jest stałe i wynosi: E = E + + E E = σ+ 2ε 0 E = σ1 ε 0 + σ 2ε 0 σ + = σ = σ 1 - pole pomiędzy E = 0 - pole na zewnątrz Rysunek: Dwie różnoimiennie naładowane nieskończone płaszczyzny

31 Prawo Gaussa i jego zastosowanie Zadanie 1 Walec z dielektryka (ϕ r ), o promieniu R, został naładowany z gęstością objętościową ρ. Znaleźć zależność natężenia, indukcji i potencjału pola elektrycznego od odległości r, od osi walca w następujących przypadkach: a. ρ = const. b. gęstość ładunku zależy od odległości r, od osi walca ρ = ρ 0 (r/r) W przypadku potencjału rozważyć następujące przypadki: i) potencjał jest równy zeru w nieskończoności, ii) potencjał na powierzchni walca jest równy ϕ 0. Zadanie 2 Punktowy ładunek q umieszczono w odległości d od środka przewodzącej kuli o promieniu R, naładowanej ładunkiem -Q. Obliczyć potencjał na powierzchni kuli oraz siłę działającą na ładunek q.

32 Zadania do rozwiązania Zadanie 3 Nieprzewodzącą kulę o promieniu R naładowano jednorodnie ładunkiem o gęstości objętościowej ρ r. Oblicz zależność potencjału i natężenia pola elektrycznego w funkcji odległości od środka kuli. Przedstaw graficznie otrzymane zależności. Zadanie 4 Metalową kulę o promieniu R naładowano ładunkiem q. (a) Oblicz i wykreśl zależność potencjału i natężenia pola elektrycznego w funkcji odległości od środka kuli. (b) Jak zmieni się rozkład pola elektrycznego, gdy zamiast metalowej, użyjemy kuli z dielektryka naładowanej powierzchniowo ładunkiem q.

33 Zadania do rozwiązania Zadanie 5 Pętla z drutu w kształcie okręgu o promieniu r jest naładowana jednorodnie ładunkiem o gęstości liniowej opisanej zależnością λ = λ 0 cos 2 θ (patrz rysunek). Wykazać, że całkowity ładunek zgromadzony na tej pętli z drutu wynosi πλ 0 r Wskazówka = Skorzystać z własności gęstości liniowej

34 Zadania do rozwiązania Zadanie 6 Pręt o długości 25cm jest jednorodnie naładowany z gęstością liniową λ = 200 µc m. Wyznaczyć natężenie pola elektrycznego w punkcie P (patrz rysunek) w odległości 10cm od pręta

35 Rozwiązanie zadania 6 Koncepcja rozwiązania Rozważmy element długości pręta dx w odległości x od punktu P. Na tej elementarnej długości zawarty jest ładunek dq = λdx. Ten element długości pręta dx daje przyczynek do pola w punkcie P. Wystarczy zatem posumować wszystkie przyczynki do pola pochodzące od pręta z całej jego długości. Najlepiej to zrobić wykorzystując całkowanie.

36 Zadania do rozwiązania Zadanie 7 * Dwie kwadratowe metalowe płytki o boku a użyto do utworzenia kondensatora płaskiego. Następnie płytki odchylono o niewielki kąt θ. Przyjmując, że odległość między płytkami jest mała i wynosi D wykaż, że pojemność tego kondensatora C wyraża się wzorem: C = ε 0a 2 D ( 1 aθ 2D )

37 Rozwiązanie zadania 7 Uwaga! Infinitezymalna pojemność kondensatora wyraża się wzorem

38 Zadania do rozwiązania Zadanie 8 Dwie przewodzące sfery metaliczne o promieniu a i b (b > a) utworzyły kondensator (patrz rysunek). Okładka b kondensatora została połączona z ziemią. Korzystając z prawa Gaussa udowodnić, że pojemność tak skonstruowanego kondensatora wyraża się wzorem: C = 4πε 0ab b a

39 Rozwiązanie zadania 8 Pomysł rozwiązania Aby wyznaczyć pojemność naszego kondensatora nie wykorzystując prawa Gaussa można wyznaczyć potencjał(różnicę potencjałów) pomiędzy sferami a i b. Rozwiązanie jest dosyć proste - zajmuje 4 linijki. V = a b Edr = Q a 4πε 0 b E = dv dr dr Q(b a) = r 2 4πε 0 ab C = Q V C = 4πε 0ab (b a) (1) (2) (3) (4)